2020年陕西师大附中中考数学八模试卷含答案

中考数学八模试卷

题号一二三四总分

得分

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.-32的值是（ ）

A. 6

B. -6

C. 9

D. -9

2.用4个完全相同的小正方体组成如图所示的立方体图形，它的俯视图

是（ ）

A.

B.

C.

D.

3.下列运算正确的是（ ）

A. B. （-xy2）3=-x3y6

C.

（-x）5÷（-x）2=x3 D. =-4

4.如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若

∠A=50°，∠1=35°，则∠2的度数为（ ）

A. 35°

B. 65°

C. 85°

D. 95°

5.若正比例函数y=mx的图象经过（-1，-2），（m，b）两点，则b的值为（ ）

A. 0

B. -4

C. 4

D. -12

6.如图，在△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC，F为AC上

一点，且AF=EF．若∠B=42°，则∠EFC为（ ）

A. 48°

B. 96°

C. 138°

D. 84°

7.如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不

等式2x＜ax+4的解集为（ ）

A. x＜

B. x＜3

C. x＞

D. x＞3

8.如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为边AB上

的点，且AM=BM，延长MB至点E，使ME=MC，连

接EC，则点M到直线CE的距离是（ ）

A.

2 B. C. 5 D. 2

9.⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O

的半径为（ ）

A. B.

2 C. D. 3

10.以x为自变量的二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实

数b的取值范围是（）

A. b≥

B. b≥1或b≤﹣1

C. b≥2

D. 1≤b≤2

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.比较大小：2______（填“＞”、“＜”或“=”）．

12.如图，正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边

上，若∠AFJ=20°，则∠CGH=______°．

13.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点

C在x轴上，反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经

过点A（2，6），且与边BC交于点D，若点D是边BC

的中点，则OC的长为______．

14.如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点

，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C

逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中

，DF的最小值是______．

三、计算题（本大题共2小题，共13.0分）

15.解方程：-1=

16.已知等边△ABC内接于⊙O，D为弧BC的中点，连接DB、DC，

过C作AB的平行线，交BD的延长线于点E．

（1）求证：CE与⊙O相切；

（2）若AB长为6，求CE长．

四、解答题（本大题共9小题，共65.0分）

17.计算：+|tan60°-2|-（）-1

18.如图，已知BD是△ABC的一条中线，请利用尺规在AB

边上找点P，使得△PBC与△DBC的面积相等．（保留

作图痕迹，不写作法）

19.如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，AC

与DE交于点F，且∠EAC=∠EDC，AC=AE，BC=DE

．求证：∠B=∠ADE．

20.某校数学综合实践小组的同学以“绿色出行”为主题?把某小区的居民对共享单车

的了解和使用情况进行了问卷调查，在这次调查中，发现有20人对于共享单车不了解．使用共享单车的居民每天骑行路程不超过8千米，并将调查结果制作成统计图，如图所示．

（1）本次调查人数共______人，使用过共享单车的有______人；

（2）将条形统计图补充完整，则使用共享单车骑行的居民每天骑行路程的中位数落在______范围内；

（3）如果这个小区大约有3000名居民，请估算每天骑行路程不超过4千米的有多少人？

21.一长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AQ=2.4m，已知木箱高

PQ=40cm，斜面坡角∠A满足tan A=（∠A为锐角），求木箱顶端P离地面AB的距离．

22.某单位计划周末组织员工去周边的某景点旅游，旅行社提供了以下收费方案：当旅

游人数不超过10人时，人均费用为240元；当旅游人数超过10人但不超过25人时，与10人相比，每增加1人，人均费用降低6元；当旅游人数超过25人时，人均费用为150元．设参加旅游的人数为x人，人均费用为y元．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）如果该公司这次参加旅游的人数有20人，那么总共需要支付给旅行社共多少元？

23.小明在学校组织的校园安全知识竞赛中，通过自己的努力一路过关斩将，走到了最

后一个环节．在最后环节中，他还需要回答三道判断题，每道题只有正确和错误两种选择．

（1）小明回答第一道判断题，答对的概率是______；

（2）如果小明在最后一个环节中至少答对两道题就能获胜，那么他获胜的概率是多少？

24.已知抛物线L：y=ax2+bx+3与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C

．

（1）求抛物线L的表达式；

（2）将L向右平移m个单位（m＞0）后得到新的抛物线L'．P是x轴上一点，在抛物线L′上是否存在一点Q，使得四边形ACQP是面积为12的平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

25.问题背景：如图（1），△ABC内接于⊙O，过点A作⊙O的切线l，在l上任取一

个不同于点A的点P，连接PB、PC，比较∠BPC与∠BAC的大小，并说明理由．问题解决：如图（2），在平面直角坐标系中，A（0，2）、B（0，4），在x轴正半轴上是否存在一点P，使得sin∠APB最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

问题应用：如图（3），四边形ABCD是一个工厂中间的空地，其中AB边是一个宽为156米的加工车间（即AB=156米），BC边是一幢宽为96米的办公楼（即BC=96米），且AB与BC互相垂直，CD边是一面围墙，在办公楼BC的正中间安装有一摄像头M（即M为BC的中点）现想在办公楼对面的AD边上建一个宽为72米的车库PQ（即PQ=72米），使得摄像头M能监控到整个车库，其中AD长

为180米，且AD与AB的夹角满足sin A=，是否存在这样的车库位置，使得摄像

头的监控效果最好（即∠PMQ最大）？若存在，请求出此时的AP长及sin∠PMQ 的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：-32=-3×3=-9．

故选：D．

-32表示32的相反数．

此题的关键是注意符号的位置，-32表示32的相反数，底数是3，不要与（-3）2相混淆．2.【答案】A

【解析】解：从上面看可得到一个有2个小正方形组成的长方形．

故选：A．

俯视图是从物体上面观看得到的图形，结合图形即可得出答案．

本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，属于基础题．

3.【答案】D

【解析】解：A、+，无法计算，故此选项错误；

B、（-xy2）3=-x3y6，故此选项错误；

C、（-x）5÷（-x）2=-x3，故此选项错误；

D、=-4，正确．

故选：D．

直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、二次根式的加减运算法则分别化简得出答案．

此题主要考查了积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4.【答案】D

【解析】解：

∵直线l1∥l2，且∠1=35°，

∴∠3=∠1=35°，

∵在△AEF中，∠A=50°，

∴∠4=180°-∠3-∠A=95°，

∴∠2=∠4=95°，

故选D．

先根据平行线性质求出∠3，再根据三角形内角和定理求出∠4，即可求出答案．

本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，对顶角相等的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．

5.【答案】C

【解析】解：正比例函数的解析式为y=mx，

将点（-1，-2）代入y=mx，得：

-2=-m，解得：m=2，

∴正比例函数的解析式为y=2x．

当x=2时，y=b，

即b=2×2=4，

故选：C．

首先求出正比例函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，此题得解．

本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用待定系数法求出正比例函数解析式是解此类题的关键．

6.【答案】B

【解析】解：∵AB=AC，∠B=42°，

∴∠B=∠C，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=96°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×96°=48°，

∵AF=EF，

∴∠FAE=∠FEA=48°，

∴∠EFC=∠FAE+∠FEA=48°×2=96°，

故选：B．

首先求出∠BAC的度数，再由角平分线以及等腰三角形的性质求出∠FAE和∠FEA的度数，最后利用三角形的外角知识求出∠EFC的度数．

本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练角平分线的性质以及三角形外角的知识．

7.【答案】A

【解析】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），

∴3=2m，

m=，

∴点A的坐标是（，3），

∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜；

故选：A．

先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A 的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．

此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．

8.【答案】D

【解析】解：如图，作MN⊥EC于N．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=4，∠ABC=90°，

∴AM=BM，

∴AM=1，BM=3，

在Rt△BCM中，CM=ME===5，

∴BE=5-3=2，

∴CE===2

∵ME?CB=CE?MN，

∴MN===2，

故选D．

如图，作MN⊥EC于N．首先利用勾股定理求出CM、CE，再根据ME?CB=CE?MN，

即可解决问题．

本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、点到直线的距离等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理，学会利用等积法求高，属于中考常考题型．

9.【答案】C

【解析】解：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；

∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，

∴BD=CD=AD=3；

∴OD=AD-OA=2；

Rt△OBD中，根据勾股定理，得：

OB==．

故选：C．

根据等腰三角形三线合一的性质知：若过A作BC的垂线，设垂足为D，则AD必垂直平分BC；由垂径定理可知，AD必过圆心O；根据等腰直角三角形的性质，易求出BD、AD的长，进而可求出OD的值；连接OB根据勾股定理即可求出⊙O的半径．

本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

10.【答案】A

【解析】解：∵二次函数y=x2-2（b-2）x+b2-1的图象不经过第三象限，

∵二次项系数a=1，

∴抛物线开口方向向上，

当抛物线的顶点在x轴上方时，

则b2-1≥0，△=[2（b-2）]2-4（b2-1）≤0，

解得b≥；

当抛物线的顶点在x轴的下方时，

设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，

∴x1+x2=2（b-2）＞0，b2-1＞0，

∴△=[2（b-2）]2-4（b2-1）＞0，①

b-2＞0，②

b2-1≥0，③

由①得b＜，由②得b＞2，

∴此种情况不存在，

∴b≥，

故选：A．

由于二次函数y=x2-2（b-2）x+b2-1的图象不经过第三象限，所以抛物线的顶点在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．

此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于b的不等式组解决问题．

11.【答案】＜

【解析】解：∵2=，

∴＜，

∴2＜；

故答案为：＜．

根据2=＜即可得出答案．

此题考查了实数的大小比较．关键是得出2=＜，题目比较基础，难度适中．12.【答案】52

【解析】解：正五边形的内角均为：540°÷5=108°，

∴∠BFG=180°-∠AFJ-∠GFJ=180°-20°-108°=52°，

∴∠BGF=180°-∠B-∠BFG=180°-108°-52°=20°，

∴∠CGH=180°-∠BGF-∠FGH=180°-20°-108°=52°，

故答案为：52．

先计算出正五边形的各个内角为：540°÷5=108°，再利用平角为180°，三角形的内角和，即可解答．

本题考查多边形的内角与外角，解决本题的关键是计算出正五边形的内角的度数．13.【答案】3

【解析】解：设OC的长为x，则C（x，0）．

∵四边形OABC是平行四边形，

∴AB∥OC，AB=OC=x，

∵A（2，6），

∴B（2+x，6），

∵点D是边BC的中点，

∴D（1+x，3），

∵函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点A（2，6），D，

∴3（1+x）=2×6，

∴x=3．

∴OC=3，

故答案为3．

设OC的长为x，则C（x，0）．根据平行四边形的性质以及A点坐标为（2，6），得出B（2+x，6），由点D是边BC的中点，利用线段的中点坐标公式得出D（1+x，3）

，再根据函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点A（2，6），D，利用反比例函数图象上

点的坐标特征得出3（1+x）=2×6，解方程即可．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了平行四边形的性质以及线段的中点坐标公式．14.【答案】3

【解析】【分析】

本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF=GE．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．

取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG 以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．

【解答】

解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．

∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，

∴CD=CG=AB=6，∠ACD=60°，

∵∠ECF=60°，

∴∠FCD=∠ECG．

在△FCD和△ECG中，

，

∴△FCD≌△ECG（SAS），

∴DF=GE．

当EG∥BC时，EG最小，

∵点G为AC的中点，

∴此时EG=DF=CD=BC=3．

故答案为3．

15.【答案】解：去分母得：4x-x+2=-2，

解得：x=-，

经检验x=-是分式方程的解．

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

16.【答案】（1）证明：连接OC，OB，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=60°，

∵AB∥CE，

∴∠BCE=∠ABC=60°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∴∠OCE=∠OCB+∠BCE=30°+60°=90°，

∴CE与⊙O相切；

（2）∵四边形ABDC是圆的内接四边形，

∴∠A+∠BDC=180°，

∴∠BDC=120°，

∵D为弧BC的中点，

∴∠DBC=∠BCD=30°，

∴∠BEC=180°-∠EBC-∠BCE=90°，

∵AB=BC=6，

∴．

【解析】（1）连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出

∠OCB=30°，则∠OCE=90°，结论得证；

（2）由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，可求出CE=．

此题主要考查了等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质解题．

17.【答案】解：+|tan60°-2|-（）-1

=2×+2--2

=2-

【解析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．

此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

18.【答案】解：如图所示：△PBC与△DBC的面积相等．

【解析】直接利用作一角等于已知角的方法得出∠ADP=∠ACB，则PD∥BC，可利用平行线之间距离相等得出P到BC，与D到BC的距离相等，进而得出答案．

此题主要考查了复杂作图，正确利用三角形面积公式是解题关键．

19.【答案】证明：∵∠EAC=∠EDC，∠EFA=∠DFC，

∴∠E=∠C，

在△AED和△ACB中，

，

∴△AED≌△ACB（SAS），

∴∠B=∠ADE．

【解析】根据三角形内角和定理得到∠E=∠C，利用SAS定理证明△AED≌△ACB，根据全等三角形的性质证明结论．

本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

20.【答案】200 90 2～4千米

【解析】解：（1）20÷10%=200

人，200×（1-10%-45%）=90人，

故答案为：90．

（2）90-25-10-5=50人，补全条形

统计图如图所示：将使用共享单

车的90人骑车路程数从小到大排

序处在第45、46位的数一定在2～

4千米范围，

故答案为：2～4千米．

（3）3000×=1125人，

答：估算每天骑行路程不超过4千米的有1125人．

（1）“不了解”的有20人，从统计图中“不了解”占10%，可求出调查人数，求出使用共享单车的百分比，求出使用共享单车的人数，

（2）求出使用共享单车中行驶路程不超过4千米的人数，即可补全条形统计图，排序后处在第45、46位数据落在那个范围内即可，

（3）样本估计总体，样本中篮球比足球多的人数占调查人数的，估计总体中篮球

比足球多的人数也占，

考查条形统计图、扇形统计图的制作方法，理解统

计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，

样本估计总体是统计中常用的方法．

21.【答案】解：作PD⊥AB与D交AQ与C．

∵PQ⊥AQ，

∴∠PQC=90°，

∴∠A=∠CPQ，

在Rt△PQC中，tan∠CPQ==tan∠A=，

∴CQ=PQ=×0.4=0.3m，

∴CP==0.5m，

∵AQ=2.4m，

∴AC=AQ-CQ=2.4-0.3=2.1m，

在Rt△ADC中，

∵tan∠A=，

∴sin∠A=，

∴CD=sin∠A?AC=×2.1=1.26m，

∴PD=PC+CD=1.26+0.5=1.76m，

即木箱顶端P离地面AB的距离为1.76m．

【解析】作PD⊥AB与D交AQ与C，先求出∠A=∠CPQ，然后解两个直角三角形求出PC 和CD的长度，进而求出PD的值即可．

本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

22.【答案】解：（1）当0＜x≤10时，y=240．

当10＜x≤25时，y=240-6（x-10）=300-6x．

当x＞25时，y=150；

（2）因为x=20，所以y=300-6x．

依题意得：20×（300-6×20）=3600（元）

答：总共需要支付给旅行社共3600元．

【解析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系应该是分段函数，根据题意列出函数关系式；

（2）由自变量的取值范围，求得相应的人均费用，从而得到总费用．

考查了一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式．

23.【答案】

【解析】解：（1）小明回答第一道判断题，答对的概率是，

故答案为：；

（2）画树状图如下：

由树状图知共有8种等可能结果，其中至少答对两道题的有3种结果，

所以他获胜的概率为．

（1）直接利用概率公式求解可得；

（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

24.【答案】解：（1）∵抛物线L：y=ax2+bx+3经过A（-3，0）和B（1，0）

∴解得：

∴抛物线L的表达式为y=-x2-2x+3

（2）在抛物线L′上存在一点Q，使得四边形ACQP是面积为12的平行四边形．

∵x=0时，y=-x2-2x+3=3

∴C（0，3），OC=3

∵四边形ACQP是平行四边形

∴AP∥CQ，AP=CQ

∴y Q=y C=3

∵S?ACQP=CQ?OC=12

∴CQ=12÷3=4

∴Q（4，3）

∵抛物线L：y=-（x+1）2+4

∴平移后的抛物线L'：y=-（x+1-m）2+4

∵点Q在抛物线L'上

∴-（4+1-m）2+4=3

解得：m1=4，m2=6

∴m的值为4或6．

【解析】（1）已知抛物线经过两点的坐标，用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）求点C坐标，由四边形ACQP是平行四边形可得AP∥CQ，AP=CQ，故点Q纵坐标与点C纵坐标相等．又因为平行四边形ACQP面积等于CQ与OC的积，求得CQ的长即得到点Q坐标．根据抛物线平移规律得到新抛物线解析式，把点Q坐标代入并解方程即求得m的值．

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移规律，平行四边形的性质，二元一次方程组和一元二次方程的解法．第（2）题的解题关键是根据题意画出示意图，得到平行四边形的具体位置进而得到点Q坐标特征再解题．

25.【答案】解：（1）如图（1），设BP与⊙O交点为D，连接CD

∵∠BAC=∠BDC，∠BDC＞∠BPC

∴∠BAC＞∠BPC

（2）如图（2），过A，B两点作⊙C与x轴相切于点P，连接BC，CP

∵A（0，2）、B（0，4），

∴点C纵坐标为3，

设点C坐标为（x，3）

∵⊙C与x轴相切于点P，

∴CP⊥x轴

∴CP=3

∵BC=CP=3

∴=3

∴x=2

∴点P（2，0）；

（3）存在．如图（3），过P，Q两点作⊙O与BC相切于点M，

过点O作OH⊥AD于H，

作直径MN交AD于T，过点T作TR⊥AB于R，连接OP，OQ，

设⊙O半径为r，

∵M为BC的中点

∴BM=BC=48（米）

∵MN为⊙O的直径，⊙O与BC相切，TR⊥AB，AB⊥BC

∴∠BMN=∠BRT=∠ABC=90°

∴BMTR是矩形

∴TR=BM=48米，MT=BR，MT∥AB

在Rt△ATR中，=sin A=，

∴AT=×48=60，AR===36

∴BR=AB-AR=156-36=120（米）

∴MT=120米，OT=（120-r）米

∵MT∥AB

∴∠OTH=∠A

∴OH=OT?sin∠OTH=OT?sin A=（120-r），

∵OH⊥PQ

∴PH=HQ=PQ=36米

∵OH2+HQ2=OQ2，即[（120-r）]2+362=r2，解得：r1=60，r2=（舍去）；

∴OP=OQ=ON=OT=60，即点P与T、N重合，

∴AP=AT=60米

∵OQ=OP=OM

∴∠MQP=90°

∴sin∠PMQ===．

【解析】（1）由圆周角定理和三角形外角性质可求解；

（2）过A，B两点作⊙C与x轴相切于点P，连接BC，CP，由两点坐标公式可求点C

坐标，即可求点P坐标；

（3）过P，Q两点作⊙O与BC相切于点M，过点O作OH⊥AD于H，作直径MN交AD 于T，过点T作TR⊥AB于R，连接OP，OQ，设⊙O半径为r；利用矩形性质和勾股定理建立方程，求解即可．

本题考查了圆的切线性质，同弧所对的圆外角与圆周角的关系，解直角三角形等知识点，解题时注意结合图形分析．