线性代数 5-6 第5章6讲-正交相似(2)
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大学线性代数课件相似矩阵及二次型第五章 相似矩阵及二次型
|[, ] | [, ][ , ]
长为 1 的向量称为单位向量.
例1
01，
1
0
2
，
0
1
2
若向量
1
3
x ≠0 ,
则
1 x
x
1 都是3 维单位向量.
3
1
是 单 位 向 量.
3
例 已知
1
2
2
,
3
,
1
1
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
解：
12 22 (1)2 02
1 0 2
所以A的特征值为 1 2,2 3 1
当 1 2解齐次线性方程组 (2E A)x 0 即
3x1 x2 0 4x1 x2 0 x1 0
3 1 0 1 0 0
由
2E
A
4 1
1 0
00
0 0
1 0
0 0
0
得基础解系
p1
10
故对应于 1 2的全体特征向量为 k1 p1(k1 0)
y yT y xT PT Px xT x x
说明经正交变换向量长度保持不变，这是正交变换的优 良特性．
2 方阵的特征值 特征向量
内容分布 一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的性质
基本要求 会求特征值与特征向量
2.1 特征值与特征向量
定义8 设A是n阶方阵，如果数 和n维非零向量x使
量为
k11 k22 kss （k1, ···,ks不同时为0）
例1 求矩阵
A
2 1
解： A的特征方程为
1 2
的特征值和特征向量
2 1
| E A |
线性代数第五章相似矩阵
这个向量组称为正交向量组，简称正交组.
3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
4、性质
定理 正交向量组必为线性无关组,但反之则不一定成立. 定理 若向量β与 1 , 2 ,, s 中每个向量都正交，则
β与 1 , 2 ,, s 的任一线性组合也正交.
5、正交基 若正交向量组1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个正交基. 6、标准正交基 若标准正交组 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.
7、施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
1 1 0 令 1 1 , 2 1 0 , 3 2 1 . 1 1 1 1）正交化
1 1 1 1 1 1 1 i , 1 1 ,2 0 , 3 2 . 令 i i 3 2 2 6 1 1 1
(2) 1 2 n a11 a22 ann ;
证明① 当 1 , 2 ,, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2 n
1 2 n
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
4、性质
定理 正交向量组必为线性无关组,但反之则不一定成立. 定理 若向量β与 1 , 2 ,, s 中每个向量都正交，则
β与 1 , 2 ,, s 的任一线性组合也正交.
5、正交基 若正交向量组1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个正交基. 6、标准正交基 若标准正交组 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.
7、施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
1 1 0 令 1 1 , 2 1 0 , 3 2 1 . 1 1 1 1）正交化
1 1 1 1 1 1 1 i , 1 1 ,2 0 , 3 2 . 令 i i 3 2 2 6 1 1 1
(2) 1 2 n a11 a22 ann ;
证明① 当 1 , 2 ,, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2 n
1 2 n
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
线性代数第五章相似矩阵及二次型
1.2正交向量组与施密特正交化方法
b1 ,b2 , ,br1 ,br 是正交向量组．由
b1
,br
b1
,ar
b1 ,ar b1 ,b1
b1
b2 b2
br 1 ,ar br 1 ,br 1
br 1
,ar ,b2
b2
由归纳假设知b1 分别与 b2 ,b3 , ,br 1 正交，故
a1 b1,
a2
b2
b1, a2 b1, b1
b1
,
1.2正交向量组与施密特正交化方法
ar
br
b1 ,ar b1 ,b1
b1
b2 b2
,ar ,b2
b2
br 1 ,ar br 1 ,br 1
br 1 .
于是得 a1 ,a2 , ,ar b1 ,b2 , ,br 与等价．
若再将 b1 ,b2 , ,br 单位化，并记为
a,b a1b1 a2b2 anbn aTb
1.1向量的内积
例2 设向量 1
a
0
,
2
3
3
b
2
1
,
求a,
b
1
解 a,b 13 0 2 2(1) 31 4
3
1
练习设向量
a
1 0
,
b
1 2
,
求
a,
b
2
3
解 a,b 3111 0 (2) 2 (3) 2
1 2 3
6 3
1 1 1
1 0 1
1.2正交向量组与施密特正交化方法
b3
a3
b1, a3 b1, b1
b1
b2 , b2 ,
a3 b2
线性代数课件第五章相似矩阵及二次型-第6节
应用三
在矩阵分解和矩阵求逆中，可以利用相似变换将一 个复杂的问题转化为简单的问题，提高计算效率。
03
二次型
定义与性质
二次型是定义在一组数域上的 一个多项式，其最高次项的次 数为2。
二次型具有对称性，即对于任 意实数x和y，有f(y,x)=f(x,y)。
二次型的系数矩阵是对称矩阵 ，即其转置矩阵等于其本身。
定义法
根据特征值的定义，通过解方程组$Ax = λx$来计算特征值和特征向 量。
谱分解法
将矩阵A表示为若干个特征值的线性组合，即$A = λ1P1 + λ2P2 + ... + λnPn$，其中Pn是对应的特征向量组成的矩阵，λn是特征值。 通过求解这个方程组可以得到特征值和特征向量。
特征值与特征向量的应用
答案
01
02
03
04
1. $A^2 = begin{bmatrix} 5 & 0 0 & 5 end{bmatrix}$
2. $B^3 = begin{bmatrix} 2 & -2 -1 & 1 end{bmatrix}$
3. $C^2 = begin{bmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{bmatrix}$，
05
矩阵对角化
矩阵对角化的定义与性质
定义：如果存在可逆矩阵$P$，使得 $P^{-1}AP$为对角矩阵，则称矩阵$A$ 可对角化。
可对角化的矩阵$A$的行列式值等于其 对角矩阵的行列式值。
可对角化的矩阵$A$的秩等于其对角矩 阵的秩。
性质
可对角化的矩阵$A$的特征值都在对角 线上。
矩阵对角化的判定
在求解线性方程组时，如果系数矩阵可对角化，可以利用对角化方法将方程组化为易于求解的形式。
在矩阵分解和矩阵求逆中，可以利用相似变换将一 个复杂的问题转化为简单的问题，提高计算效率。
03
二次型
定义与性质
二次型是定义在一组数域上的 一个多项式，其最高次项的次 数为2。
二次型具有对称性，即对于任 意实数x和y，有f(y,x)=f(x,y)。
二次型的系数矩阵是对称矩阵 ，即其转置矩阵等于其本身。
定义法
根据特征值的定义，通过解方程组$Ax = λx$来计算特征值和特征向 量。
谱分解法
将矩阵A表示为若干个特征值的线性组合，即$A = λ1P1 + λ2P2 + ... + λnPn$，其中Pn是对应的特征向量组成的矩阵，λn是特征值。 通过求解这个方程组可以得到特征值和特征向量。
特征值与特征向量的应用
答案
01
02
03
04
1. $A^2 = begin{bmatrix} 5 & 0 0 & 5 end{bmatrix}$
2. $B^3 = begin{bmatrix} 2 & -2 -1 & 1 end{bmatrix}$
3. $C^2 = begin{bmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{bmatrix}$，
05
矩阵对角化
矩阵对角化的定义与性质
定义：如果存在可逆矩阵$P$，使得 $P^{-1}AP$为对角矩阵，则称矩阵$A$ 可对角化。
可对角化的矩阵$A$的行列式值等于其 对角矩阵的行列式值。
可对角化的矩阵$A$的秩等于其对角矩 阵的秩。
性质
可对角化的矩阵$A$的特征值都在对角 线上。
矩阵对角化的判定
在求解线性方程组时，如果系数矩阵可对角化，可以利用对角化方法将方程组化为易于求解的形式。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化.知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂第六章二次型知识点54：二次型及其矩阵表示知识点55：矩阵的合同知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系知识点57：二次型的标准形知识点58：用正交变换化二次型为标准形知识点59：用配方法化二次型为标准形知识点60：正定二次型的概念及判断线性代数知识点总结篇2行列式一、行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
线代第五章(2)
二. 相似矩阵的定义及性质
定义: 阶矩阵， 定义 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得
P −1 AP = B
相似矩阵， 则称矩阵 B 是矩阵A 的相似矩阵， 相似， 或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A ∼ B 进行相似变换 相似变换， 对 A 进行运算 P －1 AP 称为对 A 进行相似变换， 相似变换矩阵。 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。 注：矩阵相似是一种等价关系 （1）反身性： A ∼ A. ）反身性： （2）对称性：若 A ∼ B 则 B ∼ A. ）对称性： （3）传递性：若 A ∼ B , B ∼ C , 则 A ∼ C . ）传递性：
可以对角化。 ∴ A 可以对角化。
当 λ1 = −1 时， 齐次线性方程组为
(A+ E)x = 0
5 − 5 1 −1 系数矩阵 ( A + E ) = → 2 −2 0 0
x1 = x2
1 得基础解系: 令 x2 = 1 得基础解系 p1 = 1
= − ( λ + 1) = 0
∴ λ1 = λ2 = λ3 = −1.
−1 得基础解系 ξ = −1 , 1
不能化为对角矩阵. 所以 A不能化为对角矩阵
9
4 6 0 −3 − 5 0 . 例2：设 A = 能否对角化？ 问 A 能否对角化？ −3 − 6 1 若能对角化， 为对角阵。 若能对角化，求出可逆矩阵 P使得 P −1 AP 为对角阵。 4−λ
11
−1 x1 = − x3 1 . 得基础解系 p3 = x2 = x3 1 −2 0 −1 ∵ 1 0 1 ≠ 0 ∴ p1 , p2 , p3 线性无关， 线性无关，
定义: 阶矩阵， 定义 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得
P −1 AP = B
相似矩阵， 则称矩阵 B 是矩阵A 的相似矩阵， 相似， 或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A ∼ B 进行相似变换 相似变换， 对 A 进行运算 P －1 AP 称为对 A 进行相似变换， 相似变换矩阵。 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。 注：矩阵相似是一种等价关系 （1）反身性： A ∼ A. ）反身性： （2）对称性：若 A ∼ B 则 B ∼ A. ）对称性： （3）传递性：若 A ∼ B , B ∼ C , 则 A ∼ C . ）传递性：
可以对角化。 ∴ A 可以对角化。
当 λ1 = −1 时， 齐次线性方程组为
(A+ E)x = 0
5 − 5 1 −1 系数矩阵 ( A + E ) = → 2 −2 0 0
x1 = x2
1 得基础解系: 令 x2 = 1 得基础解系 p1 = 1
= − ( λ + 1) = 0
∴ λ1 = λ2 = λ3 = −1.
−1 得基础解系 ξ = −1 , 1
不能化为对角矩阵. 所以 A不能化为对角矩阵
9
4 6 0 −3 − 5 0 . 例2：设 A = 能否对角化？ 问 A 能否对角化？ −3 − 6 1 若能对角化， 为对角阵。 若能对角化，求出可逆矩阵 P使得 P −1 AP 为对角阵。 4−λ
11
−1 x1 = − x3 1 . 得基础解系 p3 = x2 = x3 1 −2 0 −1 ∵ 1 0 1 ≠ 0 ∴ p1 , p2 , p3 线性无关， 线性无关，
线性代数 第五章 相似矩阵及二次型
1 2
也是 R4 的一个规范正交基．
1 1 1 1
e1
0 0
,
e2
1 0
,
e3
1 1
,
e4
1
1
0
0
0
1
是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
§1 向量的内积、长度及正交性
设 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一
个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当[xl x≠,0y（] 零(l向x量)T ）y 时l，xT[xy, x]l>( x0T．y) l[x, y] 施瓦兹（Schwarz）不等式 [ x y, z] ( x y)T z[x, (yx]2T ≤[yxT, )x]z[y,(yx]T．z) ( yT z) [ x, z] [ y, z]
y
x
§1 向量的内积、长度及正交性
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．
定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
[x, y] 1≠ 0 且 y ≠ 0 时，把
arccos [ x, y]
正交相似变换化简
正交相似变换化简正交相似变换是线性代数中的重要概念。
在几何学中，正交相似变换是指在保持向量长度和向量之间夹角的情况下，对向量进行线性变换。
简单来说，正交相似变换可以理解为旋转和镜像等几何变换的组合。
在数学中，对于一个n维向量空间，一个正交相似变换可以通过一个正交矩阵来表示。
正交矩阵是一个满足AA^T = I的方阵，其中A^T 表示矩阵A的转置。
这意味着对于一个正交矩阵A，它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即A^(-1) = A^T。
正交相似变换的一个重要性质是它保持向量的长度不变。
这可以通过正交矩阵的定义来证明。
设v为一个n维向量，A为一个n×n的正交矩阵，那么有：||Av|| = (Av)^T(Av) = v^TA^TAv = v^Tv = ||v||其中||v||表示向量v的长度。
由此可见，正交相似变换保持向量长度不变。
另一个重要的性质是正交相似变换保持向量之间的夹角。
设v1和v2为两个n维向量，A为一个n×n的正交矩阵，那么有：(v1, v2) = (Av1, Av2)其中(v1, v2)表示向量v1和v2之间的夹角。
这可以通过向量内积的定义来证明。
由于正交矩阵的转置等于它的逆矩阵，我们有：(Av1)^T(Av2) = v1^TA^TAv2 = v1^Tv2 = (v1, v2)因此，正交相似变换保持向量之间的夹角。
通过正交相似变换，我们可以将复杂的线性变换简化为旋转和镜像等简单的几何变换。
这在计算机图形学、物理学和工程学等领域中得到广泛应用。
通过研究和利用正交相似变换的性质，我们可以更好地理解向量空间的结构和性质，并在实际问题中应用这些知识。
线性代数第五章 相似矩阵
l1 (k 1 1 ) X 1 l2 (k 1 2 ) X 2 L lk (k 1 k ) X k 0 l1 (k 1 1 ) l2 (k 1 2 ) L lk (k 1 k ) 0 1 ,L , k 1是互不相等的k+1个特征值，则
AX1 1 X1
, AX n 1 X 1 , 2 X 2 , L , n X n
AX 2 2 X 2
L
AX n n X n
由于P X 1 , X 2 ,L , X n 是可逆矩阵， X 1 , X 2 ,L , X n 都不是零向量，它们线性无关。所以， A有n个线性无关的特征向量。证毕
所以kX 2 (k 0)是对应于2 3 1的全部特征向量.
求特征值和特征向量的步骤
(1) 解特征方程 E - A 0, 求得特征值1，2， ，n L (2) 对每一个i，求解方程组
(i E - A) X = 0 的基础解系
基础解系为X i1 , X i 2 ,L , X iri , 则k1 X i1 k2 X i 2 L kri X iri 为A 的属于 特征值 i 的全部特征向量
当1 2时, 解方程(2 E A) X 0
3 1 0 1 行变换 2 E A 4 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0
0 0
0
x1 0 x2 0 x c 3
得基础解系:
0 X1 0 , 1
当s 1时，X1 0， 结论成立；
假设s k时结论成立； 当s k 1时， k+1个数l1 , L , lk , lk 1满足 设有
l1 X 1 l2 X 2 L lk X k lk 1 X k 1 0
AX1 1 X1
, AX n 1 X 1 , 2 X 2 , L , n X n
AX 2 2 X 2
L
AX n n X n
由于P X 1 , X 2 ,L , X n 是可逆矩阵， X 1 , X 2 ,L , X n 都不是零向量，它们线性无关。所以， A有n个线性无关的特征向量。证毕
所以kX 2 (k 0)是对应于2 3 1的全部特征向量.
求特征值和特征向量的步骤
(1) 解特征方程 E - A 0, 求得特征值1，2， ，n L (2) 对每一个i，求解方程组
(i E - A) X = 0 的基础解系
基础解系为X i1 , X i 2 ,L , X iri , 则k1 X i1 k2 X i 2 L kri X iri 为A 的属于 特征值 i 的全部特征向量
当1 2时, 解方程(2 E A) X 0
3 1 0 1 行变换 2 E A 4 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0
0 0
0
x1 0 x2 0 x c 3
得基础解系:
0 X1 0 , 1
当s 1时，X1 0， 结论成立；
假设s k时结论成立； 当s k 1时， k+1个数l1 , L , lk , lk 1满足 设有
l1 X 1 l2 X 2 L lk X k lk 1 X k 1 0
《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答
故， β 3 = ( −
1 3
1 3
1 3
1) T ⇒ γ 3 =
β3 3 = (− 6 β3
3 6
3 3
3 T ) 2
⎛ 3 2 4⎞ ⎜ ⎟ 例 5.3 计算 3 阶矩阵 A＝ 2 0 2 的全部特征值和特征向量. ⎜ ⎟ ⎜ 4 2 3⎟ ⎝ ⎠
n n
f ( x) = xT Ax ，其中 A T = A .
6．熟悉矩阵 A 合同（或相合）于 B 的定义，理解合同关系是等价关系. 7．熟练掌握化二次型 xT Ax 为平方和（标准形）或求实对称矩阵 A 的相合标准形的 3 种方法：正交变换法；配方法；和同型初等行、列变换法. 8．了解惯性定理，会求矩阵 A 的正、负惯性指数和符号差，会求二次型的规范形. 9．熟练掌握正定二次型（正定矩阵）的定义和判别方法. 10．熟悉实对称矩阵 A 正定（二次型正定）的各种等价命题（正定的充要条件）. 11．理解 A 正定的必要条件： a ii > 0( i = 1, 2, L , n ); det( A ) > 0 . 12． 会利用正交变换化二次型为标准型和极坐标平移方法判别一般二次曲线和曲面的类 型.
故 A 是正交矩阵. 例 5.2 已知向量 α 1 = (1,1, 0, 0 ) , α 2 = (1, 01, 0 ) , α 3 = ( − 1, 0, 0,1) 是线性无关向
T T T
量组，求与之等价的正交单位向量组. 解法一 先正交化，再单位化 (1) 取 β 1 =
α1
(2) 令 β 2 = k β 1 + α 2 ，使得 β2 与 β 1 正交
T −1 ∗
5.3 例题分析
例 5.1 设 a 是 n 阶列向量， E 是 n 阶单位矩阵，证明 A = E −
线性代数第5章课件
内积是向量的一种运算，用矩阵的记号表示，当 x与 y 都是列向量时，有
[x，y] = x' y
例 计算[x, y],其中x, y如下 : (1)x = (0,1,5,-2), y = (-2,0,-1,3); (2)x = (-2,1,0,3), y = (3,-6,8,4),
解 (1) [ x, y] = 0 • (-2) 1• 0 5• (-1) (-2) • 3 = -11
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
定义2 令 x = [x, x] = x12 x22 xn2
称为 n 维向量 x 的长度（或范数）
x
若向当量xx
=10时,则, 称xxx为是单单位位向量向.量.
向量的长度具有下述性质：
(i)非负性:当x 0时，x 0；当x = 0时，x ＝0；
(ii)齐次性: x = x ；
(iii)三角不等式 : x y x y ；
上述从线性无关向量组a1 , …,ar 导出 1, 2 ,K , r 的 过程称为施密特正交化过程。它不仅满足1, 2 ,K , r 与a1 , …,ar 等价，还满足：对任何k ( 1≤ k ≤r ) ,向量组 1, 2 ,K , k 与a1 , …,ak 等价。
线性代数第五章(第一节内积)
容易验证 b1 , … , br 两两正交, 且 b1 , … , br 与 a1 , …, ar 等价. 然后只要把它们单位化, 即取
1 1 1 1 b1 , 2 b2 , , r br , b1 b2 br
就得 V 的一个正交规范基. 上述从线性无关向量组 a1 , … , ar 导出正交
解之得
1 2 a4 . 3 14
五、正交规范基
1. 定义5 设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V ( V Rn )
的一个基, 如果 a1 , a2 , … , ar 两两正交, 则称 a1, a2 , …, ar 是 V 的一个正交基.
定义 6 设 n 维向量 ε1 , ε2 , … , εr 是向量空间V
( VRn ) 的一个基, 如果 ε1 , … , εr 两两正交, 且都是 单位向量, 则称 ε1, …, εr 是 V 的一个正交规范基.
2. 用正交规范基表示向量
若 ε1 , ε2 , … , εr 是 V 的一个正交规范基, 那 么 V 中任一向量 a 应能由 ε1 , ε2 , … , εr 线 性 表 示, 设表示式为 a = k1ε1 + k2 ε2 + … + krεr . 分别用 εi 与α做内积 得 < a, εi > = <k1ε1 + k2 ε2 + … + krεr , εi > =ki<εi , εi >=ki, 即
解 令
a1T 1 T A a2 1 aT 5 3
2 1 4
1 1 0 , 1 0 3
则 a4 应满足齐次线性方程 Ax = 0, 即
1 1 1 1 b1 , 2 b2 , , r br , b1 b2 br
就得 V 的一个正交规范基. 上述从线性无关向量组 a1 , … , ar 导出正交
解之得
1 2 a4 . 3 14
五、正交规范基
1. 定义5 设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V ( V Rn )
的一个基, 如果 a1 , a2 , … , ar 两两正交, 则称 a1, a2 , …, ar 是 V 的一个正交基.
定义 6 设 n 维向量 ε1 , ε2 , … , εr 是向量空间V
( VRn ) 的一个基, 如果 ε1 , … , εr 两两正交, 且都是 单位向量, 则称 ε1, …, εr 是 V 的一个正交规范基.
2. 用正交规范基表示向量
若 ε1 , ε2 , … , εr 是 V 的一个正交规范基, 那 么 V 中任一向量 a 应能由 ε1 , ε2 , … , εr 线 性 表 示, 设表示式为 a = k1ε1 + k2 ε2 + … + krεr . 分别用 εi 与α做内积 得 < a, εi > = <k1ε1 + k2 ε2 + … + krεr , εi > =ki<εi , εi >=ki, 即
解 令
a1T 1 T A a2 1 aT 5 3
2 1 4
1 1 0 , 1 0 3
则 a4 应满足齐次线性方程 Ax = 0, 即
线性代数第5章
（1）λ0 是 A 的一个特征值 ⇔ λ0 是 A 的特征方程 λ I − A =0 的一个根，
（2）ξ 是 A 的属于特征值 λ0 的特征向量 ⇔ ξ 是 齐次线性方程组 (λ0I − A)X = 0 的一个非零解.
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
如何求矩阵 A 属于特征值 λi 的全部特征向量？ (λi E − A)X = 0
先求出齐次线性方程组 (λi E − A)X = 0 的一个基础 解系，不妨设为η1,η2 ,,ηn−ri，其= 中 ri r(λi E − A). 所以 A的属于特征值 λi 的全部特征向量可表示为
X = k1η1 + k2η2 + + η k ， n−ri n−ri
其中 k1, k2 ,, kn−ri 为任意一组不全为零的常数. 特征子空间Vλ（i 包含零向量）---解空间
所以 A 的特征值为 λ1 = −7，λ2 = λ3 = 2 (二重根).
(2) 对于每个不同的特征值，求特征向量.
对于 λ1 =−7，解齐次线性方程组 (−7E − A)X =0
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
−8 2 −2 −2 −4 −5
(−7E − A=)
A
λi
2
−
λi
−
1 即为
( A* )2
−
A
−
E
的特征值，
即 − 2，2，4.
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
例 若n阶矩阵A满足A2 = 4A,证明：矩阵A的 特征值只能是0或者4.
第二节 相似矩阵
线性代数
第五章 相似矩阵和矩阵的对角化
（2）ξ 是 A 的属于特征值 λ0 的特征向量 ⇔ ξ 是 齐次线性方程组 (λ0I − A)X = 0 的一个非零解.
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
如何求矩阵 A 属于特征值 λi 的全部特征向量？ (λi E − A)X = 0
先求出齐次线性方程组 (λi E − A)X = 0 的一个基础 解系，不妨设为η1,η2 ,,ηn−ri，其= 中 ri r(λi E − A). 所以 A的属于特征值 λi 的全部特征向量可表示为
X = k1η1 + k2η2 + + η k ， n−ri n−ri
其中 k1, k2 ,, kn−ri 为任意一组不全为零的常数. 特征子空间Vλ（i 包含零向量）---解空间
所以 A 的特征值为 λ1 = −7，λ2 = λ3 = 2 (二重根).
(2) 对于每个不同的特征值，求特征向量.
对于 λ1 =−7，解齐次线性方程组 (−7E − A)X =0
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
−8 2 −2 −2 −4 −5
(−7E − A=)
A
λi
2
−
λi
−
1 即为
( A* )2
−
A
−
E
的特征值，
即 − 2，2，4.
线性代数 第五章 相似矩阵和矩阵的对角化 第1节 特征值和特征向量
例 若n阶矩阵A满足A2 = 4A,证明：矩阵A的 特征值只能是0或者4.
第二节 相似矩阵
线性代数
第五章 相似矩阵和矩阵的对角化
线性代数第05章 相似矩阵
1
0
0
1
0
1 0 0 0 0 0
得同解方程组
x1 x2
0 0
故得通解
x3 x3
x1 0
x2
c2
0
x3 1
对应于特征值 3 2 的全部特征向量为
0
c2 2
0
(c2
0)
1
(c2 R)
5.1.2 特征值的性质
n 性质1 若 阶方阵 A (ai j ) 的全部特征值为 1, 2, , n （ k 重特征值算作 k 个特征值）则：
5
2
0．
7
5.2.2相似矩阵的性质
性质1 A A（; 因为 A E1AE)
性质2 若 A B, 则 B A;
性质3 若A B, B C, 则 A C;
性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同；
(1)1 2 n a11 a22 ann ,
(2)12 n A ;
性质2 设 是可逆方阵A 的一个特征值，x 为对应的特征
向量, 且 0 则
1
是 A1
的一个特征值，x 为对应
特征向量;
性质3 设 是方阵 A 的一个特征值，x 为对应的特征
n 向量, 是一个正整数, 则 n 是 An 的一个特征值，
1 1 1 1
A
3E
1
1
0
0
得同解方程组 一基础解系为
x1 x2
x2 x2
通解为
x1 x2
c2
1
1
2
1
1
(c2 R)
所以对应于 1 1 的全部特征向量为
c22 (c2 0)
1 1 0
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线性代数（慕课版）
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第六讲 实对称矩阵及其对角化(2)
主讲教师 |
本讲内容
01 实对称矩阵的特征值与特征向量 02 实对称矩阵的正交相似对角化(2)
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
性质5.6
(1) 实对称矩阵A 的特征值一定为实数；
(2) 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；
1 0 1 0 0 1 1 0 1
0
0
1
1 0 0
1 3
1 3
1
3
0 0
1 0
1 3
0 1
1 1
1
0
2
0
1 0
1 1
0 1
3
1 1
3
1 2
3
0 0
1 0
0 1
1 3
1 3
2 3 1 3
1 3
2
3
10
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
设3 阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3, 与特征值6 对应的特征向量为
1 0 0
1 1 1
(2) P1AP 0 2 0，其中P 1 2 0
0 0 3
1 1 1
1 0 0 矩阵A P 0 2 0 P1
0 0 3
1/ 3 1/ 3 1/ 3
1 0 0
13 2 5
P 1
1/
6
1/ 3 1/ 6
可见 A P 0
2
0
P 1
1 6
2
10
2
1/ 2 0 1/ 2
1 1
即
x1
x2
x3
0，得基础解系为
p2
1
,
p3
0
，
0
1
1 1 1
6
4 1 1
令P p1, p2, p3 1 1
0
，则P 1 AP
3
.
故A
1
4
1 .
1 0 1
3
1 1 4
9
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
设3 阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3, 与特征值6 对应的特征向量为
(3) 设A是n 阶实对称矩阵， 是A 的r 重特征值,则对应 恰有r 个线性无关的特征向量.
定理5.4 设A 为n 阶实对称矩阵，则必存在n 阶正交矩阵P，使得
1
P1AP
2
，其中1，2，
，n
为A
的n
个特征值.
n
3
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
3 0 0 例1 设A 0 1 2，求一个正交矩阵P，使P1AP .
因为对于实对称矩阵, 属于不同特征值的特征向量相互正交,
所以1T3 0
和
T
23
0,
即x1, x2 , x3是齐次线性方程组
x1x1 2
x2 x2
x3 x3
0 0
的非零解.
1
1
1 2
1 1
1 0
1 3
1
0
1 0
1 1
1
0
1 0
0 1
1
0
同解方程组
x1 x2
x3 0
7
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
3 0 0
设A 0 1 2，求一个正交矩阵P，使P1AP . 0 2 1
1
0
1
0
当1
2
3，基础解系 1
0 , 0
2
1，单位化得p2 1
0，p3 0
1 2
；
1
当3 1时，解方程组( A E) X 0，
4 0 0 1 0 0
0
2
0
A E 0 0
2 2
2 0 2 0
设三阶实对称矩阵A的特征值是1, 2, 3 ；矩阵A 的属于特征值1, 2 的特征向量分别是
1 (1, 1,1)T ,2 (1, 2, 1)T .(1) 求A 的属于特征值3 的特征向量; (2) 求矩阵A.
同解方程组
x1 x2
x3 0
得其基础解系为(1, 0,1)T .
因此A 的属于特征值3 的特征向量为3 k(1, 0,1)T (k为任意非零常数).
0 2 1
3 0 0
解 | A E | 0 1 2 32 1，
0 2 1
所以1 2 3，3 1. 当1 2 3，解方程组( A 3E) X 0，
0 0 0 0 1 1
1
0
A 3E 0 2
2
0
0
0
得基础解系 1 0 , 2 1；
0 2 2 0 0 0
0
1
4
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
1 0
1，得基础解系 3
0
1， 1
单位化得
p3
1 2 1
;
2 5
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
3 0 0
设A 0
1
2
，求一个正交矩阵P，使P
1
AP
.
0 2 1
0
1
令P p1, p2, p3
1 2
0
1 2
0
0
1 2
，
1
2
1
则P 1AP
=
PT
AP
=
3
3
6
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
p1 (1,1,1)T ，求A.
1 1 1
6
令P p1, p2, p3 1 1
0
，则P
1
AP
3
.
1 0 1
3
则 A PP1，
1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 0 1
2
于是ห้องสมุดไป่ตู้
=
2
0
12
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
1 1 1 1
例5
设A为三阶实对称矩阵，A
p1 (1,1,1)T ，求A.
1 1 1
6
令P p1, p2, p3 1 1
0
，则P
1
AP
3
.
1 0 1
3
1 1 1
1 1 1
3
3
3
P 1
1 3
2 3
1 3
1
1
2
3 3 3
1
1
1 6
0
0
3
3
3
4
1
1
故A PP1 1 1
0
0
3
0
1 3
2 3
1 3
1
4
1 .
1 0
1 0
0
3
1
1
2
1
1
4
3 3 3
11
实对称矩阵的正交相似对角化(2) 例4 设A 是3 阶实对称矩阵，且A2 2A 0，若A 的秩为2，则A 相似于 ______ .
解 由A2 2A 0得 2 2 0 ( 2) 0，故A的特征值为0 或 2.
又A 为实对称矩阵，所以A 可相似于对角阵，且r( A) r() 2，
例2 设三阶实对称矩阵A 的特征值是1, 2, 3 ；矩阵A 的属于特征值1, 2 的特征
向量分别是1 (1, 1,1)T ,2 (1, 2, 1)T .
(1) 求A 的属于特征值3 的特征向量; (2) 求矩阵A.
解 (1) 设A 的属于特征值3 的特征向量为 3 (x1, x2, x3)T
0 0 3
5 2 13
8
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
例3 设3 阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3, 与特征值6 对应的特征向量为 p1 (1,1,1)T ，求A.
解 设 x1, x2 , x3 T 为A 的属于特征值3 的特征向量，
由于A为实对称矩阵，所以 x1, x2 , x3 T 与p1 (1,1,1)T 正交，
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第六讲 实对称矩阵及其对角化(2)
主讲教师 |
本讲内容
01 实对称矩阵的特征值与特征向量 02 实对称矩阵的正交相似对角化(2)
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
性质5.6
(1) 实对称矩阵A 的特征值一定为实数；
(2) 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；
1 0 1 0 0 1 1 0 1
0
0
1
1 0 0
1 3
1 3
1
3
0 0
1 0
1 3
0 1
1 1
1
0
2
0
1 0
1 1
0 1
3
1 1
3
1 2
3
0 0
1 0
0 1
1 3
1 3
2 3 1 3
1 3
2
3
10
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
设3 阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3, 与特征值6 对应的特征向量为
1 0 0
1 1 1
(2) P1AP 0 2 0，其中P 1 2 0
0 0 3
1 1 1
1 0 0 矩阵A P 0 2 0 P1
0 0 3
1/ 3 1/ 3 1/ 3
1 0 0
13 2 5
P 1
1/
6
1/ 3 1/ 6
可见 A P 0
2
0
P 1
1 6
2
10
2
1/ 2 0 1/ 2
1 1
即
x1
x2
x3
0，得基础解系为
p2
1
,
p3
0
，
0
1
1 1 1
6
4 1 1
令P p1, p2, p3 1 1
0
，则P 1 AP
3
.
故A
1
4
1 .
1 0 1
3
1 1 4
9
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
设3 阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3, 与特征值6 对应的特征向量为
(3) 设A是n 阶实对称矩阵， 是A 的r 重特征值,则对应 恰有r 个线性无关的特征向量.
定理5.4 设A 为n 阶实对称矩阵，则必存在n 阶正交矩阵P，使得
1
P1AP
2
，其中1，2，
，n
为A
的n
个特征值.
n
3
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
3 0 0 例1 设A 0 1 2，求一个正交矩阵P，使P1AP .
因为对于实对称矩阵, 属于不同特征值的特征向量相互正交,
所以1T3 0
和
T
23
0,
即x1, x2 , x3是齐次线性方程组
x1x1 2
x2 x2
x3 x3
0 0
的非零解.
1
1
1 2
1 1
1 0
1 3
1
0
1 0
1 1
1
0
1 0
0 1
1
0
同解方程组
x1 x2
x3 0
7
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
3 0 0
设A 0 1 2，求一个正交矩阵P，使P1AP . 0 2 1
1
0
1
0
当1
2
3，基础解系 1
0 , 0
2
1，单位化得p2 1
0，p3 0
1 2
；
1
当3 1时，解方程组( A E) X 0，
4 0 0 1 0 0
0
2
0
A E 0 0
2 2
2 0 2 0
设三阶实对称矩阵A的特征值是1, 2, 3 ；矩阵A 的属于特征值1, 2 的特征向量分别是
1 (1, 1,1)T ,2 (1, 2, 1)T .(1) 求A 的属于特征值3 的特征向量; (2) 求矩阵A.
同解方程组
x1 x2
x3 0
得其基础解系为(1, 0,1)T .
因此A 的属于特征值3 的特征向量为3 k(1, 0,1)T (k为任意非零常数).
0 2 1
3 0 0
解 | A E | 0 1 2 32 1，
0 2 1
所以1 2 3，3 1. 当1 2 3，解方程组( A 3E) X 0，
0 0 0 0 1 1
1
0
A 3E 0 2
2
0
0
0
得基础解系 1 0 , 2 1；
0 2 2 0 0 0
0
1
4
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
1 0
1，得基础解系 3
0
1， 1
单位化得
p3
1 2 1
;
2 5
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
3 0 0
设A 0
1
2
，求一个正交矩阵P，使P
1
AP
.
0 2 1
0
1
令P p1, p2, p3
1 2
0
1 2
0
0
1 2
，
1
2
1
则P 1AP
=
PT
AP
=
3
3
6
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
p1 (1,1,1)T ，求A.
1 1 1
6
令P p1, p2, p3 1 1
0
，则P
1
AP
3
.
1 0 1
3
则 A PP1，
1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 0 1
2
于是ห้องสมุดไป่ตู้
=
2
0
12
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
1 1 1 1
例5
设A为三阶实对称矩阵，A
p1 (1,1,1)T ，求A.
1 1 1
6
令P p1, p2, p3 1 1
0
，则P
1
AP
3
.
1 0 1
3
1 1 1
1 1 1
3
3
3
P 1
1 3
2 3
1 3
1
1
2
3 3 3
1
1
1 6
0
0
3
3
3
4
1
1
故A PP1 1 1
0
0
3
0
1 3
2 3
1 3
1
4
1 .
1 0
1 0
0
3
1
1
2
1
1
4
3 3 3
11
实对称矩阵的正交相似对角化(2) 例4 设A 是3 阶实对称矩阵，且A2 2A 0，若A 的秩为2，则A 相似于 ______ .
解 由A2 2A 0得 2 2 0 ( 2) 0，故A的特征值为0 或 2.
又A 为实对称矩阵，所以A 可相似于对角阵，且r( A) r() 2，
例2 设三阶实对称矩阵A 的特征值是1, 2, 3 ；矩阵A 的属于特征值1, 2 的特征
向量分别是1 (1, 1,1)T ,2 (1, 2, 1)T .
(1) 求A 的属于特征值3 的特征向量; (2) 求矩阵A.
解 (1) 设A 的属于特征值3 的特征向量为 3 (x1, x2, x3)T
0 0 3
5 2 13
8
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
例3 设3 阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3, 与特征值6 对应的特征向量为 p1 (1,1,1)T ，求A.
解 设 x1, x2 , x3 T 为A 的属于特征值3 的特征向量，
由于A为实对称矩阵，所以 x1, x2 , x3 T 与p1 (1,1,1)T 正交，