高考数学考点归纳之 解析几何常见突破口

高考数学考点归纳之 解析几何常见突破口

解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，即解析几何问题中的条件转化是如何实现的，是突破解析几何问题难点的关键所在．为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角，分析解析几何的“双管齐下”，突破思维难点．

考点一 利用向量转化几何条件

[典例] 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

[解题观摩] 假设存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点．

设直线l 的方程为y ＝x ＋b ， 点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

联立?

????

y ＝x ＋b ，

x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，

消去y 并整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42.①

因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.

又y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，

则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0. 由①知，b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1. 当b ＝－4或b ＝1时，

均有Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＝－4b 2－24b ＋36＞0， 即直线l 与圆C 有两个交点．

所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. [关键点拨]

以AB 为直径的圆过原点等价于OA ⊥OB ，而OA ⊥OB 又可以“直译”为x 1x 2＋y 1y 2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．

考点二 角平分线条件的转化

[典例] 已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；

(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，求证：直线l 过定点．

[解题观摩] (1)设动圆圆心为点P (x ，y )，则由勾股定理得x 2＋42＝(x －4)2＋y 2，化简即得圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .

(2)证明：法一：由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．

联立?

????

y ＝kx ＋b ，y 2＝8x ，得k 2x 2＋2(kb －4)x ＋b 2＝0.

由Δ＝4(kb －4)2－4k 2b 2＞0，得kb ＜2. 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2(kb －4)k 2，x 1x 2＝b 2

k

2.

因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以k PB ＋k Q B ＝0， 即k PB ＋k Q B ＝

y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b (x 1＋1)(x 2＋1)＝8(k ＋b )(x 1＋1)(x 2＋1)k 2

＝0， 所以k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以l 的方程为y ＝k (x －1)． 故直线l 恒过定点(1,0)．

法二：设直线PB 的方程为x ＝my －1，它与抛物线C 的另一个交点为Q ′，设点P (x 1，y 1)，Q ′(x 2，y 2)，由条件可得，Q 与Q ′关于x 轴对称，故Q (x 2，－y 2)．

联立?

????

x ＝my －1，

y 2＝8x ，消去x 得y 2－8my ＋8＝0，

其中Δ＝64m 2－32＞0，y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝8. 所以k P Q ＝y 1＋y 2x 1－x 2＝8y 1－y 2，

因而直线P Q 的方程为y －y 1＝

8

y 1－y 2

(x －x 1)．

又y 1y 2＝8，y 21＝8x 1，

将P Q 的方程化简得(y 1－y 2)y ＝8(x －1)， 故直线l 过定点(1,0)．

法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在， 则它一定在x 轴上，

所以设定点坐标为(a,0)，直线P Q 的方程为x ＝my ＋a .

联立?

????

x ＝my ＋a ，y 2＝8x 消去x ，

整理得y 2－8my －8a ＝0，Δ＞0.

设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则?

????

y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8a .

由条件可知k PB ＋k Q B ＝0， 即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2

x 2＋1

＝(my 1＋a )y 2＋(my 2＋a )y 1＋y 1＋y 2

(x 1＋1)(x 2＋1)

＝

2my 1y 2＋(a ＋1)(y 1＋y 2)

(x 1＋1)(x 2＋1)

＝0，

所以－8ma ＋8m ＝0.

由m 的任意性可知a ＝1，所以直线l 恒过定点(1,0)． 法四：设P ????y 2

18，y 1，Q ????y 2

2

8，y 2， 因为x 轴是∠PB Q 的角平分线， 所以k PB ＋k Q B ＝

y 1

y 218＋1＋y 2

y 228＋1＝0， 整理得(y 1＋y 2)????

y 1y 28＋1＝0. 因为直线l 不垂直于x 轴， 所以y 1＋y 2≠0，可得y 1y 2＝－8. 因为k P Q ＝y 1－y 2y 218－y 228

＝8y 1＋y 2，

所以直线P Q 的方程为y －y 1＝8y 1＋y 2?

???x －y 21

8，

即y ＝8

y 1＋y 2(x －1)．

故直线l 恒过定点(1,0)． [关键点拨]

本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大．解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y 1，y 2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式．

考点三 弦长条件的转化

[典例] 如图所示，已知椭圆G ：x 22＋y 2

＝1，与x 轴不重合的直

线l 经过左焦点F 1，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．

(1)若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率．

(2)是否存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

[解题观摩] (1)由题意可知点F 1(－1,0)， 又直线l 的斜率为1， 故直线l 的方程为y ＝x ＋1. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由????

?

y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并整理得3x 2＋4x ＝0， 则x 1＋x 2＝－43，y 1＋y 2＝23，

因此中点M 的坐标为????－23，1

3. 故直线OM 的斜率为13－23

＝－1

2.

(2)假设存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立． 由题意，直线l 不与x 轴重合， 设直线l 的方程为x ＝my －1.

由????

?

x ＝my －1，x 22＋y 2＝1，

消去x 并整理得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 设点A (x 1

，y 1

)，B (x 2

，y 2

)，则???

y 1

＋y 2

＝2m

m 2

＋2，y 1y 2

＝－1

m 2

＋2

，

可得|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝

1＋m 2

????2m m 2＋22＋4m 2＋2＝22(m 2

＋1)m 2＋2

， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝2m 2

m 2＋2－2＝－4m 2＋2，

所以弦AB 的中点M 的坐标为? ????－2

m 2＋2，m m 2＋2，

故直线CD 的方程为y ＝－m

2

x .

联立???

y ＝－m 2

x ，

x

2

2＋y 2

＝1，

消去y 并整理得2x 2＋m 2x 2－4＝0，

解得x 2＝4

m 2＋2

.

由对称性，设C (x 0，y 0)，D (－x 0，－y 0)，则x 20＝4

m 2

＋2， 可得|CD |＝

1＋m 2

4

·|2x 0|＝

(m 2＋4)·

4

m 2＋2

＝2 m 2＋4

m 2＋2

. 因为|AM |2＝|CM ||DM |＝(|OC |－|OM |)(|OD |＋|OM |)，且|OC |＝|OD |， 所以|AM |2＝|OC |2－|OM |2， 故|AB |24＝|CD |24－|OM |2，

即|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，

则8(m 2＋1)2(m 2＋2)2＝4(m 2＋4)m 2＋2－4????4(m 2＋2)2＋m 2(m 2＋2)2，

解得m 2＝2，故m ＝± 2.

所以直线l 的方程为x －2y ＋1＝0或x ＋2y ＋1＝0. [关键点拨]

本题(2)的核心在于转化|AM |2＝|CM |·|DM |中弦长的关系．由|CM |＝|OC |－|OM |，|DM |＝|OD |＋|OM |，又|OC |＝|OD |，得|AM |2＝|OC |2－|OM |2.又|AM |＝12|AB |，|OC |＝1

2

|CD |，因此|AB |2

＝|CD |2－4|OM |2，转化为弦长|AB |，|CD |和|OM |三者之间的数量关系，易计算．

考点四 面积条件的转化

[典例] 设椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于E ，F 两点，求四边形AEBF 的面积的最大值．

[解题观摩] 法一：如图所示，依题意得椭圆的方程为x 24＋y

2

＝1，

直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)． 设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2， 且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝

2

1＋4k 2

.① 根据点到直线的距离公式和①，得点E ，F 到直线AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，

h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)

5(1＋4k 2).

又|AB |＝22＋12＝5， 所以四边形AEBF 的面积为

S ＝12|AB |·(h 1＋h 2)＝1

2·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k

1＋4k 2

＝2

1＋4k

1＋4k 2

＝2

1＋41k ＋4k ≤22，当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号． 因此四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. 法二：依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2

＝1.

直线EF 的方程为y ＝kx (k ＞0)． 设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2. 联立????

?

y ＝kx ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2＝4.

故x 1＝

－2

1＋4k 2，x 2＝2

1＋4k 2，

|EF |＝1＋k 2

·|x 1－x 2|＝41＋k 2

1＋4k 2

.

根据点到直线的距离公式，得点A ，B 到直线EF 的距离分别为d 1＝|2k |1＋k 2＝2k

1＋k 2

，d 2＝

1

1＋k 2

. 因此四边形AEBF 的面积为

S ＝12|EF |·(d 1＋d 2)＝12·41＋k 21＋4k 2·1＋2k 1＋k 2＝2(1＋2k )1＋4k 2

＝2

4k 2＋4k ＋1

1＋4k 2

＝2

1＋4k 1＋4k 2

＝2

1＋41k ＋4k ≤22，当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号． 因此四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. [关键点拨]

如果利用常规方法理解为S 四边形AEBF ＝S △AEF ＋S △BEF ＝1

2|EF |·(d 1＋d 2)(其中d 1，d 2分别表示

点A ，B 到直线EF 的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出EF 的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂．而通过分析，若把四边形AEBF 的面积拆成两个小三角形——△ABE 和△ABF 的面积之和，则更为简单．因为直线AB 的方程及其长度易求出，故只需表示出点E 与点F 到直线AB 的距离即可．

[总结规律·快速转化]

做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种几何条件的转化，以供参考

1．平行四边形条件的转化

2．

3．等腰三角形条件的转化

4．菱形条件的转化

5．圆条件的转化

6．角条件的转化

[课时跟踪检测]

1．已知椭圆C 经过点????1，32，且与椭圆E ：x

2

2

＋y 2＝1有相同的焦点． (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：以线段P Q 为直径的圆是否经过一定点M ？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)椭圆E 的焦点为(±1,0)，

设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，

则???

1a 2

＋9

4

b 2＝1，a 2

－b 2

＝1，

解得?

????

a 2＝4，

b 2＝3，

所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

3＝1.

(2)联立????

?

y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1消去y ，

得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0， 即m 2＝3＋4k 2. 设P (x P ，y P )，

则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ，y P ＝kx P

＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3

m ， 即P ????－4k m ，3

m .假设存在定点M (s ，t )满足题意， 因为Q (4,4k ＋m )，

则MP ＝????－4k m

－s ，3

m －t ，M Q ＝(4－s,4k ＋m －t )， 所以MP ·M Q ＝????－4k m －s (4－s )＋????3m －t (4k ＋m －t )＝－4k

m (1－s )－????3m ＋m ＋4k t ＋(s 2－4s ＋3＋t 2)＝0恒成立，

故????

?

1－s ＝0，t ＝0，s 2－4s ＋3＋t 2＝0，

解得?????

s ＝1，

t ＝0.

所以存在点M (1,0)符合题意．

2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为22，离心率为6

3，点A (3,0)，P 是C

上的动点，F 为C 的左焦点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若点P 在y 轴的右侧，以AP 为底边的等腰△ABP 的顶点B 在y 轴上，求四边形FP AB 面积的最小值．

解：(1)依题意得?????

2b ＝22，

c a ＝6

3，

a 2

＝b 2

＋c

2

解得???

a ＝6，

b ＝2

∴椭圆C 的方程是x 26＋y 2

2

＝1.

(2)设P (x 0，y 0)(－2＜y 0＜2，y 0≠0，x 0＞0)， 线段AP 的中点为M ， 则AP 的中点M ??

??x 0＋32，y 02，直线AP 的斜率为

y 0

x 0－3

， 由△ABP 是以AP 为底边的等腰三角形，可得BM ⊥AP ， ∴直线AP 的垂直平分线方程为 y －y 0

2＝－x 0－3y 0???

?x －

x 0＋32， 令x ＝0得B ????0，y 20＋x 2

0－92y 0， ∵x 206＋y 202＝1，∴B ?

???0，－2y 20－32y 0，

∵F (－2,0)，

∴四边形FP AB 的面积S ＝52????|y 0|＋

????－2y 20－32y 0 ＝5

2?

???2|y 0|＋32|y 0|≥53， 当且仅当2|y 0|＝

32|y 0|，即y 0＝±3

2

时等号成立， 四边形FP AB 面积的最小值为5 3.

3．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为3

2，过点F 1且

垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围．

解：(1)将x ＝－c 代入椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2

a

.

由题意知2b 2a ＝1，故a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，则b a ＝1

2

，即a ＝2b ，所以a ＝2，b ＝1，

故椭圆C 的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)由PM 是∠F 1PF 2的角平分线， 可得|PF 1||F 1M |＝|PF 2||F 2M |，即|PF 1||PF 2|＝|F 1M ||F 2M |.

设点P (x 0，y 0)(－2＜x 0＜2)，

又点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，M (m,0)， 则|PF 1|＝ (－3－x 0)2＋y 20＝2＋3

2x 0

， |PF 2|＝

(3－x 0)2＋y 20＝2－

32x 0

. 又|F 1M |＝|m ＋3|，|F 2M |＝|m －3|，且－3＜m ＜3， 所以|F 1M |＝m ＋3，|F 2M |＝3－m . 所以2＋32x 0

2－32x 0

＝3＋m 3－m

，化简得m ＝3

4x 0，

而－2＜x 0＜2，因此－32＜m ＜3

2.

故实数m 的取值范围为???

?－32，32. 4．(2018·沈阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|

＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．

(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝

2

4

，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值； (3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线P A 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．

解：(1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16.所以椭圆的标准方程为x 225＋y 2

16

＝1.

(2)由???

x 2a 2＋y 2

b 2

＝1，y ＝2

4x ，

得?

???b 2＋1

8a 2x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2

b 2

＋18

a

2，

由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2， 因为F 2A ―→＝(x 1－3，y 1)，F 2B ―→

＝(x 2－3，y 2)， 所以F 2A ―→·F 2B ―→

＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2 ＝???

?1＋1

8x 1x 2＋9＝0. 即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a 2

＝－8，

结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12， 所以离心率e ＝

32

. (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 2

3

＝1，

由题可知A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1

x 0＋x 1

，

所以k 1k 2＝y 20－y 21

x 20－x 21

，

又y 20－y 21x 20－x 21

＝3????1－x 2012－3???

?1－x 2

112x 20－x 2

1

＝－1

4

，

即k 2＝－1

4k 1

，

由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜1

4.

即直线PB 的斜率k 2∈????

18，14.