测绘中级 附合导线测量的内业计算的方法步骤

第三节 导线测量的内业计算

导线测量内业计算的目的就是计算各导线点的平面坐标x 、y 。 计算之前，应先全面检查导线测量外业记录、数据是否齐全，有无记错、算错，成果是否符合精度要求，起算数据是否准确。然后绘制计算略图，将各项数据注在图上的相应位置，如图6-11所示。

一、坐标计算的基本公式

1．坐标正算

根据直线起点的坐标、直线长度及其坐标方位角计算直线终点的坐标，称为坐标正算。如图6-10所示，已知直线AB 起点A 的坐标为（x A ，y A ），AB 边的边长及坐标方位角分别为D AB 和αAB ，需计算直线终点B 的坐标。

直线两端点A 、B 的坐标值之差，称为坐标增量，用Δx AB 、Δy AB

表示。由图6-10可看出坐标增量的计算公式为：

??

?

=-=?=-=?AB AB A B AB AB AB A B AB D y y y D x x x ααsin cos

（6-1）

根据式（6-1）计算坐标增量时，sin 和cos 函数值随着α角所

在象限而有正负之分，因此算得的坐标增量同样具有正、负号。坐

y

图6-10

坐标增量计算

标增量正、负号的规律如表6-5所示。

表6-5 坐标增量正、负号的规律

则B 点坐标的计算公式为：

??

?

+=?+=+=?+=AB AB A AB A B AB AB A AB A B D y y y y D x x x x ααsin cos

（6-2）

例6-1 已知AB 边的边长及坐标方位角为456380m 62.135'''?==AB AB D α，，若A 点的坐标为

m 82.658m 56.435==A A y x ，，试计算终点B 的坐标。

解 根据式（6-2）得

m 62.792456380sin m 62.135m 82.658sin m 68.457456380cos m 62.135m 56.435cos ='''??+=+=='''??+=+=AB AB A B AB AB A B D y y D x x αα

2．坐标反算

根据直线起点和终点的坐标，计算直线的边长和坐标方位角，称为坐标反算。如图6-10所示，已知直线AB 两端点的坐标分别为（x A ，y A ）和（x B ，y B ），则直线边长D AB 和坐标方位角αAB 的计算公式为：

2

2AB AB AB

y x D ?+?= （6-3）

AB AB

AB x y ??=arctan

α （6-4）

应该注意的是坐标方位角的角值范围在0?～360?间，而arctan

函数的角值范围在－90?～＋90?间，两者是不一致的。按式（6-4）计算坐标方位角时，计算出的是象限角，因此，应根据坐标增量Δx 、Δy 的正、负号，按表6-5决定其所在象限，再把象限角换算成相应的坐标方位角。

例6-2 已知A 、B 两点的坐标分别为

m 72.525m 50.304m 29.814m 99.342====B B A A y x y x ，，， 试计算AB 的边长及坐标方位角。 解 计算A 、B 两点的坐标增量

m 57.288m 29.814m 72.525m

49.38m 99.342m 50.304-=-=-=?-=-=-=?A B AB A B AB y y y x x x 根据式（6-3）和式（6-4）得

m 13.291m)57.288(m)49.38(2

222=-+-=?+?=AB

AB AB y x D 9042262m 49.38m

57.288arctan arctan '

''?=--=??=AB AB AB x y α

二、闭合导线的坐标计算

现以图6-11所注的数据为例（该例为图根导线），结合“闭合导线坐标计算表”的使用，说明闭合导线坐标计算的步骤。

1．准备工作

将校核过的外业观测数据及起算数据填入“闭合导线坐标计算表”中，见表6-6，起算数据用单线标明。

2．角度闭合差的计算与调整

（1）计算角度闭合差 如图6-11所示，n 边形闭合导线内角和的理论值为：

??-=∑180)2(th n β

（6-5）

式中 n ——导线边数或转折角数。

由于观测水平角不可避免地含有误差，致使实测的内角之和

∑m β不等于理论值∑th β，两者之差，称为角度闭合差，用f β表示，

1＝500.00m 1＝500.00m

图6-11 闭合导线略图

即

??--=-=∑∑∑180)2(th n f m m ββββ

（6-6）

（2）计算角度闭合差的容许值 角度闭合差的大小反映了水平角观测的质量。各级导线角度闭合差的容许值f βp 见表6-3和表6-4，其中图根导线角度闭合差的容许值f βp 的计算公式为：

n f 06p ''±=β

（6-7）

如果βf ＞p βf ，说明所测水平角不符合要求，应对水平角重新检查或重测。

如果βf ≤p βf ，说明所测水平角符合要求，可对所测水平角进行调整。

（3）计算水平角改正数 如角度闭合差不超过角度闭合差的容许值，则将角度闭合差反符号平均分配到各观测水平角中，也就是每个水平角加相同的改正数v β，v β的计算公式为：

n f v β

β-

=

（6-8）

计算检核：水平角改正数之和应与角度闭合差大小相等符号相反，即

∑-=ββf v

（4）计算改正后的水平角 改正后的水平角βi 改等于所测水平角加上水平角改正数

βββv i i +=改 （6-9）

计算检核：改正后的闭合导线内角之和应为（n －2）×180?，本例为540?。

本例中f β、f βp 的计算见表6-5辅助计算栏，水平角的改正数和改正后的水平角见表6-6第3、4栏。

3．推算各边的坐标方位角

根据起始边的已知坐标方位角及改正后的水平角，按式（4-18）和式（4-19）推算其它各导线边的坐标方位角。

本例观测左角，按式（4-18）推算出导线各边的坐标方位角，填入表6-6的第五栏内。

计算检核：最后推算出起始边坐标方位角，它应与原有的起始边已知坐标方位角相等，否则应重新检查计算。

4．坐标增量的计算及其闭合差的调整

（1）计算坐标增量 根据已推算出的导线各边的坐标方位角和相应边的边长，按式（6-1）计算各边的坐标增量。例如，导线边

1-2的坐标增量为：

m 30.1830042335cos m 60.201cos 121212+='''??==?αD x

m 92.830042335sin m 60.201sin 121212-='''??==?αD y

用同样的方法，计算出其它各边的坐标增量值，填入表6-6的第7、8两栏的相应格内。

（2）计算坐标增量闭合差 如图6-12a 所示，闭合导线，纵、横坐标增量代数和的理论值应为零，即

??

?

=?=?∑∑00th th y x

（6-10）

实际上由于导线边长测量误差和角度闭合差调整后的残余误差，使得实际计算所得的m x ?∑、m y ?∑不等于零，从而产生纵坐标增量闭合差W x 和横坐标增量闭合差W y ，即

??

?

?=?=∑∑m y m x y W x W

y

图6-12 坐标增量闭合差

（6-11）

（3）计算导线全长闭合差W D 和导线全长相对闭合差W K 从图6-12b 可以看出，由于坐标增量闭合差W x 、W y 的存在，使导线不能闭合，1-1′之长度W D 称为导线全长闭合差，并用下式计算

W D =

22y x W W + （6-12）

仅从W D 值的大小还不能说明导线测量的精度，衡量导线测量的精度还应该考虑到导线的总长。将W D 与导线全长∑D 相比，以分子为1的分数表示，称为导线全长相对闭合差W K ，即

D D W D

D W K ∑∑=

=1

（6-13）

以导线全长相对闭合差W K 来衡量导线测量的精度，W K 的分母越大，精度越高。不同等级的导线，其导线全长相对闭合差的容许值W K P 参见表6-3和表6-4，图根导线的W K P 为1/2 000。

如果W K ＞W K P ，说明成果不合格，此时应对导线的内业计算和外业工作进行检查，必要时须重测。

如果W K ≤W K P ，说明测量成果符合精度要求，可以进行调整。 本例中W x 、W y 、W D 及W K 的计算见表6-6辅助计算栏。 （4）调整坐标标增量闭合差 调整的原则是将W x 、W y 反号，

并按与边长成正比的原则，分配到各边对应的纵、横坐标增量中去。以v xi 、v yi 分别表示第i 边的纵、横坐标增量改正数，即

??

???

??

?-=?-=∑∑i y

yi

i x xi

D D W v D D

W v

（6-14）

本例中导线边1-2的坐标增量改正数为：

m

05.0m 60.201m 80.1137m

30.01212

+=?--=-=∑D D W v x x

m

02.0m 60.201m 80.1137m 09.012

12+=?--=-

=∑D D

W v y

y

用同样的方法，计算出其它各导线边的纵、横坐标增量改正数，填入表6-6的第7、8栏坐标增量值相应方格的上方。

计算检核：纵、横坐标增量改正数之和应满足下式

??

?

-=-=∑∑y y x x W v W v

（6-15）

（5）计算改正后的坐标增量 各边坐标增量计算值加上相应的改正数，即得各边的改正后的坐标增量。

?

?

?

+?=?+?=?yi i i xi i i v y y v x x 改改

（6-16）

本例中导线边1-2改正后的坐标增量为：

m 35.183m 05.0m 30.183121212+=++=+?=?x v x x 改

m

90.83m 02.0m 92.83121212-=+-=+?=?y v y y 改

用同样的方法，计算出其它各导线边的改正后坐标增量，填入表6-6的第9、10栏内。

计算检核：改正后纵、横坐标增量之代数和应分别为零。 5．计算各导线点的坐标

根据起始点1的已知坐标和改正后各导线边的坐标增量，按下式依次推算出各导线点的坐标：

??

?

?+=?+=----改改1111i i i

i i i y y y x x x （6-17）

将推算出的各导线点坐标，填入表6-6中的第11、12栏内。最后还应再次推算起始点1的坐标，其值应与原有的已知值相等，以作为计算检核。

表6-6 闭合导线坐标计算表

三、附合导线坐标计算

11 / 16

附合导线的坐标计算与闭合导线的坐标计算基本相同，仅在角度闭合差的计算与坐标增量

闭合差的计算方面稍有差别。

1．角度闭合差的计算与调整

α及观测的各右（1）计算角度闭合差如图6-13所示，根据起始边AB的坐标方位角AB

α'。

角，按式（4-19）推算CD边的坐标方位角CD

12 / 16

13 / 16

B AB B βαα-?+=1801 1112180βαα-?+=B

21223180βαα-?+= 32334180βαα-?+=

C CD

βαα-?+='+180)34

1429.02m

1283.17m

图6-13 附合导线略图

14 / 16

∑-??+='m AB CD βαα1805

写成一般公式为：

∑-??+='R n βαα1800fin

（6-18） 若观测左角，则按下式计算：

∑+??+='L n βαα1800fin

（6-19） 附合导线的角度闭合差f β为：

fin fin ααβ-'

=f （6-20）

（2）调整角度闭合差 当角度闭合差在容许范围内，如果观测的是左角，则将角度闭合差反号平均分配到各左角上；如果观测的是右角，则将角度闭合差同号平均分配到各右角上。

2．坐标增量闭合差的计算

附合导线的坐标增量代数和的理论值应等于终、始两点的已知坐标值之差，即

??

?

-=?-=?∑∑0fin th 0fin th y y y x x x （6-21）

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纵、横坐标增量闭合差为：

??

?

--?=?-?=--?=?-?=∑∑∑∑∑∑)()(0fin th 0fin th y y y y y W x x x x x W y x （6-22）

图6-13所示附合导线坐标计算，见表6-7。

表6-7 附合导线坐标计算表