高考数学千锤百炼系列第34炼 向量的模长问题几何法

第34炼 向量的模长问题——几何法

一、基础知识：

1、向量和差的几何意义：已知向量,a b ，则有：

（1）若,a b 共起点，则利用平行四边形法则求a b +，可得a b +是以,a b 为邻边的平行四边形的对角线

（2）若,a b 首尾相接，则利用三角形法则求出a b +，可得a b +，,a b 围成一个三角形 2、向量数乘的几何意义：对于a λ

（1）共线（平行）特点：a λ与a 为共线向量，其中0λ>时，a λ与a 同向；0λ<时，a λ与a 反向

（2）模长关系：a a λλ=? 3、与向量模长问题相关的定理：

（1）三角形中的相关定理：设ABC 三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ① 正弦定理：

sin sin sin a b c

A B C

==

② 余弦定理：2

2

2

2cos a b c bc A =+-

（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线

特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。 （3）矩形：若四边形ABCD 的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件 4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 二、典型例题：

例1：（2015届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷）已知向量,a b 的夹角为45，且

1,210a a b =-=，则b =（ ）

2 B. 2 C. 22 D. 32思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知

2,,104

AB B AC π

==

=，只需利用余弦定理求出BC 即可。

解：如图可得：b BC =，在ABC 中，有：2

2

2

2cos AC AB BC AB BC B =+- 即：2

10422cos

4

BC BC π

=+-??

2

2260BC BC ?--=解得32BC =或

2BC =-（舍）

所以32b =， 答案：选D

例2：若平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,3a b c ===，则a b c ++等于（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 2或5 思路：首先由,,a b c 两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是,,a b c 同向（如图1，此时夹角均为0），则a b c ++为5 ，另一种情况为两两夹角

23

π

（如图2），以1a b ==为突破口，由平行四边形法则作图得到a b +与,a b 夹角相等，1a b a +==（底角为60的菱形性质），且与c 反向，进而由图得到2a b c ++=，选C 答案：C

例3：已知向量,a b ，且1,2a b ==，则2b a -的取值范围是（ ）

A. []1,3

B. []2,4

C. []3,5

D. []4,6 思路：先作出a ，即有向线段AB ，考虑2b a -，将2b 的起点与A 重合，终点C 绕A 旋转且24AC b ==，则2b a -即为BC 的长度，通过观察可得C 与,A B 共线时2b a -达到最值。所以max

min

25,23b a

b a

-=-=，且2b a -连续变化，所以2b a -的取值范围是

[]3,5

答案：C

例4：设,a b 是两个非零向量，且2a b a b ==+=，则a b -=_______

思路：可知,,a b a b +为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由2a b a b ==+=可知满足条件的只能是底角为60，边长2a = 的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为323a = 答案：23

例5：已知,a b 为平面向量，若a b +与a 的夹角为3π，a b +与b 的夹角为4π，则a b

=（ ）

A.

33 B. 64 C. 53 D. 6

3

思路：可知,,a b a b +为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在

ABD 中，

,,,3

4

AB a AD b ABD ADB π

π

==∠=

∠=

，由正弦定理

可得：sin

sin 64sin 3sin 3

AB

ADB AD ABD π

π===

，即63a b

= 答案：D

例6：已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3

π

，若向量c 满足|2|2c a b -+=，则||c 的最大值为（ ）

A.23+

B.23-

C.72+

D.72-

思路：本题已知,a b 模长且夹角特殊，通过作图可得2b a -为模长为3，设()

2m c b a =+-，

则可得2m =且()

2c m b a =--，而m 可视为以2b a -共起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上。通过数形结合可得c 的最大值为23+（此时m 的终点位于A 点） 答案：A

例7：在ABC 中，,33,66

B AB B

C π

∠=

==，设D 是AB 的中点，O 是ABC 所在

平面内的一点，且320OA OB OC ++=，则DO 的值是（ ） A.

1

2

B. 1

C. 3

D. 2 思路：本题的关键在于确定O 点的位置，从而将DO 与已知线段找到联系，将320OA OB OC ++=考虑变形为

()

323OA OB OC OA OB OB OC CB +=-?+=-=，即1

3

OA OB CB +=，设

OE OA OB =+，则,,O D E 三点共线，且OE BC ∥，所以由平行四边形性质可得：

11

126

OD OE CB =

== 答案：B

例8：已知向量,1a e e ≠=，对任意的t R ∈，恒有a te a e -≥-，则()

e a e ?-的值为________

思路：本题以a te a e -≥-作为突破口，通过作图设,AB a AC e ==，D 为直线l 上一点，则有AD te =。从而可得,a e BC a te BD -=-=，即BD BC ≥，所以C 点为直线l 上到B 距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为B 到l 的垂线段。所以BC l ⊥，即

()e a e ⊥-，所以有()

0e a e ?-=

答案：0

小炼有话说：本题若用图形解决，找到,a te a e --在图上的位置和两个向量的联系是关键

例9：已知平面向量,,a b c 满足1,2a b ==，且1a b ?=-，

D

若向量,a c b c --的夹角为60，则c 的最大值是_________ 思路：由,a b 条件可得,a b 夹角θ的余弦值1

cos 1202a b

a b

θθ?=

=-?=，若用代数方法处

理夹角60的条件，则运算量较大。所以考虑利用图形，设,,AB a AD b AC c ===，则

,CD b c CB a c =-=-，即60DCB ∠=，从而180DCB θ∠+=，可判定,,,A B C D 四点

共圆，则AC 的最大值为四边形ABCD 外接圆的直径，即ABD 的直径。在ABD 中，由余弦定理可得：2

2

2

2cos 7BD AB AD AD AB θ=+-=，所以7BD =

，由正弦定理

可得：2212sin 3BD d R BAD

==

=

，即max 221

3

c = 答案：

221

3

小炼有话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找几何图形进行求解。

例10：（2010年，浙江，16）已知平面向量()

,0,αβααβ≠≠满足=1β ，且α与βα-的夹角为120，则α的取值范围是___________

思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到

,,αββα-构成BCD ，60C ∠=，从而可利用正

余弦定理求出α即CD 的取值范围 解：在

BCD 中，由正弦定理可得：

sin sin sin sin BD CD

C DBC C DBC

βα=?=

sin sin sin sin 33DBC DBC DBC C

β

α∴=

?=

=

而20,

3

DBC π??

∠∈ ?

?

? (]sin 0,1DBC ∴∈ 23sin 0,3DBC α??∴=∈ ??

?

答案：α的取值范围是0,

3 ??

小炼有话说：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体解法如下：

例1：解：2

2

2

2

24444cos ,10a b a a b b b a b b -=-?+=-+=

2

2260b b ∴--=，解得32b =

例2：解：2

2

2

2

222a b c a b c a b b c a c ++=+++?+?+?

,,a b c 夹角相同

当,,a b c 同向时，可得2

25a b c ++=，所以5a b c ++= 当,,a b c 两两夹角

23π时，可得133,,222

a b b c a c ?=-?=-?=- 2

4a b c ∴++=，所以2a b c ++=

综上所述：2a b c ++=或5

例3：解：222

244174cos ,178cos ,b a b a b a a b a b a b -=-?+=-=- 因为[]cos ,1,1a b ∈- []2

29,25b a ∴-∈即[]23,5b a -∈ 例4：解：2a b a b ==+=可得()

2

22

24a b

a b a b +=++?=

代入2a b ==得2a b ?=- 2

2

2

2

12a b a b a b ∴-=+-?=

23a b ∴-=

例8：解：以B 为原点，BC 为x 轴建立直角坐标系。所以()96,0,,

22C A ? ??

，设(),O x y ，则()

()933

,,,

,6,22OA x y OB x y OC x y ??=--=--=-- ? ???

，由320OA OB OC ++=可

得：391360246024

x x y y ??

-==????

?????-==????，所以134O ? ??

因为D 为AB 中点 ,

44D ∴ ??

1OD ∴=

例9：解：2

2

a te a e a te a e -≥-?-≥-

2

2

2

221a a et t a a e ∴-?+≥-?+

22210t a et a e ∴-?+?-≥对t R ?∈恒成立 ()

()2

24210a e a e ∴?=?-?-≤即()

2

4840a e a e ?-?+≤

()

2

410a e ∴?-≤，所以1a e ?=

()

2

0e a e e a e ?-=?-=