专题：数列试题1[学生版]
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专题 数列
第1讲 数列的基本概念
1．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )
A ．－165
B ．－33
C ．－30
D ．－21
2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋2n －1，则( ) A ．a n ＝2n ＋1(n ∈N *) B ．a n ＝2n －1(n ∈N *)
C ．a n ＝?
???
? 2，(n ＝1)，2n ＋1，(n ≥2，n ∈N *
) D ．a n ＝?
????
2，(n ＝1)，
2n －1，(n ≥2，n ∈N *
) 3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，且当n ≥2时，a 1a 2…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.73 B.6116 C.3115 D.114
4．(2010年安徽)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64
5．(2011年江西)已知数列(a n )的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10
＝( )
A ．1
B ．9
C ．10
D ．55
6．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2
014＝________.
7．我们可以利用数列{a n }的递推公式a n ＝2
,n n n a n ??
???，为奇数时，为偶数时，(n ∈N *)求出这个数列
各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数
列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．
8．(2011年浙江)若数列???
?
??n (n ＋4)(23)n 中的最大项是第k 项，则k ＝__________.
9．(2011年广东广州)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)，求{a n }的通项公式．
第2讲等差数列
1．(2011年重庆)在等差数列{a n}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()
A．12 B．14 C．16 D．18
2．(2011届广东汕头)在等差数列{a n}中，a2＋a12＝32，则2a3＋a15的值是()
A．24 B．48 C．96 D．无法确定
3．(2011年广东湛江测试)等差数列{a n}前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝()
A．3 B．6 C．17 D．51
4．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a7＋a13是一确定的常数，下列各式：
①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5.其结果为确定常数的是()
A．②③⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
5．(2010年福建)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n 取最小值时，n等于()
A．6 B．7 C．8 D．9
6．(2011年全国)设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝()
A．8 B．7 C．6 D．5
7．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n.若S n
T n＝
7n＋1
4n＋27
(n∈N*)，则
a7
b7＝
________.
8．(2011年辽宁)S n为等差数列{a n}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝______.
9．(2011年福建)已知等差数列{a n}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{a n}的前k项和S k＝－35，求k的值．
10．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S n＝12n－n2.求数列的通项公式。
第3讲 等比数列
1．(2010年重庆)在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8
2．(2011年广东调研)在等比数列{a n }中，已知a 1a 3a 11＝8，那么a 2a 8＝( ) A ．16 B ．12 C ．6 D ．4
3．设公差d ≠0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 5
a 2＋a 4＋a 6
＝( )
A.75
B.57
C.34
D.43
4．(2011年辽宁)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
5．(2010年浙江)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2
＝( )
A ．11
B ．5
C ．－8
D ．－11 6．在等比数列{a n }中，a 5·a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则公比q 的个数有( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7．(2011年天津)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n
为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )
A ．－110
B ．－90
C ．90
D ．110
8．(2011年北京)在等比数列{a n }中，a 1＝1
2
，a 4＝－4，则公比q ＝__________；|a 1|＋
|a 2|＋…＋|a n |＝__________.
9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .
10．(2011年全国)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝1
3
.
(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n
2
；
(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．
第4讲 数列的求和
1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189
2．若等比数列的前n 项和是48，前2n 项和为60，则前3n 项的和为( )
A ．183
B ．108
C ．75
D ．63
3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 5＋a 8＝15，则S 9＝( )
A ．18
B ．36
C ．45
D ．60
4．(2011年皖北联考)数列1,1＋2，…，1＋2＋22＋…＋2n －
1的前n 项和为S n ，则S n 等于( )
A ．2n
B ．2n ＋1－n －2
C ．2n ＋
1－n D ．2n －n
5．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1
2
，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝
a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是( )
A ．Π11
B ．Π10
C ．Π9
D ．Π8
6．(2011年安徽)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…a 10＝( )
A ．15
B ．12
C ．－12
D ．－15
7．(2011年安徽百校论坛三模)在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．
8．如图K9－4－1，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________．
1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5
… 图K9－4－1
9．(2010年山东)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；
(2)令b n ＝1
a 2n －1
(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .
10．(2011年“江南十校”联考)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋
1a n a n ＋2
n (n ∈N *
)． (1)证明：数列????
??
2n a n 是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式a n ；
(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
第5讲 利用几类经典的递推关系式求通项公式
1．(2010年北京)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
2．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，若数列{}1＋a n 也是等比数列，则S n
等于( )
A ．2n
B ．3n
C ．2n ＋
1－2 D ．3n －1
3．(2011年四川)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3
＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
4．(2010年福建)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.
5．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *
)，则数列{a n }的通项a n ＝________.
6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n
3a n ＋1
，则a n ＝
__________________________________.
7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，则a n ＝________. 8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋3n ，则a n ＝________.
9．已知数列{a n }满足条件na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2n 2＋2n ，n ∈N *，a 1＝1，设b n ＝a n ＋n . (1)求数列{b n }的通项公式；
(2)求和：S ＝1b 2－2＋1b 3－2＋…＋1
b n －2
.
10．已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．
(1)证明：数列????
??
a n －12n 为等差数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
专题三 数列的综合应用
1．(2011年福建泰宁调研)已知等比数列{a n }中有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且
a 7＝
b 7，则b 5＋b 9＝( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
2．(2011年福建泰宁调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －n 2，则a 4＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．－12 D ．－14
3．若数列{a n }是公比为4的等比数列，且a 1＝2，则数列{log 2a n }是( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为lg2的等差数列 C ．公比为2的等比数列 D ．公比为lg2的等比数列 4．一个四边形的四个内角成等差数列，最小角为40°，则最大角为( ) A ．140° B ．120° C ．100° D ．80°
5．等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且S n T n ＝7n ＋45n －3，则使得a n
b n
为整数的
正整数n 的个数是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1
b n
＝0的两个根，则数列{b n }的
前n 项和S n ＝( )
A.12n ＋1
B.1n ＋1
C.n 2n ＋1
D.n n ＋1
7．已知数列a n ＝?
????
n －1 (n 为奇数)，
n (n 为偶数)，则a 1＋a 100＝________，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋
a 99＋a 100＝________.
8．(2011年江苏)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．
9．(2011年广东茂名模拟)等差数列{a n }中a 1＝3，前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均
为正数，b 1＝1，且b 2＋S 2＝12，{b n }的公比q ＝S 2
b 2
.
(1)求a n 与b n ；
(2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <2
3
.
11．已知数列{b n }前n 项和S n ＝32n 2－12n .数列{a n }满足a 3n ＝(2)
4n b －＋(n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n b n .
(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和T n ；
(3)若c n ≤1
4
m 2＋m －1对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．
第1讲 数列的基本概念
1．C 2.C 3.B 4.A 5.A 6.1 0 7.28 640 8．4 解析一：a n
＋
1
－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)???
?
23n ＋1
－n (n ＋4)???
?
23n
＝
????(n ＋1)(n ＋5)×23－n (n ＋4)????23n
＝????23n 2n 2
＋12n ＋10－3n 2－12n 3＝????23n 10－n 23
.
当n <3时，a n ＋1－a n >0，数列单调递增；当n ≥4时，a n ＋1－a n <0，数列单调递减．
解析二：设最大项为第k 项，则有
?
??
k (k ＋4)????23k ≥(k ＋1)(k ＋5)???
?23k ＋1，k (k ＋4)????23k ≥(k －1)(k ＋3)???
?23k －1，
∴?????
k 2≥10，k 2－2k －9≤0????
k 2
≥10，1－10≤k ≤1＋10?k ＝4. 9．解：由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.
故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －
1. 10．解：因为a n ＋1－a n
＝(n ＋2)????1011n ＋1－(n ＋1)·????1011n ＝????1011n ·9－n 11， 而????1011n >0，所以当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a 10＝a 9. 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1a 11>a 12>…，
所以当n ＝9或n ＝10时，数列{a n }有最大项，最大项为a 9或a 10，其值为10·???
?10119. 第2讲 等差数列
1．D 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，
由a 2＝2，a 3＝4，得????? a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝4，解得?
????
a 1＝0，d ＝2. ∴a 10＝a 1＋(10－1)×d ＝9d ＝18.故选D.
2．B 解析：∵a 2＋a 12＝2a 7＝32，∴a 7＝16.又∵2a 3＋a 15＝a 3＋(a 3＋a 15)＝a 3＋a 11＋a 7
＝3a 7＝48.
3．A
4．A 解析：由a 1＋a 7＋a 13是一确定的常数，得3a 7是一确定的常数，②正确；S 13＝13(a 1＋a 13)
2
＝13a 7是常数，③正确；S 8－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＝3a 7，⑤正确． 5．A 解析：设该数列的公差为d ，则a 4＋a 6＝2a 1＋8d ＝2×(－11)＋8d ＝－6，解得
d ＝2.所以S n ＝－11n ＋n (n －1)
2
×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36.所以当n ＝6时，S n 取最小值．
6．D 解析：S k ＋2－S k ＝a k ＋2＋a k ＋1＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2＋(2k ＋1)×2＝24?k ＝5.故选D. 7.9279 解析：∴a 7b 7＝a 7＋a 7b 7＋b 7＝S 13T 13＝7×13＋14×13＋27＝9279
.
8．－1 解析：由S 2＝S 6，得2a 1＋d ＝6a 1＋6×5
2
d ，解得4(a 1＋3d )＋2d ＝0，即2a 4＋
d ＝0.所以a 4＋(a 4＋d )＝0.即a 5＝－a 4＝－1.
9．解：(1)设等差数列{a n }的公差d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由题知，a 3＝－3＝a 1＋2d ＝1＋2d ，所以d ＝－2. a n ＝1＋(n －1)(－2)＝3－2n .
(2)因为S k ＝k (a 1＋a k )2＝k (1＋3－2k )
2
＝k (2－k )＝－35，
所以k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 因为k ∈N *，所以k ＝7. 10．解：∵S n ＝12n －n 2，
∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－1＝11.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(12n －n 2)－12(n －1)＋(n －1)2＝13－2n ， 当n ＝1时，13－2×1＝11＝a 1，∴a n ＝13－2n .
由a n ＝13－2n ≥0，得n ≤13
2
，
∴当1≤n ≤6时，a n >0；当n ≥7时，a n <0.
(1)|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝12×3－32＝27. (2)|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 10|
＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋a 9＋a 10)
＝2S 6－S 10＝2(12×6－62)－(12×10－102)＝52.
(3)当1≤n ≤6时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12n －n 2. 当n ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |
＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋…＋a n )
＝2S 6－S n ＝2(12×6－62)－(12n －n 2)＝n 2－12n ＋72.
第3讲 等比数列
1．A 2.D 3.C 4.B 5.D 6．D 解析：∵a 5·a 11＝a 3·a 13＝3，a 3＋a 13＝4，∴a 3＝1，a 13＝3或a 3＝3，a 13＝1.∴a 13a 3＝q 10＝3或1
3
.故选D. 7．D 解析：因为等差数列的公差为－2，则a 3＝a 1－4，a 7＝a 1－12，a 9＝a 1－16.因为a 7是a 3与a 9的等比中项，所以a 27＝a 3a 9.
即(a 1－12)2
＝(a 1－4)(a 1－16)．
a 21－24a 1＋144＝a 2
1－20a 1＋64，所以4a 1＝80，a 1＝20.
于是S 10＝10a 1＋10×9
2d ＝10×20＋45×(－2)＝110.故选D.
8．－2 2n －
1－12 解析：由{a n }是等比数列得a 4＝a 1q 3，又a 1＝12
，a 4＝－4，所以－4
＝12q 3?q ＝－2.{|a n |}是以12为首项，以2为公比的等比数列，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝2n －
1－12
. 9．解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2
)， 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.
又q ≠0，从而q ＝－1
2
.
(2)由已知可得a 1－a 1???
?－1
22＝3，故a 1＝4.
从而S n ＝4????1－????－12n 1－???
?－12＝83????
1－????－12n .
10．解：(1)因为a n ＝13×????13n －1＝1
3n ，S n ＝13??
??1－13n 1－1
3
＝1－13n
2，所以S n ＝1－a n
2
.
(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )
＝－n (n ＋1)2
.
所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)
2
.
第4讲 数列的求和
1．C 2.D 3.C 4.B 5.C 6.A 7.60 8.n 2－n ＋22
解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3
＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －1
2
×(n －
2)＝(n ＋1)(n －2)2，a n ＝2＋(n ＋1)(n －2)2＝n 2－n ＋22
.
9．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，
所以有?????
a 1＋2d ＝7，2a 1
＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.
所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.
所以S n ＝3n ＋n (n －1)
2
×2＝n 2＋2n .
(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1
(2n ＋1)2－1
＝14·1n (n ＋1)＝14·???
?1n －1n ＋1.
所以T n ＝14·????1－12＋12－1
3＋…＋1n －1n ＋1 ＝14·????1－1n ＋1＝n 4(n ＋1)
. 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n
4(n ＋1).
10．解：(1)由已知可得a n ＋12n ＋1＝a n
a n ＋2n
，
即2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1.即2n ＋1a n ＋1－2n a n
＝1. ∴数列????
??
2n a n 是公差为1的等差数列．
(2)由(1)知2n a n ＝2a 1＋(n －1)×1－＝n ＋1，∴a n ＝2n
n ＋1
.
(3)由(2)知b n ＝n ·2n ， S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， ①
2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋
1. ② ①－②得：－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1
＝2(1＋2n )1－2
－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋
1.
∴S n ＝(n －1)·2n ＋
1＋2.
第5讲 利用几类经典的递推关系式求通项公式
1.C
2.A
3.B
4.4n －
1 5.1n
6.13n －2 解析：由a n ＋1＝a n 3a n ＋1得1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3?1a n ＋1－1a n
＝3?1
a n ＝1＋3(n －
1)．所以a n ＝1
3n －2.
7．2n －1＋1 解析：由a n ＋1＝2a n －1得a n ＋1－1＝2(a n －1)?a n －1＝2n －1?a n ＝2n －
1＋1.
8．n ·3n －
1 解析：∵a n ＋1＝3a n ＋3n ，∴a n ＋13n ＝a n 3n －1＋1.令a n 3
n －1＝b n ，∴数列{b n }是等差数
列，b n ＝1＋1(n －1)＝n .∴a n ＝n ·3n －
1.
9．解：(1)由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2n 2＋2n (n ∈N *)， 得a n ＋1n ＋1－a n n ＝2，a 1＝1， ∴??????
a n n 是以2为公差，1为首项的等差数列． ∴a n
n
＝2n －1，∴a n ＝n (2n －1)．∴b n ＝a n ＋n ＝2n 2. 即{b n }的通项公式为b n ＝2n 2.
(2)b n －2＝2n 2－2＝2(n －1)(n ＋1)，
∴1b n －2＝14?
???1
n －1－1n ＋1(n ≥2)．
∴S ＝1b 2－2＋1b 3－2＋…＋1
b n －2
＝14??
????1－13＋????12－14＋????13－15＋?? 14
－ ??16＋
??…＋?
???1n －2－1n ＋????1n －1－1n ＋1
＝14????1＋12－1n －1n ＋1＝3
8－2n ＋14n (n ＋1).
10．(1)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n －1 ?a n －1＝2(a n －1－1)＋2n ?a n －12n ＝a n －1－12n －1＋1
?a n －12n －a n －1－12n －1＝1.
∴数列????
??
a n －12n 为首项是2、公差是1的等差数列．
(2)解：由(1)知，a n －12n ＝a 1－1
2
＋(n －1)×1，
∴a n ＝(n ＋1)·2n ＋1.
∴S n ＝(2·21＋1)＋(3·22＋1)＋…＋(n ·2n －
1＋1)＋[(n ＋1)·2n ＋1]．
即S n ＝2·21＋3·22＋…＋n ·2n －
1＋(n ＋1)·2n ＋n .
令T n ＝2·21＋3·22＋…＋n ·2n －
1＋(n ＋1)·2n ， ①
则2T n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋
1. ② ②－①，得
T n ＝－2·21－(22＋23＋…＋2n )＋(n ＋1)·2n ＋1＝n ·2n ＋
1.
∴S n ＝n ·2n ＋1＋n ＝n ·(2n ＋
1＋1)．
专题三 数列的综合应用
1．C 2.A 3.A 4.A 5.C 6.D 7.100 5 000
8.3
3 解析：由题意：1＝a 1≤a 2≤a 1q ≤a 2＋1≤a 1q 2≤a 2＋2≤a 1q 3，∴a 2≤q ≤a 2＋1，a 2＋1≤q 2≤a 2＋2，q 3≥a 2＋2≥3.∵a 2≥1，a 1＝1，∴a 2，a 2＋1，a 2＋2的最小值分别为1,2,3.∴q min ＝3
3.
9．(1)解：由已知可得?
???
?
q ＋3＋a 2＝12，q ＝3＋a 2q ，
解得，q ＝3或q ＝－4(舍去)，a 2＝6.
∴a n ＝3＋(n －1)3＝3n ，b n ＝3n －
1.
(2)证明：∵S n ＝n (3＋3n )
2
，
∴1S n ＝2n (3＋3n )＝23????1
n －1n ＋1. ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n
＝2
3???
?1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2
3???
?1－1n ＋1. ∵n ≥1∴0<1n ＋1≤1
2，
∴13≤23????1－1n ＋1<2
3. 故13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <23
. 11．解：(1)由已知得，当n ≥2时，
b n ＝S n －S n －1＝(32n 2－12n )－(32(n －1)2－1
2
(n －1))＝3n －2.
又b 1＝1＝3×1－2，符合上式． 故数列{b n }的通项公式b n ＝3n －2.
又∵a 3n ＝(2)
4n b －＋，∴a n
＝4－(b n ＋2)3＝4－(3n －2)＋23＝????14n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝????14n
.
(2)∵c n ＝a n b n ＝(3n －2)·????14n ， ∴S n ＝1×14
＋4×????142＋7×????143＋…＋(3n －2)×????14n ， ①
14
S n ＝1×????142＋4×????143＋7×????144＋…＋(3n －5)×????14n ＋(3n －2)×????14n ＋1， ② ①－②得34S n ＝14
＋3×??
????142＋????143＋????144＋…＋
??????14n －(3n －2)×???
?14n ＋1 ＝1
4＋3×????142????1－????14n －11－1
4－(3n －2)×????14n ＋1 ＝1
2
－(3n ＋2)×????14n ＋1. ∴S n ＝23－12n ＋83
×???14n ＋1
.
(3)∵c n ＝(3n －2)·???
?14n ， ∴c n ＋1－c n ＝(3n ＋1)·????14n ＋1－(3n －2)·???
?14n ＝????14n ·????3n ＋14－(3n －2) ＝－9·???
?14n ＋1(n －1)． 当n ＝1时，c n ＋1＝c n ；当n ≥2时，c n ＋1≤c n ，
∴(c n )max ＝c 1＝c 2＝1
4
.
若c n ≤1
4m 2＋m －1对一切正整数n 恒成立，
则14m 2＋m －1≥14
. ∴m 2＋4m －5≥0，即m ≤－5或m ≥1.
数列基本性质【学生版】
“数列基本性质”（A ） 【教学目标】 教学目标1：掌握数列基本性质，数列前n 项和S n 与数列每一项a n 的关系； （难度系数：★☆☆☆☆） 数学目标1： 掌握数列基本性质，数列前n 项和S n 与数列每一项a n 的关系 例1、（原创）已知数列{a n }前n 项和为S n ，2n S an bn =+，其中,a b ∈，0a ≠且为定值，求证数列{a n }为等差数列。 例2、（原创）已知数列{a n }前n 项和为S n ，()1n n S a b =-，，其中,a b ∈为定值且0a ≠， 1b ≠，求证数列{a n }为等比数列。 例3、（改编）已知数列 ，满足，其中 (I) 若，求数列的通项公式； (II) 若，且。设6k k i c a +=，i 为{0,1,2,3,4,5}中任意一个固定的数。求证{c k }为等差数列
例4、（改编）已知数列{}() :2,n A a n n +≥∈Z 满足10n a a ==，且对于所有2,3,...,1i n =-有11i i a a --=，S n 为数列{a n }前n 项和。 (I) 求证：n 为奇数 (II) 求S n 最大值 (III) 是否存在数列A 使得()234n n S -=，若存在则找出数列A ，若不存在则给出证明。 【练习】 一、选择题 1、设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ） A ．第10项 B ．第11项 C ．第10项或11项 D ．第12项 2、数列7130,,,...55- 的一个通项公式是（ ） A ． B ． C ． D ． 3、已知（z-x ）2=4（x-y ）（y-z ），则（ ）
高中数学数列专题大题训练
高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
人教版小学四年级数学第6讲：数列(学生版)
第6讲数列 1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 3、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差?（项数-1） 首项=末项-公差?（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数 1、重点是对数列常用公式的理解掌握 2、难点是对题目的把握以及对公式的灵活运用 例1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？
例2、全部三位数的和是多少？ 例3、求自然数中被10除余1的所有两位数的和。 例4、求下列方阵中所有各数的和： 1、2、3、4、……49、50； 2、3、4、5、……50、51； 3、4、5、6、……51、52； …… 49、50、51、52、……97、98； 50、51、52、53、……98、99。 例5、班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳了105次，那么共有多少男生参加了这项比赛? 例6、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？ A 1、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数是。 2、等差数列0、 3、6、9、12、……、45是这个数列的第项。 从2开始的连续100个偶数的和是。 3、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有个座位。 4、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层 放本书，最下面一层放本书。 5、除以4余1的三位数的和是。 B 6、在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？ 7、求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 8、求不超过500的所有被11整除的自然数的和。 C 9、求下列方阵中100个数的和。
10数列 (学生版)
高考文科数学（客观题）考点分类训练<<数列>> 1.等差数列}{n a 中,482=+a a ,则它的前9项和=9S （ ） A ．9 B ．18 C ．36 D ．72 2.已知等差数列{n a }中,74 a π = ,则tan(678a a a ++)等于（ ） A ． B ． C ．-1 D ．1 3.已知正项组成的等差数列{}n a 的前20项的和100,那么615a a ?最大值是（ ） A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在 4.已知数列{}n a 是等比数列,且251 2,4 a a == ,则12231n n a a a a a a +++???+=（ ） A ．16(14)n -- B ．16(12)n -- C ．32(14)3n -- D ．32 (12)3 n -- 5.在等比数列{}n a 中,531=+a a ,1042=+a a ,则=7a （ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．128 6.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：*),(N n m S S S m n m n ∈=++且 ==101,6a a 那么（ ） A ．10 B ．60 C ．6 D ．54 7.以双曲线15 422=-y x 的离心率为首项，以函数()24-=x x f 的零点为公比的等比 数列的前n 项的和=n S （ ） A ．()2 3 123--?n B ．n 2 3 3- C ．3 2321-+n D ． 3 234n - 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a =（ ） A. 16- B. 16 C. 31 D. 32
数学押题30天之专题三数列(学生版)
2009年高考最后30天抢分必备 专题三 数列 【押题理由】数列在教材中的内容不多，但高考所占分值比重不小,.数列中蕴含中丰富的数学思想方法，故备受命题专家的青睐.数列是一类特殊的函数，是知识的一个交汇点.可以和函数、方程、三角、不等式、解析几何、数学归纳法等相结合出综合解答题. 高考题以两种基本数列为载体，有小题和大题.选择、填空题多考查数列的基础知识和基本性质属于低、中档题；解答题多是综合题，低档题也有，中、高档题居多.这些题目重点考查数列的基本概念、基本公式和基本性质，恰当选择、灵活运用是关键，加强数列的运算是重中之重.因此，押题重点是小题强化双基，大题强化综合，兼顾知识点与方法的覆盖面. 【押题1】在等差数列{}n a 中，若10031004100610074a a a a +++=，则该数列的前2009项的和是（ ） A ．2007 B ．2008 C ．2009 D ．2010 【押题2】数列{}n a 中，10a >，且满足1 1 3(2)32n n n a a n a --=≥+，则数列{}lg n a 是： （ ） A 递增等差数列 B 递减等差数列 C 递减数列 D 以上都不是 【押题3】数列{}n a 中，13a =，27a =，当n N * ∈时，2n a +等于1n n a a +的个位数，则数 列{}n a 的第2010项是 （ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 7 【押题4】公差不为零的等差数列}{n a 中，022112 73=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列， 且 ==8677,b b a b 则（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【押题5】已知{n a }是等差数列,57a =,555S =,则过点2(3,)P a ，4(4,)Q a 的直线的斜率为 （ ） A ．4 B ． 4 1 C ．— 4 D ．14 - 【押题6】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10:S 5＝1:2，则S 15:S 5＝( ) A . 34 B . 23 C . 12 D . 13 【押题7】设函数21123()n n f x a a x a x a x -=++++，1 (0)2 f = ，数列{}n a 满足2*(1)()n f n a n N =∈，则数列{}n a 的通项n a 等于 . 【押题8】已知数点()1,n n a a +在直线10x y -+=上， 11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，数列()132n n S n S +??? ? ? ?+??? ?的最大值为
高三数学总复习综合专题数列求和(学生版)
数列求和 概述：先分析数列通项的结构特征，再利用数列通项揭示的规律来求数列的前n 项和，即求和抓通项。 1、直接（或转化）由等差数列、等比数列的求和公式求和 思路：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 ①等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=； ②等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n ； ③)1(211+==∑=n n k S n k n ； ④)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n ； ⑤21 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 。 2、逆序相加法 思路：把数列正着写和倒着写再相加。（即等差数列求和公式的推导过程的推广） 例1：设函数2 22)(+=x x x f 的图象上有两点),(),,(211121y x P y x P ，若)(2121OP OP OP +=，且点P 的横坐标为2 1。 （1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值； （2）若; 求,),()3()2()1(*n n S N n n n f n f n f n f S ∈+?+++= 3、错位相减法
思路：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则求{}n n b a 的前n 项和n S 可用错位相减法。 例2：在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 4、裂项相消法 思路：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。一般地，数列{}n a 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为0，∑∑∑=++==+-?=-=n i i i i i n i n i i i a a d a a d a a 111111)11(1)11(11。 常见的通项分解（裂项）如下： ①)11(1)(1k n n k k n n a n +-?=+=，（当1≠k 时，通项裂项后求和是隔项相消的，注意观察剩余项） 1 11)1(1+-=+=n n n n a n ；（通项裂项后求和是逐项相消的，剩余的是所裂项的首项和末项） ②)1 21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ； ③]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n 等。 例3：求数列 ???++???++,11 ,,321 ,211 n n 的前n 项和。 补充练习：已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列{}n a 的前n 项
专题12 数列-三年(学生版)
专题12数列 1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则 A ．当101,102b a => B ．当101,104 b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10 b a =->3．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324 ,a a a a <
天津市高三数学总复习 综合专题 数列 理 (学生版)
数列（理） 考查内容：本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。 1、在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+。 （1）设1 2 n n n a b -= 。证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （1）证明：当2b =时，{} 12n n a n --?是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12 3 a = ，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…。 （1）证明：数列? ?? ?? ?-11n a 是等比数列； （2）数列? ?? ?? ?n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足：1±≠n a ，2 11=a ，()() 2211213n n a a -=-+，记数列21n n a b -=，221n n n c a a +=-， n N *∈。 （1）证明数列 {}n b 是等比数列； （2）求数列{}n c 的通项公式； （3）是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,，k j i <<，使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项 k j i c c c ,,，k j i <<；若不存在，请说明理由。 5、已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有：
11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。 （1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由； （3）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，求证：1132 n i i i a b =<∑ 。 6、设数列{}n a 满足11a =，22a =，121 (2)3 n n n a a a --= +，(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有 111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。 （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记(1,2,)n n n c na b n ==L ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a ， (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。 （1）证明1122m d p d p d =+，n m ≤≤3，12,p p 是m 的多项式，并求12p p +的值； （2）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L （每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S 。 （3）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（2）中的n S ，求使得不等式1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值。 8、数列}{n a 的通项公式为?? ? ? ?-=3sin 3cos 22 2 ππn n n a n ，其前n 项和为n S 。 （1）求n S ； （2）设n n n n S b 4 3?= ，求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。
等差数列(学生版)
等差数列 导引： 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 计算等差数列的相关公式: 通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 例题1有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项 练习： 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项? 3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?
例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 练习： 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。 3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。 练习： 1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 2、计算5+10+15+20+? +190+195+200的和。
3、计算100+99+98+…+61+60的和 例题4计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 练习： 1、计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 2、计算(2+4+6+...+100)-(1+3+5+ (99) 3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 例题5 已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。 练习： 1、有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。
专题：数列试题1[学生版]
专题 数列 第1讲 数列的基本概念 1．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋2n －1，则( ) A ．a n ＝2n ＋1(n ∈N *) B ．a n ＝2n －1(n ∈N *) C ．a n ＝? ??? ? 2，(n ＝1)，2n ＋1，(n ≥2，n ∈N * ) D ．a n ＝? ???? 2，(n ＝1)， 2n －1，(n ≥2，n ∈N * ) 3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，且当n ≥2时，a 1a 2…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.73 B.6116 C.3115 D.114 4．(2010年安徽)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 5．(2011年江西)已知数列(a n )的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10 ＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 6．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________. 7．我们可以利用数列{a n }的递推公式a n ＝2 ,n n n a n ?? ???，为奇数时，为偶数时，(n ∈N *)求出这个数列 各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数 列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项． 8．(2011年浙江)若数列??? ? ??n (n ＋4)(23)n 中的最大项是第k 项，则k ＝__________. 9．(2011年广东广州)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)，求{a n }的通项公式．
数列求和专题(学生版)
数列求和专题 讲点1.公式法：用于等差与等比数列，必须记住数列前n项和公式 ； 例1．（2014福建卷）在等比数列中，a2＝3，a5＝81. (1)求a n； (2)设，求数列的前n项和S n. 讲点2.分组求和 （等差+等比） 把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和 例2．（2014·北京卷）已知是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 变式1．求和 变式2．求数列的前n项和：，… 变式3．在数列中，，其前项的和=__________ 变式4．等差数列中， （1）求数列的通项公式;
（2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和. 讲点3.错位相减 （等差×等比） 例3．（2014·全国新课标卷Ⅰ）已知是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 变式1．设数列满足 (1) 求的通项公式； (2) 设，求数列的前n项和． 变式2．已知正项数列满足：（），且 （1）求得通项公式； （2）设，求数列的前项和
讲点4.裂项相消 （分式型） 常用的裂项公式有 例4．(2014-2015武汉中学期中）等比数列的各项均为正数，且，（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，求的前项和. 变式1． 在数列中，，又，求数列的前项和. 变式2．求和 变式3． .求数列的前n项和. 变式4．求数列的前n项和. 例5．（襄阳四中2011-2012高一下期中）数列的通项公式是 ，前项和为9，则等于． 变式5．求数列的前项和. 讲点5.倒序相加 前后对应项的和为定值 例6． 已知函数当时，，则 =_________. 变式1．设求的值.
2.数列计算-学生版
第2讲 数列计算 第一部分：知识介绍 1、等差数列三个重要的公式： ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 2、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与 末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 3、公式综合： 1） 连续自然数求和(1) 1232 n n n ?+++++=L 2） ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=L L L 3） N 个连续自然数的平方和 2222(1)(21) 1236 n n n n ?+?+++++= L 4） N 个连续自然数的立方和 () 22 2 3 3 3 3 (1)1231234 n n n n ?+++++=++++= L L 5） 平方差公式：()()22a b a b a b -=+- 完全平方公式()2 222a b a ab b ±=±+ 6） 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n =-??+ 7） 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 4、等比数列：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q 表示()0q ≠。（或者从第二数开始每一个数都和前面数的倍数都是相同的，这个数列就叫做等比数列。）一般地，等比数列求和采用“错位相减法”。（公比不为1） 其它复合型数列 整数与数列本讲 数表 应用题找规律计算 等差数列 应用题 求和方法初步认识等比数列
数列大题专题训练1(学生版)
精选 数列大题专题训练1 1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且. *1 1()2n n S a n N +=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设* 3log (1)()n n b S n N =-∈，求满足方程 2334111125 51 n n b b b b b b ++++=L 的n 值. 【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如?? ? ? ?? c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1（n －1）（n ＋1）(n≥2)或1 n （n ＋2）. 2．已知数列是等比数列，首项，公比,其前项和为,且,成等差数列． （1）求 的通项公式； （2）若数列满足为数列前项和，若恒成立，求的最大值． {}n a 11a =0q >n n S 113322,,S a S a S a +++{}n a {}n b 11,2n n a b n n a T +?? = ? ?? {}n b n n T m ≥m
【方法点晴】本题考查等差数列、等比数列、数列的前项和、数列与不等式，涉及特殊与一般思想、方程思想思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．第二小题首 先由 再由错位相减法求得为递增数列当时， ．再利用特殊与一般思想和转化化归思想将原命题可转化的最大值为． 3．已知数列中，，其前项和满足，其中． （1）求证：数列为等差数列，并求其通项公式； （2）设，n T 为数列{}n b 的前n 项和． ①求n T 的表达式； ②求使2>n T 的n 的取值范围． 4．为等差数列的前项和，且，，记．其中表示不超过的最大整数，如 ，． （1）求； （2）求数列的前1000项和． n 1111222n n n n a b n a b n n a b +?? ????=?=?= ? ? ??? ???? 12n n -?g 2112232...n T =?+?+?+12n n -+g ()112n n T n =+-1n n T T +?-=()120n n +>g {}n T ??1n =()min 1n T =()min n T m ≥1m m ?≤?1{}n a 3,221==a a n n S 1211+=+-+n n n S S S *∈≥N n n ,2{}n a n n n a b -?=2n S {}n a n 11a =728S =[lg ]n n b a =[]x x [0.9]0=[lg99]1=111101b b b ，，{}n b
浅谈数列中an与S的关系(学生版)
对于任意一个数列，当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时，记作S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，此时通项公 式a n ＝? ???? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2． 而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)去解决不同类型的问题呢？ 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题： 归纳起来常见的角度有： 角度一：直观运用已知的S n ，求a n ； 角度二：客观运用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求与a n ，S n 有关的结论； 角度三：a n 与S n 的延伸应用． 方法：已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式)： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1； (2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式； (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写． 同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用S n 求解．如：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n －1，其中a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 表示数列{na n }的前n 项和． 1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3 B ．a n ＝2n ＋3 C ．a n ＝????? 1，n ＝12n －3，n ≥2 D ．a n ＝? ???? 1，n ＝12n ＋3，n ≥2 2．(2015·河北石家庄一中月考)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1) ·3n +1＋3(n ∈N *)，则数列的通项公式a n ＝ ． 3．(2015·天津一中月考)已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝ ．
专题01 数列(知识梳理)(学生版)
专题01 数 列（知识梳理） 一、数列的概念及表示 （一）数列的概念 1、数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每个数都叫这个数列的项.数列的一般形式：1a ，2a ， 3a ，…n a ，…，或简记为}{n a . 其中1a 是数列的第1项(又称首项)，n a 是数列的第n 项(又称通项). 例1-1．判断下列各组元素能否构成数列： (1)a ，3-，1-，1，b ，5，7，9； (2)2020年各省参加高考的考生人数. 2、通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式. 3、数列的特性：(对比集合的特性)→数列是特殊的数集、点集. (1)有序性：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列. (2)可异性：定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列. (3)从函数角度看数列：数列可以看作是一个定义域为正整数集+N (或它的有限子集}321{n ，，，，???)的函数. 4、数列的分类： (1)根据数列项数的多少分： ①有穷数列：项数有限的数列；例如数列1，2，3，4，5，6.是有穷数列. ②无穷数列：项数无限的数列；例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列. (2)根据数列项的大小分： ①递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. ②递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. ③常数数列：各项相等的数列. ④摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. (3)根据任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：①有界数列；②无界数列. （二）数列的表示方法 1、列表法(又称列举法). 2、图像法：图像过一四象限或x 轴正半轴，横坐标为正整数.是一系列孤立的点，不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性. 3、解析法：用数列的通项公式也就是相应函数的解析式来表示数列. 例2-1．下列公式可作为数列}{n a ：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( ).
数列专项练习学生版(押题专练)
等差等比数列专项练习 1．等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列．S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为( ) A ．－110 B ．－90 C ．90 D ．110 2．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n n ＋2 D.n n －2 3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 5．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 6．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且满足a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2，a 34＋a 44＝4a 3＋4a 4 ，则a 1a 5＝( ) A ．24 2 B ．8 C ．8 2 D ．16 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝8，则S 7＝( ) A ．28 B ．32 C ．56 D ．24 8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1 9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911 ，则当S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 10．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
高考数学之数列专题(学生)
专题五: 数 列 一、等差数列的有关概念: 1、等差数列的判断方法:定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 2、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 如（１)等差数列{}n a 中，1030a =,2050a =，则通项n a = (２)首项为－24的等差数列,从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 3、等差数列的前n 和:1()2n n n a a S +=,1(1) 2 n n n S na d -=+。 如数列{}n a 中,* 11(2,)2 n n a a n n N -=+≥∈，32n a =,前n 项和152n S =-, 则1a =＿，n ＝＿ 4、等差中项:若,,a A b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且2 a b A += 。 提醒:为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…， 2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d );偶数个数成等差,可设 为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ) 5、等差数列的性质： （１）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为０. （2)若公差0d >，则为递增等差数列,若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 (3)当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地，当2m n p +=时,则有 2m n p a a a +=． 如等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n =_＿＿_ (4）若{}n a 、{}n b 是等差数列,则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、 *{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S --,…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列;若{} n a 是等比数列,且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.
小学五年级奥数550数列数表(学生版)专项练习题
学科培优数学 “数列数表” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如： 自然数：1，2，3，4，5，6，7， (1) 年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2） 某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列） 45，45，44，46，45 （3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。 一、数列规律 等差数列，简单的等比数列，周期规律，递推规律是数列中常见的形式，在小学阶段的奥数题中，比较多的项数进行计算基本都是可以找到相应规律的。 二、数表规律 通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列问题． 三、递推思想 奥数学习需要的是思维的积累，其中递推归纳的思想应用十分广泛。而在数列数表中，递推的规律体现的淋漓尽致，需要学生用心体会。 注意： 1.等差数列及相对应的数学解题思想，倒序相加，递推，对应等。 2.数列求和技巧，简单等比数列求和中措项相消得思想。
高考数学之数列专题(学生)
高考数学之数列专题 (学生) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
专题五： 数 列 一、等差数列的有关概念： 1、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 2、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 3、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1) 2 n n n S na d -=+。 如数列 {}n a 中，* 11(2,)2 n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-， 则1a ＝ ＿，n ＝＿ 4、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A += 。 提醒：为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设 为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 5、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 如等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____