解析几何第四版吕林根-期末复习-课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标
§1.3 数量乘矢量
4、 设→→→+=b a AB 5,→→→+-=b a BC 82,)(3→
→→-=b a CD ,证明:A 、B 、D 三点共线. 证明 ∵→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382
∴→
AB 与→
BD 共线,又∵B 为公共点,从而A 、B 、D 三点共线.
6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,证明:三中线矢量AL , BM ,
可 以构成一个三角形.
证明: )(21
AC AB AL +=
Θ )(21
+=
)(2
1
CB CA CN +=
0)(2
1
=+++++=++∴
7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点,O 是任意一点,证明 ++=OL +OM +ON .
[证明] +=Θ MB OM OB += NC ON OC +=
)(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知:0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量BM ,,构成一个三角形。
8.、如图1-5,设M 是平行四边形ABCD 的中心,O 是任意一点,证明
OA +OB ++OD =4OM .
[证明]:因为OM =
21
(OA +), OM =2
1
(OB +), 所以 2OM =2
1
(OA +OB +OC +) 所以
OA +OB ++OD =4OM .
10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半.
图1-5
证明 已知梯形ABCD ,两腰中点分别为M 、N ,连接AN 、BN . →
→
→
→
→
→
++=+=DN AD MA AN MA MN ,
→
→
→
→
→
→
++=+=CN BC MB BN MB MN ,∴ →
→→+=BC AD MN ,即
§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解
3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP =λ(λ≠-1),O 是空间任意一点,求证:
OP =λ
λ++1
[证明]:如图1-7,因为
=-OA ,
PB =OB -,
所以 -OA =λ (OB -),
(1+λ)OP =+λ,
从而 OP =λ
λ++1OB
.
4.、在ABC ?中,设,1e =2e =.
(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合; (2)设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将分解为21,e e 的线性组合 解:(1)()
12123
1
31,e e e e -==-=-=Θ, 2111231323131e e e e e BD AB AD +=-+=+=,同理123
1
32e e AE +=
(2)因为
||||TC =|
|11e e , 且 BT 与方向相同, 所以 BT |
|21e e .
由上题结论有
AT |
|||1|
|21
2
211e e e e e +
||||212112e e e e e e +.
5.在四面体OABC 中,设点G 是ABC ?的重心(三中线之交点),求矢量对于矢量
,,,的分解式。
解:G Θ是ABC ?的重心。∴连接并延长与BC 交于P
()
(
)()
AC AB AC AB AP AG AC AB AP +=+?==+=
31
213232,21Θ 同理()(
)
+=+=3
1
,31 C O
()++=+=∴31
(1) G P
()++=+=3
1
(2) A B
()
CB CA OC CG OC OG ++=+=31
(3) (图1)
由(1)(2)(3)得
()()
++++++
++=3
131
3 ++=
6.用矢量法证明以下各题
(1)三角形三中线共点
证明:设BC ,CA ,AB 中,点分别为L ,M ,N 。AL 与BM 交于1P ,AL 于CN 交于2P BM 于CN 交于3P ,取空间任一点O ,则 A
()
OP ++=+
=+=3
1
3211 ()()
OC OB OA OB OC OB OA OB ++=-+-+=31
31 A
同理()
OC OB OA OP ++=31
2 N M
()
OP ++=31
3 B L C
321,,P P P ∴三点重合 O ∴三角形三中线共点 (图2) 即()
++=
3
1
§1.5 标架与坐标
9. 已知线段AB 被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A 与B 的坐标. 答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).
10.证明:四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点,且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.
[证明]:设四面体A 1A 2A 3A 4,A i 对面重心为G i , 欲证A i G i 交于一点(i =1, 2, 3, 4).
在A i G i 上取一点P i ,使i i A =3i i G P , 从而i =
3
13++i
i OG ,
设A i (x i , y i , z i )(i =1, 2, 3, 4),则
G 1???
?
?++++++3,3,34324
324
32
z z z y y y x x x , G 2???
?
?++++++3,3,
34314
31431z z z y y y x
x x , G 3???
??++++++3,3,34214
214
21
z z z y y y x x x , G 4??
?
?
?++++++3,3
,33213
213
21
z z z y y y x x x , 所以
P 1(
31334321+++?
+x x x x ,31334321+++?+y y y y ,3
1334
32
1+++?+z z z z ) ≡P 1(
44321x x x x +++,44321y y y y +++,4
4
321z z z z +++).
同理得P 2≡P 3≡P 4≡P 1,所以A i G i 交于一点P ,且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的
三倍.
§1.7 两矢量的数性积 3. 计算下列各题.
(1)已知等边△ABC 的边长为1,且BC a =u u u r r ,CA b =u u u r r ,,AB C =u u u r u r
求ab bc ca ++r r r r r r ;
(2)已知,,a b c r r r 两两垂直,且1,a =r 2,b =r 3,c =r
求r a b c =++r r r r 的长和它与,,a b c
r r r 的夹角.
(3)已知3a b +r r 与75a b -r r 垂直,求,a b r r
的夹角.
(4)已知2,a =r 5,b =r 2
(,),3
a b π∠=r r 3,p a b =-u r r r 17.q a b λ=+r r r 问系数λ取何值
时p u r 与q r
垂直?
解
(1)∵
1,a b c ===r r r ∴0
cos120ab bc ca a b ++=??r r r r r r r r
0cos120b c +??r r
c a +??r r 0cos12032
=-
(2)∵,a b c ⊥⊥r r r 且1,a =r 2,b =r 3c =r
.
设r a b c =++r r r r 23i j k =++r r r
∴r =
r =
设r r 与,,a b c r r r
的夹角分别为 ,,.αβγ
∴cos ,14α=
=
cos 7β==
cos 14γ==
∴arccos
α
=
arccos 7β=
,arccos
14
γ= (3)(3)(75)a b a b +?-r r r r
0=,即22716150a ab a +-=r r r r (1)
(4)a b -?r r (72)a b -r r
0=,即2273080a ab b -+=r r r r (2)
(1)-(2)得:22a b b ?=u u r r r (1)8(2)5?+?得:2
2a b a ?=u u r r r
∴a b =r r ∴cos (,)a b ∠r u u r a b a b ?=?u u r r r r 2212b b
=r r 12= ∴cos (,)a b ∠=r r 3π
(4)a b ?u u r r =a b ?r r cos (,)a b ∠=r r 1
25()2??-5=-
p q ?=u u r r (3)17a b a b λ-?+r r r r
()2235117a ab a b b λλ=+-?-r r r r r r 680170λ=-+= ∴40λ=
4. 用矢量法证明以下各题:
(1) 三角形的余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bc cos A ;
(2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.
证明:(1)如图1-21,△ABC 中,设=b ρ
,=,=,
且|a ρ
|=a ,|b ρ|=b ,||=c . 则=b ρ-,
2=(b ρ-c ρ)2=b ρ2+2-2b ρ?=b ρ2+2-2|b ρ|||cos A . 此即 a 2=b 2+c 2-2bc cos A.
(2) 如图1-22,设AB , BC 边的垂直平分线PD , PE 相交于P ,
D, E, F 为AB, BC, CA 的中点, 设=, =b ρ, =, 则=b ρ-, =-b ρ,
=-, PD =2
1
(+b ρ),
PE =2
1(c ρ+b ρ).
因为 PD ⊥AB , PE ⊥BC ,
所以 21(+b ρ)(b ρ-)=2
1(b ρ2
-2)=0,
21(b ρ+c )(c -b ρ)=2
1(c 2-b ρ2
)=0, 从而有 a 2=b ρ2=c 2, 即 |a |2=|b ρ|2=|c |2, 所以 21(c ρ+a ρ)(a ρ-c ρ)=2
1(a ρ2-c ρ
2)=0,
所以 ⊥, 且 ||=|b ρ
|=||.
故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.
图
1-11
图1-12
6 已知△ABC 的三顶点(0,0,3),A (4,0,0),B (0,8,3)C -
试
求:(1)△三边长 (2)△三内角
(3)三中线长 (4)角A 的角平分线矢量AD u u u r
(中点
在BC 边上),并求AD u u u r
的方向余弦和单位矢量
解: (1) (4,0,3),AB =-u u u r
(0,8,6)AC =-u u u r ,(4,8,3)BC =-u u u r
∴5,AB =u u u r 10,AC =u u u
r BC =u u u r
(2)cos AB BC A AB BC ?∠=?u u u r u u u r u u u r u u u r 9=25
∴A ∠=9
arccos 25
cos AC BC C AC BC
?∠=?u u u r u u u r
u u u r u u u r =
445
∴arccos
C ∠=445
cos BA BC B BC BC
?∠=?u u u r u u u r
u u u r u u u r =
445
∴arccos B ∠=445
(3)11AD AB BD =+u u u u r u u u r u u u u r )9
=(2,4,-2
∴1AD =u u u u
r 2BD u u u u r 2BA AD =+u u u r u u u u r
)=(-4,4,0 ∴2BD u u u u
r =
33CD CA AD =+u u u u r u u u r u u u u r 9
(2,8,)2
=-
∴3CD =u u u u r
(4)cos AB AD AC AD AB AD AC AD
θ??==??u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ∴AD u u u r =﹛88
,,433-﹜
∴cos α=
,cos β=
cos γ=
设它的单位矢量为﹛,,a b c ﹜,且2
2
2
1a b c ++=
MB V ==----22
2
134
2
1
03∴﹛,,a b c ﹜=
§1.8 两矢量的失性
4. 已知: {}2,3,1a =-r ,{}1,2,3,b =-r
求与a r ,b r 都垂直,且满足下列条件的矢量c r :
(1)c r 为单位矢量 (2)10c d ?=r u r ,其中d =u r
{}2,1,7-.
解: (1)设{},,c x y z =r
.∵,,c a c b ⊥⊥r r r r 23c b x y z ?=-+r r =0 (1)
∴23c a x y z ?=-+r r =0 (2) 222x y z ++=1 (3) 由(1),(2),(3)
:
c =????
r (2)设{},,c x y z =r
.∵10c d ?=r u r ∴27x y z +-=10 (4) 由(1),(2), (4)得: 35255,,666c ??=????
r .
5.在直角坐标系内已知三点(5,1,1),A -(0,4,3),B -(1,3,7)C -,试求: (1)三角形ABC 的面积 (2)三角形ABC 的三条高的长.
解: (1) (5,5,4AB =--u u u r ), (4,4,8AC =--u u u r
), (1,1,4BC =u u u r
)
cos AB AC A AB AC
?∠=?u u u r u u u r
u u u r u u u r
=
6, 5
sin 6A =.
1sin 2ABC S AB AC A =??=V u u u
r u u u r
(2)AB =u u u r
AC =u u u r
BC =u u u r .
∴1h =
2h =38h =.
7. 用矢量方法证明: (1)三角形的正弦定理
A a sin =
B b sin =C
c
sin . (2)三角形面积的海伦(Heron)公式,即三斜求积公式:
?2=p (p -a )(p -b )(p -c ).
式中p =
2
1
(a +b +c )是三角形的半周长,?为三角形的面积. [证明]: (1) 如图1-13,在△ABC 中,设BC =a ,CA =b ρ
,=c ,
且|a |=a ,|b ρ|=b , |c |=c , 则 a +b ρ+c =0ρ
,
从而有 b ρ?c =c ?a =a ?b ρ
,
所以 |b ρ?c |=|c ?a |=|a ?b ρ|,
bc sin A =ca sin B =ab sin C ,
于是
A a sin =
B b sin =C
c sin . (2) 同上题图,△ABC 的面积为
?=2
1
|?b ρ|,
所以 ?2=
41
(?b ρ)2.
因为 (a ?b ρ)2+(a ?b ρ)2=a 2
b ρ2,
所以 ?2
=41[a 2b ρ2-(a ?b ρ)2].
由于 a +b ρ+c =0ρ
,
从而 a +b ρ=-c ,(a +b ρ
)2=c 2,
所以 a b ρ=21(c ρ2-a 2
-b ρ2)=21(c 2-a 2-b 2),
故有 ?2=41[a 2b 2-41
(c 2-a 2-b 2)2]
=161
[2ab -(c 2-a 2-b 2)][2ab +(c 2-a 2-b 2)] =161[(a +b )2-c 2][c ρ
2-(a -b )2] =161
(a +b +c )(a +b -c )(c +a -b )(c -a +b ) =161
?2p ?(2p -2c )(2p -2b )(2p -2a ). 所以 ?2=p (p -a )(p -b )(p -c ),
或 ?=))()((c p b p a p p ---.
§1.9 三矢量的混合积
4.已知直角坐标系内矢量,,a b c r r r
的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三
邻边作成的平行六面体体积. (1){}3,4,5a =r , {}1,2,2b =r , {}9,14,16c =r
.
(2)
{}
3,0,1a =-r
,
{}
2,4,3b =-r
,
{}
1,2,2c =--r
.
解: (1)共面 ∵(,,)a b c r r r
=016
14922
1
5
43
= ∴向量,,a b c r r r
共面
(2)不共面 ∵(,,)a b c r r r
=22
2
134
2
103
=---- ∴向量,,a b c r r r
不共面 以其为
邻边作成的平行六面体体积2=V
5. 已知直角坐标系内D C ,,,B A 四点坐标,判别它们是否共面?如果不共面,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点D 所引出的高的长. ⑴()()()()17,14,10,3,2,2,6,4,4,1,0,1D C B A ; ⑵()()()()8,4,5,7,3,6,2,1,4,1,3,2--D C B A . 解: ⑴共面.
⑵5827
1
7
604
322,,?=---=??
? ?
?→
→→AD AC AB Θ3
58
=∴V
又{}28,8,24,12=?∴--=?→
→→→AC AB AC AB ,
7
2928116=
=
∴h ∴顶点D 所引出的四面体高为729
. 第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程
1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半,求此动点M 的轨迹方程,并指出此轨迹是什么图形?
解:动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 2
1
=。设M 的坐标),(y x 有
2222)6(2
1
)3(y x y x ++=
+- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(2
2
=+-y x 此轨迹为椭圆
2.有一长度为a 2a (>0)的线段,它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动,
是求此线段中点的轨迹。A ,B 为两端点,M 为此线段的中点。 解:如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22
x y M .在Rt AOB V 中有
222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得:
222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨迹为222()x y a +=
3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2
m ,求此动点的轨迹.
解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有:2AM BM m ?=.设(,)M x y 在Rt BNM V 中 2
22
()a x y AM ++=(1)
在Rt BNM V 中2
22
()a x y BM -+=.(2)
由(1)(2)两式得: 2
22
2
2
2
4
4
()2()x y a x y m a +--=-.
§2.2 曲面的方程
2、在空间,选取适当的坐标系,求下列点的轨迹方程:
(1)到两定点距离之比为常数的点的轨迹; (2)到两定点的距离之和为常数的点的轨迹; (3)到两定点的距离之差为常数的点的轨迹;
(4)到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解:(1)取二定点的连线为x 轴,二定点连接线段的中点作为坐标原点,且令两距离之比的常数为m ,二定点的距离为a 2,则二定点的坐标为)0,0,(),0,0,(a a -,设动点),,(z y x M ,所求的轨迹为C ,则
222222)()(),,(z y a x m z y a x C z y x M +++=++-?
∈
亦即])[()(2
2
2
2
2
2
2
z y a x m z y a x +++=++-
经同解变形得:0)1()1(2))(1(2
2
2
2
2
2
2
=-++-++-a m x m a z y x m 上式即为所要求的动点的轨迹方程。
(2)建立坐标系如(1),但设两定点的距离为c 2,距离之和常数为a 2。设动点),,(z y x M ,要求的轨迹为C , 则a z y c x z y c x C
z y x M 2)()(),,(222222=++++++-?
∈
亦即222222)(2)(z y c x a z y c x +++-=++-
两边平方且整理后,得:)()(2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c a a z a y a x c a -=++- (1)
222c a b c a -=∴>令Θ
从而(1)为2
2
2
2
2
2
2
2
b a z a y a x b =++ 即:2
2
2
2
2
2
2
2
b a z a y a x b =++
由于上述过程为同解变形,所以(3)即为所求的轨迹方程。 (3)建立如(2)的坐标系,设动点),,(z y x M ,所求的轨迹为C , 则a z y c x z y c x C
z y x M 2)()(),,(222222±=++++++-?
∈
类似于(2),上式经同解变形为:1222222=--c
z b y a x
其中 )(2
2
2
a c a
c b >-= (*)
(*)即为所求的轨迹的方程。
(4)取定平面为xoy 面,并让定点在z 轴上,从而定点的坐标为),0,0(c ,再令距离之比为
m 。
设动点),,(z y x M ,所求的轨迹为C ,则
z m z y x C z y x M =++?
∈222),,(
将上述方程经同解化简为:02)1(2
2222=+--++c cz z m y x (*) (*)即为所要求的轨迹方程。
第三章 平面与空间直线
§ 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程:
(3)已知四点)3,1,5(A ,)2,6,1(B ,)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面,并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解:(ⅰ)设平面π通过直线AB ,且平行于直线CD : }1,5,4{--=AB ,}2,0,1{-=CD 从而π的参数方程为:
??
?
??+-=+=--=v u z u
y v
u x 235145 一般方程为:0745910=-++z y x 。
(ⅱ)设平面π'通过直线AB ,且垂直于ABC ?所在的平面
∴ }1,5,4{--=AB , }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB
均与π'平行,所以π'的参数式方程为:
??
?
??+-=++=+-=v u z v u y v u x 35145 一般方程为:0232=--+z y x . 5. 求下列平面的一般方程.
⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面; ⑶与平面0325=+-+z y x 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点()()1,2,4,2,1,321--M -M ,求通过1M 且垂直于21,M M 的平面; ⑸原点O 在所求平面上的正射影为()6,9,2-P ;
⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面.
解:平行于x 轴的平面方程为
00
1
011112
=--+-z y x .即01=-z .
同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z . ⑵设该平面的截距式方程为
132=+-+-c
z y x ,把点()4,2,3-M 代入得1924-=c
故一般方程为02419812=+++z y x .
⑶若所求平面经过x 轴,则()0,0,0为平面内一个点,
{}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量,
∴点法式方程为
00
1
215000
=----z y x ∴一般方程为02=+z y .
同理经过y 轴,z 轴的平面的一般方程分别为05,052=-=+y x z x . ⑷{}2121.3,1,1M M --=M M →
垂直于平面π,
∴该平面的法向量{
}3,1,1--=→
n ,平面?通过点()2,1,31-M , 因此平面π的点位式方程为()()()02313=--+--z y x . 化简得023=+--z y x .
(5) {}
.6,9,2-=→
op .1136814=++=
=→
op p
()().6,9,2cos ,cos ,cos 110-=?=?=→
γβn p op
∴ .11
6
cos ,119cos ,112cos -===
?γβ 则该平面的法式方程为:.01111
6
119112=--+
z y x 既 .0121692=--+z y x
(6)平面0138=-+-z y x 的法向量为{}3,8,1-=→
n ,{}1,6,121=M M ,点从()2,1,4
写出平面的点位式方程为
01
6
1
381214
=----z y x ,则,261
6
38-=-=
A
74282426,141
131,21
113-=++?-===
==
D C B ,
则一般方程,0=+++D Cz By Ax 即:.037713=---z y x
8.已知三角形顶点()()()0,7,0,2,1,1,2,2,2.A B C --求平行于ABC V 所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。
解:设,.AB a AC b ==u u u r r u u u r r
点()0,7,0.A -则{}{}2,6,1,2,9,2a b ==r r 写出平面的点位式方程
726102
9
2
x y z += 设一般方程0. 3.2,6,140.Ax By Cz D A B C D +++=∴====-< 则1
. 2.7
p D λλ=
=-= 相距为2个单位。则当4p =时28.D =-当0p =时0.D =
∴所求平面为326280.x y z -+-=和3260.x y z -+=
9.求与原点距离为6个单位,且在三坐标轴,ox oy 与oz 上的截距之比为::1:3:2a b c =-的平面。
解:设,3,2.0.a x b x c x abc =-==≠∴Q 设平面的截距方程为 1.x y z
a b c
++= 即.bcx acy abz abc ++= 又Q 原点到此平面的距离 6.
d =
6.=
11132,,,.7777
x a b c ∴=∴=-==
∴所求方程为7.32
y z
x -++=
10.平面1x y z
a b c
++=分别与三个坐标轴交于点,,.A B C 求ABC V 的面积。
解
(,0,0)A a ,
(0,,0)B b ,(0,0,)C c {},,0AB a b =-u u u r ,{},0,AC a c =-u u u r
.
{},,AB AC bc ca ab ?=u u u r u u u r
;AB AC ?=u u u r u u u r
∴S ABC V
§ 3.2 平面与点的相关位置
3.已知四面体的四个顶点为)4,1,1(),5,11,2(),3,5,3(),4,6,0(---C B A S ,计算从顶点S 向底面ABC 所引的高。
解:地面ABC 的方程为:
0522=+--z y x
所以,高33
5
426=+?--=h 。
4.求中心在)2,5,3(-C 且与平面01132=+--z y x 相切的球面方程。 解:球面的半径为C 到平面π:01132=+--z y x 的距离,它为:
14214
2814
11
6532==
+++?=
R ,
所以,要求的球面的方程为:
56)2()5()3(222=++++-z y x .
即:01841062
2
2
=-++-++z y x z y x .
5.求通过x 轴其与点()5,4,13M 相距8个单位的平面方程。
解:设通过x 轴的平面为0.By Cz +=它与点()5,4,13M 相距8个单位,从而
228.481041050.B BC C =∴--=因此()()1235430.B C B C -+=
从而得12350B C -=或430.B C +=于是有:35:12B C =或():3:4.B C =-
∴所求平面为35120y z +=或340.y z -=
6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹. ⑴053407263=--=--+y x z y x 和; ⑵062901429=++-=-+-z y x z y x 和.
解: ⑴
()072637
1
:
1=--+z y x π ()053451
:
2=--y x π 令()()5345
1
726371--=--+y x z y x 化简整理可得:0105113=+-z y x 与07010943=--+z y x .
⑵对应项系数相同,可求42
6
14221'
-=+-=+=D D D ,从而直接写出所求的方程:0429=-+-z y x .
3.3 两平面的相关位置
2.分别在下列条件下确定n m l ,,的值:
(1)使08)3()1()3(=+-+++-z n y m x l 和016)3()9()3(=--+-++z l y n x m 表示同一平面;
(2)使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示二平行平面; (3)使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示二互相垂直的平面。 解:(1)欲使所给的二方程表示同一平面,则:
16
8
339133-=
--=-+=+-l n n m m l 即:
??
?
??=-+=-+=-+092072032n l m n l m 从而:97=
l ,913=m ,9
37=n 。 (2)欲使所给的二方程表示二平行平面,则:
6
3
62-=
-=m l 所以:4-=l ,3=m 。
(3)欲使所给的二方程表示二垂直平面,则:
0327=+-l 所以: 7
1-=l 。
5. 求下列平面的方程:
(1) 通过点()1,0,01M 和()0,0,32M 且与坐标面xOy 成0
60角的平面;
(2) 过z 轴且与平面0752=--+z y x 成0
60角的平面.
解 ⑴ 设所求平面的方程为
.11
3=++z
b y x 又xoy 面的方程为z=0,所以2
11131101
03160cos 22
2
=
+??
? ??+??? ??+?+?=
b b ο
解得20
3±
=b ,∴所求平面的方程为
126
33
=+±
+z y
x , 即03326=-+±z y x
⑵设所求平面的方程为0=+By Ax ;则2
15
14260cos 22=
+++±+=
B A B
A ο
3
,038322B
A B AB A =
∴=-+或B A 3-= ∴所求平面的方程为03=+y x 或03=-y x .
§ 3.4空间直线的方程
1.求下列各直线的方程:
(1)通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线; (2)通过点),,(0000z y x M 且平行于两相交平面i π:
0=+++i i i i D z C y B x A
)2,1(=i 的直线;
(3)通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成?
?
?
120,45,60的直线; (4)通过点)2,0,1(-M 且与两直线
11111-+==-z y x 和0
1
111+=--=z y x 垂直的直线; (5)通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线。 解:(1)由本节(3.4—6)式,得所求的直线方程为:
15323-=-=++z y x 即:01553-=-=+z y x ,亦即0
1113-=
-=+z y x 。
(2)欲求直线的方向矢量为:
?
?????22
11
2211
22
11,,B A B A A C A C C B C B 所以,直线方程为:
2
2
110
2
2
1102
2
110B A B A z z A C A C y y C B C B x x -=
-=-。 (3)欲求的直线的方向矢量为:{
}?
?????-=?
?
?
21,22,
21
120
cos ,45cos ,60cos , 故直线方程为:
13
2
511--=+=-z y x 。 (4)欲求直线的方向矢量为:{
}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-?-, 所以,直线方程为:
2
2
111+=
=-z y x 。 (5)欲求的直线的方向矢量为:{}5,3,6--, 所以直线方程为:
5
5
3362-+=
--=-z y x 。 3.求下列各平面的方程:
(1)通过点)1,0,2(-p ,且又通过直线3
2
121-=
-=+z y x 的平面; (2)通过直线
1
1
5312-+=
-+=-z y x 且与直线 ??
?=--+=---0
520
32z y x z y x 平行的平面; (3)通过直线
2
2
3221-=
-+=-z y x 且与平面0523=--+z y x 垂直的平面; (4)通过直线??
?=-+-=+-+0
1420
9385z y x z y x 向三坐标面所引的三个射影平面。
解:(1)因为所求的平面过点)1,0,2(-p 和)2,0,1(-'p ,且它平行于矢量{}3,1,2-,所以要求的平面方程为:
03
3
31212=--+-z y x
即015=-++z y x 。
(2)已知直线的方向矢量为{}{}{}5,3,11,2,11,1,2-=-?-, ∴平面方程为:
05
3
1
151132=---++-z y x 即015211=-++z y x
(3)要求平面的法矢量为{}{}{}13,8,11,2,32,3,2-=-?-,
∴平面的方程为:0)2(13)2(8)1(=--+--z y x ,
即09138=+--z y x 。
(4)由已知方程??
?=-+-=+-+0
14209385z y x z y x
分别消去x ,y ,z 得到:
0231136=+-z y ,079=+-z x ,06411=+-y x
此即为三个射影平面的方程。
§ 3.5直线与平面的相关位置
2.试验证直线l :2
1
111-=
-=-z y x 与平面π:032=--+z y x 相交,并求出它的交点和交角。
解: Θ 032111)1(2≠-=?-?+-?
∴ 直线与平面相交。
又直线的坐标式参数方程为: ??
?
??+=+=-=t z t y t
x 211
设交点处对应的参数为0t ,
∴03)21()1()(2000=-+-++-?t t t ∴10-=t ,
从而交点为(1,0,-1)。
又设直线l 与平面π的交角为θ,则:
2
16
62
111)1(2sin =
??-?+-?=
θ, ∴ 6
πθ=
。
3.确定m l ,的值,使: (1)直线
1
3241z
y x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行; (2)直线??
?
??-=--=+=135422t z t y t x 与平面076=-++z my lx 垂直。
解:(1)欲使所给直线与平面平行,则须:
015334=?-?+l
即1=l 。
(2)欲使所给直线与平面垂直,则须:
3
642=-=m l 所以:8,4-==m l 。
§ 3.6空间直线与点的相关位置
2.求点)1,3,2(-p 到直线?
??=++-=++-0172230
322z y x z y x 的距离。
解:直线的标准方程为:
2
25
1211-+=
=-z y x 所以,p 到直线的距离为:
153
45
32025)2(121
2
392
2
9242
124
32
222
2
2
===
-++-+
--+
-=
d 。 3.7空间直线的相关位置
7.求通过点()2,0,1-P 且与平面0123=-+-z y x 平行,又与直线1
2341z
y x =--=-相交的直线方程.
解 设过点()2,0,1-P 的所求直线为
.2
1Z
z Y y X x +==- ∵ 它与已知平面0123=-+-z y x 平行,所以有023=+-z y x (1) 又∵ 直线与已知直线相交,那么必共面.
∴ 又有
0124200311=-+--Z
Y
X
即 7x+|8y-12z=0 (2) 由(1),(2)得 31:50:48
713:71232
:
12821::-=----=
Z Y X
而 ()1:2:431:50:4-≠- ∴ 所求直线的方程为
.31
2
5041+==--z y x 8. 求通过点()1,0,4-P 且与两直线?
?
?=-+=--???=--=++4423
,221z y x z y x z y x z y x 与都相交的直线方程.
解 设所求直线的方向矢量为{}z y x v ,,=→
,
则所求直线可写为
.1
4Z
z Y y X x +==- ∵ 直线1l 平行于矢量
{}{}{}3,3,01,1,21,1,121-=--?=?→
→n n
∴矢量{}3,3,0-=→
v 为直线1
l 的方向矢量.
由于
02
11
1
≠-因此令y=o 解方程组得
x=1,z=o
∴ 点(1,o,o) 为直线1l 上的一点. ∴ 直线1l 的标准方程为
6
2
155+=-=-z y x . ∵ (){}.3,3,01.0,0,1,1121-=→
v M l l l l 方向矢量为过点都相交且与
(){}.6,1,52,2,0,122-=-→
v M l 方向矢量
过点
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1 (,)F x y , 2 (,)F x y 及3 (,)F x y . (1) 2222 1x y a b +=;(2) 22 22 1x y a b -=;(3)2 2y px =;(4) 223520; x y x -++= (5)2 226740 x xy y x y -+-+-=.解:(1) 221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ?? ?; 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-;(2) 221 0010 0001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ; 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =-;3 (,)1F x y =-.(3) 0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ; 1(,)F x y p =-;2 (,)F x y y =;3 (,)F x y px =-;(4) 510 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??; 15(,)2F x y x =+ ;2 (,)3F x y y =-;3 5(,)22 F x y x =+;(5)
222420 x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解:详解 略.(1)4k <-;(2)1k =或3k =(3)1k =或5k =;(4) 4924 k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于 何种类型的(1) 22230 x xy y x y ++++=;(2) 22342250 x xy y x y ++--+=;(3)24230xy x y --+=. 解:(1)由2 2(,)20 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1 X Y =-或1:1-且属于抛物型的; (2)由2 2(,)3420 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3 X Y i =-且属于椭圆型的; (3) 由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线,无心曲线还是线心曲线. (1)2 2224630 x xy y x y -+--+=;(2)2 2442210 x xy y x y -++--=; (3)2 281230 y x y ++-=;(4)2 296620 x xy y x y -+-+=.解:(1) 因为2 1110 12I -= =≠-,所以它为中心曲线; (2)因 为2 120 24 I -= =-且121 241-=≠--,所以它为无心曲线; (3)因为2 00002I = =且004 026 =≠,所以它为无心曲线; (4)因为2 930 3 1 I -==-且933312--==-,所以它为线心曲线;
解析几何经典例题
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从 的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|=4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y=-1的最短距离。
图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y=-1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地, 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为() 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为() A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|=|QP|, 而|QM|=|OM|-|OQ|=2-|OQ| 即|OQ|+|QP|=2>|OP|= 故Q的轨迹是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5,已知三点A(-7,0),B(7,0),C(2,-12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。
解析几何第四版习题答案第四章
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为: ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且(1)母线平行于x 轴;(2)母线平行于直线c z y x ==,,试求这些柱面的方程。 解:(1)从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ,得到:25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即:02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 (2)取准线上一点),,(0000z y x M ,过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为: ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上,所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到:026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上,所以: ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ,得到:010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解:过 又过准线上一点),,(1111z y x M ,且方向为{ }1,1,1的直线方程为: ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程,并消去t 得到: 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ,母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=,试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为: S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明:对柱面上任一点),,(z y x M ,过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M ',则, v M =' 即 1、求顶点在原点,准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解:设为锥面上任一点),,(z y x M ,过M 与O 的直线为: z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ,即存在t ,使zt Z yt Y xt X ===000,,,将它们代入准线方程,并消去参数t ,得: 0)()(222=-+--y z y z z x 即:02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--,准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ,试求它的方程。
平面解析几何经典题(含答案)
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围 0 180 (2)经过两点的直线的斜率公式是 (3)每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ,其斜率分别为k1, k2 ,则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地, 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时,l1与l2 的关系为平行。 (2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在,设为k1, k2 ,则l1 l2 k1 k2 1 注:两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直线的斜率 之积为 -1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0 时, l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点,k 为斜率 斜截式k 为斜率, b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距, b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或
线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ,B,C 为系数无限制,可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是,两条 直线的交点坐标就是方程组的解,若方程组有唯一解,则这两条 直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平 行;反之,亦成立。 2.几种距离 (1 )两点间的距离平面上的两点间的距离公式 (2)点到直线的距离 点到直线的距离; (3)两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注:(1)求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式; (2)求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用 公式计算 (二)直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法: 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ,则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ,2(,)F x y 及3(,)F x y . (1)22221x y a b +=;(2)22 221x y a b -=;(3)22y px =;(4)223520;x y x -++= (5)2226740x xy y x y -+-+-=.解:(1)221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???;121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-;(2)2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ;121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-;3(,)1F x y =-.(3)0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ; 1(,)F x y p =-;2(,)F x y y =;3(,)F x y px =-;(4)51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??; 15(,)2F x y x =+;2(,)3F x y y =-;35 (,)22 F x y x =+;(5)1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ;11(,)232F x y x y =- -;217(,)22F x y x y =-++;37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.(1)550 x y --=
解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5,→→→+-=b a BC 82,)(3→ →→-=b a CD ,证明:A 、B 、D 三点共线. 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线,又∵B 为公共点,从而A 、B 、D 三点共线. 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,证明:三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明: )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点,O 是任意一点,证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知:0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5,设M 是平行四边形ABCD 的中心,O 是任意一点,证明 OA +OB +OC +OD =4OM . [证明]:因为OM = 21 (OA +OC ), OM =2 1 (OB +OD ), 所以 2OM =2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD =4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半. 图1-5
解析几何课后答案按
第1章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形? (1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点; (2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点; (3)把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点; (4)把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]:(1)单位球面; (2)单位圆 (3)直线; (4)相距为2的两点 §1.3 数量乘矢量 1.要使下列各式成立,矢量,应满足什么条件? (1-=+ (2+=+ (3-=+ (4+=-
(5 = [解]:(1), -=+; (2), +=+ (3 ≥且, -=+ (4), +=- (5), ≥ -=- 2. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,证明:三中线矢量, , 可 以构成一个三角形. [证明]: )(21 AC AB AL += )(21 BM += 0= 3. 设L 、 [证明] 4. [证明] 但 OB OD OC OA OB OC OA OD +=+-=-∴=-=-= 由于)(OC OA +∥,AC )(OD OB +∥,BD 而AC 不平行于BD , ∴0=+=+OB OD OC OA , 从而OA=OC ,OB=OD 。
5. 如图1-5,设M 是平行四边形ABCD 的中心,O 是任意一点,证明 OA +OB ++=4. [证明]:因为OM = 21 (OA +OC ), =2 1 (OB +), 所以 2=2 1 (OA +OB ++OD ) 所以 OA +OB ++OD =4OM . 6. [所以所以显然所以 1. [所以从而 OP =λ+1. 2. 在△ABC 中,设=1e ,AC =2e ,AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),试将分解为1e ,2e 的线性组合. 图1-5
解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程: (1)通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面(2)通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面; (3)已知四点)3,1,5(A ,)2,6,1(B ,)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面,并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解: (1)Θ }1,2,2{21--=M M ,又矢量}2,0,1{-平行于所求平面, 故所求的平面方程为: 一般方程为:07234=-+-z y x (2)由于平面垂直于xoy 面,所以它平行于z 轴,即}1,0,0{与所求的平面平行,又}3,7,2{21-=M M ,平行于所求的平面,所以要求的平面的参数方程为: 一般方程为:0)5(2)1(7=+--y x ,即01727=--y x 。 (3)(ⅰ)设平面π通过直线AB ,且平行于直线CD : }1,5,4{--=,}2,0,1{-= 从而π的参数方程为: 一般方程为:0745910=-++z y x 。 (ⅱ)设平面π'通过直线AB ,且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB , }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行,所以π'的参数式方程为: 一般方程为:0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式:
042:=+-+z y x π. 解: π与三个坐标轴的交点为:)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--, 所以,它的截距式方程为: 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为:}4,0,4{},0,2,4{-, ∴ 所求平面的参数式方程为: 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为: 0=++CZ BY AX . 证明: 不妨设0≠A , 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为: 故其方位矢量为:}1,0,{},0,1,{A C A B --, 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为: ,}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ,求B 点的z 坐标. 解: Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知:0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
解析几何经典例题
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义就是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1、如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2、如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从 的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3、如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|=4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y=-1的最短距离。
图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y=-1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求 抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4、①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|=|QP|, 而|QM|=|OM|-|OQ|=2-|OQ| 即|OQ|+|QP|=2>|OP|= 故Q的轨迹就是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5、如图5,已知三点A(-7,0),B(7,0),C(2,-12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。
空间解析几何(练习题参考答案)
1. 过点Mo (1,1-,1)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程. 39.02=+-z y 3. 在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等. 7.)5 1,1,57(. 5.已知:→ →-AB prj D C B A CD ,则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ) A.4 B .1 C. 2 1 D .2 7.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ) A.平行于x 轴 B.平行于y 轴 C.平行于z 轴 D.过z 轴. 8.平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ) A .平行 B .垂直 C .相交 D.重合 9.直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) A.平行 B.垂直 C .斜交 D.直线在平面内 10.设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为( ) A.5 B . 6 1 C. 51 D.8 1 5.D 7.D 8.B 9.A 10.A. 3.当m=_____________时,532+-与m 23-+互相垂直. 4 . 设 ++=2, 22+-=, 243+-=,则 )(prj c += . 4. 过点),,(382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________. 10.曲面方程为:442 2 2 =++z y x ,它是由曲线________绕_____________旋转而成的.
高等代数与解析几何第七章习题7答案
习题 习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明: (1)如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=,则A 必可对角化; (2)如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211,且A 不是对角阵,则 A 不可对角化。 证明:(1)因为A 是一个n 阶下三角矩阵,所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ,又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=,所以A 有 n 个不同的特征值,即A 有n 个线性无关的特征向量,以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ,则有AP P 1-为对角阵,故A 必可对角化。 (2)假设A 可对角化,即存在对角阵???? ?? ? ? ?=n B λλλO 2 1 ,使得A 与B 相似,进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ,所以1121a n ====λλλΛ,从而 E a a a a B nn 112211 =???? ?? ? ? ?=O ,于是对于任意非退化矩阵X ,都有B E a EX a X BX X ===--111111,而A 不是对角阵,必有A B BX X ≠=-1,与 假设矛盾,所以A 不可对角化。 习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21Λ,i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明: (1)s V V V +++Λ21是直和;
(2)σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 证明:(1)取s V V V +++Λ21的零向量0,写成分解式有 021=+++s αααΛ,其中i i V ∈α,s i ,,2,1Λ=。现用1 2,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边,可得 ??? ??? ?=+++=+++=+++---000 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(11 1 ),,,(11221 1 121ΛΛ M M M Λ ΛΛ=???? ?? ? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的,所以矩阵???? ?? ? ? ?=---11221 1111 1 s s s s s B λλλλλλΛ M M M Λ Λ的行列式不为零,即矩阵B 是可逆的,进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα,)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。 这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的,故由定义可得 s V V V +++Λ21是直和。 (2))(?因i V ,s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间,所以有s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21。 又因σ可对角化,所以σ有n 个线性无关的特征向量,它们定属于某一特征值,即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α,一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示,所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α,即得 s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21成立,故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 )(?因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21, 所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基:i id i i ααα,,,21Λ,
解析几何第四版吕林根课后习题答案
解析几何第四版吕林根 课后习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程: (1)通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面(2)通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面; (3)已知四点)3,1,5(A ,)2,6,1(B ,)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面,并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解: (1) }1,2,2{21--=M M ,又矢量}2,0,1{-平行于所求平面, 故所求的平面方程为: 一般方程为:07234=-+-z y x (2)由于平面垂直于xoy 面,所以它平行于z 轴,即}1,0,0{与所求的平面平行,又 }3,7,2{21-=M M ,平行于所求的平面,所以要求的平面的参数方程为: 一般方程为:0)5(2)1(7=+--y x ,即01727=--y x 。 (3)(ⅰ)设平面π通过直线AB ,且平行于直线CD : }1,5,4{--=,}2,0,1{-= 从而π的参数方程为: 一般方程为:0745910=-++z y x 。 (ⅱ)设平面π'通过直线AB ,且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB , }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行,所以π'的参数式方程为: 一般方程为:0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式:
解析几何吕林根课后习题解答一到五.docx
第一章矢量与坐标 § 1.1矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形? (1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点; (2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点; (3)把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点; (4)把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解: 2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心, 在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O 和 FA 中,哪些矢量是相等的? [解 ]: 图 1-1 3.设在平面上给了一个四边形ABCD,点 K、L、 M、N 分别是边AB、BC、CD、 DA的中点,求证:KL = NM .当ABCD是空间四边形时,这等式是否也成立? [证明 ]: . 4.如图1-3,设ABCD-EFGH是一个平行六面体, 在下列各对矢量中,找出相等的矢量和互为相反 矢量的矢量: (1) AB、; (2) AE、; (3) AC 、 CD CG EG ; (4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH . 解: 图1—3
§ 1.2矢量的加法 1.要使下列各式成立,矢量a,b 应满足什么条件? (1)a b a b;(2)a b a b ; (3)a b a b ;(4)a b a b ; (5)a b a b . 解: § 1.3数量乘矢量 1试解下列各题. ⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) . ⑵已知 a e1 2 e2e3, b 3e12e2 2 e3,求a b , a b 和 3 a 2 b . ⑶ 从矢量方程组解:3 x 4 y a ,解出矢量 x ,y.2 x 3 y b 2 已知四边形ABCD 中, AB a 2 c ,CD 5 a 6 b 8 c ,对角线AC 、 BD 的中 点分别为 E 、 F ,求EF. 解: 3 设AB a 5 b , BC 2 a 8 b ,CD3( a b) ,证明: A 、 B 、 D 三点共线.解:
高中数学解析几何大题专项练习
解析几何解答题 1、椭圆G :)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2,短轴两端点B 1、B 2,已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆,且点N (0,3)到椭圆上的点最远距离为.25 (1)求此时椭圆G 的方程; (2)设斜率为k (k ≠0)的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ,Q 为EF 的中点,问E 、F 两点能否关于 过点P (0, 3 3)、Q 的直线对称若能,求出k 的取值范围;若不能,请说明理由. ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、,动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . (Ⅰ)求k 的取值范围,并求21x x -的最小值; (Ⅱ)记直线11P A 的斜率为1k ,直线22P A 的斜率为2k ,那么,12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [
3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ,点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点,直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D . (1)求抛物线 C 的方程。 ~ (2)证明:点F 在直线BD 上; (3)设8 9 FA FB ?=,求BDK ?的面积。. { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,离心率为1 2 ,点P (2,3)、A B 、在该椭圆上,线段AB 的中点T 在直线OP 上,且A O B 、、三点不共线. (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率; (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值. - 、
空间解析几何(练习题(答案))
1. 过点M o (1,1-,1)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程. 39.02=+-z y 3. 在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等. 7.)5 1,1,57 (. 5.已知:→ →-AB prj D C B A CD ,则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ) A .4 B .1 C . 2 1 D .2 7.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ) A .平行于x 轴 B .平行于y 轴 C .平行于z 轴 D .过z 轴. 8.平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ) A .平行 B .垂直 C .相交 D .重合 9.直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) A .平行 B .垂直 C .斜交 D .直线在平面内 10.设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为( ) A .5 B . 6 1 C . 51 D .8 1 5.D 7.D 8.B 9.A 10.A . 3.当m=_____________时,532+-与m 23-+互相垂直. 4 . 设 ++=2, 22+-=, 243+-=,则 )(b a p r j c += . 4. 过点),,(382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________. 10.曲面方程为:442 2 2 =++z y x ,它是由曲线________绕_____________旋转而成的. 3.34-=m ; 4.29 19 9.33 2212--=+=-x y x ; 10.曲线1422=+z y 绕z 轴
解析几何第四版吕林根课后习题答案
第三章 平 面 与 空 间 直 线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程: (1)通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面(2)通过点)1,5,1(1-M CD 的(3)(ⅰ)设平面通过直线AB ,且平行于直线CD : }1,5,4{--=AB ,}2,0,1{-=CD 从而π的参数方程为: 一般方程为:0745910=-++z y x 。
(ⅱ)设平面π'通过直线AB ,且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=, }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=? 均与π'平行,所以π'的参数式方程为: 一般方程为:0232=--+z y x . 0=. 故其方位矢量为:}1,0,{},0,1,{A C A B -- , 从而平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为: ,}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面?
? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ,求B 点的z 坐标. 解: }5,2,3{z AB +-= ⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面. 解:平行于x 轴的平面方程为 00 1 011112 =--+-z y x .即01=-z . 同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z .
⑵设该平面的截距式方程为 132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得19 24-=c 故一般方程为02419812=+++z y x . ⑶若所求平面经过x 轴,则()0,0,0为平面内一个点, {}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量, ∴ .11 6 cos ,119cos ,112cos -=== ?γβ 则该平面的法式方程为: .01111 6 119112=--+z y x 既 .0121692=--+z y x
解析几何大题带规范标准答案
三、解答题 26.(江苏18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点, 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C ,连接AC ,并延长交椭圆于点B ,设直线PA 的斜率为k (1)当直线PA 平分线段MN ,求k 的值; (2)当k=2时,求点P 到直线AB 的距离d ; (3)对任意k>0,求证:PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解:(1)由题设知,),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -,由于直线PA 平分线段MN ,故直线PA 过线段MN 的中点,又直线PA 过 坐标 原点,所以 .22122 =-- = k (2)直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线
. 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 (3)解法一: 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二: 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ,AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上,所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
解析几何第四版吕林根课后习题答案第二章
第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程 1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半,求此动点M 的轨迹方程,并指出此轨迹是什么图形? 解:动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 2 1 =。设M 的坐标),(y x 有 2222)6(2 1 )3(y x y x ++= +- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(2 2 =+-y x 此轨迹为椭圆 2.有一长度为a 2a (>0)的线段,它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动, 是求此线段中点的轨迹。A ,B 为两端点,M 为此线段的中点。 解:如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22 x y M .在Rt AOB 中有 222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得: 222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨 迹为2 2 2 ()x y a +=. 3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2 m ,求此动点的轨迹. 解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有: 2AM BM m ?=.设(,)M x y 在Rt BNM 中 2 2 2 ()a x y AM ++=. (1) 在Rt BNM 中 2 22()a x y BM -+=. (2) 由(1)(2)两式得: 22222244()2()x y a x y m a +--=-. 4.设,,P Q R 是等轴双曲线上任意三点,求证PQR 的重心H 必在同一等轴双曲线上. 证明:设等轴双曲线的参数方程为x ct c y t =?? ?=?? 11(,)P x y ,22(,)Q x y ,33(,)R x y .重心H
解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章
第三章平 §3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程: (1)通过点M J QI-I)和点M2(1,—1,0)且平行于矢量{—1,0,2}的平面(2)通过点M^l,—5,1)和 M 2 (3,2,—2)且垂直于xoy坐标面的平面; (3)已知四点A(5,1,3) , B(1,6,2) , C(5,0,4) D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面, 并求通过直线AB且与MBC平面垂直的平面。 解:(1) M1M2 ={_2,_2,1},又矢量{—1,0,2}平行于所求平面, 故所求的平面方程为: 般方程为:4x -3y+2Z -7 =0 (2)由于平面垂直于xoy面,所以它平行于z轴,即{0,0,1}与所求的平面平行,又 M 1M 2 ={2,7,-3},平行于所求的平面,所以要求的平面的参数方程为: 般方程为:7(x—1)—2(y+5)=0,即7x—2y-17 = 0。 (3)( i)设平面兀通过直线AB,且平行于直线CD : AB={m,5,—1},CD ={-1,0,2} 从而兀的参数方程为: 般方程为:10x +9y + 5z-74=0。 (ii)设平面兀'通过直线AB,且垂直于MBC所在的平面 AB ={75,-1},ABX AC ={-4,5,-1}x{0T,1} ={4,4,4} =4{1,1,1} 均与兀’平行,所以兀’的参数式方程为: 般方程为:2X+ y -3z - 2 = 0 . 2.化一般方程为截距式与参数式: 兀:X +2y-z+4 =0. 解:兀与三个坐标轴的交点为:(—4,0,0), (0—2,0), (0,0,4), 所以,它的截距式方程为:△+丄+2 =1 又与所给平面方程平行的矢量为:{4, —2,0},