1.4向量的向量积 向量的混合积
§1.4 向量的向量积、向量的混合积本节重点：1。向量的向量积及其运算律、坐标运算
2．向量的混合积及其运算律、坐标运算
1.4.1向量积
物理学中研究刚体转动问题时，“力矩”是一重要概念；所谓一个力→f关于
定点O的力矩,指的是一个向量→m,它的模等于这个力的大小│→f│与从O到这个力作用线所引垂直线段OH之积,它垂直于通过O与力作用线的平面,并且向
量→OH, →f,→m组成一个右手标架{O;→OH, →f,→m}。但是，要获得力矩→m，也可以不使用垂足H。我们在ｆ作用线上任取一点R。如图以→r记向量→OR。则→m垂
直于→r，→f。且→r，→f，→m仍组成一个右手标架{O; →r, →f,→m}。
由于OH＝OR sin∠ORH
而∠ORH＝π－∠(→r，→f) （或∠(→r, →f)）
故│→m│＝│→f││→OH│＝│→f││→r│sin（π-∠(→r, →f)）
＝│→r│·│→f│sin∠(→r, →f)
我们把由→r，→f得出→m的方法推广到一般向量，就产生一种新的运算。
1.4.1定义设→a，→b为两不共线非零向量，作一向量→c，其模等于→a，→b之模
与→a，→b夹角正弦之积，它的方向与→a，→b垂直且→a，→b，→c组成一个右手标架{ｏ; →
a, →b,→c}, 则→c称为→a, →b的向量积(或叫外积),记作
→
c＝→a×→b或[→a, →b]
系1:│→a×→b│等于以→a, →b为邻边的平行四边形的面积。
系2: 两向量→a, →b共线充要条件为→a×→b＝0。
由定义可以推出向量积的运算规律。
1.4.2定理向量积满足下述运算律
(1) →b×→a＝－(→a×→b)
(2) λ→a×→b＝→a×λ→b＝λ(→a×→b)
证:(1)若→a, →b共线,则等式显然成立。今设→a，→b不共线，则当交换→a, →b次序时, →a, →b的夹角及各自的模均未改变,故│→b×→a│＝│→a×→b│。又根据向量积定义，→a×→b与→b×→a都同时垂直于→a与→b，因此→a×→b与→b×→a是共线向量，且按顺序→a，→b，→a×→b和→b，→a，→b×→a都分别构成右手标架{ｏ; →a, →b,→a×
→
b},{ｏ; →b,→a, →b×→a}所以→a×→b与→b×→a方向相反。
从而得→a×→b＝-(→b×→a)
(2) 不妨设λ≠0且→a, →b不共线
当λ>0时, λ→a与→a同向,故λ→a×→b与→a×→b同向, 又与λ(→a×→b)同向, 另一方面│λ→a×→b│＝│λ→a││→b│sin∠(λ→a, →b)
＝│λ││→a││→b│sin∠(λ→a, →b)）
＝│λ││→a││→b|sin∠(→a, →b)＝│λ(→a×→b)│,
因此λ→a×→b＝λ(→a×→b)
当λ＜0时, λ→a与ａ反向,故λ→a×→b与→a×→b反向,但λ(→a×→b),也与（→a
×→b）反向，故λ→a×→b与λ（→a×→b）同向，另一方面
│λ→a×→b│＝│λ→a││→b│sin∠(λ→a, →b)
＝│λ││→a││→b│sin∠(兀－∠(→a, →b) )
＝│λ││→a││→b│sin∠(→a, →b)
＝│λ(→a×→b)│,
因此λ→a×→b＝λ(→a×→b)
类似可证→a×（λ→b）＝λ(→a×→b) 证毕
向量积对于加法也满足分配律，留后再证。
1.4.2向量的混合积
1.4.3定义→a, →b的向量积与→c的数量积(→a×→b)→c叫做→a, →b,→c的混合积。
记作(→a, →b,→c)＝(→a×→b)→c
混合积的几何意义由下面两个定理表述
1.4.4定理不共面向量→a, →b,→c的混合积的绝对值等于以→a, →b,→c为棱的
平行六面的体积。它的符号,当→a, →b, →c组成右手系时为正,当→a, →b,→c组成左
手系的为负。
证：由于→a, →b,→c不共面,把它归到共同的起点Ｏ, 可以构成→a, →b,→c为棱
的平行六面体(图1-26) ,它的底面是以→a, →b为邻边的平行四边形,面积S＝│→a
×→b│。它的高ｈ。它的体积Ｖ＝S·ｈ
图1-26
由数量积定义
(→a×→b)·→c＝│→a×→b│→c COSθ＝S│→c│COSθ
其中θ是→a×→b和→c的夹角.
当{0; →a, →b,→c}成右手系时,0≤θ＜π/2, h＝│→c│COSθ
因而(→a×→b)→c＝S·H＝V
当{0; →a, →b,→c}成左手系时,π/2＜Ｑ≤π,
h ＝│→c│COS（π－θ）＝－│→c│COSθ，因而(→a×→b) →c＝－Sh＝－Ｖ
1.4.5定理 三向量→a , →b ,→c 共面的充要条件是(→a , →b ,→
c )＝0 证：设→a , →b ,→c 共面,则→a , →b ,→
c 构成的平行六面体体积为０. (→a ×→b )·→
c ＝0
反之, (→a ，→b ，→c )＝0,若→a , →b ,→c 不共面,则以→a , →b ,→
c 为棱的平行六面体体积(→a , →b ,→
c )≠0,矛盾,证毕。
系: (→a , →b ,→c )＝(→b ,→c , →a )＝(→c ，→a ,→b )＝－(→b ，→a ,→
c ) 现在，我们提出并证明向量积满足分配律。
1.5.6定理 (→a ＋→b )×→c ＝→a ×→c ＋→b ×→
c
→c ×(→a ＋→b )＝→c ×→a ＋→c ×→
b
证：显然第二式可以从第一式利用反交换推得， 因此仅需证明第一式。
因为向量的坐标等于它与坐标向量的数量积， 所以问题归结的证明以下三个等式:
〔(→a ＋→b )×→c 〕→i ＝（→a ×→c ＋→b ×→c ）→
i
〔(→a ＋→b )×→c 〕→
j ＝（→a ×→c ＋→b ×→
c ）→
j 〔(→
a ＋→
b )×→
c 〕→k ＝（→a ×→c ＋→b ×→c ）→
k
我们仅需证第一等式其余完全类似可得
〔(→
a ＋→
b )×→
c 〕→
i ＝（→
a ＋→
b ，→
c ,→
i ）＝（→
c ，→
i ， →
a ＋→
b ）
＝（→c ×→
i ）（→
a ＋→
b ）＝（→
c ×→
i ）→
a ＋（→
c ×→i ）→
b
＝（→
c ,→
i ,→
a ）＋（→
c ，→
i ，→
b ）＝（→
a ，→
c ， →
i ）＋（→
b ，→
c ，→
i ）
＝〔→a ×→c 〕＋→b ×→c ）〕→
i 证毕 1.4.3 向量积与混合积的坐标计算
我们首先注意到,坐标向量→i →j →
k 相互间有如下关系:
→
i ×→j ＝→k ，→
j ×ｋ＝→i ，→k ×→i ＝→
j
(1)今设给了两个向量→
a ＝｛1a ，2a ，3a ｝, →
b ＝｛1b ，2b ，3b ｝则
→
a ＝1a →i ＋2a →j ＋3a →k ， →
b ＝1b →
i ＋2b →
j ＋3b →
k ，
→
a ×→
b =（1a →i ＋2a →j ＋3a →k ）×（→b ＝1b →i ＋2b →j ＋3b →
k ）
=1a 1b (→
i ×→
i )＋1a 2b (→
i ×→
j )＋1a 3b (→i ×→k )＋2a 1b (→j ×→
i )
＋2a 2b (→j ×→j )＋2a 3b (→j ×→k )＋3a 1b (→k ×→i ) ＋3a 2b (→k ×→
j ) ＋3a 3b (→k ×→
k )
因为每个向量都与自身共线,所以与自身的向量积为零向量,再利用反交换律及→i ，→j ，→
k 之间的关系式,立即推得:
→
a ×→
b ＝（2a 3b －2b 3a ）→
i ＋（3a 1b －3b 1a ）→
j ＋（1a 2b －1b 2a ）→
k
利用行列式作记号表示即 ｛（2a 3b －2b 3a ）,（3a 1b －3b 1a ）,（1a 2b －1b 2a ）｝
=?
?????21
21
13
13
32
32
,,b b a a b b a a b b a a 也可以记为
→
a ×→
b =3
21
321
b b b a a a k
j i
→
→
→
(2)下面来算混合积
设→
a {1a ，2a ，3a }, →
b {1b ，2b ，3b }, →
c {1c ，2c ，3c },
∴（→
a ×→
b ）→
c =
132
32
c b b a a +213
13
c b b a a 32
1
21
c b b a a
=3
2
1
321
3
21
c c c b b b a a a (4) 上面我们都利用直角坐标来计算,为了理论上的需要, 我们来推导一个用仿射坐标计算的混合积公式 设 →a =1a →1e ＋2a →2e ＋3a →
3e →b =1b →1e ＋2b →2e ＋3b →
3e →
c =1c →1e ＋2c →2e ＋3c →
3e
为三个向量→a ，→b ，→c 关于仿射标架{O , →1e ,→2e ,→
3e }的分解式
∴→→→→=11()(e a c b a →+22e a →+33e a ，→11e b →+22e b →+33e b ，→11e c →+22e c )33→
+e c
=→11(e a ，→22e b ，)33→e c +→11(e a ，→33e b ，)22→e c +→22(e a ，→11e b ，)33→
e c + →
22(e a ，→
33e b ，)11→e c +(→33e a ，→22e b ，)22→e c +(→33e a ，→22e b ，)11→
e c =（1a 2b 3c -1a 2c 2b -1b 2a 3c +1c 2a 3b +1b 2c 3a -1c 2b 3a ）(→1e →2e →
3e ) 即 (→a →b →
c )＝ 3
2
1
321321c c c b b b a a a (→1e →2e →
3e ) (5)
由于(→
i ，→
j ，→
k )＝1,因此公式(4)是公式(5)的特例。 1.5.4向量积混合积可以推导一些几何学上的公式 1.计算三角形的面积
设ABC ?三个顶点的坐标分别为A(1X ,1Y ,1Z )，B(2X ,2Y ,2Z )，
C(3X ,3Y ,3Z )，则向量→AB ,→AC 的坐标分别为→
AB { 2X - 1X , 2Y - 1Y , 2Z - 1Z }，
→
AC { 3X - 1X , 3Y - 1Y , 3Z -1Z }，于是→AB ×→
AC 的三个坐标分别为
Ｘ＝
131
31212Z Z Y Y Z Z Y Y ---- Ｙ＝13131212Y Y Z Z Y Y Z Z ---- Z ＝1
3131
212Y Y X X Y Y X X ---- 故│→
AB ×→
AC │＝222Z Y X ++,今△ABC 的面积等于以AB,AC 为邻边的平行四边形面积之一半,即△ABC 的面积＝
2
1
222Z Y X ++
2.计算四面体的体积:
设一个四面体的四个顶点为A(1X ,1Y ,1Z )，B(2X ,2Y ,2Z )，C(3X ,3Y ,3Z )，D(4X ,4Y ,4Z ),则→AB ,→AC ,→
AD 的坐标分别为{2X - 1X , 2Y - 1Y , 2Z - 1Z },{3X - 1X , 3Y - 1Y , 3Z -1Z }，{4X -1X , 4Y -1Y , 4Z -1Z }, 以这三个向量为棱的平行六面体的体积为│(→
AB ,→
AC ,→
AD )│即行列式
△＝1
41
4141
313131
21212Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X ---------
的绝对值,因为四面体ABCD 的体积为这个平行六面体体积之六分之一,因此得到:
||6
1
?=
ABCD V 最后应该提到，上面我们定义的向量及其代数运算都是在空间的情况，如果我们所讨论的几何对象只限制在平面，即讨论平面的情况，我们完全类似地可以定义平面中的向量及其和、加、减与数乘法、数量积的运算。
这是所讨论的平面只有两条坐标轴和两个坐标向量，x 轴、y 轴和→1e 、→
2e ，不妨可以认为这时所讨论的几何对象是位在空间坐标系的xoy 平面上，这时xoy 平面上的点可以看成空间中所有第三坐标z=0的所有点的集合。xoy 平面的所有向量也可以看成空间中所有第三个坐标z=0的所有向量的集合。所以上面所得到关于空间向量的线性运算和数乘运算的坐标表达式可以通过令第三坐标z=0得到相应平面向量运算的公式。
习题1—4
1、计算下列各组两向量的向量积
（1）{3，4，2}与{3，5，-1} （2）{1，-3，1}与{2，-1，3}
2、已知三角形的顶点为),4,6,3(),3,0,2(),1,4,3(-C B A 求其面积。
3、已知一三棱锥的顶点为),3,0,6(),5,3,2(),1,4,3(),0,0,0(--D C B A 求其顶点A 所引高的长。
4、证明：四点)17,14,10(),3,2,2(),6,4,4(),1,0,1(D C B A 共面。
5、证明关于二重向量积的公式
)()()(→
→→→
→→→
→
→
-=??c b a c a b c b a 并问?)(=??→
→
→
c b a
（提示，通过坐标计算去证明）。
6、证明拉格朗日等式
))(())(()()(→
→→
→→
→→
→→
→
→
→
-=???c b d a d b c a d c b a
7、证明：
2
2
2)(||→
→→→→
→-=?b a b a b a
8、设三向量→
→→c b a ,,不共面，证明任意向量→
d 可以表示成
→
→→→→
→→→
→→→→→→→
→→→→
→→→
++=c c b a d b a b c b a c d a a c b a c b d d )
()()()
()()
(
9、证明)()()()()()(→
→→→→→→→→→→→→→→→→
→
→→-=-=???c b a d d b a c d c b a d c a b d c b a 并利用这个结果来计算),,(→
→
→→
→→
???f e d c b a 。
10、证明：设→e 为单位向量，→a 为非零向量，则→e ?→a 可用下发求出：把→
a 投影到与→
e 垂直的平面上，得向量是→
1a ，再将→
1a 绕→
e 右旋一个直角，则所得向量即为
→
e ?→
a 。又利用这个结果来证明向量积的分配律。
（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力
就一定可以获得应有的回报）