分式的概念与基本性质
分式的概念
当两个整数不能整除时,出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ,B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子A
B
叫做分式. 整式与分式统称为有理式．
在理解分式的概念时,注意以下三点: ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0；
⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开.
分式有意义的条件
两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时,分式无意义． 如:分式
1
x
，当0x ≠时,分式有意义;当0x =时，分式无意义. 分式的值为零
分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零,注意是“同时”.
分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.
上述性质用公式可表示为：a am b bm =,a a m
b b m
÷=÷（0m ≠).
注意：①在运用分式的基本性质时,基于的前提是0m ≠;
②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据.
一、分式的基本概念
【例1】 在下列代数式中,哪些是分式?哪些是整式?
1t ，(2)3x x +,2211x x x -+-，24x x +,52a ,2m ,21321x x x +--，3πx
-，323a a a +
【考点】分式的基本概念
【解析】根据分式的概念可知,分式的分母中必然含有字母，
由此可知1t
，2211x x x -+-,24x x +,21
321x x x +--,323a a a +为分式．
(2)x x +，
5a ，2m ，3x
-为整式.
【答案】1t
,1x -，24x x +，21
321x x x +--，3a 为分式
(2)3x x +，
52a ，2m ，3π
x
-为整式.
【例2】 代数式2222
1131321223
x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，中分式有（ )
A.1个
B.１个
C.1个
D.1个
【考点】分式的基本概念
【解析】分母中含有字母的式子是分式,所以上式中分式有2113
21x x x x y
+-+，，.选C
【答案】选C
二、分式有意义的条件
【例3】 求下列分式有意义的条件:
⑴1x ?⑵33x +??⑶2a b a b +--?⑷21n m + ⑸22x y x y ++?⑹21
28
x x --? ⑺29
3
x x -+
【考点】分式有意义的条件
【解析】⑴分式有意义的条件是0x ≠;
⑵分式有意义的条件是30x +≠,即3x ≠-;
⑶分式有意义的条件是20a b -≠，即2a b ≠，1
2
a b ≠；
⑷分式有意义的条件是210m +≠，即m 为任何实数； ⑸分式有意义的条件是220x y +≠，故0x ≠或者0y ≠;
⑹分式有意义的条件是228(4)(2)0x x x x --=-+≠，即4x ≠且2x ≠-;
⑺当我们求使分式有意义的字母的取值范围时，同样要看原式，而不是化简之后的结果． 分式有意义的条件是30x +≠，即3x ≠-
【答案】⑴0x ≠；
⑵3x ≠-；
⑶1
2
a b ≠；
⑷m 为任何实数; ⑸故0x ≠或者0y ≠; ⑹4x ≠且2x ≠-; ⑺即3x ≠-
【例4】 要使分式
23
x
x -有意义，则x 须满足的条件为? ?? ． 【考点】分式有意义的条件 【解析】x-3≠0 【答案】3x ≠
【例5】 ⑴x 为何值时,分式
1
111x
+
+有意义？ ⑵要使分式24
1312a a a
-++
没有意义，求a 的值.
【考点】分式有意义的条件
【解析】⑴1
101x
+
≠+且10x +≠,则2x ≠-且1x ≠- ⑵根据题意可得13102a a ++=或20a =,所以1
5
a =-或0a =
【答案】(1）2x ≠-且1x ≠-
(2）1
5
a =-或0a =
【例6】 x 为何值时，分式1
122x +
+有意义?
【考点】分式有意义的条件
【解析】根据题意可得：120220
x
x ?
+
≠?+??+≠?，解得2x ≠-且52x ≠- 【答案】2x ≠-且5
2
x ≠-
【例7】 x 为何值时,分式1
1
22x x
+-
+有意义？
【考点】分式有意义的条件 【解析】1
202x x
+-≠+且20x +≠,则1x ≠-，且3x ≠-,且2x ≠-，
【答案】则1x ≠-，且3x ≠-,且2x ≠- 【例8】 若分式
250
1250x x -+
+有意义，则x ; 若分式
250
11250x x
-+
+无意义，则x ; 【考点】分式有意义的条件
【解析】分式有意义,根据题意可得：1102502500
x x ?
+
≠?+??+≠?，解得251x ≠-且250x ≠-；
分式无意义,根据题意可得：1
10250x
+=+或2500x +=,即251x =-或250x =-；
【答案】(1）251x ≠-且250x ≠-;（2)251x =-或250x =-
【例9】 若33a
a
-有意义，则33a a -（ ).
A. 无意义 B ． 有意义 Ｃ． 值为０ D. 以上答案都不对
【考点】分式有意义的条件 【解析】
33a
a
- 有意义的条件为30a -≠, 3a ≠. 同理33a a -有意义的条件为3a ≠±．
所以
33a
a
-有意义，33a a -不一定有意义,应选D.
【答案】D
【例10】 x 为何值时,分式29
113x x
-+
+有意义?
【考点】分式有意义的条件
【解析】根据题意可得:110330
x x ?
+
≠?+??+≠?，解得3x ≠-且4x ≠-;
【答案】3x ≠-且4x ≠-
【例11】 ⑴ 若分式216
(3)(4)
x x x --+有意义，则x ；
⑵ 若分式216
(3)(4)
x x x --+无意义，则x ；
【考点】分式有意义的条件
【解析】 ⑴ 若分式216
(3)(4)
x x x --+有意义,则3x ≠且3x ≠-且4x ≠-;
⑵ 若分式216
(3)(4)
x x x --+无意义,则3x =或3x =-或4x =-;
【答案】（1）3x ≠且3x ≠-且4x ≠-；(2）3x =或3x =-或4x =-
三、分式值为零的条件
【例12】 当x 为何值时，下列分式的值为0?
⑴1
x x +??⑵211x x -+??⑶33x x --??⑷237x x ++? ⑸2231x x x +--??⑹2242x x x -+
【考点】分式值为零的条件
【解析】⑴101x x +=?=-,此时分母不为0，故当1x =-时,原式的值为０；
⑵2101x x -=?=或者1x =-,但当1x =-时,分母为0,故1x =时,原式的值为０; ⑶由303x x -=?=±,又303x x -≠?≠，故3x =-; ⑷由2330x +≥>可知，无论x 为何值,分式的值都不为0；
⑸由22301x x x +-=?=或者3x =-,又101x x -≠?≠，故3x =-； ⑹由2402x x -=?=±，又2200x x x +≠?≠且2x ≠-,故2x =.
【答案】⑴1x =-时;
⑵1x =；
⑶3x =-;
⑷无论x 为何值,分式的值都不为0; ⑸3x =-;
⑹2x =．
【巩固】当x 为何值时,下列分式的值为0?
⑴21
3
x x -+ ?⑵223(1)(2)x x x x --++?⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-?
⑸288
x x +
⑹22
25(5)x x -- ⑺
(8)(1)
1
x x x -+-?
【考点】分式值为零的条件
【解析】⑴根据题意可得:21030
x x -=??+≠?,则1
2x =
⑵根据题意可得:2230(1)(2)0x x x x ?--=?++≠?
,则31
12x x x x ==-??≠-≠-?或且,所以3x =
⑶根据题意可得：260
560x x x ?-=??--≠??，则6x =-
⑷根据题意可得：22160
340x x x ?-=??+-≠??,则4x =
⑸根据题意可得:280
80
x x =??+≠?,则0x =
⑹根据题意可得:2
2
250
(5)0
x x ?-=??-≠??,则5x =- ⑺根据题意可得：(8)(1)0
10x x x -+=???-≠??
,则8x =
【答案】⑴1
2x =；⑵3x =;⑶6x =-；⑷4x =；⑸0x =；⑹5x =-；⑺8x =
【例13】 若分式4
1
x x +-的值为0,则x 的值为? ．
【考点】分式值为零的条件 【关键词】2０10年，昌平一模
【解析】4- 【答案】4-
【巩固】若2
2x x a -+的值为０，则x = .
【考点】分式值为零的条件
【解析】根据题意可得: 20
20x a x +≠??-=?
，即2x =且4a ≠-.
【答案】2x =且4a ≠-．
【巩固】若分式24
2x x --的值为0,则x 的值为 .
【考点】分式值为零的条件 【关键词】2010年,朝阳一模 【解析】2- 【答案】2-
【巩固】若分式221
x x
x +-的值为0，则ｘ的值为 .
【考点】分式值为零的条件
【关键词】2010年，房山二模 【解析】0 【答案】0
【例14】 如果分式232
1x x x -+-的值是零,那么x 的取值是 .
【考点】分式值为零的条件
【关键词】２０1０年，石景山二模 【解析】２ 【答案】2 【巩固】若分式
()()
3
21x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．
【考点】分式值为零的条件
【解析】当()()21030x x x ?-+≠??+≠??
①
②时，原分式的值不为零．
由①得：2x ≠且1x ≠-. 由②得：3x ≠-．
∴若原分式的值不等于零，x 的取值范围是2x ≠且1x ≠-且3x ≠-．
【答案】2x ≠且1x ≠-且3x ≠-
【例15】 x 为何值时,分式29113x x
-+
+分式值为零?
【考点】分式值为零的条件
【解析】若分式29
113x x
-+
+值为零,3x =．
【答案】3x =
【巩固】x 为何值时,分式234
55
x x
x x ++-
+值为零？
【考点】分式值为零的条件
【解析】根据题意可得230450550
x x x x x ?+=?
?
+-≠?+?
?+≠?,解得0x =，若问此分式何时无意义，则3x =-或5x =-或7x =-. 【答案】3x =-或5x =-或7x =- 【巩固】若分式
233x x x
--的值为０，则x = ．
【考点】分式值为零的条件
【解析】
233
3(3)x x x x
x x --=
--，根据题意可得: (3)0
30x x x -≠???-=??
,所以3x =-.
【答案】3x =- 【巩固】 若分式
250
01250x x
-=+
+，则x . 【考点】分式值为零的条件
【解析】分式值为零，根据题意可得：11025025002500x x x ?+≠?+?
+≠??-=??
，解得250x =.
【答案】250x =
四、分式的基本性质
【例16】 填空：
(１）()
2ab b
a = (2)()32x x xy x y =++
(3）()
2x y x xy
xy ++=
（4）()222x y x y x xy y +=--+ 【考点】分式的性质
【答案】（1）a ；(2)2x ;（3）2x y ；(4)22x y -
【例17】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍,下列分式的值如何变化?
⑴x y x y +- ??⑵xy
x y -? ⑶22x y x y -+
【考点】分式的性质 【解析】⑴
333()333()x y x y x y
x y x y x y +++==
---,不发生变化 ⑵3393333()x y xy xy x y x y x y ?==?---，是原来的3倍 ⑶22222
2333()1(3)(3)9()3x y x y x y x y x y x y ---==?+++，是原来的13
倍 【答案】⑴不发生变化
⑵是原来的3倍
⑶是原来的1
3
倍
【巩固】把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍,分式的值有什么变化?
（1)2x y x y ++ （２)22923x x y +
【考点】分式的性质
【解析】(1）扩大５倍后的分式为
()()()
525522555x y x y x y
x y
x y x y
+++=
=
+++。因此分式值不变。
（２)扩大5倍后的分式为
()()()
()()
()
2
2
2229559925235232535x x x x y x y x y =
=
+++，因此分式值为原来的1
5。
【答案】（1)分式值不变。
（2）分式值为原来的1
5
【例18】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数. ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑵32
4
31532
x y
x y -+ 【考点】分式的性质 【解析】⑴
()()1.030.021001.030.0210323.20.5 3.20.510032050x y x y x y
x y x y x y
+?++==--?-
⑵3232
12
984343151543012323
2x y x y x y x y x y x y ??-?- ?-??==
+??++? ??? 【答案】⑴
103232050x y
x y +-
⑵98430x y
x y -+
【巩固】不改变分式的值,把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。
（1）0.3 1.20.051x x +-； （2)115
710.12
x y
x y -+ 【考点】分式的性质 【解析】(1）原式()()0.3 1.220624
0.0512020
x x x x +?+=
=-?-
(２)原式117014105713570.1702x y x y x y x y ??-? ?-??==
+??
+? ??? 【答案】（1）624
20x x +-
（2)1410357x y x y
-+
【例19】 不改变分式值，使下列各式分子与分母中的最高次数项的系数为正数：
(1)21
2a a ---； (２）322353a a a a -+---
【考点】分式的性质 【解析】(1）原式()
221122
a a a a -++=
=-
--
（2)原式2232233
255
33
a a a a a a a a -+---==--+-
【答案】（1）21
2a a +-- (２）323253a a a a --+-
【例20】 求下列各组分式的最简公分母
⑴277a -,2312a a a -+，211
a - ?? ? ⑵2145x x --,232x
x x ++,22310x x x --? ? ⑶22a ab a ab +-,22ab b ab -,222
a a b
-?? ? ⑷231881x x -+,2
281x -，21
1881x x ++
?
【考点】分式的性质 【关键词】最简公分母
【答案】⑴27(1)(1)a a -+;⑵(5)(1)(2)x x x -++；⑶()()ab a b a b +-;⑷22(9)(9)x x -+
【例21】 通分：⑴238x y -，3512x yz ,3320xy z - ? ⑵1(1)x x x +-,21x x -，22
21
x x -+
⑶2n m mn -,2m n mn -，22
1
m n - ?⑷1()()a b a c --,1()()b c b a --，1()()c a c b -- 【考点】分式的性质 【关键词】通分
【答案】⑴22333458120xy z x y x y z -=-;233355012120y x yz x y z =；2
3
3331820120x xy z x y z
-=- ⑵先分解因式，而后找公分母为2(1)(1)x x x +-
221(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ++-=-+-,222
(1)1(1)(1)x x x x x x x -=-+-,22
22(1)
21(1)(1)x x x x x x x +=-++- ⑶先分解因式，而后找公分母为()()mn m n m n +-
22()()()n n m n m mn mn m n m n +=-+-，22()()()m m m n n mn mn m n m n +=--+-，22
1()()
mn
m n mn m n m n =-+- ⑷1()()()()()c b a b a c a b b c c a -=-----,1()()()()()a c
b c b a a b b c c a -=
-----， 1()()()()()
b a
c a c b a b b c c a -=
----- 【例22】 下列分式中,哪些是最简分式?若不是最简分式,请化为最简分式。
(1）22444x x x -+- （２）()()
6
3
34a a b b a -- (３）222x y y -; （4)2221
288x x x x ++++ 【考点】分式的性质 【关键词】最简分式
【解析】分式的分子和分母中没有公因式的分式是最简分式。因此最简分式是(３)和（4）。(1)和(2)分别化简
得2
2
x x -+和()3
34a a b --
【答案】最简分式是(3）和（４）。（1)和（2）分别化简得2
2
x x -+和()3
34a a b --
【巩固】以下分式化简：①42226131x x x x ++=--；②x a a
x b b
+=+;③
22x y x y x y +=++;22x y x y x y -=++。其中错误的有（ ）
A.１个 B ．２个 C.3个 D ．4个
【考点】分式的性质 【关键词】约分
【解析】约分是约去分子和分母中的公因式,而不是分子与分母中的部分因式或多项式式中的某些项，故①、
②、③错误。而④式中约分应得x y -,所以选D 。
【答案】Ｄ
【例23】 约分：⑴32324______30x y x y -=；⑵262______31
x x
x +=+
【考点】分式的性质 【答案】 ⑴2
45x
y -
;⑵2x 【例24】 化简:232428_______416n n
n n n
x x x x x +++-=++. 【考点】分式的性质 【关键词】约分
【解析】原式=23422(8)(8164)n n x x x x x x -++-2222(2)(24)(24)(24)n n x x x x x x x x x -++=++-+2(2)
24
n x x x x -=
-+ 【答案】2(2)
24
n x x x x --+
【巩固】约分：
(1)22366
m m
m m +-- (2）2222444y x x xy y -+-+-
（3）14162n n a b a b +-(n 是大于１的整数）; （4)2222142n n
n n n x x x x x +++---(n 是正整数)
【考点】分式的性质 【关键词】约分 【解析】(1）原式()
()()
323323
m m m
m m m +=
=
-+- （２)原式()()()
2
22222x y x y x y
x y x y +-+=-=--- （3）原式231231
3232n n a b a b
a b a b
--?==。
1分式及分式的基本性质练习题.doc
分式及分式的基本性质练习 题型 1：分式概念的理解应用 1 ．下列各式 a ， 1 ， 1 x y ， a 2 2 b ， 3x 2 ，0?中，是分式的有 ___ __；是整式的有 _____ ． π x 1 5 a b 题型 2：分式有无意义的条件的应用 2 ．下列分式，当 x 取何值时有意义． （2） 3 x 2 （ 1） 2x 1 ； ． 3x 2 2x 3 3 ．下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（ ） 2 C ． 3x 1 A ． 1 B ． x D ． x 1 2x 1 2 x 1 x 2 2 x 2 4 ．当 x ______时，分式 2 x 1 无意义． 3x 4 题型 3：分式值为零的条件的应用 2 5 ．当 x _______时，分式 x 1 的值为零． x 2 x 2 6 ．当 m ________时，分式 (m 1)(m 3) 的值为零． m 2 3m 2 题型 4：分式值为 1 的条件的应用 7 ．当 x ______时，分式 4x 3 的值为 1；当 x _______时，分式 4x 3 的值为 1 ． x 5 x 5 课后训练 基础能力题 8 ．分式 x ，当 x _______时，分式有意义；当 x _______时，分式的值为零． 2 x 4 9 ．有理式① 2 ，② x y ，③ 1 ，④ x 中，是分式的有（ ） x 5 2 a 1 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 10．分式 x a 中，当 x a 时，下列结论正确的是（ ） 3 x 1 A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零； D ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零 3 3 11．当 x _______时，分式 1 的值为正；当 x ______时，分式 4 的值为负． x 5 2 x 1 12．下列各式中，可能取值为零的是（ ） m 2 1 B ． m 2 1 C ． m 1 D ． m 2 1 A ． 2 1 m 1 2 1 m 1 m m 13．使分式 x 无意义， x 的取值是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 1 D ． 1 | x| 1 拓展创新题 14．已知 y x 1 ， x 取哪些值时：（ 1） y 的值是正数；（ 2 ） y 的值是负数；（ 3） y 的值是零；（ 4）分式 2 3 x 无意义． 题型 1：分式基本性质的理解应用
分式的概念及基本性质分式的运算
分式的概念及基本性质-分式的运算
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分式的概念及基本性质分式的运算一. 知识精讲及例题分析 （一)知识梳理 1. 分式的概念 形如A B (Ａ、B是整式,且Ｂ中含有字母,B≠0)的式子叫做分式。其中A叫分式的分子，Ｂ叫分式的分 母。 注: （１)分式的分母中必须含有字母 (2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义 2. 有理式的分类 有理式 整式 单项式 多项式分式 ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。 A B A M B M = ? ? , A B A M B M = ÷ ÷ (M为整式,且M≠0） ４. 分式的约分与通分 （1)约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 步骤： ①分式的分子、分母都是单项式时 ②分子、分母是多项式时 (2)通分:把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,为进行分式加减奠定基础。 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。 求最简公分母的步骤: ①各分母是单项式时 ②各分母是多项式时 5. 分式的运算 (1)乘除运算 (2）分式的乘方 （３)分式的加减运算 (4）分式的混合运算 【典型例题】 例1. 下列有理式中，哪些是整式,哪些是分式。 ab a 2 ， 1 x ， a 3 ,- - x x y ， x+1 π ， 1 4 () x y -, 1 y a b () +， 1 2 a- 例2．下列分式何时有意义 (1)x x - + 1 2 ??（２) 1 1 ||x- （３) 4 1 2 x x- (4） x x x 22 + 例３. 下列分式何时值为零
分式的概念教学设计
1.1 分式 1.1.1分式的概念 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论） （1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果 的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块， 这六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48，即：3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什 么？
分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3n ，33n n ÷、相等吗？（33=n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n 不能为0） (2) 334n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二 合作交流，探究新知 1 分式的概念 填空： （1 ）如果小王用a 元人民币买了b 袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。 （2）一个梯形木板的面积是6 2m ，如果梯形上底是am ，下底是bm ，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a 亩，b 亩的稻田m kg ，n kg ，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式：12a m n b a b a b +++、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母含有字母） 一般地，如果f 、g 分别表示两个整式，并且g 中含有字母，那么代数式 f g 叫分式。
分式的基本性质-经典例题及答案
讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。 【趣味链接】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。 【知识梳理】 分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.
3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式 有理式的分类：有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0） 约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母： 约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】 【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D． 【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
八年级数学下册 分式及其基本性质(第1课时)教案华东师大版
分式及其基本性质(1) 知识技能目标 1.使学生理解分式的概念，能正确判断一个代数式是否为分式，分清分式和整式的区别，了解有理式的概念； 2.理解并掌握判断一个分式有意义、无意义及值为零的方法； 3.使学生理解分式的基本性质．通过对比分数和分式基本性质的异同点，渗透类比的思想方法，学会用运动、变化的观点分析问题． 过程性目标 1.让学生在判断和识别整式与分式的实践过程中，理解并掌握分式的概念． 2.让学生体会从分数变化到分式的运动过程，从中感悟类比的思想方法． 情感态度目标 通过学生比较熟悉的分数入手进行教学，降低教学难度，提高学生的学习兴趣，培养学生类比与比较的思维能力． 重点和难点 重点：分式的概念． 难点：一个代数式不是不分式的判断． 教学过程 一、创设情境 做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为米； (2)面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为米； (3)已知正方形的周长是a cm，则一边的长是____cm，面积是____cm2； (4)一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克．则每千克苹果的售价是元． 想一想 两个数相除，不能整除时结果可用分数表示．当两个整式不能整除时，它们的商怎样表示呢？ 二、探究归纳 1.分式的概念 问在上面所列出的代数式中，哪些是整式？哪些不是？ 同于前面学过的整式，是两个分母含有字母的代数式．在实际应用中，某些数量关系只用整式来表示是不够的，我们需要学习新的式子，以满足解决实际问题的需求．我们称这两个代数式为分式．
其中A叫做分式的分子(numerator)，B叫做分式的分母(denominator)． 从分式的意义中，应注意以下三点： (1)分式是两个整式相除的商，分数线可以理解为除号，并含有括号的作用； (2)分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母必须含有字母； (3)分式分母的值不能为零．如果分母的值为零，那么分式就无意义． 整式和分式统称为有理式(rational expression)，即 分式是有理式的一部分．在有理式中可以包含加、减、乘、除四种运算， 但在整式中除式不能含有字母． 例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 解属于整式的有：(2)、(4)；属于分式的有：(1)、(3)． 想一想识别一个有理式是分式还是整式的关键是什么？ 关键是观察分母是否含有字母．如果分母不含字母，就是整式；如果分母含有字母，就是分式，与分子是否含字母无关． 2.分式的基本性质 回忆分数的基本性质是什么？ 分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变． 分式和分数也有类似的性质． 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 想一想分数的基本性质与分式的基本性质有什么区别？ 在分数的基本性质中，分子与分母是都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数 的值不变，这个“数”是一个具体的、唯一确定的值；而在分式的基本性质中，分式的 分子与分母则是都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，“整式”的 值是随整式中字母的取值不同而变化的，所以它的值是变化的． 从分数到分式是把“数”引伸到“式”．分数是分式的特殊情形，即当分式的分子和分母均为数，并且分母是不等于零的数，就成为分数． 三、实践应用 例2当x取什么值时，下列分式有意义？ 分析分式有意义的条件是分母的值不能等于零，从此条件出发可以考虑分式何时无意义，从而确定x的值． 解(1)当分式的分母x-2＝0时，这个分式无意义，
分式的概念及性质应用
分式的概念及性质 定义 示例剖析 分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 A B 叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且0B ≠． 例如211 a ax +， 分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等 于零即0B ≠． 使1x 有意义的条件是0x ≠ 分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零． 即当0A =且0B ≠时，0A B =． 使1 1x x -+值为0的x 值为1 知识互联网 模块一 分式的基本概念 知识导航
【例1】 ⑴下列式子：2 124233a x y a x x x a b x +---π，，，， ，1 x x y +其中是分式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ⑵当x 时，分式 2x x +有意义；当x 时，分式21 1 x +有意义； ⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？ ① 213x x -+ ②6(6)(1)x x x --+ ③ 216(4)(1)x x x -+- ④ 288 x x + ⑤ 2225(5)x x -- 【例2】 ⑴当x 时，分式 233x x --的值为1；如果分式1 21x x -+的值为1-，则x 的值是_____. ⑵当x 时，分式48x -的值为正数；当x 时，分式48x x --的值为负数；当 x 时，分式6 1x +的值为正整数. ⑶当3x =-时，分式x b x a --无意义，当5x =时，分式x b x a --的值为0，则a b +=_____. 能力提升 夯实基础 模块二 分式的基本性质
分式及分式的基本性质
分式及分式的基本性质 一. 选择题 1. 在x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1 +中分式的个数有( ）A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2. 要使分式 1 (1)(2) x x x ++-有意义，则x 应满足（ ）≠-1 ≠2 ≠±1 ≠-1且x ≠2 3. 下列约分正确的是（ ） A 、3 26x x x =； B 、 0=++y x y x ； C 、x xy x y x 12=++； D 、2 14222=y x xy 4. 化简2 293m m m --的结果是（ ） A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m m -3 5. 下列分式中,最简分式是 （ ） A.a b b a -- B.22x y x y ++ C.242x x -- D.4 422+++a a a 6. 对分式 2y x ，23x y ，14xy 通分时， 最简公分母是（ ）A ． B ． Ｃ． Ｄ． 7. 下列式子（1） y x y x y x -=--12 2；（2）c a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+- 中正确个数有 （ ） A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 8. 分式 1 3-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若3 1 ≠a 时,分式的值为零 9. 如果分式x 211 -的值为负数,则的x 取值范围是( )A.21≤x B.21
分式的概念与基本性质
分式的概念 当两个整数不能整除时,出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ,B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式. 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时,注意以下三点: ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开. 分式有意义的条件 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时,分式无意义． 如:分式 1 x ，当0x ≠时,分式有意义;当0x =时，分式无意义. 分式的值为零 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零,注意是“同时”. 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变. 上述性质用公式可表示为：a am b bm =,a a m b b m ÷=÷（0m ≠). 注意：①在运用分式的基本性质时,基于的前提是0m ≠; ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据. 一、分式的基本概念 【例1】 在下列代数式中,哪些是分式?哪些是整式? 1t ，(2)3x x +,2211x x x -+-，24x x +,52a ,2m ,21321x x x +--，3πx -，323a a a + 【考点】分式的基本概念 【解析】根据分式的概念可知,分式的分母中必然含有字母， 由此可知1t ，2211x x x -+-,24x x +,21 321x x x +--,323a a a +为分式． (2)x x +， 5a ，2m ，3x -为整式. 【答案】1t ,1x -，24x x +，21 321x x x +--，3a 为分式
分式的概念和性质(基础)知识讲解
分式的概念和性质（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如a π 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式 不能先化简，如 2 x y x 是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， 不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做 分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ?÷ == ?÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加 的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后， 字母x的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则
分式的基本概念及性质
分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ (0 m≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 一、分式的基本概念 【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 t ，(2) 3 x x+， 221 1 x x x -+ - ， 24 x x + ， 5 2 a ，2m， 2 1 321 x x x + -- ， 3 π x - ， 32 3 a a a + 【例2】代数式 2222 113 1 321223 x x x a b a b ab m n xy x x y +-- +++ + ，，，，，，，中分式有（） A.1个 B.1个 C.1个 D.1个 分式的基本概念及性质
分式的基本性质及运算复习讲义
分式的基本性质及运算复习 班级 姓名 一、知识梳理 1、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式A B 叫做 。 2、分式的 时，分式有意义；分式的 时，分式的值为0。 3、用具体的数值代替分式中的字母，按照分式的运算关系计算，所得的结果就是 。 4、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 的整式， 分式的值 。 5、根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分。 6、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的 。 7、同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ； 异分母的分式相加减，先 ， 再 。 8、分式乘分式,用 的积做积的分子，用 的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 。 9、分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先 ，后 ，如果有括号，先进行括号内的运算。 二、基础练习 1、下列各式中，2 4,2),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π，分式有 。 2、当x 时，分式31-+x x 有意义；当x 时，分式3 2-x x 无意义； 当x 时，分式3 92--x x 的值为零。 3、填空：（1）b a a b b a 2)( =+； （2）x x xy x )(22 =+； （3）222)(xy y xy = ； （4）21()a a a c ++= ； （5）()n mn m m =+2 ； （6）()()222x y x y x y +=≠-； 4、若分式12 32 -a a 的值为负数，则a 的取值范围为 。 5、请你写一个关于x 的分式，使此分式当3=x 时，它的值为2。
分式(1)(分式概念、基本性质)
分式（1）（分式概念、基本性质） 一、基础知识梳理： 1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 做分式。A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0. 2.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变. 3.分式的约分 (1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质． (3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． 4.最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 二、针对性练习： （一）、填空题： 1.对于分式 1 22 x x -+（1）当________时，分式的值为0 ； （2）当________时，分式的值为1；（3）当________时，分式无意义； （4）当________时，分式有意义. 2．填充分子，使等式成立； ()2 22(2)a a a -= ++； ()22233x x x -=-+- 3．填充分母，使等式成立：() 22 23434254x x x x -+-=- -- ； ()2 1a a a c ++=（a ≠0）. 4．化简：233812a b c a bc =_______；6425633224a b c a b c = ；22 4488a b a b -=- ；
01分式的概念和基本性质
一、分式的概念： 1．把下列各式写成分式： 1÷xy ，a ÷(b +1)，(a +b )÷c ，(x -1)÷(x +1)． 2．下列各有理式，哪些是整式，哪些是分式？ y x ab b a x x 2521312222--，，， 有理式： ；整式： ；分式： 。 3．当x 取什么数时，下列分式有意义？ ⑴1 3-x x ； ⑵1 2+x x ； ⑶ 1 5.03 -x 。 4．在下列各分式中，当x 等于什么数时，分式的值是零？当x 等于什么数时，分式没有意义？ ⑴x x -+212； ⑵1 35.02+-x x 5．当x 取什么数时，下列分式有意义？当x 取什么数时，分式的值是零？ ⑴12+x x ； ⑵25x x -； ⑶5102--x x 。 6．填空题： (1)把下列各有理式填在相应的括号内． a 3， n m -2，223152y x -，() 2 221b a --，x 31，x 7 2，x 3。 整式集合{ }；分式集合{ }． ⑵当x ＝ 时，分式 x x 231 -+没有意义；当x ＝ 时，分式x x -2有意义。 ⑶分式4 41 2+-x x 当x ＝ 时，其值等于零；分式y x y x +-2422的值为零的条件是 。
7．选择题： ⑴使分式 ()() 111 -+-x x x 无意义的x 的取值是（ ） A ．x ＝－1 B ．x ＝1 C ．x ＝－1或x ＝1 D ．x ≠1 ⑵如果分式()()() 111-++y y y y 的值等于零，那么y 的值一定是（ ） A ．y ＝0 B ．y ＝－1 C ．y ＝0或y ＝1 D ．y ＝0或y ＝－1 ⑶要使分式() () 2 2 43235 --+-x x x 无意义，那么x 的取值为（ ） A 、32 - 或43 B 、3 1 C 、3 2- D 、 4 3 ⑷如果分式 1 3+x x 有意义，那么x 的取值是（ ） A ．x ＝－1 B ．x ≠1且x ≠－1 C ．x 为任何数 D ．x ≠0 ⑸如果分式6 4 22-+-x x x 的值为零，那么x 的值是（ ） A ．x ＝2或x ＝－2 B ．x ＝2 C ．x ＝－2 D ．x ＝－3 ⑹如果分式() 9 32 2-+x x x x 有意义，那么x 的取值是（ ） A ．x ≠3 B ．x ≠±3 C ．x ≠0且x ≠－3 D ．x ≠0且x ≠±3 二、分式的基本性质： 1．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ ⑴ ()02 ≠=z xyz z xy z ； ⑵()0,0,01 2 ≠≠≠=a y x by abxy axy ； ⑶ ()0111 112 ≠---=+x x x x ； ⑷ ()011 1 1212 ≠--=+--x x x x x 2．填空： ⑴()() y x y x x += +53； ⑵)(1 2 2=-+y x y x ； ⑶b a bx ax x x -=-+2)( 232 3．如果把分式 y x x +中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．扩大3倍 B ．不变 C ．缩小3倍 D ．缩小6倍 4．若下列等式成立，写出括号内的代数式． ⑴ 22)( 1y x xy x =+ ⑵ )(91 94322 2=-+x x y x ⑶)( 22222y x xy y x y x -=++- ⑷ ()()0) (2 ≠++=-+y x y x y x y x
新人教版八年级上册数学[分式的概念和性质(基础)知识点整理及重点题型梳理]
新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习 重难点突破 课外机构补习优秀资料 分式的概念和性质（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 【403986 分式的概念和性质知识要点】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如a π 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式 不能先化简，如 2 x y x 是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， 不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做 分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ?÷ == ?÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着
分式的概念及基本性质-分式的运算
分式的概念及基本性质分式的运算一．知识精讲及例题分析 (一）知识梳理 1. 分式的概念 形如A B (Ａ、Ｂ是整式,且Ｂ中含有字母,B≠0）的式子叫做分式。其中A叫分式的分子,B叫分式的分 母。 注: (１)分式的分母中必须含有字母 （2）分式的分母的值不能为零,否则分式无意义２. 有理式的分类 有理式 整式 单项式 多项式分式 ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 A B A M B M = ? ? , A B A M B M = ÷ ÷ (M为整式，且M≠0) 4. 分式的约分与通分 （1）约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 步骤： ①分式的分子、分母都是单项式时 ②分子、分母是多项式时 （2)通分：把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基础。 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母,即各分母所有因式的最高次幂的积。 求最简公分母的步骤： ①各分母是单项式时 ②各分母是多项式时 5. 分式的运算 （１）乘除运算 （2)分式的乘方 (3)分式的加减运算 （4）分式的混合运算 【典型例题】 例1. 下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。 ab a 2 , 1 x ， a 3 ,- - x x y , x+1 π , 1 4 () x y -， 1 y a b () +, 1 2 a- 例2. 下列分式何时有意义 (1）x x - + 1 2 ??（2) 1 1 ||x- ?（3) 4 1 2 x x- ?（4) x x x 22 +
分式的基本性质教案
10.2 分式的基本性质 七年级（下） 第九章 教学目标 1、认知目标：通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分 式的基本性质；掌握约分的方法和最简分式的化 简方法。 （知道分式的基本性质，学会简单的约分，知道最简分式） 2、能力目标：使学生学习类比的思想方法，培养类比转化的思 维能力；使学生掌握分式的基本性质，培养正确 进行分式变形的运算能力。 （知道分式的基本性质与分数的基本性质之间非常类似） 3、情感目标：通过与分数的类比，导出分式的基本性质，渗透 事物是联系及变化发展的辨证关系。 即类比— —联系— —归纳— —发展。 （让她感受课堂的快乐以及一起学习的愉悦） 教学重点及难点 重点是理解并掌握分式的基本性质。 难点是灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形及最简分 式的化简方法。 （区分最简分式，把分式约分变为最简分式） 教学过程设计 一、 情景引入 1．观察 在括号内填写每一步骤的依据 计算： 解：（由她来完成这个题目） [通过填空和观察，使学生明确分数的计算和化简实质是进行分数 =12=36=16+2613+16
B ≠0,M ≠0,N ≠0 的通分和约分，而通分和约分的依据是分数的基本性质] 2．思考 问题（1）：还记得分数的基本性质吗？ （在其他学生的引导下，让她再次重复一遍） 问题（2）：分式是否也有这样的性质？ [通过提问的方式先使学生回忆复习分数的基本性质，继而引导 学生与分数的基本性质相类比，导出分式的基本性质，并让学生了解 分式的基本性质是今后学习与研究分式变形的依据。] 3．讨论 （1）对照分数的基本性质，改写成分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不为零的整式，分 式的值不变，即： ， 其中M 、N 为整式，且 （大家朗读完了以后，由她再次朗读一遍，并且在书上帮她自己划好 重点） （2）两者有何区别和联系？ [通过讨论使学生理解从分数到分式是把“数”引伸到“式”. 分数是分式的特殊情形。] 二、学习新课 1．概念辨析 分式中的A ，B ，M ，N 四个字母都表示整式，其中B 必须含有字 母，除A 可等于零外，B ，M ，N 都不能等于零.因为若B=0，分式无意 义；若M=0或N=0，那么不论乘以或除以分式的分母，都将使分式无 意义. （找出重点以后由她再来重复一遍） 2．例题分析 例1：
培优专题6分式的概念分式的基本性质含答案
6、分式的概念、分式的基本性质 【知识精读】 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0。 分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。 下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。 【分类解析】 例1. 已知a b ，为有理数，要使分式 a b 的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00， B. a b ≤<00， C. a b ≥>00， D. a b ≥>00，，或a b ≤<00， 分析：首先考虑分母b ≠0，但a 可以等于0，由a b ≥0，得a b ≥>00，，或a b ≤<00，，故选择D 。 例2. 当x 为何值时，分式||x x -+55 的值为零？ 分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。 解：由题意得，得||x x -==±505，，而当x =-5时，分母x +5的值为零。 ∴当x =5时，分式 55||+-x x 的值为零。 例3. 已知 113a b -=，求2322a ab b a ab b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 95 D. 4
分析： 113113a b b a -=∴-=-，，将分式的分母和分子都除以ab ，得 23222231122333295a ab b a ab b b a b a ----=----=?----=()，故选择C 。 例4. 已知x y -=20，求x xy y x xy y 22 22323-++-的值。 分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。 解： x y x y -=∴=202 ∴原式=-?+?+-()()2322223222 222y y y y y y =-=-y y 22717 例5. 已知：x x 210--=，求x x 44 1+的值。 解一：由x x 210--=得x ≠0，等式两边同除以x 得： x x -- =110，即x x -=11 x x x x 44441122+=+-+ =-+=-++=-+++=--++=+=()[()()]()()()[()]x x x x x x x x x x x x x x 222222221211211221142527 解二：由已知得：x x - =11，两边平方得：x x 2213+= 两边平方得：x x 44 17+ =
人教版同步教参数学八年级-分式：分式的基本概念和性质
分式 第 1 节 分式的基本概念和性质 【知识梳理】 1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是B A 的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．5．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 6．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．7．最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
分式的基本概念及性质.
内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义 的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单 的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题 分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式 1 x ，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a m b b m ÷=÷(0m ≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠； 知识点睛 中考要求 分式的基本概念及性质
②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 1. ⑴x 为何值时，分式 21 41 x x ++无意义？ ⑵x 为何值时，分式21 32x x -+有意义？ ⑶x 为何值时，分式21 1 x x -+有意义？ 2. 若分 24 1 ++x x 的值为零，则x 的值为________________________． 3. 若22032 x x x x +=++，求 21(1)x -的值. 4. 若分式216 0(3)(4) x x x -=-+，则x ； 5. （6级）若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ ⑴2222 x y x y +- ⑵3 323x y ⑶223x y xy - 6. （4级）约分： ⑴2322 15____20a b c b c -= ⑵22 4____16x x x -=- ⑶ 2 (2)____2x y y x -=- ⑷2 2 ____mx my x y +=- ⑸22 2 249____4129x y x xy y -=++ ⑹22412____710 x x x x --=++ ⑺222222 2____2a b c bc c a b ab --+=--+ ⑻ 11 23 4____18m m m m x y x y +-+-= 课后作业