高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》经典测试题附答案解析

【高中数学】数学《推理与证明》期末复习知识要点

一、选择题

1．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）

A ．

3 B ．

23

C ．

6513

D ．

5 【答案】D 【解析】 【分析】

如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】

对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，

1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .

在直角三角形ABO 中，2AB =，1022

32

BO -?==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠=

=，又因为22

sin sin 3

r AOB OCD OC OC ∠=∠===，

所以3a OC ==.

由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得

c ==，

所以c e a =

=

， 故选：D. 【点睛】

此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.

2．已知点(10,3)P 在椭圆22

2:199

x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则

圆M 过点N 的切线方程为2

00x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为

（ ）

A ．13311x y +=

B ．

111099

x y += C ．

11133

x y += D ．

199110

x y += 【答案】C 【解析】

【分析】

先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】

因为点(10,3)P 在椭圆22

2:199

x y C a +=上，

故可得

21009

199

a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：

103111099

x y +=，整理可得11133x y

+

=. 故选：C. 【点睛】

本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.

3．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，

意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程1

0110n n n n a x a x a x a --++???++=，其中

0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或

在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.

试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=

【答案】C 【解析】 【分析】

根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】

由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为

2174328610x x ++=.

故选：C. 【点睛】

本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.

4．已知数列{}n a 满足1

32n n a -=?，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i

行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*

,i j N ∈且j i ≤），则

()21,20a =（ ）

A ．20932?

B ．21032?

C ．21132?

D ．21232?

【答案】C 【解析】 【分析】

由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】

由题可知,第i 行有i 个数,

当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,

()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,

则前20行共有

()1+2020=2102

?个数,即第21行倒数第1个数为211a

,

所以()211

21221,2032a a ==?,

故选:C 【点睛】

本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.

5．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）

A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民

B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人

C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民

D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C 【解析】

“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.

6．已知0x >，不等式12x x +

≥，243x x +≥，327

4x x

+≥，…，可推广为

1n a

x n x

+

≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n n

C ．2n

D ．222n -

【答案】B 【解析】 【分析】

由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】

由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n a

x n x

+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】

归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．

7．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：

记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294

C ．882

D ．1764

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】

依题意列表如下：

上列乘6 上列乘5 上列乘2 1

6 30 60 12

3

15

30

13

2 10 20

14 32 152

15

15 65

6

12

16 1

5 10

所以6

603020151210147S =+++++=.

故选：A 【点睛】

本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.

8．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}

n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *

+=++∈其中正确的是（ ）

A ．①②④

B ．①③④

C ．①②

D ．①④

【答案】D 【解析】

由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，…

∴()1122

n n n a n +=++?+=

.

所以①a 5=15； 正确；

②an ?a n ?1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误； ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ?).正确； 本题选择D 选项.

点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．

9．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )

从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则

a 的值为( )

A ．100820182?

B ．100920182?

C ．100820202?

D ．100920202?

【答案】C 【解析】 【分析】

根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】

解：第一行第一个数为：0112=?； 第二行第一个数为：1422=?； 第三行第一个数为：21232=?； 第四行第一个数为：33242=?；

L L ，

第n 行第一个数为：1

n 2n n a -=?；

一共有1010行，

∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=?=?； 故选C ．

【点睛】

本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

10．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，

[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '

+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）

A ．cos sin x x --

B ．cos sin x x -

C ．sin cos x x +

D ．cos sin x x -+

【答案】A 【解析】 【分析】

根据归纳推理进行求解即可． 【详解】

解：由题意知：()sin cos f x x x =-，

1()()cos sin f x f x x x '==+，

[]1'

2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'

23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，

L

照此规律，可知：

[]'

201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，

故选：A. 【点睛】

本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．

11．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（ ）

A ．8种

B ．10种

C ．12种

D ．14种

【答案】B 【解析】 【分析】

根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可. 【详解】

张毅同学不同的选课方法如下:

()1物理A 层1班，生物B 层3班,政治3班; ()2物理A 层1班,生物B 层3班,政治2班; ()3物理A 层1班,生物B 层2班,政治3班; ()4物理A 层3班,生物B 层2班,政治3班; ()5物理A 层3班,生物B 层2班,政治1班; ()6物理A 层2班,生物B 层3班,政治1班; ()7物理A 层2班,生物B 层3班,政治3班; ()8物理A 层4班,生物B 层3班,政治2班; ()9物理A 层4班,生物B 层3班,政治1班; ()10物理A 层4班,生物B 层2班,政治1班;

共10种. 故选:B 【点睛】

本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题.

12．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,

,,,)121

n n

n n --L ，…，记该数组为

1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )

A ．

9

11

B ．

1011

C ．

1112

D ．

910

【答案】B 【解析】 【分析】

设a 200在第n 组中，则

()()112002

2

n n n n -+≤＜（n ∈N *），

由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920

2

?=190， 再进行简单的合情推理得：a 2001010

2010111

==-+，得解．

【详解】

由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则

()()112002

2

n n n n -+≤＜（n ∈N *），

解得：n ＝20，

即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920

2

?=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为

1010

2010111

=-+，

a 2001011=

， 故选B ． 【点睛】

本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．

13．观察下列等式：

12

133+=，781011123333

+++=，161719202223

39333333

+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，31323231

3333

n n m m ++--++++=L （ ） A ．22m n + B ．22m n -

C ．33m n +

D ．33m n -

【答案】B 【解析】 【分析】

观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】

31323231

3333

n n m m ++--++++L 项数为2()m n -， 首末等距离的两项和为

3131

33

n m m n +-+=+， 31323231

3333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+?-=-，

故选:B.

【点睛】

本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.

14．数列{}1212:1

,(2)n n n n F F F F F F n --===+>，最初记载于意大利数学家斐波那契

在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为（ ） A ．33 B ．34

C ．49

D ．50

【答案】B 【解析】 【分析】

根据{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n F 的各项，从而可得{}n a 是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论. 【详解】

依次写出{}n F 的各项1234561,1,2,3,5,8F F F F F F ======L ，

{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n a 各项为

1234561,1,0,1,1,0a a a a a a ======L ，

{}n a ∴各项是按1,1,0的周期规律排列，

1234950162234a a a a a +++++=?+=L .

故选：B. 【点睛】

本题考查归纳推理、猜想能力，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.

15．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A ．甲、乙、丙

B ．乙、甲、丙

C ．丙、乙、甲

D ．甲、丙、乙

【答案】A 【解析】 【分析】

利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】

若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到

低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】

本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．

16．已知()()2739n

f n n =+?+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,

则最大的m 的值为( ) A ．30 B ．9 C ．36 D ．6

【答案】C 【解析】 【分析】

依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】

由()(27)39n

f n n =+?+，得(1)36f =，

(2)336f =?，(3)1036f =?， (4)3436f =?，由此猜想36m =.

下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。

(2)假设n k =时，()f k 能被36整除，即

()(27)39k f k k =+?+能被36整除；

当1n k =+时,

1[2(1)7]39k k +++?+

1

3(27)391823k k k +??=+?+-+??? ()

13(27)391831k k k -??=+?++-??

131k --Q 是2的倍数，

()

11831k -∴-能被36整除，

∴当1n k =+时，()f n 也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有

()(27)39n f n n =+?+能被36整除， m 的最大值为36.

故选：C. 【点睛】

本题主要考查的是数学归纳法的应用，解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤，考查的是推理计算能力，是中档题.

17．已知()()()212

f x f x f x +=+， ()11f =（*x N ∈），猜想()f x 的表达式为（ ）

A ．()21f x x =+

B ．()422x f x =+

C ．()11f x x =+

D ．()221

f x x =+ 【答案】A

【解析】因为

()()()212

f x f x f x +=

+,所以

()()111

12

f x f x =++ ,因此

()()()()()11112

111221

x x f x f x f x =+-=+?=+,选A.

18．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972

C ．3 973

D ．3 974

【答案】D 【解析】 【分析】

先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12

n n +=个数，运算即可得解．

【详解】

解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n ()12

n n +=

个数，

设第2019个数在第n 组中，

则()

()120192

120192

n n n n ?+≥???-???＜，

解得n ＝64，

即第2019个数在第64组中，

则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974，

故选：D ． 【点睛】

本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．

19．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24

n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )

A ．1

2(1)

k +

B ．

11

2122

k k +++ C ．

11121221k k k +-+++ D ．1111

212212k k k k +--++++ 【答案】C 【解析】 【分析】

分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。

【详解】 由n=k 时，左边为

11112k k k k

+++++L ， 当n=k+1时，左边为

11111

231(1)(1)

k k k k k k k k +++++++++++++L 所以增加项为两式作差得：111

21221

k k k +-+++，选C. 【点睛】

运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．

20．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙

C ．丙

D ．丁

【答案】A 【解析】 【分析】

可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】

由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；

假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以断定值班人是甲.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.