离散数学(西安交大版)习题解第一部分(集合论部分)
离散数学辅助教材
概念分析结构思想与推理证明
第一部分
集合论
刘国荣
交大电信学院计算机系
离散数学习题解答
习题一（第一章集合）
1. 列出下述集合的全部元素：
1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}
2）B={x|x∈N∧4+x=3}
3）C={x|x是十进制的数字}
[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}
2）B=?
3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
2. 用谓词法表示下列集合：
1）{奇整数集合}
2）{小于7的非负整数集合}
3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}
[解] 1）{n n∈I∧(?m∈I)(n=2m+1)}；
2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；
3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧?(?d∈N)(d≠1∧d≠p∧(?k∈N)(p=k?d))}。
3. 确定下列各命题的真假性：
1）???
2）?∈?
3）??{?}
4）?∈{?}
5）{a，b}?{a，b，c，{a，b，c}}
6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})
7）{a，b}?{a，b，{{a，b，}}}
8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}
[解]1）真。因为空集是任意集合的子集；
2）假。因为空集不含任何元素；
3）真。因为空集是任意集合的子集；
4）真。因为?是集合{?}的元素；
5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；
6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；
8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：
1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
3）如果A?B∧B∈C，则A∈C。
[解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。
2）假。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。
3）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：
1）如果A∈B∧B?C，则A∈C。
2）如果A∈B∧B?C，则A?C。
3）如果A?B∧B∈C，则A∈C。
3）如果A?B∧B∈C，则A?C。
[解] 1）真。因为B?C??x（x∈B?x∈C），因此A∈B?A∈C。
2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B?C，但A?C。
3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A?B∧B∈C，但A?C。
4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A?B∧B∈C，但A?C。6．求下列集合的幂集：
1）{a，b，c}
2）{a，{b，c}}
3）{?}
4）{?，{?}}
5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}}
[解] 1）{?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}
2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}}
3）{?，{?}}
4）{?，{?}，{{?}}，{?，{?}}}
5）{?，{{a，b}}}
7．给定自然数集合N的下列子集：
A={1，2，7，8}
B={ x|x2＜50}
C={x|x可以被3整除且0≤x≤30}
D={x|x=2K，K∈I∧O≤K≤6}
列出下面集合的元素：
1）A∪B∪C∪D
2）A∩B∩C∩D
3）B\（A∪C）
4）（A′∩B）∪D
[解] 因为B={1，2，3，4，5，6，7}，C={3，6，9，12，15，18，21，24，27，30}，D={1，2，4，8，16，32，64，}，故此
1）A∪B∪C∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，9，12，15，16，18，21，24，27，
30，32，64}
2）A∩B∩C∩D=?
3）B\（A∪C）={4，5}
4）（A′∩B）∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，16，32，64}
8．设A、B、C是集合，证明：
1）（A\B）=A\(B\C)
2）（A\B）\C=（A\C）\（B\C）
3）（A\B）\C=(A\C)\B
[证明] 1）方法一：（A\B）\C
=（A∩B′）∩C′（差集的定义）
=A∩（B′∩C′）（交运算的结合律）
=A∩（B∪C）′（deMorgan律）
=A\（B∪C）（差集的定义）
方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，则x?C，同时，x∈A\B，x∈A，x?B，所以，x∈A，x?B∪C，即x∈A\（B∪C），由此可见（A\B）\C?A\（B∪C）。
反之，对任一元素x∈A\（B∪C），则x∈A，且x?B∪C，也就是说x?A，x?B，x?C。所以x∈（A\B）\C，由此可见A\（B∪C）?（A\B）\C。
因此A\（B\C）。
2）方法一：（A\B）\C
=A\（B∪C）（根据1））
=A\（C∪B）（并运算交换律）
=A\（（C∪B）∩Ⅹ）（0—1律）
=A\（（C∪B）∩（C∪C′））（0—1律）
=A\（C∪（B∩C′）（分配律）
=（A\C）\（B∩C′）（根据1）
=（A\C）\（B∩C）（差集的定义）方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，x?B，x?C，x∈A\C。又由x?B，x?B\C，x∈（A\C）\（B\C）\（B\C）。所以（A\B）\C?（A\C）\（B\C）。
反之，对任x∈（A\C）\（B\C），可知x∈A\C，x?B\C。由x∈A\C，可知x∈A，x?C。又因为x?B\C及x?C，可知x?B。所以，x∈（A\B）\C。因此（A\B）\C?（A\B）\C。
由此可得（A\B）\（B\C）?（A\B）\C。
3）方法一：（A\C）\C
=A\（B∪C）(根据1))
=A\（C∪B）（并运算交换律）
=（A\C）\B （根据1））方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，x?B，x?C。由为x∈A，x?C，所以，x∈A\C。又由x?B，x∈（A\C）\B。所以，（A\B）\C?（A\C）\B。
同理可证得（A\C）\B?（A\B）\C。
9. 设A、B是Ⅹ全集的子集，证明：
A?B?A′∪B=X?A∩B′=?
[解](采用循环证法)
(1)先证A?B?A′∪B=X；
方法一：A′∪B=A′∪(A∪B) （因为条件A?B及定理4）=(A′∪A)∪B （∪的结合律）
=(A∪A′)∪B （∪的交换律）
=X∪B （互补律）
=X （零壹律）
方法二：A?B?A∪B=B （定理4）?B=A∪B （等号=的对称性）
?A′∪B=A′∪(A∪B) （两边同时左并上A′）
?A′∪B==(A′∪A)∪B （∪的结合律）
?A′∪B=(A∪A′)∪B （∪的交换律）
?A′∪B=X∪B （互补律）
?A′∪B=Ｘ（零壹律）
方法三：因为A′?X且B?X，所以根据定理2的3'）就有A′∪B?Ｘ；
另一方面，由于B?A′∪B 及根据换质位律可得B′?A′?A′∪B，因此，由互补律及再次应用定理2的3'），可得X=B∪B′?A′∪B，即X?A′∪B；
所以，A′∪B=Ｘ。
(2)次证A′∪B=X?A∩B′=?；
A′∪B=X?(A′∪B)′=X′（两边同时取补运算′）
?(A′)′∩B′=X′（de Morgan律）
?A∩B′=X′（反身律）
?A∩B′=X′（零壹律）
(3)再证A∩B′=??A?B；
方法一：A=A∩X (零壹律) =A∩(B∪B′) (互补律)
=(A∩B)∪(A∩B′) (分配律)
=(A∩B)∪?(条件A∩B′=?)
=A∩B (零壹律)
?B （定理2的3)）
方法二：A∩B′=??B=B∪?(零壹律)
=B∪(A∩B′) （条件A∩B′=?）
=(B∪A)∩(B∪B′) (分配律)
=(A∪B)∩(B∪B′) (∪的交换律)
=(A∪B)∩X (互补律)
=A∪B (零壹律)
?A?B （定理4的2)）
10. 对于任意集合A，B，C，下列各式是否成立，为什么？
1）A∪B=A∪C?B=C
2）A∩B=A∩C?B=C
[解] 1）不一定。例如：A={a}，B={a，b}，C={b}。显然有
A∪B=A∪C，但B≠C。
2）不一定。例如：A={a}，B={a，b}，C={b，c}。显然有
A ∩B=A ∩C ，但
B ≠
C 。
11．设A ，B 为集合，给出下列等式成立的充分必要条件：
1） A\B=B 2） A\B=B\A 3） A ∩B=A ∪B 4） A ⊕B=A
[解] 1）A\B=A ∩B ′，由假设可知A\B=B ，即A ∩B ′=B 。由此可知B=A ∩B ′?B ′，
故此B=B ∩B ′=?。
由假设可知A=A\?=A\B=B=?。所以当A\B=B 时有A=B=??。 反之，当A=B=?时，显然A\B=B 。 因此A\B=B 的充分必要条件是A=B=?。
2）设A\B ≠∈?，则有元素a ∈A\B ，那么，a ∈A ，而由假设A\B=B\A 。所以a ∈B\A ，从而a ?A ，矛盾。所以A\B=，故A ?B 。另一方面由B\A=A\B=?。可得B ?A 。因此当A\B=B\A 时，有A=B 。 反之，当A=B 时，显然A\B=B\A=? 因此，A\B=B\A 的充要条件是A=B 。
3）由于A ∪B=A ∩B ，从而A ?A ∪B=A ∩B ?B ，以及B ?A ∪B=A ∩B ?A 故此A ∪B=A ∩B ，有A=B 。
5） 根据定理6的1）有A ⊕?=A ，由已知条件A ⊕B=A ，可得A ⊕B=A ⊕?。 从而由对称差的消去律可得B=?。 反之，若B=?，则A ⊕B=A ⊕?=A 。 所以A ⊕B=A 的充分必要条件为B=?。 12. 对下列集合，画出其文图：
1） A ′∩B ′ 2） A\（B ∪C ）′ 3） A ∩（B ′∪C ） [解]
A ′∩
B ′
A \ (
B ∪
C ) ′ A ∩ (B ′∪ C )
A C
B
13. 用公式表示出下面图中的阴影部分 [解]
14. 试用成员表法证明
1）（A ⊕B ）⊕C=A （B ⊕C ） 2）（A ∪B ）∩（B ∪C ）?AB ′ [
成员表中运算结果⊕Ｃ及Ａ⊕（Ｂ⊕Ｃ）的两列状态表明，全集中的每一个体对它俩有相同的从属关系，故 （Ａ⊕Ｂ）⊕Ｃ＝Ａ⊕（Ｂ⊕Ｃ） 1） 成员表如下：
A
C B
x
(A ∪B ∪C)∪(A ∩B ∩C)′
B
C A
(A ∩C) \B
成员表中运算结果（A∪B）∩（B∪C）′及A∩B′的两列状态表明，全集中的每一个体，凡是从属（A∪B）∩（B∪C）′的，都从属A∩B′，故（A∪B）∩（B∪C）′ A∩B
注：自然数集N取为{1，2，3，……，n，……}
习题二（第二章关系）
1．设A={1，2，3，}，B={a，b}求
1）A×B 2）B×A 3）B×B 4）2B×B
[解] 1）A×B={（1，a），（1，b），（2，a），（2，a），（3，a），（3，b）}
2）B×A={（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3）}
3）B×B={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b）}
4）2B={?，{a}，{b}，{a，b}}
2B×B{（?，{a}），（?，b），（{a}，a），（{a}，b），（{b}，a），（{b}，b），（{a，b}，b）}
2．使A?A×A成立的集合A存在吗？请阐明理由。
[解] 一般地说，使A?A×A成立的集合A不存在，除非A=?。
否则A≠?，则存在元素x∈A×A，故有y1，y2∈A，使x=（y1，y2），从而y1，y2∈A×A，故此有y1，y2，y3，y4，使y1=（y1，y2），y2=（y3，y4），……。
这说明A中每个元素x，其结构为元组的无穷次嵌套构成，这不可能。我们讨论的元素的结构必须是由元组的有限次嵌套构成。
3．证明A×B=B×A?A=?∨B=?∨A=B
[证] 必要性：即证A×B=B×A?A=?∨B=?∨A=B
若A×B=?，则A=?或者B=?
若A×B≠?，则A≠?且B≠?，因此对任何x∈A及任何y∈B就有（x，y）∈A×B，根据A×B=B×A，可得（x，y）∈B×A，故此可得x∈B，y∈A，因此而得A?B且B?A，所以由?的反对称性A=B。
充分性：即证A=?∨B=?∨A=B?A×B=B×A 这是显然的。
4．证明（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）
[证]证法一：（元素法）对任一（x，y）∈（A∩B）×（C∩D）有x∈A∩B，y ∈C∩D，于是x∈A，x∈B，y∈C，y∈D。因而（x，y）∈A×C，且（x，y）∈B×D，所以（x，y）∈（A×C）∩（B×D）。因而（A∩B）×（C∩D）?（A×C）∩（B×D）
另一方面，对任一（x，y）∈（A×C）∩（B×D），于是有（x，y）∈A×C且（x，y）∈B×D，因而x∈A，y∈C，x∈B y∈D。所以x∈A∩B，y∈（C ∩D）。所以（x，y）∈（A∩B）×（C∩D）。因而（A×C）∩（B×D）?（A ∩B）×（C∩D）。
综合这两个方面有（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）。
证法二：（逻辑法）对任何x,y
(x,y)∈(A∩B)×(C∩D)
?x∈A∩B∧y∈C∩D
?(x∈A∧x∈B)∧(y∈C∧y∈D)
?(x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈D) (∧的结合律、交换律)
?(x,y)∈A×C∧(x,y)∈B×D
?(x,y)∈(A×C)∩(B×D)
由x，y的任意性，可得：(A∩B)×(C∩D)= (A×C)∩(B×D) 。
5．下列各式中哪些成立，哪些不成立？对成立的式子给出证明，对不成立的式子给出反例。
1）（A∪B）×（C∪D）=（A×C）∪（B×D）
2）（A\B）×（C\D）=（A×C）\（B×D）
3）（A⊕B）×（C⊕D）=（A×C）⊕（B×D）
4）（A\B）×C=（A×C）\（B×C）
5）（A⊕B）×C=（A×C）⊕（B×C）
[解] 1）不成立。设A={a}，B={b}，C={c}，D={d}，则（a，-d）∈（A∪B）×（C∪D），但（a，-d）?（A×C）∪（B×D）。所以（A∪B）×（C∪
D）=（A×C）∪（B×D）不成立。事实上有：（A×C）∪（B×D）?
（A∪B）×（C ）?（A∪B）×（C∪D）。
2）不成立。设A={a}，B={b}，C=D={c}，则（a，c）∈（A×C）\（B×D）但（a，c）?（A\B）×（C\D）。因而（A\b）×（C\D）=（A×C）\（B×D）
不成立。事实上有：（A\B）×（C\D）?（A×C）\（B×D）。因为A\B?A，
C\D?，故有（A×C）\（B×D）? A×C；又若（x，y）∈（A\B）×（C\D）故此x∈A\B，从而x?B，y∈C\D，从而y?D，故此（x，y）?B×D综合这
两方面，有（A\B）×（C\D）?（A×C）\（B×D）。
3）不成立。设A={a}，B={b}，C={a}，D={b}，则（a，b）∈（A⊕B）×（C⊕D），但（a，b）?（A×C）⊕（B×D）。所以（A⊕B）×（C⊕D）?（A×Ｃ）⊕（B ×D）不成立。又设A={a}，B={b}，C={a}，D={c} 则（a，c）∈（A×Ｃ）⊕（B×D），但（a，c）?（A⊕B）×（C⊕D）。所以（A×Ｃ）⊕（B×D）?（A⊕B）×（C⊕D）不成立。因此（A⊕B）×（C⊕D）与（A×Ｃ）⊕（B×D）无任何包含关系。总之（A⊕B）×（C⊕D）=（A×Ｃ）⊕（B×D）不成立。
4）成立。证明如下：对任一（x，y）∈（A\B）×C，有x∈A，x?B，y∈C 于是（x，y）∈A×C，且（x，y）∈（A\B）×C，且（x，y）?B×C（否则x∈B），所以（x，y）∈（A×C）\（B×C）。因而
（A\B）×C?（A×C）\（B×C）。
又对任一（x，y）∈（A×C）\（B×C），有（x，y）∈A×C，且（x，y）?B×C从而x∈A，y∈C及x?B。即x∈A\B，y∈C，故此（x，y）∈（A\B）×C。所以（A×C）\（B×C）?（A×B）×C。
因而（A\B）×C=（A×C）\（B×C）。
另一种证明方法：
（A×B）×C
=（A∩B′）×C（差集的定义）
=（A×C）∩（B′×C）（叉积对交运算的分配律）
=（A×C）∩（B×C）′
（因（B×C）′=（B′×C））∩（B×C′）∪（B′×C′）
但（A×C）∩（B×C）′=（（A×C）∩（B′×C））∪?
=（A×C）∩（B′×C））
=（A×C）∩（B′×C）（差集的定义）
证法三：（逻辑法）对任何x,y
(x,y)∈(A×C) \ (B×C)
?(x,y)∈A×C∧(x,y)?B×C
?(x∈A∧y∈C)∧(x?B∨y?C)
?(x∈A∧y∈C∧x?B)∨(x∈A∧y∈C∧y?C) (∧对∨的分配律)
?(x∈A∧x?B∧y∈C)∨(x∈A∧y∈C∧y?C) (∧的结合律、交换律)
?(x∈A∧x?B)∧y∈C (∧及∨的零壹律、∧的结合律)
?x∈A \ B∧y∈C
?(x,y)∈(A \ B)×C
由x，y的任意性，可得：(A \ B)×C=(A×C) \ (B×C) 。
5）成立。证明如下：对任一（x，y）∈（A⊕B）×C，故此x∈A⊕B，y∈C于是x∈A且x?B，或者x?A且x∈B。因此（x，y）∈（A×C）⊕（B×C）。
所以（A⊕B）×C?（A×C）⊕（B×C）。
对任一（x，y）∈（A×C）⊕（B×C）。则（x，y）∈A×C且（x，y）?B×C，或者（x，y）?A×C且（x，y）B×C。因此x∈A，yC，x?B，或者x
∈B，y∈C，x?A。所以x∈A\B，或x∈B\A，并且y∈C，故此x∈A⊕B，y∈C。因此（x，y）∈（A⊕B）×C，即（A×C）⊕（B×C）?（A⊕B）×C。
综合两方面、就有（A⊕B）×C=（A×C）⊕（B×C）
另一种证明方法：（A⊕B）×C
=（（A\B）∪（B\A））×C（对称差的定义）
=（（（A\B）×C）（（B\A）×C）（叉积对并运算的分配律）
=（（A×C）\（B×C）∪（B×C）\（A×C））（根据4））
=（A×C）⊕（B×C）（对称差的定义）
6．设A={1，2，3}，B={a}，求出所有由A到B的关系。
[解]：R0=?，R1={（1，a）}，R2={（2，a）}，R3={（3，a）}，
R4={（1，a），（2，a）}，R s={（1，a），（3，a）}，R6={（2，a），（3，a）}，R7={（1，a），（2，a），（3，a）}
7．设A={1，2，3，4}，R1={（1，3），（2，2），（3，4）}，R2={（1，4），（2，3），（3，4）}，求：R1∪R2，R1∩R2，R1\R2，R1′，?（R1），?（R2），?（R1），?（R
），?（R1∪R2），?（R1∩R2）
2
[解]：R1∪R2={（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（3，4）}
R1∩R2={（3，4）}
R1\R2={（1，3），（2，2）}
R1′=（A×A）\R={（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}
（R1）={1，2，3}，?（R1）={2，3，4}，
（R2）={1，2，3}，?（R2）={3，4}
（R1∪R2）={1，2，3}，?（R1∩R2）={4}
8．对任意集合A及上的关系R1和R2，证明
1）?（R1∪R2）=?（R1）∪?（R2）
2）?（R1∩R2）??（R1）∩?（R2）
[证] 1）一方面，由于R1?R1∪R2，R2?R1∪R2，根据定理1，有?（R1）??（R1∪R2），?（R2）??（R1∪R2）故
?（R1）∪?（R
）??（R1∪R2）
2
另一方面，若x∈?（R1∪R2）那么存在着y∈A，使（y，x）∈（R1∪R2）因此（y，x）∈R1，或者（y，x）∈R2，从而x∈?（R1）或者x∈?（R2）于是x∈?(R1) ∪?（R2），所以?（R1∪R2）??（R1）∪?（R2）。
11．设A={1，2，3，4}，定义A 上的下列关系
R 1={（1，1），（1，2），（3，3），（3，4）}，R2={（1，2），（2，1）}
R 3={（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）} R 4={（1，2），（2，4），（3，3），（4，1）}
R 5={（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）} R 6=A ×A ，R 7=?
请给出上述每一个关系的关系图与关系矩陈，并指出它具有的性质。 [解]：
1）
???
????????
??
?=00
00
1100
0000
001
1
1R R 1是反对称的，传递的。 2）
???
??????????
?=00
00
00000001001
1R R 2是反自反的，对称的。 3）
???
??????????
?=11
00
11000011001
1
1R R3是自反的，对称的，传递的，因此是等价关系。循环的 综合这两方面，就有（R1∪R2）=?（R1）∪?（R2）。
2）由于R 1∩R 2?R 1，R 1∩R 2?R 2，根据定理1，有?（R 1∩R 2）??（R 1），?
（R 1∩R 2）?R 2，所以?（R 1∩R 2）??（R 1）∩?（R 2）反方向的包含不成立，反全由第7题可得，那里?（R 1∩R 2）={4}，?（R 1）∩?（R 2）={2，3，4}∩{3，4}={3，4}因此
1 0 0 2
3 0 0 4
?（R 1）∩??（R 2）?（R 1∩R 2）
9．设A 有n 个元素的有限集合，请指出A 上有多少个二元关系？并阐明理由。
[解] A 上有2n2个元关系。因为叉积A ×A 有n2个元素，因而A ×A 有2n2个子集，而每个子集都是A 上的一个二元关系。
10．定义在整数集合I 上的相等关系、“≤”关系、“＜”关系，全域关系，空关系，
是否具有表中所指的性质，请用Y （有）或N （元）将结果填在表中。
4）
31 42
?????
??
??
???=00
01
0100
1000
00104R R4是反对称的，循环的。 5）
432
1
?????
??
??
???=00
01
10001100
111
05R R5是反自反的，反对称的，传递的。 6）
432
1
?????
??
??
???=11
11
11111111
111
16R
R6是自反的，对称的，传递的，循环的。从而是等价关系。 7）
432
1
?????
??
??
???=00
00
00000000
000
07R 12．设A 是A 上的关系，证明 1）R 是自反的当且反当I A ?R
2）R 是反自反的当且仅当I A ∩R=?
3）R 是对称的当且反当R=R
4） R 是反对称的当且仅当R ∩R
?I A 5）R 是传递的当且仅当R R ?R [证] 1）必要性
若R 是自反的，则对任何x ∈A ，都有（x ，x ）∈R ，但是I A ={（x ，x ）|x ∈A}，所以I A ?R 。
充分性
若I A ?A 则由I A ={（x ，x ）|x ∈A}，可知对任何x ∈A ，都有（x ，x ）∈R ，所以R 是自反的。 2）必要性
若R 是反自反的，则对任何x ∈A ，都是（x ，x ）?R ，从而（x ，x ）∈R ′，由I A ={（x ，x ）|x ∈A} 可知I A ?R ′。于是I A ∩R ?R ′∩R=?，另外??I A ∩R ，所以I A ∩R=?。
充分性
若I A ∩R=?，则R 是反自反的。否则，不是反自反的，那么应存在某一x 0
∈A ，使得（x 0，x 0）∈R 。但是（x 0，x 0）∈I A ，从而（x 0，x 0）?。这不可能，矛盾。 3）必要性，
若R 是对称的，则对任何（x ，y ）∈R ，就有（y ，x ）∈R 。于是根据逆
关系的定义，可得（x ，y ）∈R ，于是R ?R ；对任何（x ，y ）∈R
，由逆关
系的定义，可得（y ，x ）∈R 。再次利用R 的对称性有（y ，x ）∈R ，于是R
?
R7是反自反的对称的，传递的，循环的，反传递的，反对称的。
R ；综合两方面，有R=R
。
充分性
若R= R ，则对任何（x ， y ）∈R ，由R=R 可得（x ，y ）∈R
。从而由逆关系的定义，可知（y ，x ）∈R 这说明R 是对称的。 4）必要性
若R 是反对称的，则对任何（x ，y ）∈R
，即有（x ， y ）∈R 及（x ，y ）
∈R
，从逆关系的定义，就有（x ， y ）∈R 及（y ，x ）∈R ，因此，利用R 的反对称性，可得x=y 。于是就有（x ，y ）=（x ，x ）∈I A ，所以R ∩R
?I A 。 充分性
若R ∩R ?I A ，则对任何（x ，y ）∈R 及（y ，x ）∈R ，从逆R
关系的定
义，可得（x ，y ）∈R 及（x ，y ）∈R ，也即（x ，y ）∈R ∩R ，利用R ∩R
=I A
可得（x ，y ）∈I A ，于是x=y 。所以R 是反对称的。 5）必要性
若R 是传递的，则对任何（x ，y ）R оR ，由复合关系的定义可知，存在着y ∈A ，使（x ，y ）∈R 且（y ，y ）∈R ，从而利用R 的传递性，可知（x ，y ）∈R 。所以
R оR ?R 。
充分性
R оR 。从而利用R оR ?R 可得（x ，y ）∈R 。所以R 是传递的。 证法二： 1)?):对任何x ，
x ∈A
?(x,x)∈I A (I A 是幺关系，因此是自反关系) ?(x,x)∈R (R 是自反关系) 所以 I A ?R ； ?):对任何x ∈A ，
x ∈A
?(x,x)∈I A (I A 是幺关系，因此是自反关系) ?(x,x)∈R (因I A ?R) 所以，R 是自反关系； 2)?)首先 ??I A ?R ；
其次，对任何x ，y ∈A ，若
(x,y)∈I A ?R ?(x,y)∈I A ∧(x,y)∈R
?x=y ∧(x,y)∈R (I A 是幺关系，因此是自反关系) ?(x,x)∈R
则与R 是反自反关系，(x,x)?R 矛盾。故I A ?R ?? ； 因此，由包含关系?的反对称性，可得 I A ?R=? ； ?):对任何x ∈A ，若
(x,x)∈R
?(x,x)∈I A ∧(x,x)∈R (I A 是幺关系，因此是自反关系) ?(x,x)∈I A ?R
?(x,x)∈? (因I A ?R=?) 则与空集不含任何元素，(x,x)??矛盾。 故对任何x ∈A ，(x,x)?R ； 所以，R 是反自反关系； 3)?)对任何x ，y ∈A
(x,y)∈R
?(y,x)∈R (R 是对称关系)
?(x,y)∈R
所以，R=R
；
?):对任何x,y ∈A
(x,y)∈R
?(x,y)∈R (R=R
)
?(y,x)∈R 所以，R 是对称的； 4)?)对任何x ，y ∈A
(x,y)∈R ?R
?(x,y)∈R ∧(x,y)∈R
?(x,y)∈R ∧(y,x)∈R
?x=y (R 是反对称关系) ? (x,y)∈I A (I A 是自反关系) 所以，R ?R
?I A ； ?):对任何x,y ∈A
(x,y)∈R
?(x,y)∈R (R=R
)
?(y,x)∈R 所以，R 是对称的；
13．设A 、B 为有穷集合，R ，S ?A ×B ，M R =（x ij ）m ×n ，M S =（y ij ）m ×n
1）为了R ?S ，必须且只须?i ?j （x ij ≤ y ij ）
2）设M R ∪S =（Z ij ）m ×n ，那么Z ij =x ij Vy ij ，I=1，2……，m ，j=1，2，……n. 3）设M R ∩S =（t ij ）m ×n ，那么t ij =x ij ^y ij i=1，2，……m ；j=1，2，……，n. [证] 由于A 、B 是有穷集合，不妨设
A={a 1，a 2……，a m }，B={b 1，b 2，……，b n } 1）必要性
若R ?S ，则对任何i ∈{1，2，……，m}，对任何j ∈{1，2，……n}，若（a i ，b j ）∈R ，则R 的关系矩阵M R =（x ij ）m ×n 中第I 行第j 列元素x ij =1，根据R ?S ，可得（a i ，b j ）∈S ，从而得S 的关系矩阵M S =（y ij ）m ×n 中第I 行第j 列元素y ij =1，由于是1≤1故此x ij ≤y ij ；若（a i ，b j ）?R ，则R 的关系矩阵M R =（x ij ）m ×n 中第i 行第j 列元素x ij =0，因此由S 的关系矩阵MS=（y ij ）m ×n 中第j 列元素y ij ≥0，可得x ij ≤y ij 。总之，有（?i ）(?j )（x ij ≤y ij ）。 2）充分性
若（?i ）(?j )（x ij ≤y ij ），则对任何（a i ，b j ）∈R ，就有R 的关系
矩阵M R =（x ij ）m ×n 中第i 行第j 列元素xij=1，由于x ij ≤y ij ，所以y ij ≥1，故此y ij ≥1这说明S 的关系矩阵M S =（y ij ）m ×n 中第i 行第j 列元素y ij 为1，因此必有
（a i ，b j ）∈S ，所以R ?S 。
2）对任何i ∈{1，2，……，m}，对任何j ∈{1，2，……，n}若Z ij =1，则（ai ，bj ）∈R ∪S ，故此（a i ，b j ）∈R 或者（a i ，b j ）∈S ，于是x ij =1或者y ij =1。从而 b j ）?S ，于是x ij =0且yij=0。从而x ij ∨y ij =0。因而Z ij =x ij ∨y ij =0； 综合上述两种情况，就有z ji =x ij ∨y ij ，i=1，2，……，m ，j=1,2,……n ，。 3）对任何i ∈{1，2，……m}，对任何j ∈{1，2，……，n}。若t ij =1，则（a i ，b j ）∈R ∩S ，故此（a i ，b j ）∈S 且（a i ，b j ）∈S ，于是x ij =1，且y ij =1从而x ij ∧y ij =1。因而t ij =x ij ∧y ij =1；若tij=0，则（a i ，b j ）?R ∩S ，故此（a i ，b j ）?S ，于
是x ij =0或者y ij =0，从而x ij ∧y ij =0。因而t ij =x ij ∧y ij =0。
综合上述两种情况，就有t ij =x ij ∧y ij ，i=1，2，……，m ，j=1，2，……，n 。 14．设A={1，2，3，4}，R 1，R 2为A 上的关系，R1={（1，1），（1，2），（2，4）}，
R 2={（1，4），（2，3），（2，4），（3，2）}，求R 1оR 2，R 2оR 1，R 1оR 2оR 131R
[解] ??
??????????=00
00
000010000011
1
R M ，?
?
???
?
??????=0000001011000100
2
R M 1）
?????
??
??
???=?????????????????????
???=00
000000000110
000
00
001011001000
00
00
000010000011
21
21 R R R R M M M
4321
4321
4321
R 1 R 2
2）?????
???????=?????????????????????
???=00
00
100000000000
00
00
000010001011
00
00
00101100100012
1
2 R R R R M M M
4321
4321
4321 R 2 R 1
无论从复合关系图还是从复合关系矩阵 都可得R 1оR 2={（1，3），（1，4）}
无论从复合关系图还是从复合关系矩阵 都可得R 2оR 1={（3，4）}
离散数学(集合论)课后总结
第三章集合论基础 1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。 ⑴{a}∈A T ⑵?({a}? A) F ⑶c∈A F ⑷{a}?{{a,b},c} F ⑸{{a}}?A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T ⑺{{a,b}}?A T ⑻{a,b}?{{a,b},c} F ⑼{c}?{{a,b},c} T ⑽({c}?A)→(a∈Φ) T 2、证明空集是唯一的。（性质1：对于任何集合A，都有Φ?A。） 证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则 因为Φ1是空集，则由性质1得Φ1 ?Φ2 。 因为Φ2是空集，则由性质1得Φ2 ?Φ1 。 所以Φ1=Φ2 。 3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念) a)是否Φ∈B?是否Φ?B? b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}?B? c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}?B? 解：设A={Φ}，B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}} 在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b} B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}} 然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}} 以后熟悉后就可以直接写出。 a) Φ∈B Φ?B b) {Φ}∈B {Φ} ? B c) {{Φ}}∈B {{Φ}}?B a)、b)、c)中命题均为真。 4、证明A?B ? A∩B=A成立。 证明：A∩B=A ??x(x∈A∩B ?x∈A) ??x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B)) ??x((x?A∩B∨x∈A)∧(x?A∨x∈A∩B)) ??x((?(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B)) ??x(((x?A∨x?B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B))) ??x(T∧(T∧( x?A∨x∈B))) ??x( x?A∨x∈B)??x(x∈A→x∈B)? A?B 5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明：任取x∈(A-C)-(B-C) ?x∈(A-C)∧x?(B-C) ?(x∈A∧x?C)∧?(x∈B∧x?C) ?(x∈A∧x?C)∧(x?B∨x∈C) ?(x∈A∧x?C∧x?B)∨(x∈A∧x?C∧x∈C) ?x∈A∧x?C∧x?B?x∈A∧x?B∧x?C ?(x∈A∧x?B)∧x?C ?x∈A-B∧x?C?x∈(A-B)-C 所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
离散数学复习题及答案
1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案： 2.证明 答案： 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： 4. 写出下列式子的主析取范式： 答案： 5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q 答案： ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨) ()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q) P (Q)(P P) (Q P)P (Q)(Q Q)P (P) Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)() ()(R P Q P ∨∧∧?
①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q 7. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 答案： 令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8. 请将下列命题符号化： 存在着不是有理数的实数。 答案： 令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。 答案： 令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x 11. 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案： ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧??
离散数学集合论部分常考××题
离散数学常考题型梳理 第2章关系与函数 一、题型分析 本章主要介绍关系的概念及运算、关系的性质与闭包运算、等价关系、相容关系和偏序关系三个重要关系、函数以及函数相关知识等内容。常涉及到的题型主要包括： 2-1关系的概念理解以及关系的并、交、补、差以及复合和逆关系等运算2-2关系自反和反自反、对称和反对称等性质的概念理解与判定；自反、对称和传递闭包运算。 2-3等价关系 2-4偏序关系和哈斯图 2-5 函数的概念和性质 因此，在本章学习过程中希望大家要清楚地知道： 1．有序对和笛卡尔积 （1）有序对：所谓有序对就是指一个有顺序的数组，如< x , y >，x , y的位置是确定的，且< a , b >< b , a >。 （2）笛卡尔积：把集合A，B合成集合A×B，规定： {,|} ?=<>∈∈ 且 A B x y x A y B 由于有序对< x , y >中x，y 的位置是确定的，因此A×B 的记法也是确定的，不能写成B×A 。 笛卡儿积的运算一般不满足交换律。 2．二元关系的概念和表示、几种特殊的关系和关系的运算 （1）二元关系的概念：二元关系是一个有序对集合，设集合A，B ，从集合A 到B的二元关系 R∈ x ∈ < y =且 > } , x {B | y A 记作xRy。 二元关系的定义域：A Ram? R ) (。 ) R Dom? (；二元关系的值域：B 二元关系R 是一个有序对组成的集合．因此，一个二元关系是一个集合，可以用集合形式表示；反过来说，一个集合未必是一个二元关系，仅当集合是由有序对元素组成的，才能当做二元关系。 常用关系的表示法包括了集合表示法、列举法、描述法、关系矩阵法和关系图法。关系矩阵和关系图是有限集合上的二元关系的表示方法。
《离散数学》考试题库及答案(三)
《离散数学》考试题库及答案 一、 填空 10% （每小题 2分） 1、 若P ，Q 为二命题，Q P ?真值为1，当且仅当 。 2、 对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ?∨?∧?中自由变元进行代入的 公 式 为 。 3、 )) (()(x xG x xF ??∧?的 前 束 范 式为 。 4、 设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元，A 的论域为D ，A （x ）关于y 的自由的， 则 被称为全称量词消去规则，记为US 。 5、 与非门的逻辑网络为 。 二、 选择 30% （每小题 3分） 1、 下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。 A 、R Q P ?∧∧)(； B 、)()((S R Q P ∧→→； C 、R Q P ∧∨∨； D 、S R Q P ∨∧∨?))((。 2、 下列语句是命题的有（ ）。 A 、2是素数； B 、x+5 > 6； C 、地球外的星球上也有人； D 、这朵花多好看呀！。 3、 下列公式是重言式的有（ ）。 A 、)(Q P ??； B 、Q Q P →∧)(； C 、P P Q ∧→?)(； D 、P Q P ?→)( 4、 下列问题成立的有（ ）。 A 、 若C B C A ∨?∨，则B A ?； B 、若C B C A ∧?∧，则B A ?； C 、若B A ???，则B A ?； D 、若B A ?，则B A ???。 5、 命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。 A 、 在推演过程中可随便使用前提； B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果； C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎出C ；
离散数学测试(集合论)
《离散数学》单元测试（集合论） 3.1集合的基本概念 1.设Ａ、Ｂ、Ｃ是集合，确定下列命题是否正确，说明理由。 （1）Ф?Ф （2）Ф∈Ф （3）Ф?{Ф} （4）Ф∈{Ф} （5）如果A∈B与B?C,则A?C （6）如果A∈B与B?C,则A∈C （7）如果A?B与B∈C,则A∈C （8）如果A?B与B∈C,则A?C 2.有n个元素的集合Ａ的幂集ρ(A)的元素个数为多少？求下列集合的幂集合。 （1）Ф （2）{Ф} （3）{Ф,{Ф}} （4）{a,b} （5）{a,b,{a,b}} （6）{1，{1}，2，{2}} 3.2 集合的运算 1.设A，B是两个集合，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则B－A= ，ρ（B）－ ρ（A）= 。 2.全集E={a，b，c，d，e}，A={a，d}，B={a，b，e}，C={b，d}，求 ，ρ（A）∩ρ（B） A B C= () = 。 3.下列命题正确的是（）。 A．φ∩{φ}=φB．φ∪{φ}=φC．{a}∈{a，b，c} D．φ∈{a，b，c} 4.确定下列各式的值： Ф∩{Ф}＝ {Ф,{Ф}}－Ф＝ {Ф,{Ф}}－{Ф}＝ 6.证明下列各等式： A∩(B－A)＝Ф A∪(A∩B)＝A 3.3 有穷集合的计数问题 掌握文氏图和容斥原理求解有穷集合的计数问题的方法，并会简单应用。以教材的示例为基础。
第4章 二元关系 4.1二元关系的定义、表示方法与特性 1. A 和B 是任意两个集合，若序偶的第一个元素是A 的一个元素，第二个元素是B 的一个 元素，则所有这样的序偶集合称为集合A 和B 的 ， 记作A ?B ，即A ?B= 。A ?B 的子集R 称为A 到B 的一个 。若|A|=m ， B|=n ，则A 到B 共有 个不同的二元关系。 2. 设集合A ＝{a,b},B ＝{x,y},求笛卡尔乘积A ×B,B ×A,,A ×ρ(B)。 3. 证明： (1) (A ∩B)×C=(A ×C)∩(B ×C) (2) (A ∪B)×C=(A ×C)∪(B ×C) 4. 设A={a,b},B={x,y},则从A 到B 的二元关系共有多少个？请分别列出。 5. 设集合A={a,b,c,d},B={1,2,3},R 是A 到B 的二元关系，R={
离散数学复习题参考带答案
一、选择题：（每题2’） 1、下列语句中不是命题的有（ ）。 A ．离散数学是计算机专业的一门必修课。 B ．鸡有三只脚。 C ．太阳系以外的星球上有生物 。 D ．你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A 与B 是等价的，是指（ ）。 A ． A 与B 有相同的原子变元 B ． A 与B 都是可满足的 C ． 当A 的真值为真时，B 的真值也为真 D ． A 与B 有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为（ ）。 A ． 010，100，101，110，111 B ． 010，100，101，111 C ． 全体赋值 D ． 不存在 4、合式公式 (P∧Q)R 的主析取范式中含极小项的个数为（ ）。 A ．2 B ．3 C ．5 D ．0 5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。 A ．析取范式 B ．合取范式 C ．主析取范式 D ．以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有（ ）。 A ．(P ∧Q) (P ∨Q) B ．(P Q) (( P Q)∧(Q P)) C ．(P Q)∧Q D ．P (P ∧Q) 7、命题公式 (P Q) ( Q ∨P) 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8、若公式 (P∧Q)∨(P∧R) 的主析取范式为 m 001∨m 011∨m 110∨m 111 则它的主合取范式为（ ）。 A ．m 001∧m 011∧m 110∧m 111 B ．M 000∧M 010∧M 100∧M 101 C ．M 001∧M 011∧M 110∧M 111 D ．m 000∧m 010∧m 100∧m 101 9、下列公式中正确的等价式是（ ）。 A ．(x)A(x) ( x)A(x) B ．(x) (y)A(x, y) (y) (x) A(x, y) C ．(x)A(x) (x)A(x) D ．(x) (A(x) ∧B(x)) ( x) A(x) ∨(x) B(x) 10、下列等价关系正确的是（ ）。 A ．x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) B ．x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) C ．x ( P(x) Q ) x P(x) Q D ． x ( P(x) Q ) x P(x) Q 11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（ ）。 A ．x y （x·y=1） B ．x y （x·y=0） C ． x y （x·y=y） D ．x y （x+y=2y ） 12、设S={,{1},{1,2}}，则有（ ）S 。 A ．{{1,2}} B ．{1,2 } C ．{1} D ．{2} 13、下列是真命题的有（ ）。 A ．{a}{{a}} B ．{{}}{,{}} C ．{,{}} D ．{}{,{}}
离散数学习题
第一章习题 1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。（1）2是无理数。 （2）5能被2整除。 （3）现在开会吗？ （4）x+5>0 （5）这朵花真是好看！ （6）2是素数当且仅当三角形有三条边。 （7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。 （8）2000年10月1日天气晴好。 （9）太阳系以外的星球上有生物。 （10）小李在宿舍里。 （11）全体起立。 （12）4是2的倍数或是3的倍数。 （13）4是偶数且是奇数。 （14）李明和王华是同学。 （15）蓝色和黄色可以调配成绿色。 1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。 1.3判断下列各命题的真值。 （1）若2+2=4，则3+3=6； （2）若2+2=4，则3+3≠6； （3）若2+2≠=4，则3+3=6； （4）若2+2≠=4，则3+3≠=6； （5）2+2=4，当且仅当3+3=6； （6）2+2=4，当且仅当3+3≠6； （7）2+2≠4，当且仅当3+3=6； （8）2+2≠4，当且仅当3+3≠6； 1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号； （2）如果今天是1号，则明天是3号； 1.5将下列命题符号化。 （1）2是偶数不是素数； （2）小王不但聪明而且用功； （3）虽然天气冷。老王还是来了； （4）他一边吃饭，一边看电视； （5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来； （6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来； （7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来； （8）不经一事，不长一智； 1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。（1）p∨(q∧r);
离散数学集合论部分测试题
离散数学集合论部分测试题
离散数学集合论部分综合练习 本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。 一、单项选择题 1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）． A．A?B，且A∈B B．A∈B，但A?B C．A?B，但A?B D．A?B，且A?B 2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{ a }}∈A B．{ a }?A C．{2}∈A D．?∈A 3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{a}}∈A B．{2}?A C．{a}?A D．?∈A 4．若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）． A．B? A，且B∈A B．B∈ A，但B?A C．B ? A，但B?A D．B? A，且B?A 5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )． A．{{1}, {a}} B．{?,{1}, {a}} C．{?,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }} 6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）． A．1024 B．10 C．100 D．1 7．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={
离散数学课后习题答案(左孝凌版)
离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解：
离散数学例题整理
第一章 定律证明: (1) A?B=B?A (交换律) 证?x x∈A?B ? x∈A 或x∈B, 自然有x∈B 或x∈A ? x∈B?A 得证A?B?B?A. 同理可证B?A?A?B. (2) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (分配律) 证?x x∈A?(B?C) ? x∈A或(x∈B且x∈C ) ?(x∈A或x∈B)且(x∈A或x∈C) ?x∈(A?B)?(A?C) 得证A?(B?C)?(A?B)?(A?C). 类似可证(A?B)?(A?C)?A?(B?C). (3) A?E=E (零律) 证根据并的定义, 有E?A?E. 根据全集的定义, 又有A? E?E. (4) A?E=A (同一律) 证根据交的定义, 有A?E?A. 又, ?x x∈A, 根据全集E的定义, x∈E, 从而x∈A且x∈E, ?x∈A?E 得证A?A?E. 例4 证明A?(A?B)=A（吸收律） 证利用例3证明的4条等式证明 A?(A?B) = (A?E)?(A?B) (同一律) = A?(E?B) (分配律) = A?(B?E) (交换律) = A?E (零律) = A (同一律) 例5 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证(A-C)-(B-C) = (A ?~C) ? ~(B ? ~C) (补交转换律) = (A ?~C) ? (~B ? ~~C) (德摩根律) = (A ?~C) ? (~B ? C) (双重否定律) = (A ?~C? ~B)?(A ?~C? C) (分配律) = (A ?~C? ~B)?(A ??) (矛盾律) = A ?~C? ~B (零律,同一律) = (A ?~B) ? ~C (交换律,结合律)
离散数学集合论部分测试题
离散数学集合论部分综合练习 本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。 一、单项选择题 1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）． A．A?B，且A∈B B．A∈B，但A?B C．A?B，但A?B D．A?B，且A?B 2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{ a }}∈A B．{ a }?A C．{2}∈A D．?∈A 3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{a}}∈A B．{2}?A C．{a}?A D．?∈A 4．若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）． A．B? A，且B∈A B．B∈ A，但B?A C．B ? A，但B?A D．B? A，且B?A 5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )． A．{{1}, {a}} B．{?,{1}, {a}} C．{?,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }} 6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）． A．1024 B．10 C．100 D．1 7．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={
离散数学课后习题答案第二章
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ?，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) (x ?，在（a）(b)中均为真命题。 xG 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) x x∧ ? ?? F ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) x F H x→ ?? (x ) ( ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F x G y x→ ? ? y ∧ )) ( , ( ) x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) y x F G y→ ?? ∧ ? x ( ) ( , H ( x ) (y ( 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R.
离散数学题目大汇总
离散数学试题一（A 卷答案） 一、（10分）证明(A ∨B )(P ∨Q )，P ，(B A )∨P A 。 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4 种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1)，US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3)，ES (5)Q (y ) T (2)(4)，I (6)xQ (x ) T (5)，EG 四、（10分）设A ＝{a ，b ，c}，试给出A 上的一个二元关系R ，使其同时不满足自反性、反自反性、 五、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ， (1)若f o g 是满射，则f 是满射。 (2)若f o g 是单射，则g 是单射。 六、（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得T R 且R ，证明T 是一个等价关系。 七、（15分）若
离散数学之集合论
第二篇集合与关系 集合论是现代各科数学的基础，它是德国数学家康托（Geog Cantor, 1845～1918）于1874年创立的，1876～1883年康托一系列有关集合论的文章，对任意元的集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论深厚的基础，19世纪90年代后逐渐为数学家们采用，成为分析数学、代数和几何的有力工具。 随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年前后出现了各种悖论，使集合的发展一度陷入僵滞的局面。1904～1908年，策墨罗（Zermelo）列出了第一个集合论的公理系统，它的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐渐形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。 现在，集合论已经成为内容充实、实用广泛的一门学科，在近代数学中占据重要地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，正在影响着整个数学科学。集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。集合论可作为数学学科的通用语言，一切必要的数据结构都可以利用集合这个原始数据结构而构造出来，计算机科学家或许也可以利用这种方法。 本篇介绍集合论的基础知识，主要内容包括集合及其运算、性质、序偶、关系、映射、函数、基数等。 第2-1章集合及其运算 §2-1-1 集合的概念及其表示 一、集合的概念 “集合”是集合论中的一个原始的概念，因此它不能被精确地定义出来。一般地说，把具有某种共同性质的许多事物，汇集成一个整体，就形成一个集合。构成这个集合的每一个事物称为这个集合的一个成员（或一个元素），构成集合的这些成员可以是具体东西，也可以是抽象东西。例如：教室内的桌椅；图书馆的藏书；全国的高等学校；自然数的全体；程序设计语言C的基本字符的全体等均分别构成一个集合。通常用大写的英文字母表示集合的名称；用小写的英文字母表示元素。若元素a属于集合A记作
离散数学部分答案
第十四章部分课后习题参考答案 5、设无向图G 有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G 至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、)()(G G δ、?。 解：由握手定理图G 的度数之和为：20102=? 3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。 其余顶点的度数共有6度。 其余顶点的度数均小于3，欲使G 的顶点最少，其余顶点的度数应都取2, 所以，G 至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,2)(,4)(==?G G δ. 7、设有向图D 的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D 的入度列，并求)(),(D D δ?， )(),(D D ++?δ,)(),(D D --?δ. 解：D 的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D 的入度列为1,1,1,2. 2)(,3)(==?D D δ,1)(,2)(==?++D D δ,1)(,2)(==?--D D δ 8、设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？ 解：由握手定理图G 的度数之和为：1262=? 设2度点x 个，则1221513=+?+?x ，2=x ，该图有4个顶点. 14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。 (1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化； (2) 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化； 18、设有3个4阶4条边的无向简单图G 1、G 2、G 3，证明它们至少有两个是同构的。 证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为8，因而度数列为2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1对应的图不是简单图。所以
【离散数学】知识点及典型例题整理
【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。 【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。 【Abel群/交换群】·适合交换律。可能不只有两个元素适合x2=1 【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。 【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。单位子群{1}和G称为平凡子群。 【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。若G的元数是一个质数，则G必是循环群。 n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。共有?（n）个。【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）} 【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。 求右陪集：H本身是一个；任取a?H而求aH又得到一个；任取b?H∪aH而求bH又一个。G=H∪aH∪bH∪… 【正规子群】G中任意g，gH=Hg。（H=gHg-1对任意g∈G都成立） Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。 1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。 2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。 3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。故Ha=aH。 4G的任意多个子群的交集是G的子群。并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。 5 H是G的子群。N是G的正规子群。命HN为H的元素乘N的元素所得的所有元素的集合，则HN是G的子群。 【同态映射】K是乘法系统，G到K的一个映射σ（ab）=σ（a）σ（b）。 设（G，*），（K，+）是两个群，令σ：x→e，?x∈G，其中e是K的单位元。则σ是G到K 内的映射，且对a，b∈G，有σ（a*b）=e=σ（a）+ σ（b）。即，σ是G到K的同态映射，G～σ（G）。σ（G）={e}是K的一个子群。这个同态映射是任意两个群之间都有的。 【同构映射】K是乘法系统，σ是G到σ（G）上的1-1映射。称G与σ（G）同构，G?G′。同构的群或代数系统，抽象地来看可以说毫无差别。G和G′同态，则可以说G′是G的一个缩影。 【同态核】σ是G到G′上的同态映射，核N为G中所有变成G′中1′的元素g的集合，即N=σ-1（1′）={g∈G∣σ（g）=1′}。 N是G的一个正规子群。对于Gˊ的任意元素aˊ，σ-1(aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ}是N在G 中的一个陪集。Gˊ的元素和N在G中的陪集一一对应。 设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。 【环】R非空，有加、乘两种运算 a+b=b+a2）a+（b+c）=（a+b）+c， 3）R中有一个元素0，适合a+0=a， 4）对于R中任意a,有-a,适合a+(-a)=0， 5）a（bc）=（ab）c，
离散数学集合论期末复习题
集合论期末复习题 1. 求(())P P φ 答：(()){,{}}P P φφφ= 2. 设||A n =，求|()|P A 答：|()|2n P A = 3. {,{}}________φφφ-=，{,{}}{}________φφφ-= 答：{,{}}φφ，{{}}φ 4. 证明：()()()A B C A B A C ?⊕=?⊕? 证明： () [()()] (~)(~) (~)(~) (~)(~)(~)(~)[()(~~)][()(~~)] [()~()][()~()] [()()][()()] ()() A B C A B C C B A B C C B A B C A C B A B A A B C A C B A C A A B A C A C B A A B A C A C A B A B A C A C A B A B A C ?⊕=?-?-=????=?????=???????????=???????=???????=?-???-?=?⊕? 5. 200人中，有67人学数学，47人学物理，95人学生物，26人学数学和生物，28人学数学和物理，27人学生物和物理，50人三门都不学，问：三门都学的人数和单学一门的人数？ 解：设三门都学的人数和单学数学、物理、生物的人数分别为x ，y1,y2,y3，则如下图： (26)(28)167(27)(28)247(26)(27)395 (26)(27)(28)12350200 x x x y x x x y x x x y x x x x y y y +-+-+=??+-+-+=??+-+-+=??-+-+-+++++=? 求解得到：1132228135342214123269364 y x x y x y y x y y y y x y -==????-=-=?????-==????++-==?? 6. 集合S={0,1,2,3,4,5,6}，R 为S 上的关系。R={ . 一、选择题：（每题2’） 1、下列语句中不是命题的有（）。 A．离散数学是计算机专业的一门必修课。B．鸡有三只脚。 C．太阳系以外的星球上有生物。D．你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A与B是等价的，是指（）。 A．A与B有相同的原子变元B．A与B都是可满足的 C．当A的真值为真时，B的真值也为真D．A与B有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为（）。 A．010，100，101，110，111 B．010，100，101，111 C．全体赋值D．不存在 4、合式公式?(P∧Q)→R的主析取范式中含极小项的个数为（）。 A．2 B．3 C．5 D．0 5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（）。 A．析取范式B．合取范式C．主析取范式D．以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有（）。 A．(P∧Q) → (P∨Q) B．(P?Q) ? (( P→Q)∧(Q→P)) C．?(P →Q)∧Q D．P →(P∧Q) 7、命题公式(?P→Q) →(?Q∨P)中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。 A．0 B．1 C．2 D．3 8、若公式(P∧Q)∨(?P∧R) 的主析取范式为m001∨m011∨m110∨m111则它的主合取范式为（）。 A．m001∧m011∧m110∧m111B．M000∧M010∧M100∧M101 C．M001∧M011∧M110∧M111D．m000∧m010∧m100∧m101 9、下列公式中正确的等价式是（）。 A．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) B．(?x) (?y)A(x, y) ? (?y) (?x) A(x, y) C．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) D．(?x) (A(x) ∧B(x)) ? (?x) A(x) ∨(?x) B(x) 10、下列等价关系正确的是（）。 A．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) B．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) C．?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q D．?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q 11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（）。 A．?x?y（x·y=1）B．?x?y（x·y=0）C．?x?y（x·y=y）D．?x?y（x+y=2y） 12、设S={?,{1},{1,2}}，则有（）?S。 A．{{1,2}} B．{1,2 } C．{1} D．{2} 13、下列是真命题的有（）。 A．{a}?{{a}} B．{{?}}∈{?,{?}} C．?∈{?,{?}} D．{?}∈{?,{?}} 14、设S={?,{1},{1,2}}，则2S有（）个元素。 A．3 B．6 C．7 D．8 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P ：你努力，Q ：你失败。 2、 “除非你努力，否则你将失败”符号化为 ； “虽然你努力了，但还是失败了”符号化为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式x ??真值为 。 3设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则 R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系 R= ；A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 5、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 6、4阶群必是 群或 群。 7、下面偏序格是分配格的是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 二、选择 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生 的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 则R 具有（ ）性质。 A ．自反性、对称性、传递性； B ．反自反性、反对称性； C ．反自反性、反对称性、传递性； D ．自反性 。离散数学复习题参考带答案
离散数学试题与答案