初中数学专题04几何最值存在性问题(解析版)
专题四几何最值的存在性问题
【考题研究】
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。
【解题攻略】
最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．
两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．
两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．
【解题类型及其思路】
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
【典例指引】
类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】
【典例指引1】（2018·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．
（I）证明：EO=EB；
（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；
（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN最小，请直接写出这个最小值．
【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）P的坐标为（4，2）或（
5
5
，
45
5
）或P（﹣
5
5
，﹣
45
5
）
或（16
5
，
8
5
）；（Ⅲ）
32
5
．
【解析】
分析：（Ⅰ）由折叠得到∠DOB=∠AOB，再由BC∥OA得到∠OBC=∠AOB，即∠OBC=∠DOB，即可；（Ⅱ）设出点P坐标，分三种情况讨论计算即可；
（Ⅲ）根据题意判断出过点D作OA的垂线交OB于M，OA于N，求出DN即可．
详解：（Ⅰ）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E，
∴∠DOB=∠AOB，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠DOB，
∴EO=EB；
（Ⅱ）∵点B的坐标为（8，4），
∴直线OB解析式为y=1
2 x，
∵点P是直线OB上的任意一点，
∴设P（a，1
2 a）．
∵O（0，0），C（0，4），
∴OC=4，PO2=a2+（1
2
a）2=
5
4
a2，PC2=a2+（4-
1
2
a）2．
当△OPC是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：①如果PO=PC，那么PO2=PC2，
则5
4
a2=a2+（4-
1
2
a）2，解得a=4，即P（4，2）；
②如果PO=OC，那么PO2=OC2，
则5
4
a2=16，解得a=±
8
5
5
，即P（
8
5
5
，
4
5
5
）或P（-
8
5
5
，-
4
5
5
）；
③如果PC=OC时，那么PC2=OC2，
则a2+（4-1
2
a）2=16，解得a=0（舍），或a=
16
5
，即P（
16
5
，
8
5
）；
故满足条件的点P的坐标为（4，2）或（8
5
5
，
4
5
5
）或P（-
8
5
5
，-
4
5
5
）或（
16
5
，
8
5
）；
（Ⅲ）如图，过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，
此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值．
由（1）有，EO=EB，
∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），设OE=x，则DE=8-x，
在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2，
∴16+（8-x）2=x2，
∴x=5，
∴BE=5，
∴CE=3，
∴DE=3，BE=5，BD=4，
∵S△BDE=1
2
DE×BD=
1
2
BE×DG，
∴DG=
12
=
5 DE BD
BE
?
，
由题意有，GN=OC=4，
∴DN=DG+GN=12
5
+4=
32
5
．
即：AM+MN的最小值为32
5
．
点睛：此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，极值的确定，进行分类讨论与方程思想是解本题的关键．
【举一反三】
（2020·云南初三）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△P AD的面积最大？并求最大值；
（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△P AD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；（2）当t=3
2
时，l有最大值，l最大=
9
4
；（3）t=
3
2
时，△P AD的面积的最大值为
27
8
；
（4）t 15 +
.
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）易知直线AD解析式为y=-x+3，设M点横坐标为m，则P（t，-t2+2t+3），M（t，-t+3），可得l=-t2+2t+3-
（-t+3）=-t2+3t=-（t-3
2
）2+
9
4
，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）由S△P AD=1
2
×PM×（x D-x A）=
3
2
PM，推出PM的值最大时，△P AD的面积最大；
（4）如图设AD的中点为K，设P（t，-t2+2t+3）．由△P AD是直角三角形，推出PK=1
2
AD，可得（t-
3
2
）
2+（-t2+2t+3-3
2
）2=
1
4
×18，解方程即可解决问题；
试题解析：（1）把点B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，
则有
30 4233 a b
a b
-+=
?
?
++=
?
，
解得
1
2
a
b
=-
?
?
=
?
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，∴D（3，0），且A（0，3），
∴直线AD解析式为y=﹣x+3，
设M点横坐标为m，则P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），
∵0＜t＜3，
∴点M在第一象限内，
∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣3
2
）2+
9
4
，
∴当t=3
2
时，l有最大值，l最大=
9
4
；
（3）∵S△P AD=1
2
×PM×（x D﹣x A）=
3
2
PM，
∴PM的值最大时，△P AD的面积中点，最大值=3
2
×
9
4
=
27
8
．
∴t=3
2
时，△P AD的面积的最大值为
27
8
．
（4）如图设AD的中点为K，设P（t，﹣t2+2t+3）．
∵△P AD 是直角三角形，
∴PK =
1
2
AD ， ∴（t ﹣32）2+（﹣t 2+2t +3﹣3
2）2=14
×
18， 整理得t （t ﹣3）（t 2﹣t ﹣1）=0， 解得t =0或3或
15
±， ∵点P 在第一象限， ∴t =
1+5
. 类型二 【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】
【典例指引2】
（2020·重庆初三期末）如图，抛物线2y ax bx =+（0a >）与双曲线k
y x
=相交于点A 、B ，已知点A 坐标()1,4，点B 在第三象限内，且AOB ?的面积为3（O 为坐标原点）.
（1）求实数a 、b 、k 的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P 使得POB ?为等腰三角形？若存在请求出所有的P 点的坐标，若不存在请说明理由.
（3）在坐标系内有一个点M ，恰使得MA MB MO ==，现要求在y 轴上找出点Q 使得BQM ?的周长最小，请求出M 的坐标和BQM ?周长的最小值.
【答案】（1）13a b =??
=?，4k =；（2）存在，1 1.5,2P ?-- ??，2 1.5,2P ??- ? ???，3 1.5,22P ?--- ??
，
4 1.5,2P ?-- ??
，()5 1.5,0.5P --；（3）1
2
【解析】 【分析】
（1）由点A 在双曲线上，可得k 的值，进而得出双曲线的解析式．设4,
B m m ?
?
???
(0m <)，过A 作AP ⊥x 轴于P ，BQ ⊥y 轴于Q ，直线BQ 和直线AP 相交于点M ．根据AOB AMB AOP QOB OPMQ S S S S S ????=---矩形=3解方程即可得出k 的值，从而得出点B 的坐标，把A 、B 的坐标代入抛物线的解析式即可得到结论； （2）抛物线对称轴为 1.5x =-，设()1.5,P y -，则可得出2PO ；2OB ；2PB ．然后分三种情况讨论即可； （3）设M (x ，y )．由MO =MA =MB ，可求出M 的坐标．作B 关于y 轴的对称点B '．连接B 'M 交y 轴于Q ．此时△BQM 的周长最小．用两点间的距离公式计算即可． 【详解】
（1）由()1,4A 知：k =xy =1×4=4， ∴4
y x
=
． 设4,
B m m ??
??
?
(0m <)． 过A 作AP ⊥x 轴于P ，BQ ⊥y 轴于Q ，直线BQ 和直线AP 相交于点M ，则S △AOP =S △BOQ =2．
AOB AMB AOP QOB OPMQ S S S S S ????=---矩形
()()14414102AOP QOB m S S m m ?????
?=
---+-?- ? ?????
242224m m m ????=--+--- ? ?????
2
2m m
=
- 令：
2
23m m
-=， 整理得：22320m m +-=， 解得：11
2
m =，22m =-． ∵m ＜0， ∴m =-2， 故()2,2B --．
把A 、B 带入2y ax bx =+
2424a b
a b -=-??
=+?
解出：13a b =??=?
，
∴2
3y x x =+．
（2）22
3( 1.5) 2.25y x x x =+=+- ∴抛物线2
3y x x =+的对称轴为 1.5x =-．
设()1.5,P y -，则2
294
PO y =
+，28OB =，()2
2124PB y =++．
∵△POB 为等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①22PO OB =，即
2984y +=
，解得：2
y =±，
∴1 1.5,P ?- ??
，2P ?- ??
；
②22PB OB =，即
()21284y ++=
，解得：22
y =-±，
∴3 1.5,2P ?-- ??
，4 1.5,2P ?-- ??
；
③22PB OP =，即
()2
219244
y y ++=+，解得：0.5y =- ∴()5 1.5,0.5P --； （3）设(),M x y ．
∵()1,4A ，()2,2B --，()0,0O ，
∴222
MO x y =+，()()22214MA x y =-+-，()()22
222MB x y =+++．
∵MO MA MB ==，
∴()()()()
22222222
1422x y x y x y x y ?+=-+-?
?+=+++?? 解得：112
72x y ?
=-????=??
，
∴117,22M ??
-
??
?． 作B 关于y 轴的对称点B '坐标为：(2，-2)． 连接B 'M 交y 轴于Q ．此时△BQM 的周长最小．
BQM C MQ BQ MB ?=++MQ QB MB '=++=MB '+MB
2222
11711722222222????????=--+++-+++ ? ? ? ?????????
(
)
13461702
=
+．
【名师点睛】
本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、轴对称-最值问题等．第（1）问的关键是割补法；第（2）问的关键是分类讨论；第（3）问的关键是求出M 的坐标． 【举一反三】
（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣233
84
x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求出直线BC 的解析式．
（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．
（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y ＝﹣34x +3；（2）R （1，92
）；（3）BT ＝2或BT ＝16
5．
【解析】 【分析】
（1）由已知可求A （﹣2，0），B （4，0），C （0，3），即可求BC 的解析式；
（2）由已知可得∠QMH ＝∠CBO ，则有QH ＝34
QM ，MH ＝5
4MQ ，所以△MHQ 周长＝3QM ，则求△MHQ
周长的最大值，即为求QM 的最大值；设M （m ，233
384
m m -++），过点M 与BC 直线垂直的直线解析
式为243733812y x m m =
--+，交点22972721,35025200100Q m m m m ??
+-
-+ ???
，可求出()23=
410
MQ m m -+，当m ＝2时，MQ 有最大值6
5；函数的对称轴为x ＝1，作点M 关于对称轴的对称点M '（0，3），连接AM '与对称轴交于点R ，此时|AR ﹣MR |＝|AR ﹣M 'R |＝AM '，|AR ﹣MR |的最大值为AM '；求出AM '的直线解析式为332y x =
+，则可求912R ??
???
，； （3）有两种情况：当TC '∥OC 时，GO ⊥TC '；当OT ⊥BC 时，分别求解即可． 【详解】
解：（1）令y =0，即233
3084
x x -++=，解得122,4x x =-=， ∵点A 在点B 的左侧 ∴A （﹣2，0），B （4，0）， 令x =0解得y =3， ∴C （0，3），
设BC 所在直线的解析式为y =kx +3， 将B 点坐标代入解得k =3
4
- ∴BC 的解析式为y ＝-
3
4
x +3；
（2）∵MQ ⊥BC ，M 作x 轴， ∴∠QMH ＝∠CBO ， ∴tan ∠QMH ＝tan ∠CBO ＝34
， ∴QH ＝
34
QM ，MH ＝5
4MQ ，
∴△MHQ 周长＝MQ +QH +MH ＝
34
QM +QM +5
4MQ ＝3QM ，
则求△MHQ 周长的最大值，即为求QM 的最大值； 设M （m ，2
3
3
38
4
m m -+
+）， 过点M 与BC 直线垂直的直线解析式为2437
33812
y x m m =--+， 直线BC 与其垂线相交的交点22972721,35025200100Q m m m m ??+--+ ???
，
∴()23
=
410
MQ m m -+， ∴当m ＝2时，MQ 有最大值6
5
， ∴△MHQ 周长的最大值为18
5
，此时M （2，3）， 函数的对称轴为x ＝1，
作点M 关于对称轴的对称点M '（0，3），
连接AM '与对称轴交于点R ，此时|AR ﹣MR |＝|AR ﹣M 'R |＝AM '， ∴|AR ﹣MR |的最大值为AM '； ∵AM '的直线解析式为y ＝3
2
x +3， ∴R （1，
92
）； （3）①当TC '∥OC 时，GO ⊥TC '， ∵△OCT ≌△OTC '， ∴3412
=55
OG ?＝， ∴12655T ??
??
?， ∴BT ＝2；
②当OT⊥BC时，过点T作TH⊥x轴，
OT＝12
5
，
∵∠BOT＝∠BCO
，
∴
3
=
12
5
5
c
O
o BOT
H
s∠＝
，
∴OH＝36 25
，
∴
3648
2525 T
?? ???
，
∴BT＝16
5
；
综上所述：BT＝2或BT＝16
5
．
【点睛】
本题是一道综合题，考查了二次函数一次函数和三角形相关的知识，能够充分调动所学知识是解题的关键. 类型三【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】
【典例指引3】（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，
0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）最大值为9
4
，E（
3
2
，﹣
3
4
）．
【解析】
【分析】
（1）用交点式函数表达式，即可求解；
（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；
（3）利用S四边形AEBD＝1
2
AB（y D﹣y E），即可求解．
【详解】
解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，
则AB＝PE＝2，
则点P坐标为（4，3），
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，
AB中点坐标为（2，0）
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：
2
2
m+
，
即：
2
2
m+
＝2，解得：m＝2，
故点P（2，﹣1）；
故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；
（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），
S四边形AEBD＝1
2
AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，
当x＝3
2
，其最大值为
9
4
，此时点E（
3
2
，﹣
3
4
）．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【举一反三】
（2019·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2
2(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于
()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；
（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ?面积的最大值及此时点E 的坐标．
（4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）224233y x x =-
++，对称轴1x =；（2）11,4D ?? ???；（3）面积有最大值是4948，755,424E ??
???
；
（4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形，()2,2M
或104,3M ?
?-
???
或102,3M ?
?-- ??
?.
【解析】 【分析】
（1）将点A （-1，0），B （3，0）代入y =ax 2+bx +2即可；
（2）过点D 作DG ⊥y 轴于G ，作DH ⊥x 轴于H ，设点D （1，y ），在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=（2-y ）
2
+1，在Rt △BHD 中，BD 2=BH 2+HD 2=4+y 2，可以证明CD =BD ，即可求y 的值；
（3）过点E 作EQ ⊥y 轴于点Q ，过点F 作直线FR ⊥y 轴于R ，过点E 作FP ⊥FR 于P ，证明四边形QRPE
是矩形，根据S △CEF =S 矩形QRPE -S △CRF -S △EFP ，代入边即可；
（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点M （2，2）或M （4，- 103）或M （-2，-10
3
）； 【详解】
解：（1）将点()()1,0,3,0A B -代入2
2y ax bx =++，
可得24
,33a b =-
=， 224
233
y x x ∴=-++；
∴对称轴1x =；
（2）如图1：过点D 作DG y ⊥轴于G ，作DH x ⊥轴于H ，
设点()1,D y ，
()()0,2,3,0C B Q ，
∴在Rt CGD ?中，()2
22221CD CG GD y =+=-+， ∴在Rt BHD ?中，22224BD BH HD y =+=+，
在BCD ?中，DCB CBD ∠=∠Q
CD BD ∴=，
22CD BD ∴=
()2
2214y y ∴-+=+ 14
y ∴=
，
11,
4D ??
∴ ???
； （3）如图2：过点E 作EQ y ⊥轴于点Q ，过点F 作直线FR y ⊥轴于R ，过点E 作FP FR ⊥于P ，
90EQR QRP RPE ?∴∠=∠=∠=， ∴四边形QRPE 是矩形，
CEF CRF EFP QRPE S S S S ???=--Q 矩形，
()()(),,0,2,1,1E x y C F Q ，
111
?222CEF S EQ QR EQ QC CR RF FP EP ∴=?-??-?-V
()()()()111
121111222
CEF S x y x y x y ?∴=----??---
224
233
y x x =-++Q ，
217
36CEF S x x ?∴=-+
∴当74x =时，面积有最大值是49
48
，
此时755,424E ??
???
； （4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形， 设()()1,,,N n M x y ，
①四边形CMNB 是平行四边形时，
1322
x
+=
2x ∴=-
102,3M ?
?∴-- ??
?
②四边形CNBM 时平行四边形时，
3122
x +=
2x ∴=， ()2,2M ∴；
③四边形CNNB 时平行四边形时，
1322
x
+=， 4x ∴=，
104,3M ?
?∴- ??
?；
综上所述：()2,2M 或104,3M ?
?- ???或102,3M ?
?--
??
?； 【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想.熟练掌握二次函数的性质、灵活运用勾股定理求边长、掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【新题训练】
1．如图，直线y ＝5x ＋5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 的图象交x 轴于另一点B .
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND ⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值； (3)若点H 为二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 图象的顶点，点M (4，m )是该二次函数图象上一点，在x 轴，y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F 、E 的坐标．
【答案】(1) y＝－x2＋4x＋5；(2);(3) F (，0)，E(0，)．
【解析】
【分析】
（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，C两点的坐标，再根据待定系数法可求二次函数的表达式；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B点的坐标，根据待定系数法可求一次函数BC 的表达式，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的纵坐标为-n+5，D点的坐标为D（n，-n2+4n+5），根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可求线段ND长度的最大值；
（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），作点H（2，9）关于y轴的对称点H1，可得点H1的坐标，作点M（4，5）关于x轴的对称点HM1，可得点M1的坐标连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，可得H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，再根据待定系数法可求直线H1M1解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点F、E的坐标．
【详解】
解：(1)∵直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，
∴A(－1，0)，C(0，5)，
∵二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象过A，C两点，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5；
(2)如解图①，
高考数学复习专题五解析几何第三讲第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题课后训练文
第三讲 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题 1．(2018·云南师大附中质检)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，离心率等于25 5 ，且过点 ? ????1，255. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于M 点，若MA →＝λ1AF →，MB → ＝λ2BF → ，求证：λ1＋λ2为定值． 解析：(1)设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0)， 则????? c a ＝25 5 ，1a 2 ＋? ???? 255 2 b 2 ＝1， ∴a 2＝5，b 2 ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 2 5 ＋y 2＝1. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0) ， 又易知F 点的坐标为(2,0)． 显然直线l 存在斜率， 设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程是y ＝k (x －2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程中，消去y 并整理得(1＋5k 2 )x 2 －20k 2 x ＋20k 2 －5＝0， ∴x 1＋x 2＝20k 2 1＋5k 2，x 1x 2＝20k 2 －5 1＋5k 2. 又∵MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF → ，将各点坐标代入得λ1＝x 12－x 1，λ2＝x 22－x 2 ， ∴λ1＋λ2＝x 12－x 1＋x 2 2－x 2 ＝ x 1＋x 2－2x 1x 2 4－x 1＋x 2＋x 1x 2
＝ 2? ?? ??20k 21＋5k 2－20k 2 －51＋5k 2 4－2·20k 21＋5k 2＋20k 2 －5 1＋5k 2 ＝－10， 即λ1＋λ2为定值． 2．(2018·贵阳一模)过抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ， B 两点，且|AB |＝8. (1)求l 的方程； (2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 恒过定点，并求出该点的坐标． 解析：(1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程 y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 由题意知k ≠0，且[－(2k 2 ＋4)]2 －4k 2 ·k 2 ＝16(k 2 ＋1)＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2 ＋4 k 2，x 1x 2＝1， 由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2 ＋4k 2 ＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)． (2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)，直线BD 的斜率k BD ＝ y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1 y 224－y 21 4 ＝ 4 y 2－y 1 ， ∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝ 4 y 2－y 1 (x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 2 1＝4x －4x 1， ∵y 2 1＝4x 1，y 2 2＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2 ＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)， ∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0， 恒过点(－1,0)． 3．(2018·南宁模拟)已知抛物线C ：y 2＝ax (a ＞0)上一点P (t ，1 2)到焦点F 的距离为2t. (1)求抛物线C 的方程； (2)抛物线C 上一点A 的纵坐标为1，过点Q (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值． 解析：(1)由抛物线的定义可知|PF |＝t ＋a 4 ＝2t ，则a ＝4t ，
立体几何中存在性问题教案.docx
教学背景分析 立体几何中常出现点的存在性和位置待定的问题，以“是否存在”、“是否有”、“在何位置”教学 等形式设问，以示结论有待于确定.文科主要涉及到平行与垂直的位置关系的考查，其中渗透反证 内容 法与分析法的解题思路，也是高考中的常见题型。2012 年北京市高考文科就考查了有关线面垂直的分析 存在性问题，2016 年北京市高考文科就考查了有关线面平行的存在性问题。 1、进一步熟悉空间直线与直线、直线与平面和平面与平面平行的位置关系；理解并掌握线面平行和 教学 面面平行的判定定理及性质定理，会运用定理解决与平行有关的存在性问题； 目标 2、通过对例题的分析，以及对问题的探究，会把空间问题转化为平面问题，尝试用不同的方法找到 需要确定的点、线、面，初步形成解决存在性问题的思路及方法； 3、感受“线线问题、线面问题、面面问题”之间的转化，逐步体会逻辑推理的严谨性。 学生情况 学生在前面立体几何的复习过程中，基本掌握了线线、线面、面面平行的判定与性质，碰到证明问题有一定的思路，但碰到存在性问题多以猜想特殊点的方法去尝试解决，并没从深层次上思考为什么去找这个位置。另外前面的复习过程中由于对反证法并没有过多的强调，所以在碰到结论是不存在的情况时，还不会叙述，不会写解题格式。 教学方法教学重点教学难点教学引导启发式 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化 探索立体几何中（与平行有关的）存在性问题的解题思路，思考存在性问题的本质多媒体、几何画板课件 辅助手段
课题：立体几何中与平行有关的存在性问题 板书例题分析 设计问题 3：方法总结：问题 6： 教学步骤 教学过程 教师活动学生活动设计目的 一、热身训练 二、例题精讲判断下列命题是否正确，若不正确，请修改或 添加条件使结论成立. ①若 a / /b,b，则 a / /； ②若 a / / ,b，则 a / /b ； ③若 m / / , n / / , m, n，则 / /； ④若/ / , a，则 a / /； ⑤若/ / , m, n，则 m / / n ． 例题：如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是梯形，AB∥ CD ，AB 1 CD . 2 问题 1：请指出图中的线面平行的位置关系并选 择一组证明； 问题 2：AD∥平面PBC吗为什么 问题 3：过点A能做平面PBC 的平行线吗如果 能，请在图中作出一条或两条直线并证明. 回忆、思考、小组讨论 说明或操作演示为什么不正 确，如何改正 总结证明线线、线面、面面平 行的证明方法以及相互关系 P D C A B 梳理平行的相关知 识，为本节课的复 习内容作铺垫，加 强知识之间的联系 检验学生对定理的 理解程度 为例题及问题的证 明明确证明的思路 培养学生学习的自 主性 训练学生如何说明 结论不成立
初中数学几何最值问题典型例题
初中数学几何最值问题 典型例题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =PMN 的周长的最小值为 ． 【分析】作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长．根据对称的性质可以证得：△COD 是等腰直角三角形，据此即可求解． 【解答】解：作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长． ∵PC 关于OA 对称， ∴∠COP =2∠AOP ，OC =OP 同理，∠DOP =2∠BOP ，OP =OD ∴∠COD =∠COP +∠DOP =2（∠AOP +∠BOP ）=2∠AOB =90°，OC =OD ． ∴△COD 是等腰直角三角形． 则CD OC ． 【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN 周长最小的条件是解题的关键． 2．如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．
初中数学几何题及答案
经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典难题（二） A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D B
P C G F B Q A D E 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E C B
解析几何中的存在性问题
探究圆锥曲线中的存在性问题 1．求曲线（或轨迹）的方程。对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力； 2．与圆锥曲线有关的最值（或极值）和取值范围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。 一、是否存在这样的常数 例1．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2 212 x y +=有两个不同的 交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围； （II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与 AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx = 代入椭圆方程得22(12 x kx ++=．整理得221102k x ??+++= ??? ① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2 221844202k k k ?? ?=-+=-> ??? ， 解得k
初中数学几何题(超难)及答案分析
几何经典难题 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初三） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点， ∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交 MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 5、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初三） A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D M B · A D H E M C B O
P C G F B Q A D E 6、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ， 直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三） 7、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三 ） 8、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A
立体几何存在性问题解析
A B C D ， AB DC ， AB AD ⊥， 1AD =， AB ， E 是PA 的中点， F 在线段AB 上， 且满足0CF BD ?=. 平面PBC PC B --的余弦值；）在线段PA 上是否存在点与平面PFC 所成角的余弦. 2．如图，已知长方形ABCD 中，, M 为DC 的中点。将ADM ? 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM 。 （1）求证： ； （2是线段上的一动点，问点E 在何位置时，二面角的余弦值为55 。 3．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形且∠DAB =60°，O 为AD 中点. （Ⅰ）若P A =PD ，求证：平面POB ⊥平面P AD ； （Ⅱ）若平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A =PD =AD =2，试问在线段PC 上是否存在点M ， 使二面角M —BO —C 的大小为60°，如存在，求 的值，如不存在，说明理由. 4．如图，在四棱锥 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱 底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点， ， ． （1）若M 为棱SB 的中点，求证： 平面SCD ； （2）当 时，求平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值； （3）在第（2）问条件下，设点N 是线段CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求当 取最大值时点N 的位置．
5．如图，在直三棱柱中，平面平面，且. （1）求证：； （2）若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小. 6．如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且． （1）当时，求异面直线与所成角的大小； （2）设平面与平面所成二面角的大小为（），求的取值范围． 7．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。 （1）求证：； （2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由
初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析
初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（ ） A ．主视图 B ．俯视图 C ．左视图 D ．一样大 【答案】C 【解析】 如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图， 故选C ． 2．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm ，宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是（ ） A ．210824(3) cm - B ．(2 108123cm - C ．(2 54243cm - D ．(2 54123cm - 【答案】A 【解析】 【分析】 设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a ＝2，h ＝9?36ah 求解． 【详解】 解：设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，
如图，正六边形边长AB ＝acm 时，由正六边形的性质可知∠BAD ＝30°， ∴BD ＝ 12a cm ，AD ＝32 a cm ， ∴AC ＝2AD ＝3a cm ， ∴挪动前所在矩形的长为（2h ＋23a ）cm ，宽为（4a ＋ 1 2 a ）cm ， 挪动后所在矩形的长为（h ＋2a ＋3a ）cm ，宽为4acm ， 由题意得：（2h ＋23a ）?（h ＋2a ＋3a ）＝5，（4a ＋1 2 a ）?4a ＝1， ∴a ＝2，h ＝9?23， ∴该六棱柱的侧面积是6ah ＝6×2×（9?23）＝210824(3) cm -； 故选：A ． 【点睛】 本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键． 3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（ ） A ．90° B ．75° C ．105° D ．120° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数． 【详解】
解析几何归纳总结
解析几何归纳总结 1、直线与圆的方程 对于直线方程，要理解直线的倾斜率和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是直线方程的几种形式 对于圆的方程，要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法，如求解圆的方程的待定系数法、圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的几何法、求圆的切线的基本方法等 例1：若直线 1x y a b +=通过点M （cos α,sin α）,则 A 221a b +≤ B 221a b +≥ C 22111a b +≤ D 22111a b +≥ 2、圆锥曲线的定义、标准方程 圆锥曲线的定义一般涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理解三角形等。 例2：（1）已知12,F F 为双曲线C ：22 2x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =,cos 12F PF ∠=___________________ （2）已知12,F F 为双曲线C: 22 1x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=?，则P 到x 轴的距离为___________ （3）已知12,F F 为双曲线C: 22 1927 x y -=的左、右焦点，点A 在C 上，M （2，0），AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF =____________________ （4）已知抛物线C ：2 4y x =的焦点为F ，直线y=2x-4与C 交于A,B 两点，则cos AFB ∠=___________ 3、圆锥曲线的离心率 求离心率的值（或其取值范围）的问题是解析几何中常见的问题，常规求值问题需要找等式，求范围问题需要找不等式：其归纳结底是利用定义寻求关于a,b,c 的相应关系式，并把式中的a,b,c 转化为只含有a,c 的齐次式或不等式，再转化为含e 的关系式，最后求解。小题中常涉及焦半径等，可利用第二定义来解决，避免了复杂的运算。 例3（1）已知F 为椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交在C 于点 D ，且2BF DF = ,则C 的离心率为_____________ （2）已知抛物线C ：2 2y px =（p>0）的准线为l ，过M （1，0l 交于点A ，与C 的一个交点为B,若AM MB = ，则p=_______________ 4、直线与圆锥曲线问题的常规解题方法
立体几何中的存在性问题
立体几何中的存在性问题 1、如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC . (1)求证：D 1C ⊥AC 1； (2)问在棱CD 上是否存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD .若存在，确定点E 位置；若不存在，说明理由． 2．如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯 形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝1 2AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点． (1)求证：OD ∥平面ABC ； (2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值； (3)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由． 3、在如图所示的几何体中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1∥DD 1∥CC 1∥BE ，且AA 1＝AB ，D 1E ⊥平面D 1AC ，AA 1⊥底面ABCD . (1)求二面角D 1－AC －E 的大小； (2)在D 1E 上是否存在点P ，使得A 1P ∥平面EAC ，若存在，求D 1P PE 的值，若不存在，说明理由． 立体几何中的存在性问题 1、如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC . (1)求证：D 1C ⊥AC 1； (2)问在棱CD 上是否存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD .若存在，确定点E 位置；若不存在，说明理由． 2．如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝1 2AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点． (1)求证：OD ∥平面ABC ； (2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值； (3)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由． 3、在如图所示的几何体中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1∥DD 1∥CC 1∥BE ，且AA 1＝AB ，D 1E ⊥平面D 1AC ，AA 1⊥底面ABCD . (1)求二面角D 1－AC －E 的大小； (2)在D 1E 上是否存在点P ，使得A 1P ∥平面EAC ，若存在，求D 1P PE 的值，若不存在，说明理由．
(完整)初中数学“最值问题”_集锦
“最值问题”集锦 ●平面几何中的最值问题 (01) ●几何的定值与最值 (07) ●最短路线问题 (14) ●对称问题 (18) ●巧作“对称点”妙解最值题 (22) ●数学最值题的常用解法 (26) ●求最值问题 (29) ●有理数的一题多解 (34) ●4道经典题 (37) ●平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例． 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1）应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ②运用一元二次方程根的判别式。 例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。 分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，
在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB 与直线L无交点，所以这种思路错误。 取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP， 在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时 A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？ 分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry， 所以 所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2， 上式只有当x=R时取等号，这时有 所以2y=R=x． 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D， 这时，梯形的底角恰为60°和120°． 2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出 最大面积，使得窗户透光最好？ 分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，
(易错题精选)初中数学几何图形初步易错题汇编及答案解析
（易错题精选）初中数学几何图形初步易错题汇编及答案解析 一、选择题 1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果145∠=°，330∠=°时，那么2∠的度数是（ ） A ．15° B ．25° C ．30° D ．45° 【答案】A 【解析】 【分析】 根据∠2=∠BOD+EOC-∠BOE ，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD 和∠EOC 的度数从而求解． 【详解】 ∵∠BOD=90°-∠3=90°-30°=60°， ∠EOC=90°-∠1=90°-45°=45°， ∵∠2=∠BOD+∠EOC-∠BOE ， ∴∠2=60°+45°-90°=15°． 故选：A ． 【点睛】 此题考查余角和补角，正确理解∠2=∠BOD+EOC-∠BOE 这一关系是解题的关键． 2．将如图所示的Rt △ACB 绕直角边AC 旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（ ）
A．B．C． D． 【答案】D 【解析】 解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形． 故选D． 首先判断直角三角形ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥，再找出圆锥的主视图即可． 3．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2的度数是（） A．20°B．30°C．35°D．50° 【答案】C 【解析】 【分析】 由垂线的性质可得∠ABC=90°，所以∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°，再由平行线的性质可得到∠2的度数. 【详解】 解： 由垂线的性质可得∠ABC=90°， 所以∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°， 又∵a∥b， 所以∠2=∠3=35°． 故选C． 【点睛】
2020高考数学一轮复习第八章解析几何课时作业51证明最值范围存在性问题文
51 证明、最值、范围、存在性问题课时作 基础达] x 的右焦点的直，．[2018·全国卷Ⅰ]设椭交的坐标(2,0两点， A 的方程轴垂直时，求直(1OMOM .(2＝为坐标原点，证明：的方程(1,0解析(1由已知1. . 的坐标由已知可得，，A ＝(2,0，所2.的方程OMOM (2证明：＝＝0°轴重合时，AO 轴垂直时的垂直平分线OMOM . ＝所以轴不重合也不垂直时，的方程21)1≠0)MM 2，直的斜率之和1yy kMkM . xx kk 42kx1x kMkM . ＋ －－ x22 yykx ＝1，得－将1)＝代入 (＋22222 kxxkk 0，(22＋1)－－42＝＋22k2－4k2xxxx . 1＝所以21＋＝2，1＋2k2＋12k24k ＋12k3＋8k34k4k3－－kxxkxkx 0. 2－3(＝1＋＝2)＋2则4112k2＋kMBkMA 0从而＋，＝MBMA 故的倾斜角互补．，OMBOMA . 所以∠＝∠OMBOMA . ＝∠综上，∠2 lpxCyPQ 与抛的直线经过点(0,1)(1,2)2．[2018·北京卷]已知抛物线，过点：2 ＝NCAPBMyBPAy . 有两个不同的交点，直线，，且直线交交轴于物线轴于l 的斜率的取值范围；(1)求直线→→→→11O ，求证：＋为定值．(2)设QO 为原点，QM ＝λ，QN ＝μQO μλ2 pxy 解析：(1)因为抛物线 ＝2，过点(1,2)pp 2. ＝4所以2，即＝2 xyC . 故抛物线的方程为4＝l 0. 由题意知，直线的斜率存在且不为kylkx 设直线的方程为≠0)，＝＋1( ，y24x ＝??22 xkxk 0. 4)得由＋(2－＋1＝?，＝ykx ＋1? 4×1>0依题(<1. <解0PP (，轴相交，故直2不过3. 从≠－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)的斜率的取值范围所以直21(2证明：2. ＝(1kky P 1直的方程xkxy2. 的纵坐标，得xxkx2. 同理得的纵坐标 x.
2020-2021学年高考数学二轮复习：第2部分_八大难点突破_难点2_立体几何中的探索性与存在性问题_有答案
难点二 立体几何中的探索性与存在性问题 (对应学生用书第65页) 数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．要在立体几何学习中形成．立体几何中的探索性与存在性问题实质是对线面平行与垂直性质定理的考查． 探究性与存在性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性与存在性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力． 1．对命题条件的探索 探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．对命题条件的探索常采用以下三种方法： (1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明； (2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性； (3)把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件． 【例1】 如图1，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12 AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°. 在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由. 【导学号：56394092】
图1 [解] 在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点． 理由如下： 由已知，知BC∥ED，且BC＝ED， 所以四边形BCDE是平行四边形， 从而CM∥EB. 又EB?平面PBE，CM?平面PBE， 所以CM∥平面PBE. (说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点) [思路分析] 证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解
初中数学《几何最值问题》典型例题
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
初二数学几何综合训练题及答案
初二几何难题训练题 1，如图矩形ABCD对角线AC、BD交于O，E F分别是OA、OB的中点（1）求证△ADE≌△BCF：（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长。 2，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm． （1）求证：四边形ABFE是等腰梯形； （2）求AE的长．
3，如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q， （1）若AB=6，求线段BP的长； （2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论 4，已知点E,F在三角形ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF，FH//EG//AC，FH、EC分别交边BC所在的直线于点H，G 1 如果点E。F在边AB上，那么EG+FH=AC，请证明这个结论 2 如果点E在AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是什么？ 3 如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是什么？ 4 请你就1，2，3的结论，选择一种情况给予证明 5，如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离．
6，如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C，（1）求证：△ABF∽△EAD ；（2）若AB=5，AD=3，∠BAE=30°，求BF 的长 7，如图,AB与CD相交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB的中点,GF与AB相交于点G，若CF=15cm，求GF之长。 8， 如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论FH/AB =FG /BG 成立．（考生不必证明）（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （2）计算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG 交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论FH /AB =FG /BG 还成立吗？
立体几何存在性问题
立体几何存在性问题
未命名
一、解答题 1．在多面体
中，底面
是梯形，四边形
形，
，
，面
面，
.
.
（1）求证：平面
平面 ；
是正方
（2）设 为线段 上一点，
，试问在线段 上是否存在一点 ，使得
平面 ，若存在，试指出点 的位置；若不存在，说明理由?
（3）在（2）的条件下，求点 到平面 的距离.
2．如图，四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，
，
，侧面 是等腰直角三角形，
，平面
平面
，点 分别是棱
上的点，平面 平面
（Ⅰ）确定点 的位置，并说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积.
3．如图，在长方体
中，
，点 在棱 上，
，
点 为棱 的中点，过 的平面 与棱 为菱形.
交于 ，与棱 交于 ，且四边形
(1)证明：平面
平面
；
(2)确定点 的具体位置（不需说明理由）,并求四棱锥
的体积.
4．如图 2，已知在四棱锥
中，平面
平面 ，底面 为矩形.
（1）求证：平面
平面 ；
（2）若 5．如图，三棱锥 点．
的三条侧棱两两垂直，
，试求点 到平面 的距离. ， ， 分别是棱 ， 的中
（1）证明：平面
平面 ；
（2）若四面体 的体积为 ，求线段 的长．
6．如图，在四棱锥
中，
，
，
，
.
初中数学最值问题集锦 几何地定值与最值
几何的定值与最值 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或 几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本 方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法， 先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 (如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基 本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．数形结合法等． 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这 是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数 形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 【例题就解】 【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以 AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ． 思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′， DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=2 1AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小， 本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值． 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特 殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等． 【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度 数（ ） ⌒
初中数学经典几何题及答案
4e d c 经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D M B
P C G F B Q A D E 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E C B