高中物理人教版教学案：第十一章 第3节 简谐运动的回复力和能量

第3节简谐运动的回复力和能量

1.如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成

正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

2．回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，其方

向总是指向平衡位置。

3．在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，振幅越大，

机械能就越大。

4．简谐运动中，在平衡位置处动能最大，势能最小，

最大位移处动能为0，势能最大。

一、简谐运动的回复力

1．简谐运动

如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

2．回复力

使振动物体回到平衡位置的力。

3．回复力的方向

总是指向平衡位置。

4．回复力的表达式

F＝－kx。即回复力与物体的位移大小成正比，“－”表明回复力与位移方向始终相反，k是一个常数，由简谐运动系统决定。

二、简谐运动的能量

1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。

(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。

(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。

2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。

1．自主思考——判一判

(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。(√)

(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。(×)

(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反。(×)

(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零。(×)

(5)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。(×)

2．合作探究——议一议

(1)简谐运动的回复力F＝－kx中，k一定是弹簧的劲度系数吗？

提示：不一定。k是一个常数，由简谐运动系统决定。对于一个特定的简谐运动系统来说k是不变的，但这个系统不一定是弹簧振子，k也就不一定是劲度系数。

(2)在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？动能最大的位置有几个？

图11-3-1

提示：在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端。动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候。

1．回复力的来源

(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。 (2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；还可能是某一力的分力。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。

2．关于k 值：公式F ＝－kx 中的k 指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k 由振动系统自身决定。

3．加速度的特点：根据牛顿第二定律得a ＝F m ＝－k

m

x ，表明弹簧振子做简谐运动时，振子的加速度大

小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。

4．回复力的规律：因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。

[典例] (多选)如图11-3-2所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，设向右为正方向，物体相对O点的位移为x，则下列判断正确的是( )

图11-3-2

A．物体做简谐运动，OC＝OB

B．物体做简谐运动，OC≠OB

C．物体所受合力F＝－kx

D．物体所受合力F＝－3kx

[思路点拨] 通过题图可以得到以下信息：

(1)振动物体在水平方向受两弹簧的弹力，且两弹力的方向相同。

(2)物体做简谐运动时其振动范围关于O点对称。

[解析] 物体的位移为x，则物体所受的合力F＝－k1x－k2x＝－(k2＋k1)x＝－3kx，D正确，C错误；可见物体做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，A正确，B错误。

[答案] AD

判断一个振动为简谐运动的方法

根据简谐运动的特征进行判断，由此可总结为：

(1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。

(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断。

(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－k

m

x进行判断。

1．(多选)关于回复力，下列说法正确的是( )

A．回复力是物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力

B．回复力是按力的作用效果命名的，它可能由弹力提供，也可能由摩擦力提供C．回复力可能是几个力的合力，也可能是某一个力的分力

D．振动物体在平衡位置时，其所受合力为零

解析：选ABC 根据回复力的定义可知A正确；回复力是根据力的作用效果命名的，各种性质的力都可以提供回复力，所以B、C正确；振动物体的平衡位置是振动时受到的回复力为零的位置，回复力只是各个外力在振动方向上的合力，回复力等于零时，合力不一定为零，故D错误。

2．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )

解析：选C 由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移的关系图像应如图C所示。

3.如图11-3-3所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，关于A受力说法中正确的是( )

图11-3-3

A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力

B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力

C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力

D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力

解析：选D 物块A一定受重力、支持力作用，不受弹簧的弹力作用，在A、B一起做简谐运动的过

程中，振子B对物块A的摩擦力为物块A振动的回复力，由－kx＝(m A＋m B)a，f A＝m A a可得f A＝－m A k

m A＋m B

x，D正确。

1．根据水平弹簧振子图，可分析各个物理量的变化关系如下：图11-3-4

2.各个物理量对应关系不同：位置不同，位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。

[典例] 把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图图11-3-5所示，下列结论正确的是( )

图11-3-5

A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小

B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大

C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功

D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加

[思路点拨]

(1)细杆光滑，说明小球在振动过程中受重力、细杆的支持力、弹簧的弹力作用。

(2)小球在简谐运动过程中只有弹簧弹力做功。

[解析] 小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项错误；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C项错误；由B→O，动能增加，弹性势能减小，总能量不变，D项错误。

[答案] A

有关简谐运动的两点提醒

(1)最大位移处、平衡位置处物理量的大小：简谐运动中的最大位移处，F、a、E p最大，E k＝0；在平衡位置，F＝0，a＝0，x＝0，E p＝0，而E k最大。

(2)竖直弹簧振子的能量组成：对竖直弹簧振子来说，振动能量包含动能、弹性势能、重力势能。

1．(多选)当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是( )

A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相同