高三一轮复习《平面向量公式和基本方法》

第四部分：平面向量公式和基本方法

平面向量是高一所学内容，这是一个比较有特点的知识，其在物理的“力的分解”上也有所涉及，高中数学

对于平面向量的考察形式主要有两方面：1）向量知识、公式相关题型的考察；2）结合三角函数出题或者出现在解析几何的条件中。

1、平面向量相关主要知识点

1）单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =|

|a 同向的单位向量。

零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】。 相等向量：长度和方向都相同的向量。

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 2）向量的加减法：

三角形法则

AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）

()()()12122211,,,,,y y x x AB y x B y x A --=?

平行四边形法则：

以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那

条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量

（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段

就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法

的三角形法则可推广至多个向量相加：

3）共线（平行）定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 4）向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+2

2||a a =，2||()a b a b +=+

5）设()()2211,,,y x b y x a ==则：

数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?2121y y x x +=； cos ||||

a b

a b θ?=

?

这儿要注意“夹角”的定义！

在上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0

平行与垂直：//a b a b λ?=22()(||||)a b a b ??=1212x y y x ?-＝0

0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=- 12120x x y y ?+=

6）向量夹角为锐角：不共线且且,,01cos ,0cos >??≠>θθ；

向量夹角为钝角：不共线且且,,01cos ,0cos

8）?=++0QC QB QA Q 是三角形ABC 的重心（重心分中线的两段比值是2:1）。 9）P ??=?=?是三角形ABC 的垂心。 10）P AC AB ?|

|||//(

在角A 的平分线上。

11-=AB ⊥AD

2、主要题型

1、普通直接套公式的题目比较简单，只要公式记对记全就可以了，不过也有需要注意的地方： 已知三角形ABC 的边AB=3，AC=4，BC=5，则BC AB ?=

2、平面向量基本定理：向量加减法法则的应用。

主要是图形类题目中会用到，题中会出现一些特殊的分点，利用“三角形法则”“平行四边形法则”进行拆分、合并，简单的考察是用已知向量去表示要求的向量，不过这类题一旦难，就需要能在多补的表示中方向清楚，不至于到最后绕不出来。

例1、如图，四边形OABC 是以向量==,为边的平行四边形，又,3

1

,31CD CM BO BN ==

试 用,表示向量,,；

例2、设D 、E 、F 分别是ABC ?的边BC 、CA 、AB 上的点，且AB AF 21=

BC BD 3

1

=，CA CE 4

1

=

，若记=，=，试用，表示、、。

3、求数量积：

常规有三个方法：（1）||||cos a b a b θ?=?；（2）2121y y x x b a +=?；（3）用已知向量去表示要求的 向量；

一般这类题分为两类：坐标题和图形题。如果已知条件是坐标，那么就直接用相关坐标公式去解题。

如果是图形题，那么就要考虑是用“建系”坐标解题，还是使用普通向量公式了。相对来说，这两个方法 各有各的优劣，前者计算量相偏大，后者相对比较难推导。不过，如果遇到特殊图形题，或者可以假设成 特殊图形的话，坐标法相对会好一些。但是，如果思维已经养成倾向性，那么可以遵循自己的喜好，建议 两种方法都要会。 1）比较基础的题

（1）若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3

，则|→a +2→

b | ．

（2）已知非零向量a ，b 满足|a |＝|a ＋b |＝1，a 与b 夹角为120°，则向量b 的模为 ． 1

（3）已知向量，的夹角为45°，且1||=，10|2|=-，则||= ．23

2）图形类问题

例、如图，在矩形ABCD

中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =， 则AE BF 的值是 ．

B

A

C

D

例、如图，在ABC ?中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=?==是边BC 上一点，2,DC BD =AD BC = .83

-

例、如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , =, 1

2

AE EB =, 若1

2

BD AC ?=-, 则AB CE ?= ．

例3、在△ABC 中，若AB =1，AC

，||||AB AC BC +=，则||

BA BC BC ?= ．

例4、

在菱形ABCD 中，AB =,23

B π

∠=,3BC BE =,3DA DF =,则EF AC ?= ．

例5、如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1?===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14

=+n m 的最小值是 .

A

B

M

N

E

F

例6、在ABC ?中，AB=1，AC=2，O 为ABC ?外接圆圆心，则=?BC AO

变式：在ABC ?中，AB=1，AC=2，O 为ABC ?外接圆圆心，M 为BC 中点，则=?

例7、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AC y AB x AD +=，则 x = ，

y =

例8、已知平面向量，αβ()0≠≠,ααβ满足β

=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的取值范围

是 .

例9、如图所示,△ABC 中,已知P 为线段AB 上的一点，OP=x OA+y OB 。 （1）若BP=PA ，求x ，y 的值；

（2）若BP=3PA ，OA =4，OB =2，且OA 与OB 的夹角为60°时，求OP AB 的值

4、向量的夹角

例1、设)3,(x a =，)1,2(-=b ，若a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 __ ____。

例2、已知向量a 、b 不共线，且||||b a =，则b a +与b a -的夹角为 __________。

例3、已知=)1,2(，=)7,1( ，=)1,5(，设M 是直线OP 上一点，O 是坐标原点 ⑴求使?取最小值时的； ⑵对（1）中的点M ，求AMB ∠的余弦值。

5、较难题

例1、若点O 是△ABC 所在平面内一点，满足30OA OB OC ++=，则ABO

ABC

S S ??的值是 ．1:5

例2、在ABC ?中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =，AN yAC =（0xy ≠），则4x y +的最小值是 ．94

3、与其他知识相结合

（1）一般会出现在三角函数的条件中，比如：“已知()x f x x x x ?=-==),cos ,sin 2(),cos ,(sin ”或者“b a b

a ⊥//”然后求值，这块主要就是涉及平面向量的坐标相关公式，难度一般的。

（2）有时候会出现在解析几何的条件中，比如“2=”，也会出现“平行， 垂直”“锐角”“钝角”按内容，用平面向量去解决； 还有就是用平面向量去解决“垂直”要比用“斜率”要好，起码不用涉及存不存在。

这个在后面的三角和解析几何中会有相关题目。