机械制图点的投影
第三讲点的投影（50 分钟）
（一）教学内容：1．点在两投影面体系中的投影
2. 点在三投影面体系中的投影
3. 两点的相对位置和重影点
（二）目的与要求1．掌握点在三投影面体系中的投影规律以及由点的两投影
求作第三投影的要领；
2．掌握根据点的投影，判断其空间位置（包括两点的相对位置）的方法。
（三）讲课提纲及其说明
一、点在两投影面体系中的投影（15 分钟）
1、投影面体系的建立
如图1 所示，设立互相垂直的两个投影面，正立投影面（简称正面）
V 和水平投影面（简称水平面）H ，构成两投影面体系。两投影面体系将空间划分为四个分角。本书只讲述物体在第一分角的投影。V 面和H 面的交线称为投影轴OX。
2. 点的两面投影
如图1 （a）所示，由空间点A作垂直于V面、H面的投射线Aa'、
Aa，分别与V面、H面相交，交点即为A的正面投影（V面投影）a‘和水平投影（H面投影）a,即点A的两面投影。
空间点用大写字母如A、B、C、…表示，其水平投影用相应的小写字母如a、b、c、…表示，正面投影用相应的小写字母加一撇如a' b ' c'… 表示。
为使点的两面投影画在同一平面上，需将投影面展开。展开时V面保
持不动，将H面绕0X轴向下旋转90 °，与V面展成一个平面，便得到点A的两面投影图，如图1(b)所示。投影图上的细实线aa '称为投影连线。
在实际画图时，不必画出投影面的边框和点a x,图1(c)即为点A的投影图。
3. 点的两面投影规律
空间三点A、a'、a构成一个平面，由于平面Aa a分别与V面，H面垂直，所以这三个相互垂直的平面必定交于一点a x，且a x a'QX、aa x丄OX。当H面与V面展平后，a、a x、a'三点必共线，即aa '_OX。
又因Aaa x a '是矩形，所以a x a'=Aa , a x a=Aa '。亦即：点A的V面投影a'与投影轴OX的距离，等于点A与H面的距离；点A的H面投影a 与投影轴0X的距离，等于点A与V面的距离。
由此可得出点的两面投影规律：
（1）点的两面投影连线垂直于投影轴，即aa'QX。
（2）点的投影到投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离，即：
a x a -Aa a x a=Aa '
以上内容属于讲稿。对年青教师而言，可以把教案写得详细一些，写出讲稿
来。对于老教师可以这样写：
对照直观图和投影图，在H和V两投影面体系内，讲述作点的正投
影的空间情况；分析其两个投影之间的几何关系及其在投影图上的投影；介绍点的投影名称及其在投影图上的符号。从空间到平面，再从平面到空间。总结出点在两投影面体系中的投影规律。（注意演示）
二.点在三投影面体系中的投影（15 分钟）
1. 三投影面体系的建立
两面投影能确定点的空间位置，却不能充分表达立体的形状，所以需
采用三面投影图。如图2（a）所示，再设立一个与V、H面都垂直的侧立投影面（简称侧面）W，形成三投影面体系。它的三条投影轴OX、OY、OZ 必定互相垂直。
2. 点的三面投影
由空间点A分别作垂直于H、V、W面的投射线，其交点a、a'、a〃即为点A 的三面投影。
空间点的W面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a 〃、b 〃、…等, 如图2（a）所示。
投影面展开时，W面绕0Z轴向右旋转90 ° 和V面展成一个平面，得到三面投影图，如图2(b)所示。0Y轴在H、W面上分别表示为OY H、OY W 同样，不必画出投影面的边框，如图2(c)所示。
3?点的三面投影规律
在三投影面体系中，Aaa x a'a z a 〃 a y O 构成一长方体，由于点在两 投影面
体系中的投影规律在三投影面体系中仍然适用，由此可得出如下关 系：aa '_OX 、a 'a 〃丄 OZ 、aa YH 丄OY H 、a 〃 a Yw 丄OY w 、aa x = a 〃 a z 。
若把三投影面体系看作直角坐标系，则投影轴、投影面、点
O 分别 是坐标轴、坐标面和原点。则可得出点
A (x , y , z )的投影与其坐标的
关系: x=a z a 'aa YH =点A 到W 面的距离A a y=aa x =a z a 〃 =点A 至U V 面的
距离 A a z= a x a 丄a 〃 a Yw =点 A 至U H 面的距离 Aa
由此可得出点的三面投影规律:
（1） 点的投影连线垂直于相应的投影轴， 即aa'QX 、a'a 〃丄OZ
（2） 点的投影到投影轴的距离，等于该点的某一坐标值，也就是该
点到相应投影面的距离。
以上内容属于讲稿。对年青教师而言，可以把教案写得详细一些，
写出讲稿来。对于老教师可以这样写：
(a )
(b ) 图2 点在三投影面体系中的投影 (c )
对照直观图，增加W面，建立三投影面体系。分析点在W面上的投影，与其他两个投影的几何关系，（特别是和H面投影的关系），及其在投影图上的投影；最后总结出点在三投影面体系中的投影规律。注意从空间到平面。从平面到空间的演示过程，从而树立点的空间概念。（注意演示）
［例1］已知空间点A到三投影面W、V、H的距离分别为20、10、15 ,求作点A的三面投影
（a）（b）（c）
图3 作点的三面投影
［解］:画投影轴，根据点到投影面的距离与坐标值的对应关系，先作
点A（20，10, 15 ）的两面投影：在X轴上量取20,定出点a x,如图
4(a)所示；过点a x作0X轴的垂线，自a x顺OY H方向量取10,作出点A的水平投影a,顺OZ轴方向在垂线上量取15,作出点A的正面投影a；如图3(b)所示。
据点的投影规律，作出点A的第三面投影a 〃。按a'a 〃丄OZ ,过a ；作OZ轴的垂线，交点为a z,并量取a z a 〃 =aa x，得到a 〃。也可通过45 °分角线确定a 〃 ,如图3(c)所示。
以上还是讲稿。主要解决已知点的坐标，如何作点的投影图。
三?两点的相对位置和重影点(15分钟)
1 .两点的相对位置
如图4所示，空间两点的投影不仅反映了各点对投影面的位置，也反
映了两点之间左右、前后、上下的相对位置。由图可以看出，X B>X A,故点
B在点A之左，同理，点B在点A之后(y A>y B)、之下(Z B < Z A )。因此, 也可用两点的坐标差来确定点的位置。
如图5所示，点A位于点B的正上方，即X A=X B, y A=y B,Z A>Z B,
重影点
A、B两点在同一条H面的投射线上，故它们的水平投影重合于一点a（b）, 则称点A、B为对H面的重影点。同理，位于同一条V面投射线上的两点称为对V面的重影点；位于同一条W面投射线上的两点称为对W面的重影点。
两点重影，必有一点被“遮盖”，故有可见与不可见之分。因为点A 在点B 之上（Z A>Z B）,它们在H面上重影时，点A投影a为可见，点B 投影b为不可见，并用括号将b括起来，以示区别。同理，如两点在V 面上重影，则y坐标值大的点其投影为可见点；在W面上重影，则x坐标值大的点其投影为可见点。
教案：掌握点的相对位置在投影图上的投影，对看图和画图都很重要。
讲述过程可以用坐标的概念，还应形象的利用上、下、左、右、前、后的位置关系。
用讨论的方式讲述如何根据投影图判断空间两点的相对位置。
重影点。主要讲重影点的意义和投影符号（可采用讨论方式）
总结布置作业（5分钟）
（四）重点与难点
重点：点的投影规律
难点：重影点
（五）教学方法与手段
1. 讲授与多媒体教学相结合。
2. 充分利用模型演示
（六）参考书与作业：