实变函数与泛函分析总复习题

第一章 复习题（一）

一、判断题

1、大人全体构成集合。（× ）

2、小个子全体构成集合。（× ）

3、所有集合都可用列举法表示。（× ）

4、所有集合都可用描述法表示。（√ ）

5、对任意集合A ，总有A ??。（√ ）

6、()A B B A -?=。（× ）

7、()()A B B A B B A A -?=?=-?。（√ ） 8、若B A ?，则()A B B A -?=。（√ ）

9、c A A ?≠?，c A A X ?=，其中X 表示全集。（× ） 10、A B B A ?=?。（× ）

11、()c c c A B A B ?=?，()c c c A B A B ?=?。（× ）

12、()()()A B C A C B C ??=???，()()()A B C A C B C ??=???。（√ ） 13、若A B ，B C ，则A C 。（√ ） 14、若A B ，则A B =，反之亦然。（√ ）

15、若12A A A =?，12B B B =?，且11A B ，22A B ，则A B 。（× ） 16、若A B ?，则A B ≤。（√ ） 17、若A B ?，且A B ≠，则A B <。（× ） 18、可数集的交集必为可数集。（× ）

19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√ ） 20、因整数集Z ?有理数集Q ，所以Q 为不可数集。（× ） 21、()c c A A =。（√ ）

第二章 复习题

一、判断题

1、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ=?P Q =。（× ）

2、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ>。（× ）

3、设123,,n P P P R ∈，则121323(,)(,)(,)P P P P P P ρρρ≥+。（× ）

4、设点P 为点集E 的内点，则P E ∈。（√ ）

5、设点P为点集E的外点，则P E

?。（√）

6、设点P为点集E的边界点，则P E

∈。（×）

7、设点P为点集E的内点，则P为E的聚点，反之P为E的聚点，则P为E的内点。（×）

8、设点P为点集E的聚点，则P为E的边界点。（×）

9、设点P为点集E的聚点，且不是E的内点，则P为E的边界点。（√）

10、设点P为点集E的孤立点，则P为E的边界点。（√）

11、设点P为点集E的外点，则P不是E的聚点，也不是E的边界点。（√）

12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√）

13、开集中可以含有边界点和孤立点。（×）

14、E是开集?E E

=的内部（开核）。（√）

15、任意多个开集的并集仍为开集。（√）

16、任意多个开集的交集仍为开集。（×）

17、有限个开集的交集仍为开集。（√）

18、闭集中的每个点都是聚点。（×）

19、E'和E都是闭集。（√）

20、E是闭集?E E

'?。（√）

21、任意多个闭集的交集仍为闭集。（√）

22、任意多个闭集的并集仍为闭集。（×）

23、有限个闭集的并集仍为闭集。（√）

24、E 是开集?c E 是闭集。（√ ）

25、E 是完全集（完备集）?E E '=E ?是无孤立点的闭集。（√ ）

二、填空题

1、设1n R R =，1E 是[0,1]上的全部有理点，则1E '=[0,1]

；1E 的内

部= 空集 ；1E =

[0,1]

。

2、设2n R R =，1E =[0,1]，则1E '=

[0,1]

；1E 的内部= 空集 ；

1E =[0,1]。

3、设2n R R =，1E =22{(,)1}x y x y +<，则1E '=22{(,)1}x y x y +≤；1E 的内部=1E ；1E =22{(,)1}x y x y +≤。

4、设P 是康托（三分）集，则P 为 闭 集；P 为 完全 集；

P 没有

内 点；P = c ；mP = 0 。

5、设(,)a b 为1R 上的开集G 的构成区间，则(,)a b 满足(,)a b ?G ，且

a ?G ，

b ?G 。

6、设(1,2)(3,4)E =?，写出E 的所有的构成区间(1,2),(3,4)。

7、设(1,3)(2,6)E =?，写出E 的所有的构成区间(1,6)。

8、设E 为1R 上的闭集，0x 为E 的孤立点，则0x 必为E 的两个邻接区间的 公共 端点。

9、设E 为1R 上的闭集，则E 的邻接区间必为

c

E 的构成区间。

第三章复习题

一、判断题

1、对任意n E R ?，*m E 都存在。（√ ）

2、对任意n E R ?，mE 都存在。（× ）

3、设n E R ?，则*m E 可能小于零。（× ）

4、设A B ?，则**m A m B ≤。（√ ）

5、设A B ?，则**m A m B <。（× ）

6、*

*1

1(

)n n n n m S m S ∞

∞===∑。（× ）

7、*

*1

1

(

)n n n n m

S m S ∞

∞==≤∑。（√ ）

8、设E 为n R 中的可数集，则*0m E =。（√ ） 9、设Q 为有理数集，则*0m Q =。（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I ==。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则*m I =+∞。（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。（× ） 14、E 是可测集?c E 是可测集。（√ ）

15、设{n S }是可测集列，则1

n n S ∞

=，1

n n S ∞

=都是可测集。（√ ）

16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ） 19、若E =?，则*0m E >。（× ）

20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ）

22、在n R 中必存在测度为零的无界集。（√ ）

23、若A ，B 都是可测集，A B ?且mA mB =，则()0m B A -=。（× ） 24、?和n R 都是可测集，且0m ?=，n mR =+∞。（√ ） 25、设12,E E 为可测集，则12()m E E -≥12mE mE -。（× ）

26、设12,E E 为可测集，且12E E ?，则12()m E E -=12mE mE -。（× ）

二、填空题

1、若E 是可数集，则*m E = 0 ；E 为 可测 集；mE = 0 。

2、若12,,

,n S S S 为可测集，则1

n i i m

S = 小于或等于 1

n

i i mS =∑；

若12,,,n

S S S 为两两不相交的可测集，则1

n

i i m S = 等于 1

n

i i mS =∑。

3、设12,E E 为可测集，则122()m E E mE -+ 大于或等于 1mE ；若还有2mE <+∞，则

12()m E E - 大于或等于 12mE mE -。

4、设12,E E 为可测集，且12E E ?，2mE <+∞，则12()m E E - 等于

12mE mE -。

5、设0x 为E 的内点，则*m E 大于 0。

6、设P 为康托三分集，则P 为 可测 集，且mP = 0 。

7、m ?= 0 ，n mR = +∞ 。

8、叙述可测集与G δ型集的关系 可测集必可表示成一个G δ型集与零测集的差集 。

9、叙述可测集与F σ型集的关系 可测集必可表示成一个F σ型集

与零测集的并集 。

第四章 复习题

一、判断题

1、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，如果对任意实数a ，都有[()]E x f x a >为可测集，则()f x 为E 上的可测函数。（√ ）

2、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，如果对某个实数a ，有[()]E x f x a >不是可测集，则()f x 不是E 上的可测函数。（√ ）

3、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a ， [()]E x f x a ≥为可测集。（× ）

4、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a =为可测集。（× ）

5、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a ≤为可测集。（√ ）

6、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a 和b （a b <）， [()]E x a f x b ≤<为可测集。（× ）

7、设E 是零测集，()f x 是E 上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数。（√ ）

8、若可测集E 上的可测函数列{()n f x }在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x ，则{()n f x }在E 上“基本上”一致收敛于()f x 。（× ） 9、设()f x 为可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则()f x 在E 上

“基本上”连续。（√ ）

10、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x ?

（x E ∈），则

{()n f x }的任何子列都在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x 。（× ） 11、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()

n f x f x →..a e 于E ，则

()()

n f x f x ?（x E ∈）。（× ）

二、填空题 1、

[]

E f a > 等于

11

[]n E f a n

∞

-≥+，

[]

E f a ≥ 等于

11

[]n E f a n

∞

->-。 2、

[]

E a f b << 包含于

[]

E f a >，

[]

E a f b << 包含于

[]E f b <；

[]

E a f b << 等于

[][]

E f a E f b ><，

[]

E a f b << 等于

[][]E f a E f b >-≥。

3、设1n n E E ∞==，则[]E f a < 等于 1[]n n E f a ∞=<。

4、设1

n n E E ∞==

，则[]E f a ≥

等于

1

[]n n E f a ∞=≥。

5、由于区间I 上的单调函数()f x 的不连续点所成的集为 至多可数 集，则()f x 为I 上的 几乎处处 连续函数，从而

()f x 为I

上的 可测 函数。

6、叙述可测函数的四则运算性 可测函数经过四则运算所得的函数（只要有意义）仍可测 。

7、叙述可测函数与简单函数的关系 简单函数是可测函数；在几乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的

极限 。

8、叙述可测函数与连续函数的关系 连续函数必为可测函数；可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数 。

9、叙述叶果洛夫定理 设E 是测度有限的可测集，则E 上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛 。

10、叙述鲁津定理 设E 是可测集，则E 上的可测函数“基本上”是连续函数 。

11、若()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈），则()f x 等于 ()g x

几

乎处处于 E 。

第五章复习题 复习题（一）

一、判断题

1、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，则()d E f x x ?一定存在。（√ ）

2、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ）

3、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，且0()d E f x x ≤<+∞?，则()f x 在E 上勒贝格可积。（√ ）

4、设()f x 是可测集n E R ?上的非负可测函数，则()d E f x x ?一定存在。（√ ）

5、设()f x 是可测集n E R ?上的非负可测函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ）

6、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，且0()d E f x x ≤<+∞?，则()f x 在E 上勒贝格可积。（√ ）

7、设

()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，则()d E

f x x ?一定存在。

（× ）

8、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则()d E f x x ?一定存在。（√ ）

9、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ） 10、设

()

f x 是可测集n E R ?上的可测函数， 若

()()

f x L E +∈且

()()f x L E -∈，则()f x 在E 上勒贝格可积。（√ ）

11、设

()

f x 是可测集n E R ?上的可测函数， 若()()f x L E ∈，则

()d E

f x x -∞<<+∞?。（√ ） 12、设

()

f x 是可测集n E R ?上的可测函数， 若()()f x

g x ≤且

()()g x L E ∈，则()()f x L E ∈。

（√ ） 13、若E 为零测集，()f x 为E 上的任何实函数，则()()f x L E ∈。（√ ） 14、若()()f x L E ∈，则[]0mE f =+∞=。（√ ） 15、若()()f x L E ∈，则()()f x L E ∈。（√ ） 16、若()()f x L E ∈，则()()f x L E ∈。（√ ）

17、若()()f x L E ∈，1E 为E 的可测子集，则1()()f x L E ∈。（√ ） 18、()f x 在E 上勒贝格积分值存在?

()()f x L E ∈。（× ）

19、若()()f x L E ∈，且()0f x ≥，()d 0E f x x =?，则()0f x =..a e 于E 。（√ ） 20、若()f x 在[,]a b 上R 可积，则若()f x 在[,]a b 上L 可积，且

[,]

()()d ()()d b

a b a

L f x x R f x x

=?

?。

（√ ） 21、若

()()

f x L E ∈，

()()

g x L E ∈，且

()()f x g x =..

a e 于E ，则

()d ()d E

E

f x x

g x x =?

?。

（√ ） 22、若()()f x L E ∈，()d 0E f x x =?，则()0f x =..a e 于E 。（× ） 23、若()d ()d E E f x x g x x =??，则()()f x g x =..a e 于E 。（× ）

24、若()d E f x x ?与()d E g x x ?存在，且()()f x g x ≤，则()d ()d E E f x x g x x ≤??。（√ ）

25、若()d E f x x ?存在，n E 是E 的可测子集，且lim 0n n mE →∞

=，则lim ()d 0n

E n f x x →∞=?。（× ）

26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。（× ）

二、计算题

1、设0,[01]()1,[01]x D x x ?=??

为，中的无理点为，中的有理点，求[0,1]()d D x x ?。

解：因为有理数集为零测集，所以，()0D x =..a e 于[0,1]，于是

[0,1]

[0,1]

()d 0d 0D x x x ==?

?

。

2、设

23,(),[0,1]\x x P f x x x P

?∈=?∈?，其中P

为[01]，

中的三分康托集，求

[0,1]

()d f x x ?

。

解：因为0mP =，所以，3()f x x =..a e 于[0,1]，于是

3[0,1]

[0,1]

1

()d d 4

f x x x x ==

?

?

。 第五章 复习题（二）

一、判断题

1、设{()n f x }是可测集n E R ?上的可测函数列，()f x 是可测集E 上的可测函数，如果lim ()()n n f x f x →∞=..a e 于E ，则lim ()d ()d n E E n f x x f x x →∞=??。（×）

2、设{()n f x }是可测集n E R ?上的可测函数列，()f x 是可测集E 上的可测函数，如果()()n f x f x ?（x E ∈），则lim ()d ()d n E

E

n f x x f x x →∞=??。

（×）

3、设{()n f x }是可测集n E R ?上的可测函数列，()f x 是可测集E 上的可测函数，如果mE <+∞且()()n f x f x ?（x E ∈）或lim ()()n n f x f x →∞

=..

a e 于E ，则

lim ()d ()d n E

E

n f x x f x x →∞=??。（×）

4、设{()n f x }是可测集n E R ?上的非负可测函数列，如果()n f x ，

则

lim ()d lim ()d n n E

E n n f x x f x x →∞→∞

=??。（√ ）

5、设{()n f x }是可测集n E R ?上的非负可测函数列，如果()n f x ，

则

lim ()d lim ()d n n E

E n n f x x f x x →∞→∞

=??。（×）

6、设{()n f x }是可测集n E R ?上的非负可测函数列，则

lim ()d lim ()d n n E

E n n f x x f x x →∞→∞

≤??。（×）

7、设{()n f x }是可测集n E R ?上的非负可测函数列，则

lim ()d lim ()d n n E E

n n f x x f x x →∞

→∞≤?

?。（√ ）

8、设{()n f x }是可测集n E R ?上的非负可测函数列，则

1

1

[()]d ()d n

n E

E

n n f

x x f x x ∞

∞

===∑∑??。（√ ）

9、设{()n f x }是可测集n E R ?上的非正可测函数列，则

1

1

[()]d ()d n

n E

E

n n f

x x f x x ∞

∞

===∑∑??。（√ ）

10、设{()n f x }是可测集n E R ?上的可测函数列，则

1

1

[()]d ()d n

n E

E

n n f

x x f x x ∞

∞

===∑∑??。（×）

11、设()f x 在可测集n

E R ?上的勒贝格积分存在，且1

n n E E ∞==

，则

1

()d ()d n

E

E n f x x f x x ∞

==∑?

?。（×）

12、设()f x 在可测集n

E R ?上的勒贝格积分存在，且1

n n E E ∞==

，

{n E }为两两不交的可测集，则

1

()d ()d n

E

E n f x x f x x ∞

==∑?

?。（√ ）

13、设(,)f x y 在[,][,]a b c d ?上可测，则

[a,b][c,d]

[,]

[,]

[,]

[,]

(,)d d d (,)d d (,)d a b c d c d a b f x y x y x f x y y y f x y x ?==??

?

?

?

。（×）

14、设(,)f x y 在[,][,]a b c d ?上非负可测，则

[a,b][c,d]

[,]

[,]

[,]

[,]

(,)d d d (,)d d (,)d a b c d c d a b f x y x y x f x y y y f x y x ?==?

?

?

?

?

。（√ ）

15、设(,)f x y 在[,][,]a b c d ?上勒贝格可积，则

[a,b][c,d]

[,]

[,]

[,]

[,]

(,)d d d (,)d d (,)d a b c d c d a b f x y x y x f x y y y f x y x ?==?

?

?

?

?

。（√ ）

二、计算题 1、设22

()1n nx

f x n x =

+（[0,1]x E ∈=），求lim ()d n E

n f x x →∞?。 解：因为22

lim ()lim

01n n n nx

f x n x →∞→∞

==+，且221()12n

nx f x n x =≤+，由有界法则得，

lim ()d lim ()d 0d 0n n E

E E

n n f x x f x x x →∞

→∞

===???。

2、设1

1

()(1)n n n f x x x

n

=

+（(0,)x E ∈=+∞），求lim ()d n E

n f x x →∞?。 解：当2n ≥时，12

1

2

1

,01

10()()1(1),1n n n x x f x F x x x x n x ?<

lim ()lim

(1)n x

n n n n f x e x x

n

→∞

→∞==+。

而1120

1

2

11

()()d ()d ()d R F x x R x R x x

x

+∞

+∞=+<+∞??

?

， 所以，0()d ()()d E F x x R F x x +∞

=<+∞??。由勒贝格控制收敛定理得

lim ()d lim ()d d d 1x x n n E

E E

n n f x x f x x e x e x +∞--→∞

→∞

====????

。

3、设ln()()cos x

n x n f x e x n

-+=

（(0,)x E ∈=+∞），求lim ()d n E n f x x →∞?。

解：易见ln()lim ()lim

cos 0x

n n n x n f x e x n

-→∞→∞

+==，且 ln()()cos (1)x

x n x n f x e x x e n

--+=

≤+，而(1)()x x e L E -+∈。 由勒贝格控制收敛定理

lim ()d lim ()d 0d 0n n E

E E

n n f x x f x x x →∞

→∞

===???。

4、设12

3

22()sin 1n nx f x nx n x

=

+（[0,1]x E ∈=），求lim ()d n E n f x x →∞?。 解：易见12

322

lim ()lim sin 01n n n nx

f x nx n x

→∞→∞

==+，且 1

12

3

222

1()sin 12

n nx f x nx x n x -=≤+，而121()2x L E -∈。 由勒贝格控制收敛定理

lim ()d lim ()d 0d 0n n E

E E

n n f x x f x x x →∞

→∞

===???。