关于最短路问题算法的一点思考

关于最短路问题算法的一点思考

最短路问题，实际上是P95。也就是我们用一个算法解决SP问题时，就是在找这个加权图G中从s到t的P（s，t）中边权之和最小的P*(s,t).

由定义就可以看出，实际生活中经常有最短路问题的例子。例如：

实例1.某公司在六个城市s,t,a,b都有分公司，公司成员经常往来于它们之间，已知从Vi到Vj的直达航班票价由下述矩阵的第i行，第j列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。

图+矩阵

实例2.如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道。若有一批货物要从s号顶点运往t号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？

图+矩阵

因此怎么样快速又精确的求解一个最短路问题就显得至关重要。下面我们来介绍几种解决SP问题的有效途径。

一、把求最短路问题转化为LP问题

P95

二、最短路问题的原始对偶算法：Dijkstra算法

Pdf最短路+课本P138

综上，即为Dijkstra算法，它的有效实施体现在：P161

对Dijkstra算法的一点思考：

1.关于Dijkstra算法，书中的例子定义了一个使用范围，即寻求有向图中，从一固定顶点到其余各点的最短路径。那么一个简单的推广就是在于，对于无向图或者混合图的情况Dijkstra算法还能否使用？答案应该是肯定的。也就是说，实例2中无论是单行道，双行道的情况都是可以应用Dijkstra算法进行求解的。

2. 作为学习图论的一名学生，Dijkstra算法的本质可以说就是在一个图中，进行标号,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以s为根的最短路树,在这颗树上每个顶点与根s 节点之间的路径皆为最短路径.

3.Dijkstra算法明确要求权（费用）非负，这无疑会限制一些是实际生活中的例子进行求解，若出现的边权为负的情况，Dijkstra算法就要进行修改。并且，如果我们对Dijkstra算法进行编程，即使根据书中拟Algol语言的提示以我现有的水平也根本写不出Matlab的高级程序语言。但是有另外一种算法有效的避免了这个麻烦，它的逻辑更为简单，并允许网络中的弧有负权，能探测网络中负费用圈，与一般的原始对偶算法不同。

三、Floyd-Warshall算法

P164

并且，有一点比较吸引我的地方是在于Floyd-Warshall算法的逻辑较为简单，我可以跟据课本上拟Algol语言，编写出一部分Matlab的程序，但是因为编译程序的水平的限制，每次运行的时候都会出现不同的错误。在与计算数学的同学进行讨论的时候，因为他们偏重绘图而我们偏重优化，导致也为得出有效的解决措施。

Input：A表示图G的带弧权邻接矩阵；

Output：矩阵D, path，及i与j之间的最短距离min和最短路径path.

function [min,path]=floyd(A,start,terminal) %返回i与j之间的最短距离min和最短路径path. D=A;n=size(D,1);path=zeros(n,n); %D表示矩阵，n表示D矩阵的行数；if

min=D(start,terminal);

min(1)=start;

i=1;

i=i+1;

for i=1:n %子循环；

for j=1:n

if D(i,j)~=inf %D(i,j)不等于无穷

path(i,j)=j;

end

end

end

for k=1:n

for i=1:n

for j=1:n

if D(i,k)+D(k,j)

D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);

path(i,j)=path(i,k); %path(i,j)表示i与j之间的最短路径上顶点i的后继点；

end

end

end

end

path=[ ]; % 返回矩阵D, path

end

建立m文件如下：

A= [ 0,50,inf,40,25,10;50,0,15,20,inf,25;inf,15,0,10,20,inf;…];

[D, path]=floyd(A)

运行后输出显示存在error。