第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案范文

第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题

(共90分)

一．选择题(每题2分共20分)

1．F(X)是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ B ）

A.≤0F(x )1≤

B.F(x )=P{X=x }

C.F(x )=P{X x ≤}

D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析： A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！B 是错误的。 2．设随机变量X 的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C )

A.0.3

B.0.5

C.0.6

D.0.4

解析：由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ D ）

4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)=

1 其它

2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5

解析：由分布函数F(x)性质：01)(≤≤x F ，A,B,C 都不满足这个性质，选D

4

x

31<<-x 4．设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2

A. 0

B.83

C. 43

D.

85

解析：P{-2

dx ??---+122

1

40=

2

1

28-x =8

3

，选B 5. 设随机变量X 的取值范围是(-1,1),以下函数可作为X 的概率密度的是（C ）

A.f(x)=.;

11,0,其它<<-?

??x x

B.f(x)=.

;11,

,

02其它<<-??

?x x C.f(x)=.;11,

0,21其它<<-???

??x

D.f(x)=.;11,

0,2其它<<-??

?x

解析：根据密度函数性质：A.有f(x)0≤的情况，错； B.D.不符合?+-=1

1

1)(dx x f 错；

C. 121

21|212111

1

1

=+==-+-?x dx 选C 6.设随机变量X~N(1，4)，5.0)0(,8413.0)1(=Φ=Φ，则事件{13X ≤≤}的概率为（D ） A.0.1385 B.0.2413 C.0.2934 D.0.3413

解：P {13X ≤≤}=F(3)-F(1)=3413.05.08413.0)0()1()2

1

1()213=-=-=---φφφφ（

7．已知随机变量X 的分布函数为（ A ）

F(x)= ?????

??????≥<≤<≤<313132102

1

00

x x x x ，则P }{1X ==

A ．

61 B ．21 C ．3

2

D ．1

解析：把分布函数

8．设随机变量X 的概率密度为f (x )=??

?

??≤<-≤<其它

02121

0x x

x x

，则P (0.2

解析：P{0.2

?

=

2

.12

.0)(dx x f ?+.

12

.0xdx ?

=2

.11

)-2dx x （2

.11212.02|)2

12(|21x x x -+ =5.02

1

244.1214.204.021-21=+-?-+? 选A 9．已知连续型随机变量X 服从区间[a ，b ]上的均匀分布，则概率

=????

??+<32b a X P ( B )

A ．0

B ．31

C ．3

2

D ．1

解析：=??????

+<32b a X P =????

??+<≤32b a X a P a b a

b a --+32=a b a

b --3=31 ， 选B 注意：=????

??

+<

32b a X P ?

?????

+<≤32b a X a P ，题目故意隐蔽了X 的下限a 10、设随机变量X 在区间[2，6]上服从均匀分布，则P{2

2624--=0.5, 而C.P{3

63

5--=0.5,其余都不是0.5，选C 注意:X 的取值范围是[2，6]，A.B.D.都超出了范围，计算时要注意，如A.

P{5

412656=--， 很容易犯的错：P{5

1

2657=-- 二．填空题(每题2分共20分)

1．设连续型随机变量X 的分布函数为如下F(x), 则当5.00<≤x 时，X 的概率密度)(x f 为（ ）

0 x<0 F(x)= 2x, 5.00<≤x

1 x ≥0.5

解析： f(x)=)(x F '：( 2x )'=2 ； （ 0 )'=0 ；（1 )'=0

所以：???<≤=其它

05

.00 2)(x x f

2．设随机变量X 的分布为P{X=k}=10

k

，k=0,1，2,3,4,则P{0.5

解析：根据所给分布律：P{0.5

2

)1()32(

( i

i i C -55

)6

5()61( ) i=0,1,2,3,4,5 解析：二项分布B(5,1/6)：P{X=i}=i i i C -55

)6

5()61( 5.设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，则P {}3≤X = __3/5__.

解析：P {}=≤3X P {}5

3

050330=--=

≤≤X 此题主要注意X 的取值范围:0≥X 6．设随机变量X 服从区间[]10,0上的均匀分布，则P （X>4）=_3/5_．

P{X>4}= P{}104≤

5

3

0-104-10= 此题主要注意X 的取值范围:X 10≤ 7．在[]T ,0内通过某交通路口的汽车数X 服从泊松分布，且已知 P{X=4}=3P{X=3}，则在[]T ,0内至少有一辆汽车通过的概率为12-1-e ．

解析：泊松分布：P{X=K}=

，根据P{X=4}=3P{X=3}?

λλ

λλ--?

=e e

!

3343

4

！

?

!

31

34?=！λ

?12=λ “至少有一辆汽车通过”用它的逆事件“没有一辆通过”的概率做方便：

P{至少有一辆汽车通过}=1-P{X=0}=1-1212

0-1012--=e e ！

8.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?????????≥<≤<≤<3

x 1

3x 1321x 0210x 0 则P{2

解析：P{2

9.已知随机变量X 的概率密度为f(x)=ce -|x|，-∞

解析：根据密度函数性质： ?+∞

∞

-=-|

|dx Ce x ?∞

+

-dx Ce x

?

+∞

-=0

dx Ce x

+∞-∞--00||x x Ce Ce =C-0-0+C=12/112=?=?C C 10．设随机变量X 的概率分布为

F (x )为其分布函数，则F (3)=53/56．

解析：F (3)=P{}3≤X =1/4+1/8+4/7=53/56 （用1-3/56计算方便）

注意：本题（1）理解分布函数意义}{)(x X P x F ≤=(2)对于离散型求概率时一定要在乎x X ≤与x X <的区别，对于本题如果没有“等于”，4/7就不算在内了。而连续型可以不在乎有没有“等于”，不会影响求概率结果。 三．计算题。

1、设分别有标号1～5的五张卡片，每次任取一张，取后不放回，X 为直至取到大于等于3的卡片为止所需要的次数，求X 分布率。 （6分）

解析： P{X=1}=3/5;P{X=2}=(2/5)(3/4)=3/10;P{X=3}=(2/5)(1/4)(3/3)=1/10

注意：概率之和应该为1，否则肯定是错了！

2、设离散型随机变量X 的分布律为下表 （8分）

求：（1）X 的分布函数F(X)

(2)试用所求得分布函数求P{0.5

解析： （1） ????

???≥<≤<≤<=2

12 4.01 1.00

0)(x x x x x F

（2） P{0.5

3．随机变量X 的密度函数为 （8分） cx+1, 02<≤x f(x)=

0, 其它 求：（1）常数c

(2)P{1

（1）dx Cx )1(2

0+?=（

)2

2

x cx +2

=2c+2=15.0-=?c

（2）P{1

123

1

2

1

|25.0()5.01()(x x dx x dx x f -=-=??=2-1-1+0.25=0.25

4．设随机变量X 的概率密度为=)(x f X 分）

（10 1 01

1

2?????<≥x x x （1）求X 分布函数)(x F X

（2）求P{}33

1

≤

（3）令Y=3X,求Y 概率密度)(y f Y

（1）时 1≥x ：11|11)(112

+-=-==?

x t dt t

x F x x

X ， 时 1

01

11

-)(x x x x F X

（2）=

≤<}33

1

{x P 32

131|11313

12=+-=-=?x dx x

(注意积分下限从1开始，而不是1/3)

或直接利用（1）的结果=≤<}331{x P F(3)-F(1)=32

1-1131-=++

(3)由Y=3X ? X=Y 31?3

1

='X

当3≥y 时， 3

)31()3

1(1)(22y

y y f Y ==

； y<3时， 0)(=y f Y 所以：??

???<≥=3 03

3

)(2y y y y f Y

5．甲在上班路上所需的时间（单位：分）X~N （50，100）．已知上班时间为早

晨8时，他每天7时出门，试求： (10分)

（1）甲迟到的概率；

（2）某周（以五天计）甲最多迟到一次的概率． （Φ（1）=0.8413，Φ（1.96）=0.9750，Φ(2.5)=0.9938） 解析：（1）设X 为需要时间（分）则 P{甲迟到}=P{X>60}=1-P{X<60}=1-F(60)= 1-）（）（

1-110

50

-60φφ==1-0.8413=0.1587 (2) 设Y 为天数，则Y~B(5,0.1587) P{最多迟到一次}=P{Y=0}+P{Y=1}

=411550058413

.07158.08413.07158.0??+??C C =45

8413.07158.058413

.0??+=0.81897 6．已知某种类型的电子元件的寿命X(单位：小时)服从指数分布，它的概率密

度为

??

?

??≤>=-.0,0,0,6001)(600x x e

x f x

某仪器装有3只此种类型的电子元件，假设3只电子元件损坏与否相互独立，试

求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率．（10分） 解析：（1）先求每个电子元件200小时内损坏的概率

31

03

1

2000600600200

1|)600(600

16001}200{-----=+-=-==

e e e e dx e X P x

x

(2)设Y 为损坏的电子元件数量，则Y )1,3(~3

1-

-e B

P{Y }0{1}1=-=≥Y P =1-2

310

31

03

)()1(---e e C =3

2-e