直线L的斜率为

1.直线L的斜率为-√3/3，过点p（-1,2），把直线l绕点P按顺时针方向旋转30゜，的直

线M，求直线M的方程。

2直线L过点A（0,1），B（-2，-1），如果直线L绕点A逆时针选准45゜的直线L1，求直线L1的方程。

3在平面直角坐标系中，过点A（1,2）且斜率小于0的直线中，挡在两坐标轴上的截距之和最小时，求该直线的斜率。

4已知点M（x,x2）,N(1,x+2),当x为何值时，直线MN的倾斜角是锐角，锐角，钝角。

5把直线L的一般方程x-2y+6=0划成斜截式，求出直线L的斜率以及它在x轴，y轴上的斜率。

6已知直线L1：y=4x与点P（6,4），在L1上求一点Q，使直线PQ与直线L1，X轴在第一象限围成的三角形面积最小。

7已知定点A(-1,3)，B（4,2），在x轴上求点c，使AC⊥BC.

8.已知a,，b属于R,若直线L1：x+a2y+1=0与直线L2（a2+1）x-by+3=0互相垂直,求︱ab︳的最小值。

9．已知二次方程x2+xy-6y2-20x+k=0表示两条直线，求着两直线的交点坐标。

10．光线从点A（-2,1）射到直线x-y+1=0,经反射后，反射光线经过点B（2,4），求光线从点A到B所经过的距离。

11．一直点A(3,2)，直线L1:x+2y-3=0.求：（1）过点A与L1垂直的直线方程;(2)过A的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积的最小值及此时的直线方程。

x的图像交与A,B两点，分别过点A,B作y轴的12．已知过原点0的一条直线与函数y=log

x的图像交与C,D两点，

平行之线与函数y=log

（1）证明：点C,D和原点O在同一条直线上。

（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。

求以原点为圆心，且直线3x+4y+15=0上截得的弦长为8的园方程。

12求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0，且截直线x-y=0所得的弦长为2√7的圆的方程。

13．已知曲线x2+y2-4mx+2my+20m-20=0(1):求证不论m取何实数，曲线C恒过一定点。（2）证明当m≠2时，曲线C是一个圆，且与安心在一定直线上;(3)若曲线C与y轴相切，求m 值。

14已知点P（2,2）圆O：x2+y2=4，PA,PB是圆O的两切线（A,B是切点），求过P,A,B三点的圆方程。

15已知圆M经过直线L:2x+y+4=0与圆C; x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且圆M的圆心到直线

2x+6y-5=0的距离为3√10，求圆M的方程。

16．已知圆c1:x2+y2-4x-2y-20=0,圆c2的圆心在原点，两圆相交于点A,B，且∣AB∣=√95，求圆c2的方程。

17．直线经过点P（-3，-3/2）被圆x2+y2=25截得的弦长为8，求此所在的直线的方程。

18.已知两定点A（-a,0）,B(a,0)(a>0),求到A,B两定点距离之比为一常数k（k>0）,的动点的轨迹方程，并说明它表示什么方程。

19一束光线通过点M(25,18)射入，被x轴反射到圆C：x2+(y-7)2=25上，求通过圆心的反射直线所在的方程。

20已知直线L：（m+3）x-(m+2) y+m=0,圆C:（x-3）2+(y-4)2=9.

(1)求证：不论m为何值，直线L与圆C总相交；

(2)求m为何值时，直线L被圆C截得的弦长最小，并求出最小值.

直线的倾斜角与斜率(教学设计)

2014年全国中职学校“创新杯”教师信息化教学设计和说课大赛 8.2.1 直线的倾斜角与斜率教学设计方案 2014年11月

《8.2.1 直线的倾斜角与斜率》教学设计方案【授课对象】计算机网络专业二年级学生【教材】《数学》（基础模块）下册（主编：李广全李尚志高等教育出版社出版）【教学内容】直线的方程——直线的倾斜角与斜率【授课类型】课堂教学【授课时间】1课时【教材分析】直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是以坐标化（解析化）的方式来研究直线的相关性质的重要基础。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要的作用。因此，正确理解直线斜率的概念，熟练掌握直线的斜率公式是学好这一章的关键。【学情分析】教学对象是计算机网络专业二年级的学生。他们思维活跃，勇于挑战，且具有一定的网络知识，但数学基础相对薄弱。在教学中，我力求将数学与专业相结合，充分利用《几何画板》等信息化手段去帮助学生理解、掌握本节课内容。【教学目标】根据中职数学新大纲的要求，结合学生的实际情况，确立了如下的教学目标：（一）知识目标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2. 掌握直线的斜率公式及应用。（二）能力目标通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力。（三）情感目标通过合作探索，互相交流，增强团队意识，培养协作能力。【教学重难点】重点：直线的倾斜角和斜率的概念，直线斜率公式及其应用；难点：斜率公式的推导。

突破难点的关键：充分利用数形结合，并引导学生分类讨论问题。【教学策略】 1．教学方法：问题探究法课前下发导学提纲，学生预习提出问题，课上通过任务展示、问题交流、小组竞赛的形式引导学生自主学习。 2．学习方法：小组合作、自主探究按照强弱搭配的原则将学生分为5个小组，通过讨论交流共同完成学习任务。 3．评价方法：综合评价尊重学生个体差异，关注学习过程中学生的表现和变化，通过自评、互评和师评对学生进行全面动态的评价，使合作学习更加富有成效。【教学设备】多媒体投影仪，电脑，素描纸，展示板，自制教具。【设计思路】首先，通过生活实例，把数学植根于生活。教具的制作，锻炼了学生的动手能力和学习热情。通过课前导学及微课引导学生自主探究是完成教学任务的主要环节，课上再通过ppt、《几何画板》等信息化手段化解难点。

求直线斜率的几种基本方法

求直线的斜率的几种基本方法重庆市唐小荣一、利用定义)2(tan π αα≠=k 例1（教材）如图1，直线1l 的倾斜角1α =30°，直线2l ⊥1l ，求1l ，2l 的斜率．解：1l 的斜率3 330tan 01= =k ，的倾斜角00021203090=+=α，2l ∴的斜率3120tan 02-==k 2α 二、利用两点式如果直线过))(,(),(212211x x y x B y x A ≠、，那么可用公式1 212x x y y k --= 求直线的斜率例2 求经过两点)1,2(A 和)2,(m B 的直线l 的斜率解：当2=m 时，221==x x ，所以直线l 垂直于x 轴，故其斜率不存在。当2≠m 时，则直线l 斜率1212x x y y k --==212--m =2 1-m 。例3 如图2，已知直线l 过点P )2,1(-，且与以A )3,2(--，B )0,3(为端点的线段相交。求直线l 的斜率的取值范围。解：直线PA 的斜率是,5)2(1)3(21=-----=k 直线PB 的斜率2 1)1(3202-=---=k ，当直线l 由PA 变化与Y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由锐角)5(tan =αα增至900，斜率的变化范围是),5[+∞，当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由900增至)21(tan -=ββ。斜率的变化范围是]21,(--∞，所以直线l 的斜率的变化范围是),5[]2 1 ,(+∞?--∞。

三、利用直线的斜截式方程如果直线l 的方程是以一般式0=++C By Ax )0(≠B 给出，那么l 的方程化为斜截式，即B C x B A y --=，那么就可得到直线l 的斜率为B A k -=. 例4 求直线l 1：0132=+-y x 与直线l 2：04=-+y x 的夹角。解：Θ直线l 1的斜率=1k 3 2，直线l 2的斜率12-=k ，由夹角公式得5|32)1(13 21|tan =?-+- -=θ，故直线l 1与l 2的夹角为5arctan =θ。四、利用导数求切线的斜率例5 求过曲线12 13-+=x x y 上点（2，5）的切线的斜率. 解：由函数导数的几何意义可知：切线的斜率712322=+='==x x y k 。

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

直线的倾斜角与斜率、直线的方程 [考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．【知识通关】 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式 (1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α. (2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1 . 3．直线方程的五种形式 1．直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系： 2.当α∈??????0，π2时，α越大，l 的斜率越大；当α∈? ???? π2，π时，α越大，l 的斜率越大．

【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( ) (4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) A .3 B ．－ 3 C . 33 D ．－ 33 D 3．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( ) A .3x －3y ＋6＋3＝0 B .3x －3y －6＋3＝0 C .3x ＋3y ＋6＋3＝0 D .3x ＋3y －6＋3＝0 A 4．如果A ·C ＜0且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 C 5．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 【题型突破】直线的倾斜角与斜率的应用【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0? ???? α∈??????π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A .???? ?? π6，π3 B .???? ?? π4，π3

求直线斜率的几种基本方法

For personal use only in study and research; not for commercial use 求直线的斜率的几种基本方法重庆市唐小荣一、利用定义)2 (tan παα≠=k 例1（教材）如图1，直线1l 的倾斜角1α =30°，直线2l ⊥1l ，求1l ，2l 的斜率．解：1l 的斜率3 330tan 01==k ，2l 的倾斜角00021203090=+=α，2l ∴的斜率3120tan 02-==k 2α 二、利用两点式如果直线过))(,(),(212211x x y x B y x A ≠、，那么可用公式1 212x x y y k --=求直线的斜率例2 求经过两点)1,2(A 和)2,(m B 的直线l 的斜率解：当2=m 时，221==x x ，所以直线l 垂直于x 轴，故其斜率不存在。当2≠m 时，则直线l 斜率1212x x y y k --==212--m =2 1-m 。例3 如图2，已知直线l 过点P )2,1(-，且与以A )3,2(--，B )0,3(为端点的线段相交。求直线l 的斜率的取值范围。解：直线PA 的斜率是,5) 2(1)3(21=-----=k 直线PB 的斜率2 1)1(3202-=---=k ，当直线l 由PA 变化与

Y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由锐角)5(tan =αα增至900，斜率的变化范围是 ),5[+∞，当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由900增至)2 1(tan -=ββ。斜率的变化范围是]2 1,(--∞，所以直线l 的斜率的变化范围是),5[]2 1,(+∞?--∞。三、利用直线的斜截式方程如果直线l 的方程是以一般式0=++C By Ax )0(≠B 给出，那么l 的方程化为斜截式，即B C x B A y --=，那么就可得到直线l 的斜率为B A k -=. 例4 求直线l 1：0132=+-y x 与直线l 2：04=-+y x 的夹角。解：直线l 1的斜率=1k 32，直线l 2的斜率12-=k ，由夹角公式得5|32)1(13 21|tan =?-+- -=θ，故直线l 1与l 2的夹角为5arctan =θ。四、利用导数求切线的斜率例5 求过曲线12 13-+= x x y 上点（2，5）的切线的斜率. 解：由函数导数的几何意义可知：切线的斜率712322=+='==x x y k 。

直线的斜率(教学案例)

----直线的斜率一、案例背景《高中数学课程标准》指出“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。”，“高中数学课程应该反璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”上述精神表达了数学教学的新理念，即坚持以学生为主体，教师为主导。在这种理念下，数学的课堂教学应该是丰富多彩的学生创造性的活动。可是，却有很多学生对数学不大感兴趣，觉得数学很难学，很枯燥。我觉得其中的一个原因是：在课堂教学中，教师没有创设适当的问题情境，来激发学生的求知欲。“问题教学法”正是以问题为主线，引导学生主动探究，体验数学发现和构建的过程，完全符合新课程标准的理念。因此，“问题教学法”在高中数学新课程的教学中尤显重要。下面，我结合直线的斜率的内容就新课标下高中数学问题教学法谈一些个人体会。二、案例过程（一）、创设情境，引入课题师：同学们骑自行车上坡时很吃力，这与坡的什么有关? 课件：生：与坡的平缓和陡有关。

师：我们分析一下坡的平缓和陡问题。先请同学们来观察下面两幅图片：课件：如图是两张不同的楼梯图。问题1：其中的楼梯有什么不同？生：楼梯的平缓和陡程度不同。问题2：用什么量来刻画楼梯的平缓和陡呢？（提示：观察楼梯下面两个三角形）生：用高度和宽度的比值来反映。师：一般地：高度和宽度的比值就叫坡度。所以楼梯的倾斜程度是由坡度来刻画的，坡度越大，楼梯越陡。（二）、归纳探索，形成概念 1、借助模型，直观感知课件：给出一个楼梯模型

讨论直线斜率是否存在之避免技巧

讨论直线斜率是否存在之避免技巧洪湖伍强华用常规方法求有些直线的方程时，常要分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，这样解题过程就有些复杂，我们极易忽略斜率不存在的情况，造成失分.为此，本文将介绍避免讨论直线斜率是否存在的两个技巧. 一、巧用向量解答解析几何题时应用向量共线或垂直的充要条件常常可以巧妙的避免讨论直线斜率是否存在. 例1 过抛物线y=4x的焦点F作两条相互垂直的弦AB，CD．设弦AB，CD的中点分别为M，N，求证直线MN必过定点. 分析:设点M为,N为，点F的坐标为（1，0），设直线AB的方程为，将代入中，得,∴,∴, . ∴点M坐标为. 设直线CD的方程为,同理可得点N坐标为. 解答至此，以下部分许多同学可能就会先求直线MN的斜率，再写出直线的方程.但k=1时直线MN的斜率不存在，用这种做法必须分MN斜率存在与不存在两种情况讨论.如果我们能巧妙的利用共线向量定理的充要条件，则可以避免上述讨论.解法如下：设点P为直线MN上任一点，则, =. 又∵与共线，∴. 化简可得直线MN的方程为, ∴直线MN恒过定点（3，0）.

点拨：这类题的解题要点是设点（）为所求直线上的任意一点，再利用向量共线或垂直的充要条件列一个关于，的方程，加以化简整理可得所求直线方程. 二、巧设直线方程已知直线过定点P且倾斜角α∈，如果设直线方程为则多有不便，因为直线的倾斜角为时，直线方程不能用上式表示，此时不防巧设直线方程为.特别地，当直线过点（n，0）且直线的倾斜角∈（0，）时，可以设其方程为. 例2 已知椭圆T：,直线过椭圆左焦点F，且不与轴重合，直线与椭圆交于点P，Q，直线绕着F旋转，与圆O：交于A，B两点，若,求△F PQ的面积S的取值范围（F为椭圆右焦点）. 解：∵直线PQ不与轴重合，∴可以设直线PQ的方程为.设点P，Q. ∴=，=2．又∵，∴.将代入中，消去，得. ∴=, . ∴ +===．设,∴；设,当时为增函数，

直线斜率公式的应用

浅议直线斜率公式的应用贵州省岑巩县第一中学蒋世军摘要：直线是一种简单的几何图形，而斜率是直线的本质属性，它直观反映了一条直线的倾斜程度。直线的斜率公式是平面解析几何中的重要公式，也是高中数学的一个重要知识点。在新课标和考试说明中都有较高的要求，由于斜率公式与代数中的分式在结构上有密切的联系。所以它除了直接用来求直线方程，求直线的斜率外，还可以用来解决其他一些问题。如求分式函数的值域（最值），解决数列有关问题，以及不等式的有关问题等-----都可借助斜率的几何意义，巧妙的解决。关键词：直线斜率公式应用下面就问题举例说明：一、求直线的倾斜角例1：已知直线l 1经过两点A(－23，1)、B (6，－3)，直线l 2的斜率为直线l 1的斜率的一半，求直线l 2的倾斜角θ. 分析：先利用过两点的斜率公式求l 1的斜率，再求得l 2的斜率，从而求得θ. 解：设直线l 1、l 2的斜率斜率分别为k 1、k 2，则由已知可求得) 3(16321----=k 3-2=， ∴k 2＝3- 即ta n θ＝－3， ∵θ∈[0，＋∞) ∴θ＝ 3 2π 点评：经过两点的直线的斜率公式在解题中有广泛的应用，必须熟记并灵活应用.根据斜率求倾斜角时，在tan θ＝k 中，θ的取值与k 的正负有关，当k ≥0时，θ??????∈2,0π，当k ＜0时，θ?? ? ??∈ππ,2，另外要注意斜率不存在时，直线的倾斜角为2 π。二、证三点共线例2：求证：A(1，3) 、B （5，7）、C （10，12）三点在同一条直线上。分析：要证A 、B 、C 三点共线，只需证直线AB,AC 的斜率相等。证明：∵11537=--=AB K 11 10312=--=AC K ∴AC AB K K = 又∵直线AB,AC 有共同的端点A 。 ∴A 、B 、C 三点在同一条直线上。例3：过抛物线焦点的一条直线与抛物线交于P 、Q 两点，自Q 点向抛物线的准线作垂线，垂足为'Q ，求证：P 'Q 过抛物线的顶点。

直线的斜率公式

课题：《直线的斜率公式》授课人：朱庆乡一．教材分析：本课主要介绍直线的斜率公式及应用．本节课是在学习直线的倾斜角和斜率之后，为了方便研究直线的方程而设置的一个过渡内容．另外，本课内容对于后面导数的学习起到铺垫的作用．二．教学目标： 1．认知目标： (1)掌握经过两点的直线的斜率公式； (2)进一步理解倾斜角和斜率的相互联系； 2．能力目标： (1)了解用坐标研究直线的解析几何的基本思想和其中的数形结合、转化的思想方法； (2)通过公式形成过程的教学，培养学生联想、概括与抽象的思维能力，类比推理、归纳和演绎推理的能力； 3．德育目标：通过本节课的教学，对学生进行事物的联系与转化和运动变化的辩证唯物主义观点教育． 4．情感目标：通过生动的课堂教学，激发学生的学习兴趣；体验探索学习的过程，从而感受学习的成功和喜悦．三．重点难点： 1．教学重点：过两点的直线的斜率公式及公式的应用 2．教学难点：斜率公式的推导 3．难点突破：通过构造R t 引出直线的斜率与两点坐标的关系，并对两点不同顺序以及直线不同位置情况进行分析，以问题诱导学生进行探究发现，最终得出公式，再通过习题进行巩固达标．四．教学方法：启发式、导学式五. 教学工具：多媒体课件六．教学过程：

（1）直线l 的向上方向；（2）x 轴的正方向；（3）最小的正角 2.直线的斜率：（1）αtan =k ；（2）α的取值范围；（3）斜率k 的取值范围（二）新课讲解： 1.问题引入：我们知道两点可以确定一条直线，已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？ 2．过两点的直线的斜率公式：已知点111(,)P x y 、222(,)P x y ，且12P P 、与x 轴不垂直用12P P 、的坐标来表示12P P 的斜率k ．如图1，设直线21P P 的倾斜角为α（? ≠90α ），当直线21P P 的方向（即从1P 指向2P 的方向）向上时，过点1P 作x 轴的平行线，过点2P 作y 轴的平行线，两线相交于点Q ，于是点Q 的坐标为21(,)x y . 当α为锐角时，21P QP ∠=α，2 1x x <，2 1 y y <．在12R t P P Q ?中， 22112121 ||ta n ta n || Q P y y Q P P P Q x x α-=∠= = -．师生互动回顾直线的倾斜角和斜率，对上节课巩固和反馈．图1

直线的概念和斜率

湖南科技经贸职业学院课程授课教案

概念探究（一）自学阅读学生阅读课本第74页自主探究直线方程的概念学生尝试自读自悟，教师调控阅读时间充分发挥学生学习的主动性，改变以往被动单纯的听讲的学习方法，让学生在自己阅读实践中进行自悟. 概念形成教师引导学生探讨以下问题：问题1：本部分内容阐述了哪些概念? 你是如何理解这些概念的? 一．强调直线方程的概念: 1.直线上点的坐标都是方程的解，2.以方程的解为坐标的点都在直线上，两者缺一不可. 二学生可能会发现：有的方程不一定是函数，引导学生举例说明如 2 = x，教师指出，用函数表示直线不全面，用方程更全面学生分析讨论，师生共同总结。在学生读书思考的基础上，通过教师的指点，围绕重点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解。层层深入，与学生共同体会概念的严谨，感受学习的乐趣。概念深化思考:如图，（1）直线l的方程是1 = x y 吗？为什么？（2）直线l的方程是 ) (= -y x x吗？为什么？学生讨论得出： (1)1 = x y 不满足直线上所有点的坐标是方程的解 (2)0 ) (= -y x x不满足以方程的解为坐标的点都在直线上，所以均不是该直线的方程学生思考讨论，生生互动，师互动，教师多媒体展示结果加深对直线方程的概念的理解,使学生明确, 概念的两部分缺一不可. 教学环节教学内容师生互动设计意图

知识应用1.求下列直线的斜率（1）1 3 1 - =x y （2）0 2 5 3= - +y x (3)已知直线上两点b a c b B c a A≠ ) , ( ), , ( 2.求斜率为. 2 1 -且过点（2， 3 1 ）的直线方程，并画出图象 3.判断正误：（1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率（2）直线的倾斜角越大，斜率也越大（3）平行于x轴的直线的倾斜角是 0或 180 4. 如图所示，直线 3 2 1 , ,l l l的斜率分别为 3 2 1 , ,k k k，则：（） 3 2 1 .k k k A< < 2 1 3 .k k k B< < 1 2 3 .k k k C< < D 2 3 1 k k k< < 学生回答，教师对学生的回答进行评价。在整个练习过程中，教师做好课堂巡视，加强对学生个别指导. 巩固所学知识，有助于保持学生自主学习的热情和信心。, 第一题总结求直线斜率的方法,第二题总结已知斜率和一点可以确定一条直线,为下节研究直线的点斜式方程做好准备.第三题是概念辨析，第四题体现本节课难点,考察直线斜率与倾斜角的关系. 问题由学生解决，解题后的反思总结由学生自主完成，教师作出补充和总结。培养学生自主获取知识的能力. 课堂小结知识上： 1.直线方程的概念 2.倾斜角与斜率的概念，过两点的直线的斜率公式 3.倾斜角与斜率的关系方法上：数形结合的思想自主学习的重要方法：阅读探究一名学生小结其他补充，师生共同总结完善. 让学生大胆发言，归纳总结本节课的收获，教师及时点评。充分肯定学生的学习成果，鼓励学生阅读思考，进一步提高自主学习的能力作业必做题：课本p76练习A ，B 选做题：.研究魔术师的地毯问题分层次布置作业布置作业避免一刀切，使学有余力的同学的创造力得到进一步发挥.

一类直线斜率取值范围的简便求法

1 一类直线斜率取值范围的简便求法吴家华（四川省遂宁中学校 629000）我们知道，直线划分平面区域：)0(0><++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 左侧的平面区域；)0(0>>++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 右侧的平面区域. 由此我们很容易得出如下几个有关直线划分平面区域的结论：性质 1 设直线0,C By Ax =++：l 点),,(111y x P ),(222y x P ，若21,P P 在直线l 的异侧，则有 .0))((2211<++++C By Ax C By Ax 性质2 设直线0,C By Ax =++：l 点),,(111y x P ),(222y x P ，若直线l 与线段21P P 相交，则有 .0))((2211≤++++C By Ax C By Ax 性质3 设直线0,C By Ax =++：l 点),,(111y x P ),(222y x P ，若21,P P 在直线l 的同侧，则有 .0))((2211>++++C By Ax C By Ax 应用上面的性质，能够迅速地解决一类直线斜率的取值范围问题.请看下面的例子. 例 1 直线l 过点)2,1(-M 且与以点)0,4()3,2(Q P 、--为端点的线段恒相交，则l 的斜率的取值范围是（） A. ]5,52[- B.]5,0()0,52[ - C.),5[]52,(+∞--∞ D. ]5,2 ()2,52[ππ - 分析本题许多学生选择答案A, 主要原因是没有掌握斜率变化的本质.老师讲解时即使弄懂了，但过后还是会有很多学生犯同样的错误.此类问题的一般解法是：先求出M 点与线段端点P, Q 连线的斜率)(,2121k k k k <，过点M 作y 轴的平行线，若该直线与线段PQ 相交，则l 的斜率的取值范围为),[],(21+∞-∞k k ；若该直线与线段PQ 无交点，则l 的斜率的取值范围为],[21k k .按此法可以正确地求解这类问题，但过程较繁.这里我们应用上面的性质2给出本例的一个简便解法. 解设直线l 的方程为),1(2+=-x k y 即 .02=++-k y kx ∵直线l 与线段PQ 相交，由性质2，得： 0)204)(232(≤++-+++-k k k k 即0)5 2)(5(≥+ -k k 52k ,5-≤≥∴或k ，故应选C.

直线倾斜角、斜率、斜率公式-直线方程的各种表示方法

承接上次课：倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角. 注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.. 斜率：一条直线的倾斜角()2 π αα≠ 的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=. 时，斜率不存在。当时，当的增大而减小；随的增大而增大，但随时，，当的增大而增大；也随的增大而增大，随时，当2 ;0 0,0)2 ( ,0 )2 ,0 (π ααααππ αααπ α= ==<∈>∈k k k k k k k 斜率公式：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：21 21 y y k x x -= -. 例题1：如图，图中的直线321l l l 、、、的斜率分别为k 1, k 2 ,k 3,则( D ) A. k 1< k 2

直线的斜率教学案例

----直线的斜率? 一、案例背景《高中数学课程标准》指出“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。”，“高中数学课程应该反璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”上述精神表达了数学教学的新理念，即坚持以学生为主体，教师为主导。在这种理念下，数学的课堂教学应该是丰富多彩的学生创造性的活动。可是，却有很多学生对数学不大感兴趣，觉得数学很难学，很枯燥。我觉得其中的一个原因是：在课堂教学中，教师没有创设适当的问题情境，来激发学生的求知欲。“问题教学法”正是以问题为主线，引导学生主动探究，体验数学发现和构建的过程，完全符合新课程标准的理念。因此，“问题教学法”在高中数学新课程的教学中尤显重要。下面，我结合直线的斜率的内容就新课标下高中数学问题教学法谈一些个人体会。二、案例过程（一）、创设情境，引入课题师：同学们骑自行车上坡时很吃力，这与坡的什么有关? 课件：生：与坡的平缓和陡有关。师：我们分析一下坡的平缓和陡问题。先请同学们来观察下面两幅图片：课件：如图是两张不同的楼梯图。问题1：其中的楼梯有什么不同？生：楼梯的平缓和陡程度不同。问题2：用什么量来刻画楼梯的平缓和陡呢？（提示：观察楼梯下面两个三角形）生：用高度和宽度的比值来反映。师：一般地：高度和宽度的比值就叫坡度。所以楼梯的倾斜程度是由坡度来刻画的，坡度越大，楼梯越陡。（二）、归纳探索，形成概念 1、借助模型，直观感知课件：给出一个楼梯模型楼梯上面有一条直线，直线就反映坡度。〖设计意图〗从模型直观感知直线的斜率，完成直线的斜率的感性认识。问题3：楼梯的倾斜程度用坡度来刻画，那么直线的倾斜程度用什么量来刻画呢？（对第三个问题，学生议论纷纷，部分学生不知道如何准确回答）

直线的倾斜角与斜率经典例题(学生版

直线的倾斜角与斜率讲义一引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 如图, 直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．．．．．. ．．．P．和一个倾斜角α (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点：

直线的倾斜角斜率知识点例题

直线的倾斜角和斜率（一）一、知识点： 1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线王新敞在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率王新敞 2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按_______方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角. 当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为_____王新敞因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是___________王新敞倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_______叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 倾斜角是_____的直线没有斜率王新敞二、范例：例1 如图，直线1l 的倾斜角1α＝30°，直线1l ⊥2l ，求1l 、2l 的斜率. 例2 已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1) α＝0°；（2）α＝60°；(3) α＝90°；（４）α＝4 3π 例3、判断正误： ①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan （） ②直线的斜率值为βtan ，则它的倾斜角为β（） ③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（） ④因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在（）

A.4π B. 45π C.4π或45π D.－4 π 2.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3.已知A (2，3)、B (－1，4)，则直线AB 的斜率是 . 4.已知M (a,b )、N (a,c )(b ≠c ),则直线MN 的倾斜角是 . 5.已知O (0，0)、P (a,b )(a ≠0)，直线OP 的斜率是 . 6.已知),(),,(222111y x P y x P ，当21x x ≠时，直线21P P 的斜率k = ；当21x x ≠且21y y =时，直线21P P 的斜率为 ,倾斜角为 . 思考：如图中的直线123,,l l l 的斜率的大小关系为

直线斜率的求法]

直线斜率的求法直线的斜率是反映直线倾斜程度的特征量，在解决有关直线的方程问题中占据着重要的地位.下面例析直线斜率的几种常见求法，以期帮助同学们掌握斜率这一重要知识点. 一、已知倾斜角定义求例1 如图，菱形ABCD 中，0120ADC ∠=，分别求出BC 、CD 、AC 、BD 所在直线的斜率. 分析：准确的找出（或求出）所求直线的倾斜角是关键. 每一条直线都有唯一的倾斜角，直线与横坐标轴正半轴方向的夹角即为该直线的倾斜角. 解：因为在菱形ABCD 中，0120ADC ∠=，所以，060BAD ∠=，0120ABC ∠=，故00tan(180120)BC k =-=0 tan60=；因为CD AB x P P 轴，所以直线CD 倾斜角为00，故0tan00CD k ==; 又因为菱形的对角线是相应角的角平分线，所以030BAC ∠=，060DBA ∠=，所以00180120DBx DBA ∠=-∠=，所以，0tan 30AC k ==0tan120BD k ==点评：由直线的倾斜角求斜率，必须正确利用直线的倾斜角与斜率的关系：tan k α=（其中)000,180α?∈?且090α≠）.要注意斜率k 随着倾斜角α 的变化而变化的趋势：当00α=时，0k =；当00090α<<时，k 为正且随着α的增大而增大；当090α=时，k 不存在；当00 90180α<<时，k 为负且随着α的

增大而增大. 二、已知两点坐标公式求例 2 已知ABC V 的三个顶点为(1,1)A ，(1,1)B -- ，C ，求它的三条边所在直线的斜率. 分析：已知两点，可直接由斜率公式1212 y y k x x -= -，（其中12x x ≠）求解. 解：由斜率公式，可得 11111AB k --==-- ，2AC k == ，2BC k ==，因此，三边AB ，BC ，AC 所在直线的斜率分别是1 2 ，2. 点评：利用斜率公式求斜率，关键是记清公式，分子分母不能记反.同时注意，当12x x ≠时，才能用斜率公式1212 y y k x x -=-求斜率，当12x x =时，斜率不存在. 三、讨论参数分类求例3 已知直线l 经过点(2,1)A m ，2(1,)B m （m R ∈），求直线l 的斜率，并求倾斜角α的取值范围. 解：（1）当21m =，即12 m =时，(1,1)A ，1(1,)4B ，此时直线l 与x 轴垂直，倾斜角α= 090，l 的斜率不存在. （2）当21m ≠，即12m ≠时，斜率为2112m k m -=-. 由210120m m ?->?->?或210120 m m ?-，此时()000,90α∈；由210120m m ?->?-?得，1m >或112m -<<，所以当1m >或112 m -<<时，0k <，此时()0090,180α∈；当1m =时，(2,1)A ，(1,1)B ，当1m =-时，(2,1)A -，(1,1)B ，所以当1m =±时，直线l 与x 轴平行，倾斜角0 0α=.

直线的斜率

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角． (2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式 (1)定义式：直线l 的倾斜角为α??? ?α≠π 2，则斜率k ＝tan_α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1 . 3．直线方程的五种形式 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°.( ) (3)直线的倾斜角越大，斜率k 就越大．( ) (4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( ) (5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2．若直线x ＝2的倾斜角为α，则α为( ) A ．0 B.π4 C.π2 D ．不存在答案：C 3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4 解析：选A 由k ＝4－m m ＋2 ＝1，得m ＝1. 4．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：由已知，得BC 的中点坐标为????32，－1 2，且直线BC 边上的中线过点A ，则BC 边上中线的斜率k ＝－113，故BC 边上的中线所在直线方程为y ＋12＝－1 13????x －32，即x ＋13y ＋5＝0. 答案：x ＋13y ＋5＝0 5．直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3，则有k 4－k 3＝2，所以k ＝－24. 答案：－24 考点一直线的倾斜角与斜率 (基础送分型考点——自主练透) [考什么·怎么考] 直线的倾斜角与斜率是解析几何的基础知识，高考中极少单独考查. 1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) B.???? π4，π2 C.???? π4，3π4 D.????π4，π2∪????π2，3π4 解析：选C 根据题意，当cos θ＝0时，直线l 的方程化为x ＋3＝0，此时直线l 的倾斜角α＝π 2 .

求直线斜率的几种基本方法

求直线斜率的几种基本方法 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-

求直线的斜率的几种基本方法重庆市唐小荣一、利用定义)2(tan π αα≠=k 例1（教材）如图1，直线1l 的倾斜角1α =30°，直线2l ⊥1l ，求1l ，2l 的斜率．解：1l 的斜率3 330tan 01==k ，2l 的倾斜角00021203090=+=α，2l ∴的斜率3120tan 02-==k 2α 二、利用两点式如果直线过))(,(),(212211x x y x B y x A ≠、，那么可用公式1 212x x y y k --=求直线的斜率例2 求经过两点)1,2(A 和)2,(m B 的直线l 的斜率解：当2=m 时，221==x x ，所以直线l 垂直于x 轴，故其斜率不存在。当2≠m 时，则直线l 斜率1212x x y y k --==212--m =21-m 。例3 如图2，已知直线l 过点P )2,1(-，且与以A )3,2(--，B )0,3(为端点的线段相交。求直线l 的斜率的取值范围。解：直线PA 的斜率是,5) 2(1)3(21=-----=k 直线PB 的斜率2 1)1(3202-=---=k ，当直线l 由PA 变化与Y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由锐角)5(tan =αα增至900，斜率的变化范围是

),5[+∞，当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由900增至)21(tan -=ββ。斜率的变化范围是]21,(--∞，所以直线l 的斜率的变化范围是),5[]2 1,(+∞?--∞。三、利用直线的斜截式方程如果直线l 的方程是以一般式0=++C By Ax )0(≠B 给出，那么l 的方程化为斜截式，即B C x B A y --=，那么就可得到直线l 的斜率为B A k -=. 例4 求直线l 1：0132=+-y x 与直线l 2：04=-+y x 的夹角。解：直线l 1的斜率=1k 3 2，直线l 2的斜率12-=k ，由夹角公式得5|3 2)1(13 21|tan =?-+- -=θ，故直线l 1与l 2的夹角为5arctan =θ。四、利用导数求切线的斜率例5 求过曲线12 13-+=x x y 上点（2，5）的切线的斜率. 解：由函数导数的几何意义可知：切线的斜率712322=+='==x x y k 。

直线的倾斜角和斜率教案

《直线的倾斜角和斜率》教案教学目标: (1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念． (2)理解直线的倾斜角的唯一性. (3)理解直线的斜率的存在性. (4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观： (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力． (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程：（一）直线的倾斜角的概念我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P 的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线 a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? (1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 试问：如果直线a ∥b ∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．P ．和一个．．．倾斜角α．．．． . (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点21222111),,(),,(x x y x P y x P ≠,如何用两点的坐标来表示直线21P P 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 1212x x y y k --= 对于上面的斜率公式要注意下面四点： (1) 当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 α= 90°, 直线与x 轴垂直；