常微分方程部分习题答案
1．第1题
微分方程是
( ).
A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;
B.n阶常系数齐次线性常微分方程;
C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;
D.n阶变系数齐次线性常微分方程.
您的答案：C
题目分数：2
此题得分：2.0
2．第2题
设有四个常微分方程：
(i) , (ii) ,
(iii) , (iv)
.
A.线性方程有一个;
B.线性方程有两个;
C.线性方程有三个;
D.线性方程有四个.
您的答案：C
题目分数：2
此题得分：2.0
3．第3题
是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).
A. ,
B. ,
C. ,
D. .
A..
B..
C..
D..
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
4．第5题
是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).
A. ,
B. ,
C. ,
D. .
A.A
B.B
C.C
D.D
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
5．第7题
满足初始条件和方程组的解为
( ).
A. ;
B.
; C.
; D. .
A..
B..
C..
D..
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
6．第8题
可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ).
A.;
B.
; C.;
D..
A..
B..
C..
D..
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
7．第10题
可将一阶方程化为变量分离方程的变换为
A. ；
B.
； C. ； D.
.
A..
B..
C..
D..
您的答案：C
题目分数：2
此题得分：2.0
8．第12题
下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.
(i) , (ii) ,
(iii) , (iv) .
A.1
B.2
C.3
D.4
您的答案：C
题目分数：2
此题得分：2.0
9．第13题
设有四个常微分方程：(i) , (ii)
,
(iii) , (iv) .
A.非线性方程有一个;
B.非线性方程有两个;
C.非线性方程有三个;
D.非线性方程有四个.
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
10．第14题
微分方程的一个解是( ).
A. ,
B. ,
C. ,
D. .
A..
B..
C..
D..
您的答案：D
题目分数：2
此题得分：2.0
11．第20题
已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则
和的伏朗斯基行列式( ).
A. ;
B.
; C.
; D. .
A.A
B.B
C.C
D.D
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
12．第21题
设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程
的两个线性无关的解, 则以常数变易公式
作为唯一解的初值问题是
A. B.
C. D.
A..
B..
C..
D..
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
13．第22题
初值问题, 的第二次近似解可以写为( ). ＋
A. 6;
B.
; C.
; D. +.
A..
B..
C..
D..
您的答案：D
题目分数：2
此题得分：2.0
14．第24题
设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则
A. 的朗斯基行列式一定是正的;
B. 的朗斯基行列式一定是负的;
C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;
D. 的朗斯基行列式恒不为零.
A.A
B.B
C.C
D.D
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
15．第25题
设和是方程组的两个基解矩阵, 则
A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;
B. 存在某个常数方阵C使得, 其中
;
C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;
D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.
A..
B..
C..
D..
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
16．第15题
求解方程时, 以下的解题步骤中不能省略的有哪几步:
A. 因为,
B. 所以原方程是恰当方程;
C. 将方程中的重新分项组合,
D. 凑出全微分：,
E. 得到通解：.
A.A
B.B
C.C
D.D
E.E
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
17．第16题
设为方程（A 为常数矩阵）的一个基解矩阵，试指出如下的断言中哪些是错误的:
A. 可以是也可以不是原方程组的解矩阵,
B. 因为不知道是否有, 故无法判断是否是原方程组的基解矩阵,
C. 存在奇异的常数矩阵C, 使得,
D. 取, 可得到.
E. .
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
18．第17题
以下是一阶微分方程的求解过程, 请说明下划线所指出
那些步骤中, 哪些是可以省略的:
解答：记, 则(A), 注意到(B)，因此方程不是恰当方程(C). 可以计算
, 因而方程有只与x 有关的积分因子，并且该积分因子可以求出为：
.
将该积分因子乘在原方程的两端：(D),
分项组合为,
或可整理为(E), 最后得到原方程的通解
.
A.A
B.B
C.C
D.D
E.E
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
19．第18题
如下求解三阶常系数线性方程的过程中, 下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误:
解答：(i) 先求对应齐方程的通解：对应齐方程的特征方程及特征根分别为
(A), , , .
故对应齐方程的通解为(B).
(ii) 因为有特征根非零(C), 故应设原方程的特解有形如, 这里a,b是待定常数.
代入原方程可得
.
利用对应系数相等便得到代数方程组:
.
由此可解得(D), 故.
(iii) 原方程的通解可以表示为
(E).
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
20．第19题
利用降阶法求解二阶方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的:
解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。令(A), 则
.
代入到原方程中可将原方程化为如下的一阶方程:
(B).
这是一个变量分离型的方程. 如果, 可得是原方程的解,
故不妨假设(C), 因此可以约掉一个z, 分离变量后有:
,
两边积分可得:
,
又由, 代入上述方程, 再次分离变量(D)
,
在等式两边积分可得原方程的通解(E):
.
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
21．第26题
以下利用参数法求解一阶隐方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是不能省略的:
解答：引入参数(A)，则原方程可以写为, 将此方程两边对x求导(B), 可得:
, 或(C).
这是一个关于p和x的方程, 且是未知函数p的导数可以解出的一阶常微分方程, 进而还是变量分离型方程. 因此我们将这个方程分离变量:
.(D)
两边积分并求出积分可以得到（C是任意常数）:
,
因此, 将此式和参数的表达式联立, 即得原方程的参数形式解: (E)
.
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
22．第27题
试求方程组的基解矩阵，并求满足初始条件的解
其中, . 判断哪些步骤所得到的结果是正确的：
A. 齐次线性方程组的特征方程是,
B. 矩阵A 的特征根为, 对应的特征向量可分别取为,
.
C. 原方程组基解矩阵可取为: .
D. 标准基解矩阵为=.
E. 原方程组满足所给初始条件的解为
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
23．第28题
设有方程:, 以下步骤中正确的是:
A. 利用变量变换,
B. 由，有,
C. 代入原方程得到,
D. 整理后可得,
E. 分离变量得到.
A.A
B.B
C.C
D.D
E.E
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
24．第29题
请查出求解一阶线性微分方程的过程中有错误的步骤:
A. 先求解对应齐方程：，分离变量可得,
B. 两边积分求出积分可以得到（C是任意常数）：,
C. 再将常数C 变易为函数：.
D. 代入到原方程中可以得到：,
E. 原方程的通解（C 是任意常数）：.
A.A
B.B
C.C
D.D
E.E
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
25．第30题
以下各个步骤中的哪些能够证明方程的任何两个解之差当x 趋向于正无穷大时趋向于零:
A. 原方程的任何两个解的差是对应齐次方程的解,
B. 对应齐次方程的特征根是,
C. 对应齐次方程的基本解组是,
D. =0, =0,
E. 原方程的任何两个解的差当x 趋向于正无穷大时趋向于零.
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
26．第4题
当用比较系数法求方程的一个特解时, 可将这个待定系数的特解设为.
您的答案：错误
题目分数：4
此题得分：4.0
27．第6题
欧拉方程的一个基本解组为.
您的答案：正确
题目分数：4
此题得分：4.0
28．第9题
对于初值问题可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由
是在整个平面上连续并且关于y满足李普希茨条件.
您的答案：正确
题目分数：4
此题得分：4.0
29．第11题
利用变换可将伯努利方程化为线性方程
.
您的答案：错误
题目分数：4
此题得分：4.0
30．第23题
平面上过点的曲线为, 该曲线上任一点处的切线与切点和原点的连
线的夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程是, 初始条件为.
您的答案：正确
题目分数：4
此题得分：4.0
作业总得分：100.0
作业总批注：