高二数学 4.3数系的扩充(第一课时)

高二数学 4.3数系的扩充(第一课时)

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高二数学

4、3数系的扩充(第一课时)从容说课复数系的建立经历了一个漫长的过程、事实上,在德国数学家高斯首次引进“复数”这一名词,并把这类新数与坐标平面(他称之为复平面,后人也称之为高斯平面)内的点一一对应起来之前,欧洲的数学家们已对“虚数”及其几何意义进行了将近三百年的研究、“虚数”产生于解方程需要的实际背景应向学生交待,这是矛盾产生的结果,是数学内部发展的自身需要,也是其他科学发展的需要,揭示了数形结合思想在推动这一新的研究对象发生、形成和发展中所起的重要作用;同时要告诉学生,将一个数集进行扩张,还要解决原有的运算律是否保持这样一个基本问题、通过前几节的学习,学生已经知道在复数集内如何进行四则运算,原有的加、乘运算律仍然成立,并知道开方运算在复数集内总可以实施、作为复数知识的重要应用,应引导学生运用所学知识(共轭复数、加减法运算)证明“虚根成对定理”和一元二次方程的根与原数关系的推广真正的“韦达定理”,并向学生指明复数广阔的应用领域和发展前景,着重培养学生热爱科学、追求科学、献身科学的精神、第六课时课题

4、3 数系的扩充教学目标

一、教学知识点

1、复数集与实数集的关系,CRQZNN*、

2、实系数一元二次方程的根的问题及根与系数的关系、

二、能力训练要求

1、了解数系的建立发展的过程,学会尊重科学、

2、会运用求根公式及根与系数的关系解决有关问题、

三、德育渗透目标

1、培养学生的探索与创新精神,学会尊重他人的辛勤劳动、

2、培养学生的科学文化素养,提高自身的素质(包括数学素质),懂得数学与文化的关系、教学重点在复数集中解一元二次方程、教学难点复系数一元二次方程根的探索、教学方法探索建构法:在学生已经掌握复数的运算法则和实数一元二次方程的求解的基础上,逐步让学生主动建构出各数集之间的关系,探索出实系数一元二次方程在复数集中的求解公式、韦达定理,以及复系数一元二次方程的求解法、教学过程Ⅰ、复习导入［师］我们已经学习了哪几类数?［生］正整数、零、负整数、分数、无理数、虚数等等、［师］那么这些数集之间有什么关系呢?这些数又是在什么背景下产生的呢?这一节课我们来研究:数系的扩充(板书课题)、Ⅱ、讲授新课［师］数的概念是从实践中产生和发展起来的,早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中由于计数的需要,就产生了

1、2、3、4、5、6等数的概念以及表示“没有”的数0、自

然数的全体构成自然数集N、在自然数集中,加法、乘法运算总可以实施,它满足哪些运算律呢?［生］加法与乘法满足交换

律、结合律以及分配律、［师］你们知道分数是怎样引入的

吗?［生］为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数、［师］无论是分数的确切定义和科学表示,还是分数的算法,最早建立起来的都是中国,这是中国对世界数学

的杰出贡献之一、如在成书于公元1世纪的《九章算术》中，已

经有约分、通分及分数的四则运算等知识、由此可见,我们的民族在过去曾有过辉煌,我们深信将来会更辉煌、引进了分数之后,

分份和度量等问题以及两个自然数相除(除数不为0)的问题也就解决了,并且产生了小数、为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要,人们又引进了负数、这样就把数集扩充到了有理数集Q,显然,NQ、如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起,构成整数集Z,则有ZQ、如果把整数看作分母为1的分数,那么有理数集实际上就是分数集、［生］(站起来抢过话题)负

数的引进是中国古代数学家对数学的又一巨大贡献、［师］回

答得很好!负数的概念引进后,整数集和有理数集就完整地形成

了、但又遇到了新的挑战,在测量中,有些问题利用有理数的知识

不能解决了,于是又要进行一次“数”的革命、［生］这次革命中无理数诞生了、有些量与量的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人

们又引进了无理数、［师］什么叫无理数?［生］无理数就是无限不循环的小数、［师］到这时,数集扩充到哪儿了?

［生］有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R、因为有理数都可以看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集、［师］实数解决了开方开不尽的矛盾,在实数集中,不仅满足加法与乘法的运算律,而且加法、减法、乘法、除法(除数不为0)、乘方运算总可以实施、但是数集扩充到实数集R以后,像方程x2=-1,x2+x+1=0还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-

1、这样,人们在解方程的过程中,为了满足负数开方的需要,又扩充到了复数,解决了原来在实数集中开方运算不总可以实施的矛盾、请问是怎样引入的呢?［生］当时数学家们规定i2=-1,(-i)2=i2=-1,得到i与-i是-1的平方根,即方程x2=-1的平方根为i 和-i、在这个规定下,实系数一元二次方程或高次方程都可以求解了、这样数i叫做虚数单位、［师］你们能求出x2=a的平方根吗?(a为实数)［生甲］可以、x=、［生乙］不对、当a≥0时,x=;但当a<0时,例如a=-2,就无意义了,应该是x=、于是有当a≥0时,x=;当a<0时,x=、［师］在复数集中,你们能求出

x2+x+1=0的根吗?［生］利用配方法求解、因为方程可化为,而的平方根为,所以,即、［生］直接利用求根公式求解、先计算判别式Δ=1-4=-3,而-3的平方根为,所以、［师］两位同学的解法都很好!你们能把它推广到一般的实系数一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的求解情况吗?［生］可以,利用上述两种

方法都是可以的、当Δ=b2-4ac≥0时,方程有两个实根;当b2-

4ac<0时,b2-4ac的平方根为,所以方程的两个根为、如果用配

方法求解是a(x2+ x)=-c,即a(x+)2=-c+,∴、当b2-4ac≥0时,;当b2-4ac<0时,,它的平方根为、∴、∴、∴原方程在复数集C中,当b2-4ac<0时,有两个虚根,即、［师］实系数

一元二次方程的虚根是成对出现的,且互为共轭、如果是高次的一元方程a0xn+a1x n-1+…+an-1x+an=0,其中

a0≠0,a0,a1,a2,…,an∈R,它的虚根会不会也是成对出现的呢?［生］是的、根据我们的试验猜想应该成立、例如,x4-3x2-4=0有两个实根,也有两个虚根、［师］这仅仅是一般情况,你能证明吗?［生］利用共轭复数的性质来证明、设z是方程的一个虚根,则有a0zn+a1z n-1+a2zn-2+…+an-1z+an=0、对该等式两边同时取共轭有a0zn+a1zn-1+a2zn-2+…+an-1z+an=0、

∴+++…++=0,即+++…+an-1+an=0、(注:因为

a0,a1,a2,…,an∈R,故它们的共轭是实数)

∴是方程a0xn+a1x n-1+…+a n-1x+an=0的又一个虚根、

∴方程a0xn+a1x n-1+…+an-1x+an=0的虚根是成对出现的、［师］证明过程很简捷,这就是一个代数基本定理、Ⅲ、例题精讲［例1］在复数集C中解下列方程:(1)x2-

x+1=0;(2)x4+5x2+4=0、［生］第(1)题,利用求根公式:Δ=1-4=-

3、∴、∴方程x2-x+1=0的两个根分别为,、［生］第(2)题,利用因式分解得(x2+1)(x2+4)=0,∴x2=-1,x2=-

4、由x2=-1得x

1、2=i;由x2=-4得x

3、4=2i,∴方程x2+5x+4=0的根为x1=i,x2=-i,x3=2i,x4=-2i、［师］第(2)题,先转化为二次方程,然后再求解、学会转化很重要、［例2］在复数集C中解方程x2-2ix+2=0、［生］

这个方程不是实系数一元二次方法,但我们可以用配方法求解、

x2-2ix+i2+3=0,即(x-i)2=-

3、也就是(x-i)2=3i2,∴x-i=i,即x1=i+i,x2=i-i、故方程的解为x1=(1+)i,x2=(1-)i、［生］也可以直接利用求根公式求解、∵Δ=(-2i)2-8=-12,而-12的平方根为2i,∴=(1)i、［师］本例题是复系数一元二次方程,两位同学都能利用转化思想求解,是很好的、Ⅳ、课堂练习

1、在复数集中解下列方程:(1)x2+2x+3=0;(2)2x2-

4x+5=0、

2、在复数集中解下列方程:(1)x2+ix-1=0;(2)x2-ix+1=0、［师］请四位同学板演、［生甲］

1、(1)∵Δ=4-12=-8,∴-8的平方根为2i、∴方程的解为x

1、2=-1i,即原方程的解为x1=-1+i,x2=-1-i、［生乙］

1、(2)∵Δ=16-80=-64,∴原方程的两根为24i、［生丙］

2、(1)∵Δ=i2+4=3,∴原方程的两根为、［生丁］

2、(2)∵Δ=i2-4=-3,∴原方程的两根为、Ⅴ、课堂小结［师］本节课我们主要是研究数系的扩充,从数的形成和发展来看,数的概念是随着社会的进步、生产和科技的发展,以及数学自身发展而形成和发展的,是人类智慧的结晶,也是人类战胜自我、战胜自然的产物、你们能给出复数的分类表吗?［生］Ⅴ、课后作业课本Ｐ156习题

4、3

1、2、3板书设计

4、3数系的扩充

一、数的形成与发展N、Z、Q、R、

C、

二、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)Δ≥0两个实

根;Δ<0,、

三、例题

1、(1)x2-x+1=0;(2)x4+5x2+4=0、

2、x2-2i x+2=0、

四、练习

1、(1)x2+2x+3=0;(2)2x2-4x+5=0、

2、(1)x2+ix-1=0;(2)x2-ix+1=0、

五、小结:数系表、