带绝对值符号的运算
带绝对值符号的运算
在初中数学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点，还是容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：
一、要理解数a的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样
定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。
二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正
数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。
三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。
1、对于形如︱a︱的一类问题
只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。
当a>0时，︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它本身)；
当a=0 时︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ；
当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。
2、对于形如︱a+b︱的一类问题
首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。
当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身)；
当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；
当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。
3、对于形如︱a-b︱的一类问题
同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。
但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。
口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。
4、对于数轴型的一类问题，
根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。
5、对于绝对值符号前有正、负号的运算
非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！
去绝对值化简专题练习：
（1）设化简的结果是（）。
（A）（B）（C）（D）
(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）。
（A）（B）（C）（D）
(3) 已知，化简的结果是。
(4) 已知，化简的结果是。
(5) 已知，化简的结果是。
(6) 已知a、b、c、d满足且，那么
（提示：可借助数轴完成）
(7) 若
，则有（ ）。 （A ） （B ） （C ） （D ）
(8) 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子
化简结果为（ ）．
（A ） （B ） （C ） （D ）
(9) 有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，
中负数的个数是（ ）．
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
(10) 化简
(11) 设x 是实数， 下列四个结论中正确的是（
）。
（A ）y 没有最小值
（B ）有有限多个x 使y 取到最小值
（C ）只有一个x 使y 取得最小值
（D ）有无穷多个x 使y 取得最小值
（12）、当1x =-时，则22x x -++= ．
（13）、已知15x <≤，化简15x x -+- （14）、已知3x <-，化简321x +-+.
（15）、如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--.
（16）、如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值.
（17）．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a ﹣b|
（18）．有理数a ，b ，c 在数轴上的对应位置如图，化简：|a ﹣b|+|b ﹣c|+|a ﹣c|．
（19）.若|3a+5|=|2a+10|，求a的值．
（20）.已知|m﹣n|=n﹣m，且|m|=4，|n|=3，求（m+n）2的值．
（21）．a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a﹣b|﹣|a+b|．
（22）．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，
试化简下式：|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|．
（23）．已知：有理数a、b在数轴上对应的点如图，化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|．
（24）．（1）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值？
（2）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值？
（3）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值？（25）．计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣| （26）．试求|x﹣1|+|x﹣3|+…+|x﹣2003|+|x﹣2005|的最小值．（27）．计算：．
去绝对值符号的几种常用方法精编版
去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤?； |x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| MATLAB程序设计教程(9)——MATLAB符号计算 by：ysuncn（欢迎转载，请注明原创信息） 第9章MATLAB符号计算 9.1 符号对象 9.2 符号微积分 9.3 级数 9.4 符号方程求解 9.1 符号对象 9.1.1 建立符号对象 1．建立符号变量和符号常量 MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。 (1) sym函数 sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为： 符号量名=sym('符号字符串') 该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。 应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。 下面的命令用于比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别。 (2) syms函数 函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号分隔。 2．建立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法： (1)利用单引号来生成符号表达式。 (2)用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。 9.1.2 符号表达式运算 1．符号表达式的四则运算 符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。 一、数学运算符号的英文表达(小数、分数、百分数和运算符号) 1. 小数表示法 (1) 小数的读法 小数点左边的数通常按基数词读，若为三位以上的数，也可按编码式读法读出，即将数字单个读出；小数点右边的数通常按编码式读法单个读出。如： 6.86 six point eight six 14.15 fourteen point one five 345.456 three four five point four five six 或three hundred and forty－five point four five six (2) 小数中“0”的读法 “0”在小数中通常读作nought（英）或zero（美），也可读作字母o。如： 0.08 （nought）point nought eight 或（zero）point zero eight 9.07 nine point o seven 2. 百分数表示法 百分数中的百分号％读作percent。如： 6% 读作six percent 0.6% 读作（nought）point six percent 500% 读作five hundred percent 3. 倍数表示法 倍数表示方法很多，如： This room is four times as big as mine. 这个房间是我房间的四倍。 This room is three times larger than that one. 这个房间比那个房间大两倍。 The output of coal has doubled. 煤的产量增加了一倍。 My aunt is as old again as I am. 我姑姑年龄比我大一倍。 Productivity is increased three fold. 生产效率提高了两倍。 The volume of the Sun is about 1,300,000 times that of the Earth. 太阳的体积约为地球的1300000倍。 4. 加减乘除式的读法 6+5＝11 Six plus five is eleven 或Six and five is eleven. 11-6＝5 Eleven minus six is five. 或Six from eleven is five. 4×5＝20 Four multiplied by five is twenty.或Four times five is twenty. 20÷4＝5 Twenty divided by four is five. 或Four into twenty goes five. 带字母绝对值运算 这类题目相对来说比较难，因为没有数字，纯字母运算，初中生来说目前还未适应，但这是数学的趋势，早晚要适应，若不能适应，高中数学肯定学不好。但是其实也不难，掌握了技巧就行，下面详细讲解带字母的绝对值运算题目的解题技巧。 首先看一下绝对值的运算： a ? =? ? a a>0 -a a<0 只要是绝对值的题目，就按照上面的定义来计算就是了。即正数的绝对值是其本身，负数是其相反数。 两个字母的绝对值运算： 一、两个数相加： 1、两个正数相加，直接去绝对值。 a b a b +=+； 2、两个负数相加，取相反数 b a0 () a b a b +=-+ 3、一正一负相加，正的绝对值大直接去绝对值，负的绝对值大取相反数。 （1）正的绝对值大直接去绝对值 b a 0 a b a b +=+ （2）负的绝对值大取相反数 b a 0 ()a b a b +=-+ 二、两个数相减： 大的减小的取正号，直接去绝对值符号； 小的减大的取负号，取相反数。 大小看在数轴的位置，右边的数大于左边的数。 b a 0 大的减小的： b a b a -=- 小的减大的：()a b a b -=-- 三、应用的小技巧 1、负号和减号是一样的，正号和加号是一样的 如：a b b a -+=- 2、绝对值内整体去负号不影响计算结果 如：()a b a b a b --=-+=+ 例题： 若用A 、B 、C 分别表示有理数a 、b 、c ，O 为原点，如图所示， 已知a ＜c ＜0，b ＞0， （1）a c b a c a -+--- （2）a b c b a c -+---+-+ （3）2c a b c b c a +++--- B O C A 解析： （1）a c b a c a -+--- 这道题全是相减的，这是最容易的。从图上可知a ＜c ＜b ，所以 ()a c a c -=-- b a b a -=- c a c a -=- 所以该题答案为 ()()()a c b a c a a c b a c a -+---=--+--- a c b a c a a b =-++--+=-+ （2）a b c b a c -+---+-+ 这道题有加有减，但需要变形 a b b a b a -+=-=- ()c b c b c b --=+=-+ a c c a c a -+=-=- 所以该题答案为 a b c b a c -+---+-+()()a b c b a c =-+---+-+ a b c b a c =-+++-+222a b c =-++ 带绝对值符号的运算 在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手： 一、要理解数a的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。 三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a=0 时︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0) ； 当a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0(性质2：0的绝对值是0)； 当a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题， 根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。（都是大的数a减去小的数b ） 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！ 5.1微分方程的符号解法 5.1.1符号解法和数值解法的互补作用5.1.2求微分方程符号解的一般指令5.1.3微分方程符号解示例 【例5.4-1】求d x d t y d y d t x ==- ,的解。 clear all %<1> S=dsolve('Dx=y,Dy=-x') disp(' ') disp(['微分方程的解',blanks(8),'x',blanks(20),'y']) disp([S.x,S.y]) S = y: [1x1 sym] x: [1x1 sym] 微分方程的解 x y [ C2*cos(t) + C1*sin(t), C1*cos(t) - C2*sin(t)] 【例5.4-2】图示微分方程2) (y y x y' -' =的通解和奇解的关系。（1） clear all %<1> y=dsolve('(Dy)^2-x*Dy+y=0','x') %<2> y = x^2/4 C3*x - C3^2 （2） clf,hold on hy1=ezplot(y(1),[-6,6,-4,8],1); %<4> set(hy1,'Color','r','LineWidth',5) for k=-2:0.5:2 %<6> y2=subs(y(2),'C3',k); %<7> ezplot(y2,[-6,6,-4,8],1) end %<9> hold off box on legend('奇解','通解','Location','Best') ylabel('y') title(['\fontsize{14}微分方程',' (y '')^2 – xy '' + y = 0 ','的解']) -6 -4-2 0246 -4-2 2 4 6 8 x 微分方程 (y ')2 – xy ' + y = 0 的解 y 奇解通解 图 5.4-1 通解和奇解曲线 【例5.4-3】求解两点边值问题：0)5(,0)1(,32==='-''y y x y y x 。 （1） y=dsolve('x*D2y-3*Dy=x^2','y(1)=0,y(5)=0','x') y = (31*x^4)/468 - x^3/3 + 125/468 （2） xn=-1:6; yn=subs(y,'x',xn) ezplot(y,[-1,6]) hold on plot([1,5],[0,0],'.r','MarkerSize',20) text(1,1,'y(1)=0') text(4,1,'y(5)=0') title(['x*D2y - 3*Dy = x^2',', y(1)=0,y(5)=0']) hold off yn = Columns 1 through 7 0.6667 0.2671 0 -1.3397 -3.3675 -4.1090 0.0000 去掉绝对值符号的几种题型 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。当a>0时，︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它本身) ； 当a=0 时︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ； 当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身) ；当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)； 当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题， 根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！ 1、设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 2、实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）。 （A）（B）（C）（D） 3、（1）已知，化简的结果是。 （2）已知，化简的结果是。 （3）已知，化简的结果是。 4、已知a、b、c、d满足且，那么 一、C语言运算符号的种类 编辑 1 算术运算符 用于各类数值运算。包括加(+)、减(-)、乘(*)、除(/)、求余(或称模运算，%)、自增(++)、自减(--)共七种。 2.关系运算符 用于比较运算。包括大于(>)、小于(<)、等于(==)、大于等于(>=) 、小于等于(<=)和不等于(!=)六种。 3.逻辑运算符 用于逻辑运算。包括与(&&)、或(||)、非(!)三种。 4.位操作运算符 参与运算的量，按二进制位进行运算。包括位与(&)、位或(|)、位非(~)、位异或(^)、左移(<<)、右移(>>)六种。 5.赋值运算符 用于赋值运算，分为简单赋值(=)、复合算术赋值(+=,-=,*=,/=,%=)和复合位运算赋值(&=,|=,^=,>>=,<<=)三类共十一种。 6.条件运算符 这是一个三目运算符，用于条件求值(?:)。 7.逗号运算符 用于把若干表达式组合成一个表达式(，)。 8.指针运算符 用于取内容(*)和取地址(&)二种运算。 9.求字节数运算符 用于计算数据类型所占的字节数(sizeof)。 10.特殊运算符 有括号()，下标[]，成员(→，.)等几种。 二、C语言运算符号的优先级 编辑 1、优先级1级 结合方向左结合（自左至右） ( ) 圆括号 [ ] [1] 下标运算符 -> 指向结构体成员运算符 . 结构体成员运算符[1] （请注意它是一个实心圆点） 2、优先级2级 结合方向右结合（自右至左）单目运算符 ! 逻辑非运算符 ~ 按位取反运算符 ++ 自增运算符 -- 自减运算符 - 负号运算符 (类型) 类型转换运算符 * 指针运算符 & 地址与运算符 sizeof 长度运算符 3、优先级3级 结合方向左结合双目运算符* 乘法运算符 / 除法运算符 % 取余运算符 4、优先级4级 结合方向左结合双目运算符+ 加法运算符 - 减法运算符 5、优先级5级 结合方向左结合双目运算符<< 左移运算符 >> 右移运算符 6、优先级6级 结合方向左结合双目运算符<、<=、>、>= 关系运算符 7、优先级7级 结合方向左结合双目运算符== 等于运算符（判断） != 不等于运算符（判断） 8、优先级8级 结合方向左结合双目运算符& 按位与运算符 9、优先级9级 结合方向左结合双目运算符^ 按位异或运算符 10、优先级10级 5.如何解含有多个绝对值符号的方程 题目 解方程 |1|||3|1|2|2|2x x x x x +-+---=+ （*） 这是《你能解吗？——献给数学爱好者》一书p3的第14题. 对于含有多个绝对值符号的方程问题，常规解法都是利用分段讨论的方法脱掉绝对值符号的. 本文介绍一种简便的新方法. 设121()||(1,,)n i i n i f x a x b cx d n b b b == -++><，则在 1i i b x b +≤≤中()f x = 0无根；若1()()0i i f b f b +?<，则在1i i b x b +≤≤中()f x = 0只有一个根，此根可由公式1111()()() i i i i i i b b x b f b f b f b ++++-=--表之；对于1x b <和n x b >时根的情况再分别讨论. 对这一方法笔者称之为 “讨论两端,中间挑选.” 例1 见题（*） 解 设()|1|||3|1|2|2|2f x x x x x x =+-+-----，则(1)2,(0)2,f f -=-=- (1)4,(2)0.f f =-= 可见当12x -≤<时, ()f x = 0无根.x = 2是()f x = 0的一个根. 当1x <-时, ()242f x x =-->-, 令240x --=, 2x =-. 当2x >时，()0f x ≡. 故原方程的解是2x =-和2x ≥的所有实数. 例2 方程|21||2||1|x x x -+-=+的实数解的个数是: (A)1; (B)2; (C)3; (D)无穷多. (上海市1984年初中数学竞赛题) 解 设1()|21||2||1||1|2|||2|2 f x x x x x x x =-+--+=-++-+-, 则1 (1)6,()0,(2)0.2 f f f -=== 那么不论1x <-和2x >时有没有根,我们至少知道122 x ≤≤都是()f x = 0的根, 答案应选择(D). 例3 解方程|1|2|2|3|3|4x x x ---++=. (《初等代数难点释疑》一书p4的例4). 解 设()|1|2|2|3|3|4f x x x x =---++-，则(1)0,(2)0,(3) 4.f f f ===- 当1x <时，()220f x x =-+>；当3x >时，()2104f x x =->-，令2100x -=， 得5x =. 故原方程的解是5x =和12x ≤≤的所有实数. 例4 解方程|2||3||28|9x x x -+-+-=. （华东师大《数学教学》1984年第5期p9） 常用数学符号大全、关系代数符号 1、几何符号 ⊥∥∠⌒⊙≡≌△ 2、代数符号 ∝∧∨～∫≠≤≥≈∞∶ 3、运算符号 如加号（＋），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫），曲线积分（∮）等。 4、集合符号 ∪∩∈ 5、特殊符号 ∑π（圆周率） 6、推理符号 |a| ⊥∽△∠∩∪≠≡±≥≤∈← ↑→↓↖↗↘↙∥∧∨ &; § ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩ αβγδεζηθικλμν ξοπρστυφχψω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ ∈∏∑∕√∝∞∟∠∣∥∧∨∩∪∫∮ ∴∵∶∷∽≈≌≒≠≡≤≥≦≧≮≯⊕⊙⊥ ⊿⌒℃ 指数0123：o123 7、数量符号 如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。 8、关系符号 如“＝”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），。“→”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“∈”是属于符号，“??”是“包含”符号等。 9、结合符号 如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—” 10、性质符号 如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“| |”正负号“±” 11、省略符号 如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠）， ∵因为，（一个脚站着的，站不住） ∴所以，（两个脚站着的，能站住）总和（∑），连乘（∏），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。 带绝对值符号的运算 在初中数学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点，还是容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手： 一、要理解数a的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样 定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正 数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。 三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当a>0时，︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a=0 时︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ； 当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)； 当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 数学符号的种类 数量符号 如：i，2+i，a，x，自然对数 底e，圆周率π。 运算符号 如加号（＋），减号（－）， 乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（?），交集（?），根号（↗），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（?），曲线积分（?）等。 关系符号 如“＝”是等号，“≈”是近 似符号，“≠”是不等号，“＞” 是大于符号，“＜”是小于符号，“?”是大于或等于符号（也可写 作“≤”），“?”是小于或等于 符号（也可写作“≥”），。“→”表示变量变化的趋势，“∽”是相 似符号，“≌”是全等号，“?” 是平行符号，“≧”是垂直符号，“↘”是成正比符号，（没有成反 比符号，但可以用成正比符号配倒 数当作成反比）“?”是属于符号，“?”是“包含”符号等。 结合符号 如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—” 性质符号 如正号“＋”，负号“－”， 绝对值符号“| |”正负号“±” 省略符号 如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（?）， ?因为，（一个脚站着的，站不住） ?所以，（两个脚站着的，能站住）总和（↖），连乘（?），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。 排列组合符号 C-组合数 A-排列数 N-元素的总个数 R-参与选择的元素个数 !-阶乘，如5！ =5×4×3×2×1=120 C-Combination- 组合 A-Arrangement-排列 离散数学符号（未全） ?全称量词 ?存在量词 ├ 断定符（公式在L中可证） ╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足） ┐ 命题的“非”运算 ? 命题的“合取”（“与”）运算 ? 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算 → 命题的“条件”运算 ?命题的“双条件”运算的 A<=>B 命题A 与B 等价关系 A=>B 命题 A与 B的蕴涵关系 A* 公式A 的对偶公式 wff 合式公式 6.2.5含绝对值符号的一元一次方程 完成时间：40min 一．选择题（共30小题） 1．已知|2﹣x|=4，则x的值是（） A．﹣3 B．9 C．﹣3或9 D．以上结论都不对 2．已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是（） A．2a B．2b C．2c D．0 3．方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是（） A．0B．1C．2D．3 4．已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|=0，则m的值为（） A．B．2C．D．3 5．方程|2x﹣6|=0的解是（） A．3B．﹣3 C．±3 D． 6．若|x﹣1|=3，则x=（） A．4B．﹣2 C．±4 D．4或﹣2 7．方程|2x﹣1|=4x+5的解是（） A． x=﹣3或x=﹣B． x=3或x= C． x=﹣ D．x=﹣3 8．若关于x的方程|x|=2x+1的解为负数，则x的值为（）A．B．C．D．﹣1 9．方程|x﹣3|+|x+3|=6的解的个数是（） A．2B．3C．4D．无数个 10．若|x﹣2|=3，则x的值是（） A．1B．﹣1 C．﹣1或5 D．以上都不对 11．方程|3x|=18的解的情况是（） A．有一个解是6 B．有两个解，是±6 C．无解D．有无数个解 12．如果|x﹣1|+x﹣1=0，那么x的取值范围是（） A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 13．若|2000x+2000|=20×2000，则x等于（） 14．已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤﹣1 C．a＞2或a≤﹣2 D．a＞1或a≤﹣1 15．适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（） A．2B．4C．8D．16 16．若|x|=3x+1，则（4x+2）2005=（） A．﹣1 B．0C．0或1 D．1 17．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D． ＜a＜1 18．已知x﹣y=4，|x|+|y|=7，那么x+y的值是（） A． ±B． ± C．±7 D．±1 19．适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个． A．0B．1C．2D．大于2的自然数 20．若单项式﹣2a|x|b|4x|和32ab3﹣x的相同字母的指数相同，则x的整数值等于（）A．1B．﹣1 C．±1 D．±1以外的数 21．方程|2007x﹣2007|=2007的解是（） A．0B．2C．1或2 D．2或0 22．满足||x﹣1|﹣|x||﹣|x﹣1|+|x|=1的x的值是（） A．0B． ±C．D． ± 23．如果方程|3x|﹣ax﹣1=0的根是负数，那么a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3 24．关于x的含有绝对值的方程|2x﹣1|﹣|x|=2的不同实数解共有（）个．A．1B．2C．3D．4 25．方程|x﹣19|+|x﹣93|=74的有理数解（） A．至少有3个B．恰好有2个C．恰有1个D．不存在 26．方程2|x|+3=5的解是（） A．1B．﹣1 C．1和﹣1 D．无解 27．绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个（）A．2B．4C．l D．0 28．||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则（）A．0，2，4全是根B．0，2，4全不是C．0，2，4不全是D．0，2，4之外没 去绝对值符号的几种常用方法 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 符号运算 科学计算包括数值计算和符号计算两种计算，数值计算是近似计算；而符号计算则是绝对精确的计算。 符号变量的生成和使用 1、符号变量、符号表达式和符号方程的生成 （1）、使用sym函数定义符号变量和符号表达式 单个符号变量 sqrt(2) sym(sqrt(2)) %显示精确结果 a=sqrt(sym(2)) %显示精确结果 double(a) sym(2)/sym(3) %显示精确结果 2/5+1/3 sym(2/5+1/3) %显示精确结果 sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3) %显示精确结果 sym函数定义符号表达式：单个变量定义法，整体定义法 单个变量定义法 a=sym('a') b=sym('b') c=sym('c') x=sym('x') f=a*x^2+b*x+c 整体定义法 f=sym('a*x^2+b*x+c') g=f^2+4*f-2 （2）、使用syms函数定义符号变量和符号表达式 一次可以创建任意多个符号变量syms var1 var2 var3… syms a b c x f=a*x^2+b*x+c g=f^2+4*f-2 （3）、符号方程的生成 函数：数字和变量组陈的代数式 方程：函数和等号组成的等式 用sym函数生成符号方程： equation1=sym('sin(x)+cos(x)=1') 2、符号变量的基本操作 （1）、findsym函数用于寻找符号变量 findsym(f)：找出f表达式中的符号变量 findsym(s,n)：找出表达式s中n个与x接近的变量 syms a alpha b x1 y findsym(alpha+a+b) 与Wolfram公司（Mathematics的开发公司）相比，Mathworks公司一直以矩阵计算和强大的数据处理能力见长，而符号计算非强项。1993年，mathworks公司从加拿大Waterloo Maple公司购买了maple的内核技术，作为MA TLAB符号运算与推导的平台，开发了用以进行符号计算的基本符号运算工具箱和扩展符号运算工具箱，从而解决了MA TLAB在符号计算方面的缺陷。 MA TLAB7.0的符号运算工具箱已上升到3.1.1版本，它几乎可以完成所有的符号运算功能，包括符号函数与符号方程的定义、运算、复合、化简、符号矩阵的计算、符号微分、符号积分、符号代数方程、符号微分方程的求解、符号积分变换和符号特殊函数。 在MA TLAB7.0的符号数学工具箱中，符号表达式含有符号函数和符号方程两种形式，它是表示数字、函数或变量的字符串或字符串组。字符就是符号变量的值。因此在MA TLAB的源程序中符号表达式被表示成字符串和字符串组。符号函数和符号方程的区别是符号函数没有等号，而符号方程必须有等号。 符号变量的定义 MA TLAB有默认的符号自变量，但在各种情况下默认的自变量是不同的。系统默认的自变量主要有x、x1、y、y1、z、v、u、t、theta、alpha。对于这些变量MA TLAB 的默认规则与平时数学习惯大致相同，即： 当这些变量中的某一个与其他变量组成符号数学表达式时，这个变量即为默认的自变量； 当这些变量中的某几个组成符号数学表达式是，默认自变量的顺序是：x>x1>y>y1>z>v>u>t>theta>alpha 例如： 当数学表达式为cos(2*x*a^2)时，默认的自变量为x； 当数学表达式为cos(2*x*v)时，默认的自变量为x； 当数学表达式为cos(2*t*alpha)时，默认的自变量为t； 符号变量可以通过命令syms和sym定义，syms命令一个可以定义一个或多个符号变量。sym一个只能定义一个符号变量。 >> syms x y z t >> who Y our variables are: t x y z >> syms u >> who Y our variables are: t u x y z >> x=sym('x'); >> t=sym('t'); >> z=sym('z'); >> y=sym('y'); >> who Y our variables are: ans t x y z 符号表达式的定义 MA TLAB7.0当中，符号表达式可以通过基本赋值语句，采用单引号或sym/syms .. 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ，有|x |matlab符号运算
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