三角函数极限等价无穷小公式
三角函数公式整合：
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B) = (cotAcotB-
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
Sin2A=2SinA?CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）
和差化积
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
积化和差
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]
诱导公式
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
sin(π/2+α) = cosα
cos(π/2+α) = -sinα
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan （π/2＋α）＝－cotα tan （π/2－α）＝cotα tan （π－α）＝－tanα
tan （π＋α）＝tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
万能公式
1. 极限的概念
（1）数列的极限：0>?ε，N ?（正整数），当N n >时，恒有ε<-A x n
A x n n =∞
→lim 或 A x n → )(∞→n
几何意义：在),(εε+-A A 之外，{}n x 至多有有限个点N x x x ,,,21
（2）函数的极限
x →∞的极限：0>?ε，0>?X ，当X x >时，恒有ε<-A x f )(
A x f x =∞
→)(lim 或 A x f →)( )(∞→x
几何意义：在（)X x X <<-之外，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。
0x x →的极限：0>?ε，0>?δ，当δ<-<00x x 时，恒有ε<-A x f )(
A x f x x =→)(lim 0
或 A x f →)( )(0x x →
几何意义：在0000(,)
(,)x x x x x δδ∈-+邻域内，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。
（3） 左右极限
左极限：0>?ε，0>?δ，当00x x x <<-δ时，恒有ε<-A x f )(
A x f x x =-
→)(lim 0
或 A x f x f =-=-)0()(00
右极限：0>?ε，0>?δ，当δ+<<00x x x 时，恒有ε<-A x f )(
A x f x x =+
→)(lim 0
或 A x f x f =+=+)0()(00
极限存在的充要条件：0
lim ()lim ()x x x x f x A f x -+
→→== （4）极限的性质
唯一性：若A x f x x =→)(lim 0
，则A 唯一
保号性：若A x f x x =→)(lim 0
，则在0x 的某邻域内
0A >(0)A < ? ()0f x >(()0)f x <；()0f x ≥(()0)f x ≤ ? 0A ≥(0)A ≤
有界性：若A x f x x =→)(lim 0
，则在0x 的某邻域内，)(x f 有界
2. 无穷小与无穷大
（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以∞为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。
注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。 例如当x →∞时，x x sin 是无界变量，但不是无穷大量。
（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；
A x f x x =→)(lim 0
成立的充要条件是α+=A x f )(（00(,)x x x δδ∈-+，0lim =α）
（3）无穷小的比较（设 0lim =α，0lim =β）： 若lim
0β
α
=，则称β是比α高阶的无穷小，记为()o α；特别α称为()o αβαα+=+的主部
若lim
β
α=∞，则称β是比α低阶的无穷小； 若lim C β
α=，则称β与α是同阶无穷小；
若lim 1β
α=，则称β与α是等价无穷小，记为~βα；
若lim k C β
α
=，（0,0>≠k C ）则称β为α的k 阶无穷小；
（4）无穷大的比较： 若lim u =∞，lim v =∞，且lim u
v
=∞，则称u 是比v 高阶的无穷大，记为1()o v ；特别u 称为1()u v o v v +=+的主部
3. 等价无穷小的替换
若同一极限过程的无穷小量αα'~，ββ'~，且lim
αβ
'
'存在，则 ()()lim
lim
()()
f x f x
g x g x ααββ'=' (lim 0)α=常用等价无穷小sin tan arcsin arctan ~ln(1)111e ααααααααα
??
????
??
?
?
?
??
??
?+??
??
-??
??
+--?
?
??????
?????2
1
11cos ~2111~21(1)1~1~ln n
n a a αααααααα-+-+-- 注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；
（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形； （3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即
若lim ()(0)f f α=，αα'~，则()~()f f αα'
4. 极限运算法则（设 A x f =)(lim ，B x g =)(lim ） （1） []=±)()(lim x g x f ±)(lim x f B A x g ±=)(lim （2） []=?)()(lim x g x f ?)(lim x f B A x g ?=)(lim
特别地，[])(lim )(lim x f C x Cf =，[]=n
x f )(lim []n n
A x f =)(lim
（3） =)()(lim
x g x f B
A
x g x f =)(lim )(lim (0≠B ) 5.准则与公式（lim 0α=，lim 0β=） 准则1：（夹逼定理）若)()()(x x f x ψ?≤≤，则
A x x ==)(lim )(lim ψ? ? A x f =)(lim
准则2：（单调有界数列必有极限）
若{}n x 单调，且n x M ≤（0M >），则lim n n x →∞
存在（{}n x 收敛）
准则3：（主部原则）
()lim
lim ()o o ααα
βββ+=+； 1111121212()()lim lim ()()
o o o o ∞+∞∞=∞+∞∞
公式1： 0sin lim
1x x x →= ? s i n l i m 1
α
α
= 公式2： 10lim(1)1lim(1)x x n n x e n →→∞??+????
=????
+???? ?
1
l i m (1)1l i m (1
)e α
α∞?
?
+
????
=????+∞???
?
公式3： lim lim(1)e αα∞?∞+=，一般地，lim lim(1)f f e αα?+=
公式4：1101100lim lim n n n n n n n
m m m x x m m m m
n m a x a x a a x a n m b x b x b b x b n m
---→∞→∞-?
+++?===?+++??∞
>? 6. 几个常用极限(0,1)a a >≠
（1）1lim =∞
→n n a ，1lim =∞
→n n n ； （2）1lim 0
=+
→x x x ，lim x
x x →+∞
=+∞； （3）10
lim x x e +→=+∞，1
lim 0x x e -
→=； （4）0
lim ln x x +→=-∞； （5）001lim arctan 21lim arctan 2x x x x ππ+-
→→?
=????=-
??； （6）011lim 111
n
n q q q q q →∞??=?=??=-?不存在
(完整word)高等数学等价替换公式
无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x Θ .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n Θ .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。
高等数学中的导数公式和等价无穷小公式
声明：第一次弄这些，花了本人好些时间，o(∩_∩)o ，版权所有，严禁将本人的劳动成果用于商业用途。 导数公式 (1) (C)'=0 (2) (x μ )'=μ1 x μ- (3) (sinX)'=cosX (4) (cosX)'=-sinX (5) (tanA)'=2 sec A (6) (cotA)'=-2 csc A (7) (secA)'=secAtanA (8) (cscA)'=-cscAcotA (9) (x a )'=x a ln a (10) (x e )'=x e (11) (㏒a x)'= 1 ln x a (12)(lnx)'= 1x (13) (arcsinX)' (14) (arccosX)'= - (15) (arctanX)'= 2 1 1X + (16) (arccotX)'=- 2 11X +10 2 2 33331lim(1)1~ (1) 123 (4) n x x x n n n n →+-+++++=
等价公式 10 1lim(1)1~ n x x x n →+- 当0x →时,ln(1+x)~x 201cos 1 lim 2 x x x →-= 当0x →时,1~x e x - 0sin lim 1x x x →= 当0x →时,1~ln x a x a - 1 lim(1)x x e x →∞+= 22221 123...(1)(21)6 n n n n ++++=++ 0tan lim 1x x x →= 22 3 3 3 3 (1)123 (4) n n n +++++= 0arcsin lim 1x x x →= 220 sin cos n n xdx xdx π π =?? 0ln(1) lim 1x x x →+= 01lim 1ln x x a x a →-=
三角函数极限等价无穷小公式
三角函数公式整合： 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB- cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB- cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα
大学高等数学等价无穷小#(精选.)
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。 1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。 如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x) 其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。 2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。 f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看： f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！ 问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。 比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)， 所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。 但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)， 此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。 碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) 那么 ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2) 这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用
→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0 lim () ()(),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过 程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α ).()(x A x f α+=∴
等价无穷小公式大全
1，x\sim \tan x\sim \sin x\sim \arcsin x\sim (e^x-1)\sim\arctan x\sim ln(1+x)\sim ln(x+\sqrt{1+x^2})x～tanx～sinx～arcsinx～(ex?1)～arctanx～ln(1+x)～ln(x+1+x2) 2，(1-\cos x)\sim\frac{1}{2}x^2(1?cosx)～21x2 3，log_a(1+x)\sim\frac{x}{lna}loga(1+x)～lnax 4，(x - \sin x)\sim\frac{1}{6}x^3\sim(\arcsin x-x)(x?sinx)～61x3～(arcsinx?x) 5，(\tan x -x)\sim\frac{1}{3}x^3\sim(x-\arctan x)(tanx?x)～31x3～(x?arctanx) 6，(1+bx)^a-1\sim abx(1+bx)a?1～abx 7，(\tan x-\sin x)\sim \frac{1}{2}x^3(tanx?sinx)～21x3 8，a^x-1\sim xlnaax?1～xlna 9，(\sqrt[n]{1+x}-1)\sim \frac{x}{n}(n1+x?1)～nx 等价无穷小替换公式如下: 以上各式可通过泰勒展开式推导出来。
等价无穷小是无穷小的一种，也是同阶无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。 扩展资料: 求极限时，使用等价无穷小的条件： 1. 被代换的量，在取极限的时候极限值为0； 2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换。
考研数学等价无穷小代换
考研数学等价无穷小代换 更多技巧尽在考研数学（https://www.360docs.net/doc/2714091302.html,/u/2461250915）每周至少更新两次 众所周知，考研数学里面一部分题目需要求极限，大多数同学处理这类问题的方法是洛必达法则，但是，运用洛必达法则运算量大，运算步骤繁琐，因而也就容易出错，稍有不慎，则会算错，尤其对于选择填空题，一旦算错，一分也没有，而且，洛必达法则需要的时间也较多，如果一味的使用洛必达法则，则有可能浪费大量的时间，得不偿失。这里介绍一些求极限等问题的特殊技巧，基本上可以涵盖所有的求极限题目，因为，我们所学的初等函数有五类，反三角函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数，简称反对幂三指，以下是这五类函数的无穷小代换。以下x均趋近于0 常见代换：x~sin x~tan x~arctan x~arcsin x 幂函数代换：(1+x)λ~λx+1 λ可以取整数也可以取分数 指数函数代换：e x ~x + 1 a x ~ lna·x + 1 对数代换：ln(1+x) ~ x log a(1+x) ~ x/lna 差代换：1.二次的：1－cos x ~ x2/2 x－ln(1+x) ~ x2/2 2三次的：(1)三角的：x －sin x ~ x3/6 tan x －x ~ x3/3 tan x －sin x ~ x3/2 (2)反三角的：arcsin x －x ~ x3/6 x －arctan x ~ x3/3 arcsin x －arctan x ~x3/2 下面来举几个例子简单的说一下这些技巧怎么用 例如：求：当x→0时，lim(arcsin x－arctan x)/ x3的值。 当求这个极限的值的时候，如果用洛必达法则，计算量则会很大，这里不再赘述运用洛必达法则如何求解，只介绍如何使用上述技巧。 lim(arcsin x－arctan x)/ x3=lim(1/2 x3)/ x3=1/2 大家可以自己做一下洛必达法则的方法，对比一下两者之间的差别。 需要注意的是，等价无穷小的运用往往不止一次，只要发现运用洛必达法则运算困难，则可以尝试等价无穷小代换。
高等数学等价无穷小替换
无穷小极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如,,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。
高等数学等价替换公式
根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价无穷小。x→0，时x→sinx ; x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1); [(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麦克劳林公式也是，那个符号不好写，你课本上或者习题里有.例1 limx →0tanx-sinxx3 给你举几个利用无穷小的例子例1 limx→0tanx-sinxx3 解：原式=limx →0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵sinx～x,1-cosx～x22)=12 此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。例 2 limx→0e2x-31+xx+sinx2 解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53 例3 limx→0(1x2-cot2x) 解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x =limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4 =limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵sinx～x) =limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2 =limx→012x2·(1+cosx)x2=1 解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x =limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4 =limx→02x(tanx-x)x44 (∵tanx～x) =limx→02(tanx-x)x3 =limx→02(sec2x-1)3x2 =23limx→0tan2xx2=23 (∵tanx～x) 例4［3］limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx) =limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。∵x～sinx～tanx(x →0) ∴原式=limx→0+xx=1而得解。
等价无穷小转换公式
F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e 优质解答 当x→0时, sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1 （a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna) （e^x）-1~x ln(1+x)~x (1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x loga(1+x)~x/lna （1+x)^a-1~ax(a≠0) 值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换, 在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）
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三角函数、极限、等价无穷小公式
三角函数、极限、等价 无穷小公式 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数公式整合： 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα
等价无穷小公式大全
等价无穷小公式大全 一、等价无穷小的介绍 等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。 二、等价无穷小的公式 当x趋向于0时，有以下重要等价无穷小: sinX~X tanX~X arcsinX~X ln（1+X）~X e^x－1~X a^x－1~Xlna （a＞0,a≠1） 1－cosX~1/2X^2 (1+βx)^α-1~αβx (1+x)^a-1~ax log(1+x)~x/ln(a＞0,a≠1) 注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。 三、求极限时，使用等价无穷小的条件 1. 被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换。 四、极限 数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值，并且最终与它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，这个定值就称为这个变量的极限。其后，外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))按照这个思想给出严格定量的极限定义，这就是数学分析中使用的ε-δ定义或ε-Ν定义等。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则。在分析学的其他学科中，极限的概念也有同样的重要性，在泛函分析和点集拓扑等学科中还有一些推广。
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+ →0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用
→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } -+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小 是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()() (),x x x f x A f x A x α? =?+其中)(x α是自变量在同一变化过 程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim (),x x f x A ?=令()(),x f x A α=-则有0 lim ()0,x x x α?= ).()(x A x f α+=∴
等价无穷小在求函数极限中的应用
等价无穷小在求函数极限中的应用 XX (XX 学院XX 学院 山西XX ) 摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误． 关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言 在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质 定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小． 定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 0)(≠x g ，如果1) () (lim =x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：
当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~1-，22 1 ~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1 -+． 关于等价无穷小，有三个重要性质： 性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为 )(ααβo +=． 性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ'' lim 存在，则 αβαβ' '=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →?→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 3.1 含四则运算的等价无穷小替换 定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化． 例1 求极限2 0sin )1() cos 1(lim x e x x x x --→． 解 当0→x 时，2 2 1~ cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22 021lim x x x x x ?-?→＝2 1-． 例2 求极限) cos 1cos(11lim 4 x x e x x ---→． 解 )cos 1cos(11 lim 4 x x e x x ---→＝42 121lim )cos 1(21lim 224 024 0=?=-→→x x x x x x x x ． 注意0→x 时，424 1 ~)cos 1(21~ )cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小
泰勒公式与等价无穷小替换的区别
泰勒公式与等价无穷小替换的区别 在考研数学中，利用等价无穷小替换或泰勒公式来计算极限是常考的考点。然而很多同学对于等价无穷小替换求解极限的运用不够灵活甚至常常犯错。究其原因主要有两个：一是学生平时努力不够，对于常见的等价无穷小没有准确记忆并且对于此类求极限问题缺少练习；二是对于等价无穷小替换的实质还没有达到透彻的理解，使用的原则存在错记、混记的现象。比如练习时有这样的题目： 30tan 2sin 2lim x x x x →-有这样的解法：3300tan 2sin 222lim lim 0x x x x x x x x →→--==从解答过程中可以看出，学生不论前提条件是否满足而生搬硬套地使用等价无穷小替换法则，反映出学生对于该法则的使用没有达到本质的理解。我们知道等价无穷小替换原则是：只能适用于乘除法中，也就是说只能作为乘除因子时才可以使用，而在该题目中，分子中是减法运算不能直接替换，故该方法是错误的。而泰勒公式的好处就是将极限问题化繁为简，即把涉及到的函数全部转化为有理函数。比如 331sin ()6 x x x o x =-+，左右两边是等号相连接，只要当0x →时，该式都是成立的都可以使用，比等价无穷小替换使用的范围更广。 下面我们结合泰勒公式来重新理解等价无穷小替换的一些法则和原理（假设所有极限中涉及的自变量变化过程都是趋向于零） 性质：~() o αββαα?=+我们简单证明一下：若~αβ，根据等价无穷小的定义可得：lim 1βα =，即：lim 10βα??-= ???；lim 0βαα -?=；
()o βαα?-=?()o βαα=+； 最初学生对于右边式子中的()o α会觉得比较抽象难以理解，我们可以结合泰勒公式来形象直观的理解。以正弦函数的泰勒公式为例： 357111sin ...3!5!7! x x x x x =-+-+如果β取sin x ，那么α可以取x ，或313!x x -，或35113!5!x x x -+；则：相应的()o α分别为：35(),(),()o x o x o x ， 所以()o α并不是抽象的符号，实际代表着具体的表达式，而且该表达式很复杂，由多个式子组成，所以简写成用()o α来表示。 那么在具体的极限题目中，利用泰勒公式具体应该展开到哪一项呢？我们有一个原则就是“上下同阶”。比如在前面的例题中，由于分母是3 x ，所以我们只展开到第二项就可以了，即：331sin ()6x x x o x =-+；331tan 22(2)()3 x x x o x =++故上题中正确的作法应为： 333333 00112(2)()2[()]tan 2sin 236lim lim x x x x o x x x o x x x x x →→++--+-=333 03()lim 3x x o x x →+==所以在求解极限问题的思路中利用泰勒公式比等价无穷小替换法则更一般、更普遍，在解决问题时往往倾向于接受和使用那些放之四海而皆准的思路和方法，关于等价无穷小替换和泰勒公式的使用，同学们要后期多加练习。
等价无穷小公式大全
等价无穷小是现代词，是一个专有名词，指的是数学术语，是大学高等数学微积分使用最多的等价替换。 基本信息 中文名称 等价无穷小 外文名称 The equivalent infinitesimal 释义 是一个专有名词，指的是数学术语 拼音 děng jià wú qióng xiǎo 目录 1基本定义 2重要替换 折叠编辑本段基本定义 首先来看看什么是无穷小：
无穷小就是以数零为极限的变量。 等价无穷小 等价无穷小 确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(x0)=0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。 例如，f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。 这里值得一提的是，无穷小是可以比较的： 假设a、b都是lim(x→x0)时的无穷小， 如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a） 如果lim b/a=∞，就是说b是比a低阶的无穷小。 比如b=1/x^2，a=1/x。x->无穷时，通俗的说，b时刻都比a更
快地趋于0，所以称做是b高阶。假如有c=1/x^10,那么c比a b 都要高阶，因为c更快地趋于0了。 等价无穷小 等价无穷小 等价无穷小 等价无穷小 等价无穷小 等价无穷小 如果lim b/a^n=常数C≠0（k>0），就说b是关于a的n阶的无穷小，b和a^n是同阶无穷小。 下面来介绍等价无穷小： 从无穷小的比较里可以知道，如果lim b/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小，b和a^n是同阶无穷小。特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即lim b/a=1，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b
等价无穷小量替换定理
§2–6无穷小与无穷大的比较 基础知识导学 1、无穷小的比较 定义1 设α、β是某一极限过程中的两个无穷小，若 c =α β lim （c 为常数） 则（1）当c ≠ 0时，称在此极限过程中β与α是同阶无穷小； （2）当c = 0时，称在此极限过程中β是α的高阶无穷小，记作β=o (α)(读作小欧α)； （3）当c = 1时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α。 2、无穷大的比较 定义2 设Y 、Z 是同一极限过程中的两个无穷大量， （1）如果Y Z lim = c ≠ 0，则称Y 与Z 是同阶无穷大量； （2）如果Y Z lim = ∞时，则称Z 是Y 的高阶无穷大量； （3）如果k Y Z lim = c ≠ 0（k ＞0），则称Z 是关于（基本无穷大量）Y 的k 阶无穷大量。 3、无穷小的阶与主部 定义 3 把某极限过程中的无穷小α作为基本无穷小，如果β与 k α（k ＞0）是同阶的无穷小，即 k α β lim = c ≠ 0，则称β是关于α的k 阶无穷小。 重点难点突破 1．关于无穷小的比较 要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判断两个无穷小的关系。 注意 （1）符号β=O (α)与β～α的含义 β=O (α)表示β是α的高阶无穷小，即0lim =α β ； β～α表示β与α是等价无穷小，即1lim =α β （1） 同阶不一定等价，等价一定同阶。 （2） 利用等价无穷小求极限 等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换： 若α～αˊ，β～βˊ，且αβ''lim 存在，则αβlim =αβ' 'lim 无穷小量的比较表
几个重要的等价无穷小公式
几个重要的等价无穷小公式 注：以下无穷小的等价性都是在 0x → 的极限过程中成立的。 sin x x tan x x arcsin x x arctan x x 1x e x - 1ln x a x a - ln(1) x x ±± log (1)ln a x x a + 3 sin 6x x x - 3 tan 3x x x - 3 arcsin 6x x x - 3 arctan 3x x x - 2 1cos 2 x x - 2 sec 12 x x - 3 tan sin 2 x x x - 2 ln(1)2 x x x ±- (1)1k k x x αα+- （0 k α>>0，） 特别地有：11k n k x x n +- （k >0） 更一般的有：(1())1()g x g x αα+- （其中0α>、()g x 为 0x → 时的无穷小） 几个重要结论： △ Stolz 定理：若 lim n n x a →∞=，则 ① 12lim n n x x x a n →∞++???+=； ② 12lim n n n x x x a →∞???= 注：Stolz 定理对于a =∞也是成立的。 △ 0a ?> 有 lim 1n n a →∞ =； k Z +?∈ 有 lim 1n k n n →∞ =； 但是 lim !n n n →∞ =+∞ △当 x →∞（或+∞或-∞）时，()f x A →（正常极限），则函数 ()y f x = 的图像在相应方向上有水平渐近线 y A =（教材第31页）。 △ 当 0x x → 时，()f x →∞（或+∞、或-∞），则函数 ()y f x = 的图像在0x 处有铅直渐近线 0x x =（教材第36页）。 △ 当 x →∞（或+∞或-∞）时，有 () lim (0 )f x k x =≠、lim [()]f x kx b -=， 则函数 ()y f x = 的图像在相应方向上有斜渐近线 y kx b =+（教材第72页）。 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内都是连续的（教材第64页）。