π
=
∴A .……8分
(Ⅱ)在ABC ?中，3
π
=
A ，2=a ，3
3
cos =
B 3
6
311cos 1sin 2=
-
=-=∴B B ……9分 由正弦定理知：
,sin sin B
b
A a =……10分 ∴ A
B
a b sin sin =
=3242
3
36
2=?
=.∴=b 324……12分
立体几何
1、已知四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点.
(1) 求四棱锥P ABCD -的体积；
(2) 是否不论点E 在何位置，都有BD AE ⊥？证明你的结论； (3) 若点E 为PC 的中点，求二面角D AE B --的大小.
2、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点. (1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (3) 求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值.
俯视图
侧视图
正视图
12
1
121A
B
C D P E A
B
C
D
E
F
3、如图所示,在矩形ABCD 中，AD =2AB =2，点E 是AD 的中点，将△DEC 沿CE 折起到△D ′EC 的位置，使二面
角D ′—EC —B 是直二面角. （1）证明：BE ⊥C D ′；
（2）求二面角D ′—B C —E 的正切值.
4、如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90?.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 .
（Ⅰ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）求三棱锥A 1－C DE 的体积.
5、如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，E 、F 为别为PD 、 AB 的中点，且1==AB PA ，2=BC ， （Ⅰ）求四棱锥ABCD E -的体积；
（Ⅱ）求证：直线AE ∥平面PFC
D '
E
A
D C
B
P
B C
D A
E F
6、在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设
a AA =1.
（1）求a 的值；
（2）求平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小.
7、如图6，在直角梯形ABCP 中，AP//BC ，AP ⊥AB ，AB=BC=
22
1
=AP ，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将PCD ?沿CD 折起，使得⊥PD 平面ABCD,如图7. （Ⅰ）求证：AP//平面EFG ； (Ⅱ) 求二面角D EF G --的大小; （Ⅲ）求三棱椎PAB D -的体积.
8、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、
F 分别是AB 、PD 的中点．若3PA AD ==，6CD =．
（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ； （Ⅱ） 求点F 到平面PCE 的距离；
（Ⅲ）求直线FC 平面PCE 所成角的正弦值．
A B
C
A 1
B 1
C 1
A
D F
G
C
B
E
P
图6
B
G
C
D
F
E
A
P
图7
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1
P
9、如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=，14AD
=，点P 是1AD 上的动点． （1）试判断不论点P 在1AD 上的任何位置，是否都有平面
11B PA 垂直于平面11AA D ？并证明你的结论；
（2）当P 为1AD 的中点时，求异面直线1AA 与1B P 所成角的余弦值； （3）求1PB 与平面11AA D 所成角的正切值的最大值．
10、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ?
∠=，PA 垂直于底面ABCD ，
N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。
(1)求证：DM PB ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角；（3）求截面ADMN 的面积。
C A
D B O
E 11、已知PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===，AC 与BD 交于E 点，2BD =，BC CD =， （1）取PD 中点
F ，求证://PB 平面AFC 。 （2）求二面角A PB E --的余弦值。
12、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== （I ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦； （III ）求点E 到平面ACD 的距离．
答案：
1、解：(1) 由三视图可知，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC ⊥底面ABCD ，且2PC =. …………2分
∴211212333
P ABCD ABCD V S PC -=
?=??=正方形， 即四棱锥P ABCD -的体积为2
3
. …………4分
(2) 不论点E 在何位置，都有BD AE ⊥. …………5分
证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥. …………6分 ∵PC ⊥底面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，∴BD PC ⊥. …………7分 又∵AC PC C =，∴BD ⊥平面PAC . …………8分 ∵不论点E 在何位置，都有AE ?平面PAC .
∴不论点E 在何位置，都有BD AE ⊥. …………9分 (3) 解法1：在平面DAE 内过点D 作DF AE ⊥于F ，连结BF .
∵1AD AB ==，2
2
112DE BE ==+=，3AE AE ==，
∴Rt △ADE ≌Rt △ABE ，
从而△ADF ≌△ABF ，∴BF AE ⊥.
∴DFB ∠为二面角D AE B --的平面角. …………12分
A B
C
D P
E
F
在Rt △ADE 中，12
3
AD DE DF BF AE ??=
==， 又2BD =，在△DFB 中，由余弦定理得
2
2
2
2
22
13cos 22223
DF BF BD DFB DF BF ?-+-∠===-??， …………13分
∴120DGB ∠=?，即二面角D AE B --的大小为120?. …………14分
解法2：如图，以点C 为原点，CD CB CP ，，所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角
坐标系. 则(1,0,0)(1,1,0)(0,1,0)(0,0,1)D A B E ，，，，从而
(0,1,0)DA =，(1,0,1)DE =-，(1,0,0)BA =，
(0,1,1)BE =-. …………10分
设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为
1111(,,)n x y z =，2222(,,)n x y z =，
由1111
100
00n DA y x z n DE ?==?????-+==???，取
1(1,0,1)n =. …………11分 由2222200
00n BA x y z n BE ?==?????-+==???，取
2(0,1,1)n =--. …………12分
设二面角D AE B --的平面角为θ，则1212
11
cos 222
n n n n θ-==
=-??， …………13分
∴23πθ=
，即二面角D AE B --的大小为23
π
. …………14分 2、方法一：
(1) 证法一：取CE 的中点G ，连FG BG 、.
∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且1
2
GF DE =. …………1分
∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB . …………2分 又1
2
AB DE =，∴GF AB =. …………3分
∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG . …………4分 ∵AF ?平面BCE ，BG ?平面BCE ，
∴//AF 平面BCE . …………5分 证法二：取DE 的中点M ，连AM FM 、.
∵F 为CD 的中点，∴//FM CE . …………1分
∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//DE AB . …………2分
又1
2
AB DE ME ==，
∴四边形ABEM 为平行四边形，则//AM BE . …………3分
A
B
C
D
P
E
x y
z
A
B
C D
E
F M
H
G
∵FM AM ?、平面BCE ，CE BE ?、平面BCE ， ∴//FM 平面BCE ，//AM 平面BCE .
又FM AM M =，∴平面//AFM 平面BCE . …………4分 ∵AF ?平面AFM ，
∴//AF 平面BCE . …………5分
(2) 证：∵ACD ?为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥. …………6分
∵DE ⊥平面ACD ，AF ?平面ACD ，∴DE AF ⊥. …………7分 又CD DE D =，故AF ⊥平面CDE . …………8分 ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE . …………9分 ∵BG ?平面BCE ，
∴平面BCE ⊥平面CDE . …………10分(3) 解：在平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH . ∵平面BCE ⊥平面CDE ， ∴FH ⊥平面BCE .
∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角. …………12分
设22AD DE AB a ===，则2
sin 452
FH CF a =?=
， 2222(3)2BF AB AF a a a =+=+=，
R t △FHB 中，2
sin 4
FH FBH BF ∠=
=
. ∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为
2
4
. …………14分
方法二：
设22AD DE AB a ===，建立如图所示的坐标系A xyz -，则
()()()()()
000200,0,0,,,3,0,,3,2A C a B a D a a E a a a ，，,，，.…………2分
∵F 为CD 的中点，∴33
,,022F a a ?? ? ???
. …………3分 (1) 证：()
()33
,,0,,3,,2,0,22AF a a BE a a a BC a a ??===- ? ???
， …………4分 ∵()
1
2
AF BE BC =+，AF ?平面BCE ，∴//AF 平面BCE . …………5分 (2) 证：∵()
()33
,,0,,3,0,0,0,222AF a a CD a a ED a ??==-=- ? ???
， …………6分 ∴0,0AF CD AF ED ?=?=，∴,AF CD AF ED ⊥⊥. …………8分 ∴AF ⊥平面CDE ，又//AF 平面BCE ，
∴平面BCE ⊥平面CDE . …………10分
(3) 解：设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =，由0,0n BE n BC ?=?=可得： 30,20x y z x z ++=-=，取()
1,3,2n =-. …………12分
又33
,,22BF a a a ??=- ? ???
，设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则 22sin 4222
BF n a a BF n
θ=
=
=??.
∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为
2
4
. …………14分 3、解：（1）∵AD =2AB =2，E 是AD 的中点， ∴△BAE ，△CDE 是等腰直角三角形，
易知, ∠BEC =90°，即BE ⊥EC. 又∵平面D ′EC ⊥平面BEC ，面D ′EC ∩面BEC =EC , ∴BE ⊥面D ′EC ，又C D ′? 面D ′EC , ∴BE ⊥CD ′； （2）法一：设M 是线段EC 的中点，过M 作MF ⊥BC 垂足为F ，连接D ′M ，D ′F ，则D ′M ⊥EC . ∵平面D ′EC ⊥平面BEC , ∴D ′M ⊥平面EBC ,
∴MF 是D ′F 在平面BEC 上的射影，由三垂线定理得： D ′F ⊥BC
∴∠D ′FM 是二面D ′—BC —E 的平面角. 在Rt △D ′MF 中，D ′M =21EC =2
2
，MF =21AB =21 ∴,2tan ='=
'∠MF
M
D FM D 即二面角D ′—BC —
E 的正切值为2.
法二：如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过E 垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系.
则B （2，0，0），C （0，2，0），D ′（0，
22，2
2
）
设平面BEC 的法向量为)1,0,0(1=n ；平面D ′BC 的法向量为),,(2222z y x n =
3
3|
|||,cos ),1,1,1(,1022
220
220
),2
2
,22,0(),0,2,2(212
12122222222=
??>=
<∴==?
????=-=+-??????='?=?-='-=n n n n n n n x z y y x C D n BC n C D BC 得取由
? tan ><→
→
21,n n = 2 ∴二面角D ′—BC —E 的正切值为2.
4、解：(1)在Rt △DBE 中，BE=1，DE= 3 ，∴BD=DE 2
－BE 2
= 2 = 12
AB ，∴ 则D 为AB 中点,
而AC=BC ， ∴CD ⊥AB 又∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱, ∴CD ⊥AA 1 又 AA 1∩AB =A 且 AA 1、AB ? 平面A 1ABB 1 故 CD ⊥平面A 1ABB 1 6分 （2）解：∵A 1ABB 1为矩形，∴△A 1AD ，△DBE ，△EB 1A 1都是直角三角形，
F
M D '
E
A
D
C
B z
y
x
D '
E
A
D C B
∴ 111111A EB D BE AD A ABB A D E A S S S S S ????---=
=2×2 2 －12 ×2 ×2－12 ×2 ×1－12 ×2 2 ×1= 3
2 2
∴ V A 1－CDE =V C －A 1DE = 13 ×S A 1DE ×CD= 13 ×
32 2 ×2 =1 ∴ 三棱锥A 1－CDE 的体积为１．
14分
5、解：（1）取AD 的中点O ，连接EO,则EO 是?PAD 的中位线，得EO ∥PA,故EO 面⊥ABCD,
EO 是四棱锥ABCD E -的高，3
1
21213131=???=?=
-EO S V ABCD ABCD E 6分 （2）取PC 的中点G,连EG,FG, 由中位线得EG ∥CD,EG=2
1
CD=AF, ∴ 四边形AFGE 是平行四边形，
AE FG PFC AE ???
?
??
??∴FG //AE PFC 面面∥PFC 面 6分 6、解法一：（1） 11//C B BC ，
∴BC A 1∠就是异面直线B A 1与11C B 所成的角，
即0
160=∠BC A ，……（2分）
连接C A 1，又AC AB =，则C A B A 11=
∴BC A 1?为等边三角形，……………………………4分
由1==AC AB ，0
90=∠BAC 2=
?BC ，
∴121221=?=+?=a a B A ；………6分
（2）取B A 1的中点E ，连接E B 1，过E 作1BC EF ⊥于F ，连接F B 1，
B A E B 11⊥,E B
C A 111⊥⊥?E B 1平面11BC A
⊥?E B 11BC ………………8分 又1BC EF ⊥，所以⊥1BC 平面EF B 1，即11BC F B ⊥，
所以FE B 1∠就是平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的平面角。…………10分
在EF B 1?中，0190=∠EF B ，22
1=
E B ，3
211?=F B , ∴2
3
sin 111=
=
∠F B E B FE B 0160=∠?FE B ，…………………………13分 因此平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小为060。…………14分 说明：取11C B 的中点D ，连接D A 1，…………同样给分（也给10分）
解法二：（1）建立如图坐标系，于是)0,0,1(B ，)1,0,1(1B ，)1,1,0(1C ，),0,0(1a A （0>a ）
)0,1,1(11-=→-C B ，),0,1(1a B A -=→-，∴ 1111-=?→
-→-B A C B …………3分
由于异面直线B A 1与11C B 所成的角0
60，
所以→
-11C B 与→
-B A 1的夹角为0
120 即1120cos ||||0
111-=?→
-→
-B A C B
11)2
1
(122=?-=-+??a a ………6分
A B
C
A 1
B 1
C 1
F
E A 1
B
C
B 1
C 1
y
z
（2）设向量),,(z y x n =→
且⊥→
n 平面11BC A
于是→
--→
⊥B A n 1且→
--→
⊥11C A n ，即01=?→
--→B A n 且011=?→
--→
C A n ，
又)1,0,1(1-=→
-B A ，)0,1,0(11=→
-C A ，所以???==-0
y z x ，不妨设)1,0,1(=→n ……8分
同理得)0,1,1(=→m ，使⊥→
m 平面11C BB ，（10分） 设→
m 与→
n 的夹角为θ，所以依θcos ||||??=?→
→→→n m n m ，
0602
1
cos 1cos 22=?=
?=???θθθ，………………12分 ⊥→
m 平面11C BB ，⊥→
n 平面11BC A ，
因此平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小为060。…………14分
说明：或者取BC 的中点M ，连接AM ，于是)0,2
1
,21(=→
-AM 显然⊥→-AM 平面11C BB
7、解:(Ⅰ) 证明:方法一)连AC,BD 交于O 点,连GO,FO,EO. ∵E,F 分别为PC,PD 的中点,//
=∴EF CD 21,同理CD GO 2
1//=,GO EF //=∴ ∴四边形EFOG 是平行四边形,?∴EO 平面EFOG . ……3分
又在三角形PAC 中,E,O 分别为PC,AC 的中点,∴PA//EO ……4分
?EO 平面EFOG ,PA ?平面EFOG, ……5分 ∴PA//平面EFOG ,即PA//平面EFG . ……6分
方法二) 连AC,BD 交于O 点,连GO,FO,EO. ∵E,F 分别为PC,PD 的中点,//=∴EF CD 21,同理PB GE 2
1//= 又AB CD //
=,//
=
∴EF AB 2
1
∴=?=?,,B AB PB E EF EG 平面EFG//平面PAB, ……4分
又PA ?平面PAB,//PA ∴平面EFG . ……6分 方法三)如图以D 为原点,以DP DC DA ,, 为方向向量建立空间直角坐标系xyz D -. 则有关点及向量的坐标为:
()()()()()().
00,2,1,0,0,1,1,0,0,2,1,0,2,0,2,0,0A F E G C P
()()()1,1,1,0,1,0,2,0,2-=-=-=EG EF AP ……2分
设平面EFG 的法向量为()z y x n ,,=
.00000???==??
??=-+=-??????=?=?∴y z x z y x y EG n EF n 取()1,0,1=n .……4分
∵()AP n AP n ⊥∴=?+?+-?=?,0210021,……5分 又?AP 平面EFG .∴ AP//平面EFG . ……6分
(Ⅱ)由已知底面ABCD 是正方形∴DC AD ⊥,又∵⊥PD 面ABCD
PD AD ⊥∴又D CD PD =?
⊥∴AD 平面PCD,∴向量DA 是平面PCD 的一个法向量,DA =()0,0,2……8分
又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG 的法向量为()1,0,1=n ……9分
.2
2
2
22,cos =
=
??=
∴n
DA n DA n DA ……10分 结合图知二面角D EF G --的平面角为.450
……11分
(Ⅲ)PD S V V ABD DAB P PAB D ?=
=?--3
1
……13分 .3
4
2222131=????=
……14分 8、解法一： （I ）取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，又由F 为PD 中点，
则 F G //
CD 2
1
. …2分 又由已知有.//,2
1
//AE FG CD AE ∴ ∴四边形AEGF 是平行四边形. .//EG AF ∴ …4分
AF 又 平面PCE ，EG .PCE 平面?PCE AF 平面//∴…………5分
（II ）,ABCD PA 平面⊥
,
//.,.,,3.
..AF EG PCD AF D CD PD PD AF PD F AD PA CD
AF PAD CD AD CD ABCD ABCD PAD 由平面的中点是又平面是矩形有由平面平面⊥∴=⊥∴==⊥∴⊥∴⊥⊥∴
= =
.
,,
,.
的距离到平面的长就是点则平面由于平面于作过内平面平面PCE F FH PC PCE PCD H PC FH F PCD PCD EG =⊥∴⊥∴
…………3分
.
24
3
21.
30,.62,22
3
,23==∴=∠∴⊥==
=PF FH CPD PAD CD PC PF D P
平面由于由已知可得
24
3
的距离为
到平面点PCE F ∴. …………5分
（III ）由（II ）知.所成的角
与平面为直线PCE FC FCH ∠
14
21
sin .2
42
,22
3
,6,22==
∴=+=∴=
=?FC FH FCH FD CD FC FD CD CDF Rt 中在
∴直线FC 与平面PCE 所成角的正弦值为
14
21. …………4分
解法二：如图建立空间直角坐标系xyz A -
A （0，0，0），P （0，0，3），D （0，3，0），E （
2
6
，0，0），F （0，23，23），
C （6，3，0）
………2分
（I ）取PC 的中点G ，连结EG ， 则G ).2
3
,23,26(
,
,.//.//),
2
3
,23,0(),23,23,0(PCE EG PCE AF
EG AF EG AF EG AF 平面平面又即?∴==
.//PCE AF 平面∴…………5分
（II ）设平面PCE 的法向量为).0,3,2
6(),3,0,26(),,,(=-
==EC EP z y x n
).
1,1,6(,1.032
6,0326
.
0,
0-=-=??????
?=+=+-?????=?=?n y y x z x EC n EP n 得取即 ………3分
的距离为
到平面故点又PCE F PF ),
2
3
,23,0(-= .4232
2|
2323||
|=--=
?=
n n PF d
…………5分
（III ）),2
3
,23,
6(-=FC .14
21
2
22213|
||||||,cos |=
?=
??=
>14
21. …………4分
9、解：（1）不论点P 在1AD 上的任何位置，都有平面11B PA 垂直于平面11AA D .---1分
证明如下：由题意知，1111B A A D ⊥，111B A A A ⊥ 又
1111AA A D A = 11B A ∴⊥平面11AA D
又11A B ?平面11B PA ∴平面11
B PA ⊥平面11AA D ．------------------4分 （2）解法一：过点P 作11PE A D ⊥，垂足为E ，连结1B E （如图），则1PE AA ∥，
E
P
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C B
A
z
y
x
P
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C B
A
1B PE ∴∠是异面直线1AA 与1B P 所成的角．----------------------6分
在11Rt AA D △中 ∵1160AD A ∠= ∴1130A AD ∠= ∴11111122A B A D AD ===, 1111
12
A E A D ==， 2211115
B E B A A E ∴=+=．
又11
32
PE AA =
=． ∴在1Rt B PE △中，15322B P =+=
1136
cos 4
22PE B PE B P ∠=
==
．----------8分 ∴异面异面直线1AA 与1B P 所成角的余弦值为
6
4
．----------------9分 解法二：以1A 为原点，11A B 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示，则1(000)A ，，，(0023)A ，，，1(200)B ，
，，(013)P ，，，1(0023)A A ∴=，，， 1(213)B P =-，，-----6分
∴111111cos ||||A A B P A A B P A A B P ?<>=
?，66
42322
==?． ∴异面异面直线1AA 与1B P 所成角的余弦值为
6
4
．-----9分 （3）由（1）知，11B A ⊥平面11AA D ，
11B PA ∴∠是1PB 与平面11AA D 所成的角，---------------------------10分
且1111112
tan B A B PA A P A P
∠=
=
．------------------------------------11分
(人教版初中数学)锐角三角函数
锐角三角函数 一．〖基础训练〗 1、在△ABC 中,∠C ＝90°,则sinA= ,cosA= tanA= cotA= . 2、根据直角三角形的 元素（至少有一个边）,求出 其它所有元素的过程,即解直角三角形 3．Rt △ABC 中,若sinA ＝45 ,AB ＝10,那么BC ＝ ,tanB ＝ 4．写出适合条件的锐角α Sin600= , tan300= ,cos α＝32 ,α= , 5、在△ABC 中,∠C ＝90°,AC=6,BC=8,那么sinA= 6、sin300+tan450= . 7、若sin α=cos70°,则角α等于 A ．70°； B ．60°； C ．45°； D ．20°． 8、（讲解）若∠A 为锐角,且cosA ≤ 12 ,那么（ ） A 、00≤A ≤600 B 、600≤A ≤900 C 、00≤A ≤300 D 、300≤A ≤90 0 二．〖中考在线〗（讲解） 1、（2004年中考题）．在△ABC 中,∠C ＝90°,sinA ＝35 ,则cosA 的值是（ ） （A ） 35 （B ）45 （C ）925 （D ）1625 2、如图,(2003年第21题)在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,tanB=cos ∠DAC. (1)求证：AC=BD （2）若sinC=1213 ,BC=12,求AD 的长. 三．〖考点训练〗 1．Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝6,AC ＝2,则sinA ＝（ ） （A ） 13 （B ）23 （C ）23 2 （D ）23 2．已知∠A ＋∠B ＝90°,则下列各式中正确的是（ ） A B C D
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3
人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编附答案
人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编附答案 一、选择题 1．如图，ABC ?是一张顶角是120?的三角形纸片，,6AB AC BC ==现将ABC ?折叠， 使点B 与点A 重合，折痕DE ，则DE 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质求出BH ，根据翻折变换的性质求出BD ，根据正切的定义解答即可． 【详解】 解：作AH ⊥BC 于H ， ∵AB=AC ，AH ⊥BC ， BH= 1 2 BC=3， ∵∠BAC=120°，AB=AC ， ∴∠B=30°， ∴AB= 30BH cos ? 3 由翻折变换的性质可知，3 ∴DE=BD ?tan30°=1， 故选：A ． 【点睛】 此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 2．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且1 2 MN BC = ，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交
AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ?的面积减去CNE ?的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 设a ＝1 2BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD ?S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝ 1 2 BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC?MN?BM ＝2a?a?x ＝a?x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN?tanC ＝（a?x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD ?S △CNE ＝ 1 2 （BM·DM?CN·EN ）＝()()2 21tan tan 22 2x a x a tan x a ααα????-?=? ? --， ∵ 2 a tan α ?为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识
三角函数题型总结-教师版
三角函数题型总结-教师版
111111 cos sin sin 2224 S x y = =?=ααα， …… …………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343 S x y πππ = =-+?+=-+ααα． … …………9分 依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα， 整 理得 cos20 =α． ………………11分 因为 62 ππ<<α， 所以 23π <<πα， 所 以 22 π= α， 即 4 π = α． …… …………13分 2、三角形中求值 〖例〗（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b 6,∠B =2∠A . (I)求cosA 的值; (II)求c 的值. 【答案】 解:(I)因为a =3,b =2 ,∠B =2∠A . 所以在△ABC
中,由正弦定理得3sin sin 2A A =.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3 A =. (II)由(I)知 cos A = ,所以 sin A == .又因为 ∠B=2∠A,所以2 1cos 2cos 13 B A =-= .所以2sin 1cos B B = -= . 在△ABC 中,53sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以sin 5sin a C c A ==. 【举一反三】 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 设ABC ?的内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B (II)若31 sin sin 4 A C = ,求C . 【答案】 ③三角不等式
苏教版数学中考总复习[中考总复习：锐角三角函数综合复习--重点题型巩固练习](提高)
苏教版中考数学总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝3 5,则tan A 等于 ( ) A ．3 5 B ．45 C ．34 D ．43 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA= a b ．则下列关系式中不成立的是（ ） A ．tanA?cotA=1 B ．sinA=tanA?cosA C ．cosA=cot A?sinA D ．tan 2A+cot 2 A=1 第2题 第3题 3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ） A ． 34 B ．43 C ．35 D ．45 4．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( ) A ． 247 B ．3 C ．724 D ．1 3 5．如图所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y x ，则cos α等于 ( ) A ． 1 2 B C D
6．（2015?南充）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（） A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里 二、填空题 7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0．则θ＝． 8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 . 9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= . 第8题第9题第11题 10．当0°＜α＜90的值为． 11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=．12．（2015?牡丹江）在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 . 三、解答题 13．（2015?泰州）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上． （1）求斜坡AB的水平宽度BC； （2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m 时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）
锐角三角函数的图文解析
锐角三角函数的图文解析 一、选择题 1．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE ⊥BC 于点E ，连接OE ，∠DOE ＝120°，DE ＝1，则BD ＝（ ） A ．3 B ．23 C ．63 D ．33 【答案】B 【解析】 【分析】 证明△OBE 是等边三角形，然后解直角三角形即可． 【详解】 ∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB ，CD =BC ． ∵DE ⊥BC ，∴∠DEB =90°，∴OE =OD =OB ． ∵∠DOE =120°，∴∠BOE =60°，∴△OBE 是等边三角形，∴∠DBC =60°． ∵∠DEB =90°，∴BD = 23sin603 DE =?． 故选B ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】
在Rt△BDE中，cosD=DE BD ， ∴DE=BD?cosD=500cos55°． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=3 5 ,则下列结论正确的个数有（） ①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm2; ④BD=210cm． A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C 【解析】 【分析】 根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案 【详解】 ∵菱形ABCD的周长为20cm ∴AD=5cm ∵sinA=3 5 ∴DE=3cm（①正确） ∴AE=4cm ∵AB=5cm ∴BE=5﹣4=1cm（②正确） ∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确） ∵DE=3cm,BE=1cm ∴10（④不正确） 所以正确的有三个． 故选C． 【点睛】 本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键 4．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）
人教版初中数学锐角三角函数的单元检测附答案
人教版初中数学锐角三角函数的单元检测附答案一、选择题 1．如图，在扇形OAB中，120 AOB ∠=?，点P是弧 AB上的一个动点（不与点A、B重 合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33 CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π 【答案】A 【解析】 【分析】 如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题． 【详解】 解：如图作OH⊥AB于H． ∵C、D分别是弦AP、BP的中点． ∴CD是△APB的中位线， ∴AB＝2CD＝63 ∵OH⊥AB， ∴BH＝AH＝33 ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠AOH＝∠BOH＝60°， 在Rt△AOH中，sin∠AOH＝ AH AO ， ∴AO＝ 33 6 sin3 AH AOH == ∠， ∴扇形AOB的面积为： 2 1206 12 360 π π = g g ，
故选：A． 【点睛】 本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（） A．πB．2πC．3πD．(31)π + 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积． 【详解】 解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形． ∴正三角形的边长 3 2 ==． ∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π ∴侧面积为1 222 2 ππ ??=，∵底面积为2r ππ =， ∴全面积是3π． 故选：C． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 3．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（）
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数．证明： （1）在区间 存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ???时,单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ??? , 可得在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,. 所以在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当时, ,故()f x 在单调递减,又,从而是()f x 在的唯 一零点. ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2 π-()f x ()g'x ()g'x α()0g'x <()g x ()g x (1,)-+∞(1,0)x ∈-()0f 'x <(1,0)-(0)=0f 0x =(1,0]-
（ii ）当0,2x π?? ∈ ??? 时,由（1）知,在单调递增,在单调递减,而 ,02f π??'< ???,所以存在,2πβα?? ∈ ???,使得,且当时, ；当,2x πβ??∈ ???时,.故在单调递增,在,2πβ?? ???单调递 减.又,1ln 1022f ππ???? =-+> ? ???? ?,所以当时,. 从而()f x 在0,2π?? ??? 没有零点. （iii ）当,2x ππ??∈ ???时,()0f x '<,所以()f x 在,2ππ?? ???单调递减.而 ()0,02f f ππ??>< ??? ,所以()f x 在,2ππ?? ??? 有唯一零点. （iv ）当时,()l n 11x +>,所以<0,从而()f x 在没有零点. 综上, ()f x 有且仅有2个零点. 【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2 f x ax x a R =-∈且 在,0,2π?? ????上的最大值为32π-， （1）求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明 【解析】(1)由已知得()(sin cos )f x a x x x =+对于任意的x∈(0, 2 π)， 有sin cos 0x x x +>,当a=0时,f(x)=? 3 2 ，不合题意； 当a<0时,x∈(0, 2π),f′(x)<0,从而f(x)在(0, 2 π )单调递减， 又函数3 ()sin 2f x ax x =- (a∈R)在[0, 2 π]上图象是连续不断的， 故函数在[0, 2 π ]上的最大值为f(0)，不合题意； ()f 'x (0,)α,2απ?? ???(0)=0f '()0f 'β=(0,)x β∈()0f 'x >()0f 'x <()f x (0,)β(0)=0f 0,2x ?π?∈ ???()0f x >(,)x ∈π+∞()f x (,)π+∞
人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析
人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为( ) A ．60海里 B ．45海里 C ．3 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP 的长，求出答案． 【详解】 解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°， 故AB=2AP=60（海里）， 则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为：22303AB AP -= 故选：D ． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． 2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解． 【详解】 利用垂径定理可知：32 2 AE = ．
sin∠AOD= 3 2 ，∴∠AOD=60°； sin∠AOE= 2 2 ，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°． 当两弦共弧的时候就是15°． 故选：C． 【点睛】 此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形. 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，3， 所以BD=BA=2x，即可得33）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC= (32) 32 CD x AC + ==， 故选A. 4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE ∠的值是（）
苏教版：锐角三角函数 经典基础题型归类复习
同学个性化教学设计 年 级： 教 师: 科 目： 班 主 任： 日 期: 时 段: 教学内容 锐角三角函数 经典基础题型归类复习 教学目标 重难点透视 薄弱点分析 考点分析 教学过程 反馈、反思 知识考点： 本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用sin a 、cos a 、tan a 、cot a 准确表示出直角三角形中两边的比（a 为锐角），考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。 精典例题： 【例1】在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长； （2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。 变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 【例2】计算：020045sin 30cot 60sin +? 注意：熟记00、300、450、600、900角的三角函数值，并能熟练进行运算。 【例3】已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，2 5tan =B ，那么cosA （ ） A 、 25 B 、35 C 、5 52 D 、32 变式：已知α为锐角，且5 4cos = α，则ααcot sin +＝ 。
【例4】已知3cot tan =+αα，α为锐角，则αα22cot tan +＝ 。 变式：【问题】已知009030<<<βα，则αβαβcos 12 3cos )cos (cos 2-+---＝ 。 变式：若太阳光线与地面成α角，300＜α＜450，一棵树的影子长为10米，则树高h 的范围是（ ）（取7.13=） A 、3＜h ＜5 B 、5＜h ＜10 C 、10＜h ＜15 D 、h ＞15 【例5】某市正在进行商业街改造, 商业街起点在古民居P 的南偏西６０度方向上的A 处, 现已改造至古民居P 的南偏西３０度方向上的B 处，A 与B 相距１５０米, 且B 在A 的正东方向 ．为了不破坏古民居的风貌，按有关规定，在古民居的周围１００ 米内不得修建现代化商业街，若工程队继续向正东方向修建２００米商业街到C 处, 则 对于从B 到 C 的商业街改造是否违反有关规定? 专项训练： 一、选择题： 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若4 3tan = A ，则sinA ＝（ ） A 、34 B 、43 C 、35 D 、53 2、已知cos α＜0.5，那么锐角α的取值范围是（ ） A 、600＜α＜900 B 、00＜α＜600 C 、300＜α＜900 D 、00＜α＜300 3、若1)10tan(30=+α，则锐角α的度数是（ ） A 、200 B 、300 C 、400 D 、500 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，下列式子不一定成立的是（ ） A 、cosA ＝cos B B 、cosA ＝sinB C 、cotA ＝tanB D 、2cos 2sin B A C += 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，3 1tan =A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 6、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米，则他上升的最大高度为（ ） A 、βsin 100米 B 、βsin 100米 C 、β cos 100米 D 、βcos 100米 7、计算0030cot 3 360cos +的值是（ ）
三角函数概念x教师版
角的概念、定义 一、知识清单 1. 终边相同的角 ①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ; ②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈?=,180|οββ; ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180|οοββ; ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90|οββ. 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制. 3.弧度制下的公式 扇形弧长公式r =l α，扇形面积公式211 ||22 S R R α==l ，其中α为弧所对圆心 角的弧度数。 4.三角函数定义: 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y ==+， 则sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=。 注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即 2 k π αα±→或902k αα±→o 之间函数值关系()k Z ∈，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如sin(270)α-=o cos α- ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系. ⑶重视用定义解题.
人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习
人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习 一、选择题 1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( ) A ．asinα+asinβ B ．acosα+acosβ C ．atanα+atanβ D ．tan tan a a αβ + 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可． 【详解】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝ BC AB ，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ， ∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ， 故选C ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键． 2．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43 【答案】C 【解析】
试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4. ∵∠A=1 2 ∠BOC，∴∠A=∠BOD. ∴tanA=tan∠BOD= 4 3 BD OD . 故选D． 考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义． 3．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图： （1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） A．∠ABD＝90°B．CA＝CB＝CD C．sinA＝ 3 2 D．cosD＝ 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论． 【详解】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确； ∴点B在以AD为直径的圆上， ∴∠ABD＝90°，故A正确； ∴点C是△ABD的外心，
人教版 高中数学必修4 三角函数知识点
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+=
苏教版初三数学《锐角三角函数》7.2 正弦余弦
7.2正弦余弦（1） 1．在Rt△ABC中,∠C＝90°, AC＝7．AB＝25．则sinA＝_____ cosB＝_______tanB＝_______．2．在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝3,sinA＝0．6,则AC＝______AB＝________ tanB＝__________． 3．在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝2,cosA＝0．8,则BC＝______ cos B＝______ tanA＝_____．4．在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，sinA的值（）A．扩大100倍B．缩小100倍C．不变D．不能确定 5．已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A＝∠B，则sinA sinB； (2)若∠A<∠B，则sinA sinB；cosA cosB；tanA tanB 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，cos A＝12 13 ，求：AB、sinB 7．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝20，sinA＝4 5 , 求△ABC的周长． 8.在Rt△ABC中,∠C＝90°, cosA＝3 5 ，BC＝12,求斜边AB上的中线CD长. A B A B C
答案 1.24247 ,, 252525 2. 4,5,4 3 3. 1.5,3 5 , 3 4 4.C 5.＝,<,>,< 6.AB＝26,sinB＝12 13 7.60 8.15 2 7.2正弦余弦（2）
1．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝m ，40B ∠=，则BC 的长是（ ） A ．sin 40m B ．cos 40m C ．tan 40m D ． tan 40 m 2．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么 AB 等于（ ） A ．a ·sin α B ．a ·tan α C ．a ·cos α D ．αtan a 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠A 、∠B 的对边分别是a 、b ，且满足022 =--b ab a ，则tanA 等于 （ ） 151515 1222 A B C D -+±?? ?? 4．以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆.若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为 ( ) A ．(cos α,1) B ．(1,sin α) C ．(si n α,cos α) D ．(cos α,sin α) 5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC ＝ 5 3 ，则BC 的长是 ( ) A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 二、填空题（每题5分，共25分） 6．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，SinB ＝ 27 则cosB ． 7．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危 险，那么梯子的长至少为_________米． 8．在Rt △ABC 中， ∠C ＝90?，AB ＝4，AC ＝1，则cos A 的值是_______． 9．已知α是锐角，s in α＝ a+2，则a 的取值范围是 10．一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为________． A B C a α B N A C D M
人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案
人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案 一、选择题 1．如图，在矩形ABCD 中，4,AB DE AC =⊥，垂足为E ，设ADE α∠=，且 3 cos 5 α= ，则AC 的长为（ ） A ．3 B ． 163 C ． 203 D ． 165 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD ，然后求出AC ． 【详解】 解：∵DE ⊥AC ， ∴∠ADE+∠CAD=90°， ∵∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠ACD=∠ADE=α， ∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ， ∴∠BAC=∠ACD ， ∵cos α=3 5，35 AB AC ∴ =， ∴AC= 520433?=． 故选：C ． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC 是解题的关键． 2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A 、B 、C 都是格点，则tan ABC ∠=（ ）
A ． 39 B ． 36 C ． 33 D ． 32 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用 EC tan ABC BE ∠= 得出答案． 【详解】 解:连接DC ，交AB 于点E ． 由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF, 设EC=x,则EF= x =3x tan 30? , ∴BF AF 2EF 23x === EC 3 tan ABC BE 23x 3x 33= === +∠, 故选:A 【点睛】 此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键． 3．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点 B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ， C ，E 成一直线，那么开挖 点E 离点D 的距离是（ ）
人教版数学必修四三角函数复习讲义
第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），
它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα
【苏教版】中考数学专题测试：15-锐角三角函数及应用(含)资料
专题15 锐角三角函数及应用 学校：___________姓名：___________班级：___________ 1.【江苏省无锡市2015年中考数学试题】tan45o的值为( ) A ．12 B ．1 C ．22 D ． 2 【答案】B. 【解析】根据特殊角的三角函数值可得tan45o=1，故选B. 【考点定位】特殊角的三角函数值. 2.【江苏省南通市海安县2015届九年级上学期期末考试数学试题】如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB 的值是（ ） A ． 12 B ．2 C ．5 D ．5 【答案】C ． 【考点定位】锐角三角函数的定义． 3.【江苏省扬州市2015年中考数学试题】如图，若锐角△ABC 内接于⊙O ,点D 在⊙O 外（与点C 在AB 同侧）， 则下列三个结论：①D C ∠>∠sin sin ；②D C ∠>∠cos cos ；③D C ∠>∠tan tan 中，正确的结论为( ) A 、①② B 、②③ C 、①②③ D 、①③ 【答案】D
【考点定位】锐角三角函数，圆周角定理. 4.【江苏省南通市海安县2015届九年级上学期期末考试数学试题】苏中七战七捷纪念馆位于江苏海安县城中心，馆内纪念碑碑身造型似一把刺刀矗立在广袤的苏中大地上，堪称世界之最，被誉为“天下第一刺刀”．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测纪念碑碑身的高度AB，小明在D处用高1.5m测角仪CD，测得纪念碑碑身顶端A的仰角为30°，然后向纪念碑碑身前进20m到达E处，又测得纪念碑碑身顶端A的仰角为45°，已知纪念碑碑身下面的底座高度BH为1.8m．则纪念碑碑身的高度AB为（）m（结果 ≈ 1.732 1.414 ≈） ≈ 2.236 A．27 B．16 C．37 D．15 【答案】A ．
三角函数(课时一)教师版
1 .1 图 7.3图7 .2图7三角函数及其有关概念 [知识清单] 一、角的概念 1. 角 角是以一点为公共端点的两条射线组成的图形.公共端点叫做角的顶点, 两条射线叫做 角的边。 2.正角、负角、零角 正角与负角是由旋转的方向决定的，我们把按逆时针方向旋转所形成的角 叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角形成一个数值为0的角，我们把这个角叫做零角。 3．终边相同的角 具有相同的终边的角叫做终边相同的角，如图7.1中的边相同的角。 ①终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； ②终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍，如： α与360()k k Z α+∈ ，β与360()k k Z β+∈ ，β与360()k k α+∈ Z 都是终边相同的角。 例 设176π α=- ，则与α终边相同的最小正角是多少？ 解 1717777236066666 πππππα=-=--+=-?+ 所以，与176 πα=-终边相同的最小正角是76π 。 例 设203π α=，则与α终边相同的绝对值最小的负角是多少？ 解 2020444 436033333 πππππα==+-=?- 所以，所求之角是43 π-。 4. 象限角 在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，如αβ与个象限,我们称其为界限角。 例 900- 是第几象限的角？ 解 9002360-=-? ， 所以900- 是第二象限的角。 例：-572。是（ ）象限的角。 5、角的度量 1）. 角度制 当射线绕端点逆时针方向旋转使终边与始边第一次重 合时所形成的角叫做周角，规定1周角为360o。1周角的1 360 为1度， 2）. 弧度制 等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角。用弧 度作单位来测量角的制度叫做弧度制。1弧度也记为1rad
