函数和方程、数形结合
高中数学思想—函数和方程、数形结合
知识点：函数与方程，数形结合的数学思想
考点：几种常见题型：构造函数，不等式，最值问题，位置关系
能力：变量间关系的理解和分析；数学语言与直观的图像结合
方法：启发式
教学重难点：变量间关系的理解和分析
第一讲函数与方程思想
1．函数的思想
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系
函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数与方程思想解决的相关问题
（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；
②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
（2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： ①解方程或解不等式；
②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；
③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系； ④构造方程或不等式求解问题。
5.导数函数在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
1、曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为
000()()()y f x x x f x '=-+。
2、若可导函数()y f x =在 0x x =
处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。
3、对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。
4、函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不恒为0）.
5、函数()f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。（若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）
。 6、 ()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或
()f x '0≤在I 上恒成立
7、若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则
max ()f x 0<
8、若0x I ?
∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则
min ()f x 0<.
9、设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ?
∈D ()()f x g x >恒成立，则有
[]min ()()0f x g x ->.
10、若对11x I ?∈、22x I ∈ ，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?
∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <.
11、已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ，
若对11x I ?
∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。
12、若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大
于0，极小值小于0.
题型一（运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题） 例1、若a 、b 是正数，且满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围。
变式：已知1F ，2F 分别为22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支
A. 上任一点，若 2
1
2
PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A .(1,2]
B (1,3]
C [2,3]
D [3,)+∞ 题型二（运用函数与方程思想解决方程问题） 例2、已知函数2
11
()2cos cos
cos 2,222
x f x x x =+-2()cos (1cos )cos 3.g x x a x =++--
若()y f x =与()y g x =的图象在(0,)π内至少有一个公共点，试求a 的取值范围。 变式：设函数∈-=-m x e x f m
x 其中,)(R .
（I ）求函数)(x f 的最值；
（Ⅱ）证明:当1>m 时，函数)(x f 在区间)2,(m m 内是否存在零点.
题型三：（运用函数与方程思想解决不等式问题） 例3、已知
且
那么（ ）
变式：设不等式对满足m ∈[-2，2]的一切实数m 都成立，求x 的取
值范围．
题型四（运用函数与方程思想解决最优化问题）
例4、图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为3,设AB =2x ,BC =y .
（Ⅰ）写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； （Ⅱ）求当x 取何值时，凹槽的强度最大.
变式：一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度
d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.
（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？ （2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
例5、已知函数x
a
x x f -
=ln )(,x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中∈a R . （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数4)
(2+-=mx x x h , 当2=a 时，若)1,0(1∈?x ，]2,1[2∈?x ，总有
)()(21x h x g ≥成立，求实数m 的取值范围．
变式：已知关于x 的函数f(x)＝33
1
x ＋bx 2＋cx ＋bc,其导函数为f +(x)。. 令g(x)＝
()
f x ',记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x ＝1处有极值-
3
4
，试确定b 、c 的值： （Ⅱ）若∣b ∣>1,证明对任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M ≧K 对任意的b 、c 恒成立，试求k 的最大值。 模拟训练1：
1.已知正数x,y 满足xy=x+9y+7，则xy 的最小值为( ) (A)32 (B)43 (C)49 (D)60 2．方程有解，则m 的最大值为（ ） (A)1
(B)0
(C)-1
(D)-2
3.一个高为h 0，满缸水量为V 0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为h 时，鱼缸内剩余水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象可能是（ ）
a
d
l
4.对任意a∈［-1,1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是( )
(A)1
5.若正实数a,b满足a b=b a，且a<1,则有( )
(A)a>b (B)a
6．已知圆上任意一点P(x,y)都使不等式恒成立，则m的取值范围是（）
7.国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值v（美元）与其重量ω（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54 000美元.
（1）写出v关于ω的函数关系式；
（2）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；
（3）试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1∶1切割，价值损失的百分率最大.
第二讲数形结合思想
题型一：（利用数学概念或数学式的几何意义解题）
例1、实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：
（1）点（a,b）对应的区域的面积；
（2）的取值范围；
（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．
总结：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来
解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：
（1）连线的斜率；
（2）之间的距离；
（3）为直角三角形的三边；
（4）
图象的对称轴为x=
．只要具有一定的观
察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法． 题型二：（用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题）
例2、已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x ∈[-1,1]时，f(x)=x 2
,则方程f(x)=lgx 解的个数是（ ）
(A)5 (B)7 (C)9 (D)10
变式：设有函数f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x ∈[-4,0]时，恒有f(x)
≤g(x)，求实数a 的范围．
题型三：（数形结合在解析几何中的应用） 例3、已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点(0,2)F ，且长轴长与短轴长的比是2:1．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值； （Ⅲ）求PAB ?面积的最大值．
题型四：（数形结合在立体几何中的应用）
例4、如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=?,//CD AB ,4,2AB AD CD ===, M 为线段AB 的中点.将ADC ?沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.
(Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ； (Ⅱ) 求二面角A CD M --的余弦值.
变式：已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）。 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 模拟训练2：
1.方程lgx=sinx 的根的个数( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2．已知全集U=R ，集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},则右图中阴影部分表示的集合为( )
A ．(3,5)
B ．(-2,+∞)
C ．(-2,5)
D ．(5,+ ∞)
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A={(x,y)|x+y ≤1,且x ≥0,y ≥0}，则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为（ ） (A)2 (B)1 (C)
12 (D) 1
4
4．函数3
2
()f x x bx cx d =+++图象如图，则函数 2
233
c
y x bx =+
+的单调递增区间为（ ）
A ．]2,(--∞
B ．),3[+∞
C ．]3,2[-
D ．),2
1[+∞
5．不等式组2142x a x a
?->?
-
A ．(1,3)-
B ．(,1)(3,)-∞-+∞
C ．(3,1)-
D ．(,3)
(1,)-∞-+∞
－2
3
y x
6.设A={(x,y)|x 2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m ≥0}，则使A B 成立的实数m 的取值范围
是______.
第一讲：函数与方程参考答案：
例1解思路精析：用a 表示b →根据b ＞0，求a 的范围→把ab 看作a 的函数→求此函数的值域。
解析：方法一：（看成函数的值域）
即a ＞1或a ＜-3.又a ＞0,∴a ＞1,故a-1＞0。
当且仅当a-1=41a -，即a=3时取等号.又a ＞3时, a-1+4
1
a -+5是关于a 的单调增函数,
∴ab 的取值范围是[9,+∞).
方法二(看成不等式的解集)∵a,b 为正数, ∴a+b ≥2ab ,又ab= a+b+3, ∴ab ≥2ab +3.
即
解得
方法三:若设ab=t,则a+b=t-3, ∴a,b 可看成方程
的两个正根.
从而有,即解得t ≥9,即ab ≥9.
变式：解略
例2解思路精析：化简()f x 的解析式→令()f x =()g x →分离a →求函数的值域→确定a 的
范围
解析：2
221111()2cos cos cos 2cos (cos 1)(2cos 1)222222cos cos 1.
x f x x x x x x x x =+-=++--
=+-
()y f x =与()y g x =的图象在(0,)π内至少有一个公共点，即()
()y f x y g x =??
=?
有解，即令()f x =()g x ，
当且仅当
，即cosx=0时“=”成立。
∴当a ≥2时，()y f x =与()y g x =所组成的方程组在(0,)π内有解，即()y f x =与
()y g x =的图象至少有一个公共点。
变式2解（I ）,1)(,),()(-='+∞-∞-m
x e x f x f 上连续在
令.,0)(m x x f =='得
……………………2分
;
1)()(.
)(,,.0)(,1,),(;
0)(,1,),(min m m f x f x f m x x f e m x x f e m x m x m x -==∴=>'>+∞∈<'<-∞∈--取极小值也是最小值时当所以时当时当
由①知f （x ）无最大值.
……………………6分
（Ⅱ）函数f （x ）在[m ，2m]上连续.
,
02)(,1,2)(,
2)(,
2)2(>->'∴>-='-=-=e m g m e m g m e m g m e m f m m
m 则令而
),1()(+∞∴在m g 上递增.
……………………8分
由,0)2(,0)1()(02)1(>>>>-=m f g m g e g 即得
……………………10分
①
又,0)2()(,01)(
根据定理，可判断函数f （x ）在区间（m ，2m ）上存在零点.
………………12分
例3解：先把它变成等价形式再构造辅助函数利用
函数单调性比较．选B ．设
因为
均为R 上的增函数，所以
是R 上的增函数．又由
，即
，即x+y ＞0．
变式3解：此问题常因为思维定势，易把它看成关于x 的不等式讨论，若变换一个角度，以m 为变量，使f(m)=
，则问题转化为求一次函数（或常函数）f(m)
的值在[-2，2]内恒负时，参数x 应满足的条件． 解：设f(m)=
，则不等式2x-1＞m
恒成立
恒
成立．∴在时，
即 解得，∴
故x 的取值范围是．
例4解析：（Ⅰ）易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为x π.所以 422x y x π=++， 得4(2)2x y π-+=
-------4分 依题意知：0x y << 得4
04x π
<<+ 所以，4(2)2x y π-+=
（4
04x π
<<+）.--------------------6分 （Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为T ，横截面的面积为S ，则有 2
33(2)2
x T S xy π==-
---------------8分 2
4(2)3(2)
22
x x x ππ-+=?-2
33[4(2)]2
x x π=-+
23(43)483
()24343x πππ
+=-
-+++.
---11分
因为440434ππ<
<
++,所以，当4
43x π=+时，凹槽的强度最大. 答: 当4
43x π
=
+时，凹槽的强度最大. --------------13分 变式4解:（1）安全负荷k l ad k y (221?=为正常数） 翻转22
2,90l
da k y ?=?后
2121,0,y y a d a
d
y y <<<∴=时当
，安全负荷变大.…4分当 12,0y y d a <<<时，安全负荷变小.
（2）如图，设截取的宽为a ，高为d ，则22222244,)2
(R d a R d a =+=+即. ∵枕木长度不变，∴u =ad 2
最大时，安全负荷最大.
)
(24422422222d R d d R d a d u -=-==
3
222222223)(224)(224??
?
??
?
??????-++≤-??d R d d d R d d
3934R =，当且仅当2222d R d -=，即取R d 36
=，
取R d R a 3
32222=-=时，u 最大， 即安全负荷最大.
例5、【解题指导】（1）第1问，一般利用导数来求函数的单调性，注意分类讨论；（2）第2问，一般转化为一个恒成立问题解决，最好利用分离参数法解答；（3）第3问实际上就是最值问题，等价于“)(x g 在)1,0(上的最大值不小于)(x h 在]2,1[上的最大值”，所以先分别求出两个函数的最大值即可。
【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞，且2)('x
a
x x f +=
， --------1分 ①当0≥a 时，0)('>x f ，)(x f 在),0(+∞上单调递增； ----2分 ②当0x f ，得a x ->；由0)(' 故)(x f 在),0(a -上单调递减，在),(+∞-a 上单调递增. ----4分 （Ⅱ）x x a ax x g ln 5)(-- =，)(x g 的定义域为),0(+∞ 2 2255)('x a x ax x x a a x g +-=-+= -----5分 因为)(x g 在其定义域内为增函数，所以),0(+∞∈?x ，0)('≥x g max 222215155)1(05??? ???+≥?+≥ ?≥+?≥+-?x x a x x a x x a a x ax 而 25 15152 ≤+=+x x x x ，当且仅当1=x 时取等号，所以25≥a -8分 （Ⅲ）当2=a 时，x x x x g ln 52 2)(--=，22252)('x x x x g +-= 由0)('=x g 得2 1 = x 或2=x 当)21,0(∈x 时，0)('≥x g ；当)1,2 1(∈x 时，0)(' 1()(max +-==g x g ----10分 而“)1,0(1∈?x ，]2,1[2∈?x ，总有)()(21x h x g ≥成立”等价于 “)(x g 在)1,0(上的最大值不小于)(x h 在]2,1[上的最大值” 而)(x h 在]2,1[上的最大值为)}2(),1(max{h h 所以有???????≥≥)2()2 1()1()2 1 (h g h g ---------------12分 ???-≥+--≥+-?m m 282ln 5352ln 53?? ? ??-≥-≥?)2ln 511(21 2ln 58m m 2ln 58-≥?m 所以实数m 的取值范围是) ,2ln 58[∞+-----------------13分 变式5解：（I ）当1x =时，()f x 有极大值4 3 - ，故1b =-，3c =即为所求。 （Ⅱ）【法一】：2 2 ()|'()||()|g x f x x b b c ==--++ 当||1b >时，函数'()y f x =的对称轴x b =位于区间[ 1.1]-之外。 '()f x ∴在[1,1]-上的最值在两端点处取得。故M 应是(1)g -和(1)g 中较大的一个 2(1)(1)|12||12||4|4,M g g b c b c b ∴≥+-=-+++--+≥>即2M > 【法二】（反证法）： 因为||1b >，所以函数'()y f x =的对称轴x b =位于区间[1,1]-之外。 '()f x ∴在[1,1]-上的最值在两端点处取得。故M 应是(1)g -和(1)g 中较大的一个。 假 设2M ≤， 则 (1)|12|2(1)|12|2 g b c g b c -=--+≤=-++≤ 将上述两式相加得：4|12||12|4||4b c b c b ≥--++-++≥>，导致矛盾，2M ∴> （Ⅲ）【法一】：22() |'()||()|g x f x x b b c ==--++ （1）当||1b >时，由（Ⅱ）可知2M >； （2）当||1b ≤时，函数'(y f x =）的对称轴x b =位于区间[1,1]-内， 此时{}max (1),(1),()M g g g b =- 由'(1)'(1)4,f f b --=有2'()'(1)(1)0f b f b -±=≥ ①若10,b -≤≤，则， {}'(1)'(1)'(),(1)max (1),()f f f b g g g b ≤-≤∴-≤， 于是 {}21111 max |'(1),|'()|(|'(1)|'()|)|'(1)'()|(1)2222 M f f b f f b f f b b =≥ +≥-=-≥ ②若01b <≤，则'(1)'(1)'(),f f f b -≤≤{} (1)max (1),()g g g b ∴≤-。 于是 {}21111max |'(1)|,|'()|(|'(1)||'()|)|'(1)'()|(1)2222 M f f b f f b f f b b =-≥ -+≥--=+> 综上，对任意的b 、c 都有12 M ≥ 而当10,2 b c == 时，2 1()2g x x =-+在区间[1,1]-上的最大值12M =故 M k ≥对任意的 b 、 c 恒成立的k 的最大值为1 2 。 【法二】：22()| '()||()|g x f x x b b c ==--++ （1）当||1b >时，由（Ⅱ）可知2M >； （2）当||1b ≤ 时，函数'()y f x =的对称轴x b =位于区间[1,1]-内，此时 {}max (1),(1),()M g g g b =- 24(1)(1)2()|12||12|2||M g g g h b c b c b c ≥-++=--++-++++ 22|12(12)2()||22|2b c b c b c b ≥--++-++-+=+≥，即12 M ≥ 下同解法1 模拟训练1：参考答案 1． 2． 3．【解析】选A.设鱼缸底面积为S,则V=f(h)=Sh 0-Sh ，故V=f(h)是一次函数且是减函数. 4．【解析】选B.由f(x)=x 2+(a-4)x+4-2a>0得a(x-2)+x 2-4x+4>0， 令g(a)=a(x-2)+x 2-4x+4，由不等式f(x)>0恒成立,即g(a)>0在［-1,1］上恒成立. 5． 6． 7. 【解析】（1）依题意设v=kω2,又当ω=3时，v=54 000，∴k=6 000.故v=6 000ω2. 第二讲:数形结合参考答案： 例1、思路精析：列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积→根据的几何意义求范围→根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域． 解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内， 由此可得不等式组 由，解得A（-3，1）．由，解得C（-1，0）． ∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC（不包括边界）． （1）△ABC的面积为（h为A到Oa轴的距离）． （2）几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率． 由图可知 （3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方， 例2、思路精析：画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数． 解析：选C．由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f(x) =lgx，则x ∈（0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点． 变式2解：f(x)≤g(x)变形为→画出的图象→画出的图象→寻找成立的位置 解：f(x)≤g(x)，即，变形得 ，令 …………①，………………② ①变形得，即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆； ②表示斜率为，纵截距为1-a的平行直线系．设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为α，则有tanα=, , 要使f(x)≤g(x)在x∈[-4,0]时恒成立，则②成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1-a≥6,∴a≤-5． 例3解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为 22 22 1(0) y x a b a b +=>> ． 由题意222,:2:1,2.a b c a b c ?=+?? =?? =?? ………………………………………………2分 解得 24a =，2 2b =．所以椭圆C 的方程为22 142y x +=．………………4分 （Ⅱ）由题意知，两直线PA ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k ，则PB 的直线方程为2(1)y k x -=-. 由22 2(1), 1.42y k x y x ?-=-??+=??得 222 (2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=.……6分 设(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，则22222 12B B k k x x k --=?=+， 同理可得222222A k k x k +-=+， 则 2422A B k x x k -=+，28(1)(1)2A B A B k y y k x k x k -=----= +. 所以直线AB 的斜率 2 A B AB A B y y k x x -= =-为定值. ……………………………………8分 （Ⅲ）设AB 的直线方程为 2y x m =+. 由22 2,1.42y x m y x ?=+??+=??得2242240x mx m ++-=. 由 22 (22)16(4)0m m ?=-->，得28m <.……………………………………10分 此时22A B m x x +=-， 24 4A B m x x -?= . P 到AB 的距离为 3m d = ，2 2 ()()A B A B AB x x y y =-+- 2 3122m =-+ 则 2113122223PAB m S AB d m ?==-?2222 11118(8)222222m m m m -+=-+≤?=. 因为2 4m =使判别式大于零，所以当且仅当2m =±时取等号，[ 所以PAB ?面积的最大值为2．………………………………………………………13分 例4解析:（Ⅰ）在图1中,可得22AC BC ==,从而222 AC BC AB +=,故AC BC ⊥. 取AC 中点O 连结DO ,则DO AC ⊥,又面ADC ⊥面ABC , 面ADC 面ABC AC =,DO ?面ACD ,从而OD ⊥平面ABC . …………………4分 ∴OD BC ⊥，又AC BC ⊥,AC OD O =. ∴BC ⊥平面ACD . ………………………………………………6分 （Ⅱ）建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则 (0,2,0)M ,(2,0,0)C -,(0,0,2)D (2,2,0)CM =,(2,0,2)CD =. ………………………………………………8分 设 1(,,)n x y z =为面CDM 的法向量, 则1100n CM n CD ??=???=??即220220x y x z ?+=??+=??,解得y x z x =-??=-? . 令1x =-,可得 1(1,1,1)n =-. 又 2(0,1,0)n =为面ACD 的一个法向量，∴ 12121213 cos ,3||||3n n n n n n ?<>= == . ∴二面角A CD M --的余弦值为3 3. 变式4：B 模拟训练2：参考答案 数形结合的思想 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意 义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。 八、数形结合思想方法 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合一是一个数学思想方法，应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设命题甲：0 数形结合在函数中的应用 四川省乐至中学唐贤国 教学目标：1、知识目标 1）理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图象的性质． 2）了解数形结合在解决函数问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决． 2、能力目标 1）掌握用初等函数的图象来处理函数问题，培养用函数图象解决问题的意识．掌握运用图象将代数问题转化为几何问题的 技巧． 2）通过运用数形结合解题，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数形结合转化问题的思想方法． 3、情感目标 通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力．培养学生主动探索、勇于发现的科学精神， 培养学生的创新意识和创新精神．渗透理论联系实际、从特殊到 一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想． 教学重点：利用基本初等函数的图象将函数问题转化为几何问题．（以形助数） 教学难点：利用图象转化函数问题，在代数与几何的结合上去找出解题思路．教学方法：启发式教学． 教学过程 一、新课引入 1）提问：上述四个函数图象分别对应于四个函数y = x 2 , y = 2x , y=0.5x , y= log 2 x 中的哪一个? 2）说明上述四种函数及图象代表了几类基本函数的基本图象． 3）强调：作出简图时要注意到函数的性质在其图象上的体现，比如特殊的点、 线（对称轴、渐进线）。 2．几种常见的图象变换（提问） 平移变换、伸缩变换、对称变换． 3．说明函数图象的作用：它直观地体现了函数的变化状况和函数的各种性 质（奇偶性、单调性和周期性等）．许多函数问题大多可以从函数的图象中得到直观地解释或形象地提示解决问题的方法． 二、 基础训练题组 1．函数 31)1(+=x y 的反函数的图象不经过第______象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 分析：正确作出函数的图象是本题的关键所在．由于它是复合函数， 其图象需要由基本函数的图象作适当的变换得到．（提问学生：如何作出图象？本题有2种变换方法，可启发学生思考．） 方法二：先求出反函数，再作其图象．31)1(+=x y 的反函数为13-=x y 。 数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法。 正恩格斯曾经说过:"数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。"在数学领域中包含着两大研究对象,即"数"与"形",这两大研究对象既是对立的又是统一的,它们是数学发展的内在因素。纵观数学知识的发展长河中,数形结合始终是发展的一条主线,并且数与形相结合能够让学生在实际应用中对知识的运用更加广泛和深入。在初中数学教学中教师要特别重视将数形结合的思想渗透到教学环节中,以此来让学生感受到数形结合的伟大力量,促进学生生成数形结合的思想,让学生在以后的数学学习中受益 1.数形结合思想的涵义 “数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空 间的概念。家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨著，这是体现数形转化的文字资料。柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。 2.数形结合思想的发展 初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本最主要的有：数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，函数与方程的思想方法等。 1. 数形结合的思想和方法 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题： （1）、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 （2）、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 （3）、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 （4）、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 （5）、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 （6）、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。（7）、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。（8）、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。 数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。 ①由数思形，数形结合，用形解决数的问题。 例如在《有理数及其运算》这一章教学中利用“数轴”这一图形，巩固“具有相反意义的量”的概念，了解相反数，绝对值的概念，掌握有理数大小的道理，理解有理数加法、乘法的意义，掌握运算法则等。实际上，对学生来说，也只有通过数形结合，才能较好地完成本章的学习任务。另外，《一元一次方程》中列方程解应用题中画示意图，常常会给解决问题带来思路。第九章《生活中的数据》“统计图的选择”及“复习形统计图”，利用图形来展示数据，很直观明了。 ②由形思数，数形结合，用形解决数的问题。例如第四章的《平面图形及其位置关系》中，用数量表示线段的长度，用数量表示角的度数，利用数量的比较来进行线段的比较、角的比较等。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何 一次函数中的数型结合思想 学习目标:1、巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关几何问题． 2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决几何问题的能力． 3.认识数学在现实生活中的意义,发展运用数学知识解决几何问题的能力． 重 点：一次函数的模型建立及应用 难 点：如何选择合适的模型并应用 一、 自主学习：1.如图,直线AB 与y 轴,x 轴交点分别为A(0,2) B(4,0) 问题1:求直线AB 的解析式及△AOB 的面积. 问题2: 当x 满足什么条件时,y ＞0,y ＝0,y ＜0,0＜y ＜4 二、课堂探究：问题3:在x 轴上是否存在一点P,使 若存在,请求出P 点坐标,若不存在,请说明理由. 问题4:求直线AB 上是否存在一点E,使点E 到x 轴的距离等于1.5,若存在求出点E 的坐标,若不存在,请说明理由. 问题5:求直线AB 上是否存在一点F,使点F 到y 轴的距离等0.6,若存在求出点F 的坐标,若不存在,请说明理由. 问题6：在AB 上是否存在一点G,使 A O B B O G S S ΛΛ=21 若存在,请求出G 点坐标,若不存在, 请说明理由. 3=ΛPAB S 问题7: 在AB 上是否存在一点H,使 A O B A O H S S ΛΛ=41 若存在,请求出H 点坐标,若不存在,请说 明理由. 三．课后巩固练习：直线: 232-=x y 分别交x 轴,y 轴于A,B 两点,O 为原点. (1)求△AOB 的面积; (2)过AOB 的顶点,能不能画出直线把△AOB 分成面积相等的两部分?写出这样的直线所对应 的函数解析式 数形结合解零点问题 “数缺形时少直觉，形少数时难入微”（华罗庚语）.数形结合指的是在解决数学问题时，使数的问题，借助形更直观，而形的问题，借助数更理性.函数的零点就是函数图象与x轴的交点的横坐标，数形结合能给零点问题的解决带来极大的方便. 一、零点个数问题 例1 ．函数()4 f x x =+-的零点有个. 解析 : ()4 f x x =- 的零点就是方程 4x =-的解, 在同一平面直角坐标系中画出 y=4 y x =-的图象(如图1) , 可见函数 ()4 f x x =-的零点个数为1. 评注:函数() f x y=4 y=- 例2.讨论函数() f x= 解析: 和y a =的图象(如图 当0 a<时, 21 y x =-和y a =没有公共点, 函 数2 ()1 f x x a =--的零点个数为0; 当0 a=或1 a>时, 21 y x =-和y a =有2个公共点, 函数2 ()1 f x x a =-- 的零点个数为2; 当1 a=时, 21 y x =-和y a =有3个公共点, 函数2 ()1 f x x a =--的零点个数为3; (图2) 当01a <<时, 21y x =-和y a =有4个公共点, 函数2()1f x x a =--的零点个数为4. 例3.若存在区间[,]a b ,使函数()f x k =+k 的范围. 解析: 因为()f x k =+在[2,)-+∞上递增,若存在区间[,]a b ,使()f x 在[,]a b 上的值域 是[,]a b ,必有()()f a a f b b =??=?.问题转化为“求k 使关于x 的方程k x +=有两个不等实根”. 在同一平面直角坐标系中画出y =2y x =+的图象(如图3),可见当 2k =-时, y =y x k =-的图象有两个不同的公共点. 由x k -=得: 22(21)20x k x k -++-=,49k ?=+.所以当9 4 k =-时, 直线y x k =-与曲线y =. 结合图形观察得,当9 24 k - <≤-时, y =y x k =-的图象有两个不同的公共点,此时关于x 的方程k x +=有两个不等实根. 所以k 的范围是9 (,2]4 --. 评注: 由于画图精确性的限制,观察得出,这时要以数助形,运算求解. 二、零点所在区间问题 例4．函数()lg 3f x x x =+-A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，+∞) 解析: 数形结合思想在求参数范围中的应用 [典例] 已知函数y ＝|x 2 －1|x －1 的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________． [解析] 因为函数y ＝|x 2－1|x －1＝????? x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1 配套练习 1、函数()???>+-≤-=1,341 ,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是 （B ） A.4 B.3 C.2 D.1 2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ C ） A.?? ? ??41,81 B.?? ? ??21,41 C.?? ? ??1,21 D.(1,2) 3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ A ） A. ()41f x x =- B. ()2(1)f x x =- C. ()1x f x e =- D.)21 ln()(-=x x f 4．（10上海理）若0x 是方程31 )21 (x x =的解，则0x 属于区间（ ） A ．??? ??1,32 . B ．??? ??32,21 . C ．??? ??21,31 D ．?? ? ??31,0 5．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ） A ．（0，1）. B ．（1，1.25）. C ．（1.25，1.75） D ．（1.75，2） 6．（10天津理）函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 7．（10天津文）函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 8．（10浙江理）设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是（ ） A ．[]2,4-- B ．[]0,2- C ．[]2,0 D ．[]4,2 9．（10浙江文）已知0x 是函数()x x f x -+ =11 2的一个零点，若()01,1x x ∈， 专题二二次函数中的数形结合 一、选择题 1．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点 2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（） A．B．C．D． 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0 没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2． 其中，正确结论的个数是（） A． 0 B．1 C． 2 D．3 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c ＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）， 其中正确结论的个数是（） A．4个B． 3个 C． 2个D． 1个 5．已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根． 其中正确结论的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10， 8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h可能为 ( ) A．1 B．3 C．5 D．7 7．已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（） 8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（） ．或C或或﹣或9．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 10．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： 下列结论： （1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（） A．4个B．3个C．2个D．1个 二.填空题 11．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是． 12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为． 13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： 则当y＜5时，x的取值范围是． 14．如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是． 数形结合思想 一．作图、识图、用图技巧 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系． (3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． (4)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换： y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位 h <0，左移|h |个单位 y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位 y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换： y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→01，纵坐标伸长到原来的A 倍y ＝Af (x )． ③对称变换： y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 二、通法归纳与感悟 1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图像； (3)方程(多指二元方程)及方程的曲线； (4)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可； (5)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用． 2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则 (1)等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导． (2)双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的． 例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化． (3)简单性原则 就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法． 三、利用数形结合讨论函数零点、方程的解或图像的交点 利用数形结合求方程解应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解． (2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 1． (2013·长沙模拟)若f (x )＋1＝1f x ＋1 ，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A. ???? ??0，12 B. ??????12，＋∞ C. ??????0，13 D. ? ?? ??0，12 2. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1] 函数不等式中的数形结合 【知识要点】 数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了． 解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法．函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法． 解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路． 【问题研究】 1． 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示， 则b 的取值范围是（ ）A （A ）)0,(-∞∈b （B ）)1,0(∈b （C ）)2,1(∈b （D ）),2(+∞∈b 2．在直角坐标系中,函数2 23 a x a y += )0(为常数>a 所表示的曲线叫箕舌线，则箕舌线可能是下列图形中的( )A 3．设()?? ?<≥=1 , 1, 2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的 值域是（ ）C A.(][)+∞-∞-,11, B.(][)+∞-∞-,01, C.[)+∞,0 D. [)+∞,1 分析：本题为复合函数，()x g 相当于()f x 中的x 的值， 结合函数的图象，可以求得()x g 的值域． 解：作出函数()f x 的图象如图所示，由图知 当(] [),10,x ∈-∞-+∞时，函数()f x 的值域 数形结合求零点 ★【利用数形结合确定零点的个数（方程的解）】 1．sinx=x 的解的个数为 1 分析: 易知x=0为方程的一个解。 当0, 2x π? ? ∈ ???时，sinx 分析：当x=10时，lgx=1，函数y=|lgx|过点（10，1），而函数y=|lgx|在(1，+∞)上是增函数，故当1 函数性质及数形结合 一：学生情况及其分析：上海高三学生，已复习完函数的性质，对于基本题型掌握的很好，那我就横向拓展乐，学生易于沟通（这种性格好的学生人品好啊，因为碰到了我，嘿嘿），成绩在好一点的市重点偏上，思维不是很活跃，但是易于接受。 二：教学目的：本节课的目的在于分析不同类型的函数，如何利用函数的基本性质解题，如何识别并避免问题的陷阱？学习用数形结合这种思想解题时碰到的常见的题型，以此提升学生的数形能力。（能力好重要额） 三：教学设计： 1，教学回顾：如何定义函数的奇偶性，周期性？又如何判断？ 由奇偶性或周期性如何求函数的解析式？（忘了就嘿嘿嘿嘿） 2，教学过程： 易错点的讲解：例1设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时, 2 ()97a f x x x =++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________ 分析：啊？又是恒成立问题，太老土了，亲，有陷阱呢？你看到了吗？ 例2已知函数 ()122015122015f x x x x x x x =+++++++-+-++-()x ∈R ， 且2(1)(21)f a a f a --=-，则满足条件的所有a 有 分析：该如何分析这个特殊函数的性质？如何解抽象不等式呢？陷阱又在哪里？ 吐槽：到处都是陷阱，数学好黑暗啊，嘿嘿，我很阴险呢 推广： 例3函数1111()=1232015 f x x x x x +++??????+++++的图像的对称中心的坐标为 。 分析：找函数的对称性有哪些常用的方法？本题结合这个特殊的形似能否开辟捷径？ 吐槽：果然，数学中有捷径，哈哈，开心 函数的周期性： 例4如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为. （1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度； （2）写出函数的表达式；研究该函数的性质 分析：是否能用实验的方法找函数的解析式？如何分析韩式的性质？如何利用周期性分析函数的性质？ 吐槽：数学也要做实验呢，想象力的攀升也要梯子额 类周期性： 例5：设函数y f x =（）的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x ∈D ，都 ?()f x T T f x +=（），则称函数y f x =（）是“似周期函数”，非零常数T 为函数y f x =（）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题： ①如果“似周期函数”y f x =（）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数f x x =（ ）是“似周期函数”； ③函数2x f x =﹣（）是“似周期函数”； ④如果函数f x cos x ω=（ ）是“似周期函数”，那么“k k Z ωπ=∈，”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号） 分析：在处理函数的类周期性时要做到两看，什么是两看？ 狂力吐槽：换个衣服而已，形变神不变呢？老土。 中场休息的时候又到了，，，，，，，，，，，来一个笑话打破我们平静而又严肃的课堂氛围O(∩_∩)O ： 可以随便发挥我们侃大山的本领了，尽情狂欢吧：来一首歌吧，或者来一曲舞蹈，你花前，我月下，要不私奔吧。。。。。 xOy 1PABC PABC x P ()y x P ,()y f x =(),R y f x x =∈m m 0x m ≤≤P l [](),42,42,y f x x k k k Z =∈-+∈ 数形结合思想方法 一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.2 230 13x x kx k k ++=-若关于的方程的两根都在和之间，求的取值范围。 分析：2 ()23f x x kx k x =++令，其图象与轴交点的横坐标就是方程 ()0f x =()13y f x =-的解，由的图象可知，要使二根都在，之间， (1)0f ->只需， (3)0f >，()()02b f f k a -=-<同时成立. 10(10)k k -<<∈-解得，故， 例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 20 20202 数形结合思想在函数、方程和不等式中的渗透 湖北省长阳土家族自治县第二高级中学 刘军华 443500 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为数形结合的思想方法。这样就把抽象的数学语言与直观的图形结合起来进行思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，从而利用数形的辩证统一，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。借助数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。笔者将从几个方面来体现数形结合思想的优越性和重要性。 【问题1：函数的最值】 1．（2006浙江卷）对R b a ∈,，记函数?? ? =a b a a b a ,,|,|max 则函数)(||2||,1||max )(R x x x x f ∈-+=的最小值是 。 【分析】方法一：写出函数的表达式，求分段函数的最小值。方法二：根据函数的意义，这是一个所谓“取大”的问题。我们只需画出函数|1|+=x y 和|2|-=x y 的图象，则两个函数图象上方的折线部分即为)(x f 的图象，观察易得在21处取得最小值2 3。 2．（2006辽宁卷）已知函数|cos sin |21)cos (sin 21)(x x x x x f --+= ，则)(x f 的 函数的零点 .【高考考情解读】常考查：1.结合函数与方程的关系，求函数的零点．2.结合根的存在性定理或函数图像，对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断．3.判定函数零点(方程的根)所在的区间．4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围．高考题突出数形结合思想与函数方程思想的考查，以客观题的形式为主． (1)函数与方程的关系：函数f (x )有零点?方程f (x )＝0有根?函数f (x )的图象与x 轴有交点?f (x )与g (x )有交点?f (x )=g (x )． 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y ＝f(x)的图像与函数y ＝g(x)的图像交点的横坐标． (2)函数f (x )的零点存在性定理：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0. 注：①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0. ②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点． ③如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f (x )在区间(a ，b )内有零点时不一定有f (a )·f (b )<0，也可能有f (a )·f (b )>0. (3)判定函数零点的方法:①解方程法；②利用零点存在性定理判定；③数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解． (2013·重庆)若a 0)， 2x ＋1(x ≤0)，的零点个数是 ( ) 函数中的数形结合思想 “数少形时缺直观，形少数时难入微”，它准确地告诉我们：数形结合，相得益彰；利用数、式进行深入细致的分析；利用图形直观又可以看出数、式的内在关系；数形结合思想是重要的数学思想，它是分析问题的思路基础. 因此，每年高考一定会重点考查，本文主要谈一下函数中的数形结合思想. 一、函数中的由数到形 由数到形是函数中数形结合的第一步，面对一个函数可以思考到其图形的特征，并能抓住这个特征进行深入分析，只有如此，才可能在函数中应用到数形结合思想. 例1．设a＜b，函数y=（x-a）2（x-b）的图像可能是（） 解析：看看函数式，可以发现x→+∞时，y→+∞，再看图形特征，立即排除A、B；再看a 解析：首先由函数的定义域可得ex≠e-x?圯x≠-x?圯x ≠0，看看图形，立即排除C、D.再由y′==-<0，即函数递减，选A. 点评：本题若是想先作出图形，再对照选项选出结论的话，可能永远无法达到目的，由数到形，为我们求解此类问题开辟新的通道. 二、初等函数图形的应用 初等函数是我们接触到最为基础的函数，也是最为重要的函数，高考对其考查也相当频繁，因此，掌握初等函数的图形应用是在函数中应用数形结合思想的重要基础. 例3．当a>1时，函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数（） A．可能是0个、1个或2个 B．只可能是2个 C．只可能是0个 D．可以是3个 解析：假定y=ax与y=x相切于（x0，y0），则切线方程为y-a=a（lna）•（x-x0），因为过原点，得x0=，而x0=y0=a，所以=a，从而a=e，那么： （1）若a>e时，y=ax与y=x没有交点，故函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数为0； （2）若a=e时，y=ax与y=x相切，故函数y=ax与函数数形结合的思想
数形结合思想方法
数形结合在函数中的应用汇总
数形结合思想的含义 数与形是数学中两个最古老
数学中数形结合思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想
一次函数的数形结合思想
高中数学用数形结合解零点问题
数形结合思想在求参数范围中的应用
数形结合法在函数零点问题中的应用配套练习
数形结合思想在二次函数中应用 小专题
高一数学专题1-数形结合思想含答案
函数不等式中的数形结合
数形结合确定零点
函数性质及数形结合讲义
数形结合思想方法(新课标)
数形结合思想在函数、方程和不等式中的渗透
函数方程与零点(精)
函数中的数形结合思想