2018高考理科数学选填压轴题专练32题(含详细答案)

.选择题（共26小题）

x-y-2^0

1 .设实数x , y 满足 \ i+2y-5>0,则 z 二 :丄+二的取值范围是（

）

y x 17 2 2.已知三棱锥P -ABC 中，PA 丄平面ABC ,且■ Y 3

A . [4, T

B . [^ ,—]

C . [4,

,AC=2AB , PA=1, BC=3, 则该三棱锥的外接球的体积等于（ 1371^ 兀

B. ““

C.

D .

6

2

6 2

)

A . 3.三棱锥P -ABC 中，PA 丄平面ABC 且PA=2, △ ABC 是边长为.「；的等边三角形, 则该三棱锥外接球的表面积为（

B . 4 n

C . 8 n

D . 20 n

6.抛物线y 2=4x 的焦点为F , M 为抛物线上的动点，又已知点N （- 1,0）,则 -

卩IF 丨 的取值范围是（ ）

A . [1, 2 ::]

B . [.

；] C .[二 2] D . [1,::]

7 .《张丘建算经》卷上第22题为 今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日 织九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 2天开始，每天比前一天多 织相同量的布，第1天织了 5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该 女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ,贝U a 14+a 15+a 16+a 17的值为（

）

A . 55

B . 52

C . 39

D . 26

8.已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x >0时，f （x ） =x 3+x 2，若不等式f （-4t ）> f （2m+mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（

）

A . H ■冋

B .（畑 Q ）

、一 订 4.已知函数f （x+1 ）是偶函数，且 （x+3） f （x+4）V 0 的解集为（ x > 1 时，f' (x )V 0 恒成立，又 f (4) =0,则 .「

：■ - ， ■- D . - '"

'

. . ■ ■ I '- 1

9.将函数f （妁二si 口（2时晋~）的图象向左平移G 〔0V ? ）个单位得到y=g （x ）

A . (-X,- 2)U( 4, +x)

B .

,-6) U (4,

装 )

(-6,- 3)U( 0, 4) C .

+x) D . (- 6,- 3)U( 0, +x

的图象，若对满足 | f (X 1)— g (X 2)| =2 的 X 1、X 2, | x 1 - X 2|

min

2

7

T

,则?的值是（

）

10 .

7T

12

在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C : 2

- =1 (a > b > 0)的下顶点,

N 在椭圆上，若四边形 OPMN 为平行四边形,

M , 〒，T

A . (0,

]，则椭圆C 的离心率的取值范围为（

B . (0,

!_3

a 为直线ON 的倾斜角，若a€

)

]D .

]

11?如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这 种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字 立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经 90

榫卯起来?现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为

1,欲将其放入球形容器

内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30n 则正四棱柱体的 高为（

）

A .「

B . -

C . | F 寸

D . 5

12?若函数f （x ） =2sin （一 “一）（- 2v x V 10）的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线I 与函数的图象交于B 、 、

订

A . - 32

B . - 16

C . 16

13.已知抛物线方程为y 2=4x ，直线I 的方程为x - y+2=0,在抛物线上有一动点 P 到y 轴的距离为d 1，P 到I 的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（ ）

A .

2 B .竽- 1C . 2V^D . 2近+2

装14.已知抛物线方程为

y 2=8x ，直线I 的方程为x - y+2=0,在抛物线上有一动点 P

到y 轴距离为d 1，P 到I 的距离为d 2,则d 什d 2的最小值为（ ） A . 2 :■- 2 B . 2 X. 2底-2 D . 2 :'+2

15. 如图，扇形 AOB 中，OA=1，/ AOB=90 , M 是OB 中点，P 是弧AB 上的动 点，N 是线段OA 上的动点，贝' id 的最小值为（

）

A . 0

B . 1

C .色

D . 1 -医

2 2

16. 若函数 f (x ) =Iog 0.2 (5+4x -x 2)在区间(a - 1, a+1)上递减，且 b=lg0.2, c=20.2, 则( )

A . c v b v a B. b v c v a C . a v b v c D . b v a v c

17. 双曲线兰;-耳=1 (a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1, F 2渐近线分别为l 1, I 2,

a 2

b 2 位于第一象限的点P 在I 1上，若12丄PF 1, 12// PF 2,则双曲线的离心率是( )

A .口

B . *；

C . 2

D .二

18. 已知定义在R 上的可导函数y=f (x )的导函数为f'( x ),满足f'( x ) v f (x ), 且y=f (x+1)为偶函数，f (2) =1，则不等式f (x ) v e x 的解集为( )

A . (-X, e 4)

B . (e 4, +^)

C . (-^, 0)

D . (0, +^)

19. 已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ( x ),满足f ( x )v x ，且f (2) =1，则不等式f (x )<二x 2- 1的解集为( ) A . (- 2, +x)

B . (0, +x)

C . (1, +x)

D . (2, +

x)

C 两点，贝9( 1+ ■'') ?

(

D . 32

% 卄

20. 对任意实数a , b ,定义运算 爼”：5

严，设f (x ) = (x 2- 1)?

(4+x ),若函数y=f (x ) - k 有三个不同零点，则实数k 的取值范围是(

)

A . (- 1, 2]

B . [0, 1]

C . [ - 1, 3)

D . [ - 1,1)

21. 定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ) +f (x )> 1, f (0) =4,则不等式e x f (x )> e x +3 (其中e 为自然对数的底数)的解集为(

)

A . (0, +x)

B . (-x, 0)U( 3, +x)

C . (-x, 0)U( 0, +x)

D . (3, +x)

线22.定义在区间［a , b ］上的连续函数 y=f (x ),如果？

& ［a , b ］，使得f (b )- f (a ) =f ( $ (b - a ),则称E

为区间［a , b ］上的中值点”.下列函数：①f (x ) =3x+2； ②f (x ) =x 2;③f (x ) =ln (x+1);④fG)二0丄户中，在区间［0, 1］上中值点” 多于1个的函数是( ) A .①④ B .①③ C .②④ D .②③

订23.已知函数f (x ) (x € R )满足f (1) =1,且f (x )的导数f ' (x )>寺，则不等

L 2 1 式f ( x 2)v 专+土的解集为( )

A . (-x

1) B . (1, +x) C . (-x,

1] U [1, +x)

D . (- 1, 1)

24.已知函数 f (x ) =2sin (

?) +1 ( w >0, |

<—),其图象与直线 y= - 1 相

邻两个交点的距离为 n 若f (x )> 1对？ x €(-—，丄)恒成立，贝U ?的取值

丄￡

」

范围是(

)

TT

l H

TT

C .

n r L 12 '

门B .

2]

4

3 ]

A . -n n J

[6， 3]

D . 25.在R 上定义运算?: x?y=x (1 - y )若对任意x >2,不等式(x - a ) ?x < a+2 都成立，则实数a 的取值范围是(

)

A . [ - 1, 7]

B . (-x, 3]

C . (-x, 7]

D . (-x,- 1] U [7, +x

26.设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x € R ,都有f (x+4) =f (x ),且 当 x € ［ - 2, 0］时，迪二2-垮)

(x+2) =0 (0V a v 1)恰有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是( )

,若在区间(-2, 6］内关于x 的方程f (x ) - log a

C .

近)D

.

A . ： \ —

27.已知函数f (x ) =xe x - ae 2x (a € R )恰有两个极值点x 〔, X 2 (X 1

28.函数y=f (x )图象上不同两点 A (x 1, y 1), B (X 2, y 2)处的切线的斜率分别

I k 止

—

R |

是k A , k B ,规定肛A , B )= 订

叫曲线y=f (x )在点A 与点B 之间的 弯曲

度”,

(1) (2) (3) 给出以下命题： 函数y=x 3 - x 2+1图象上两点A 、B 的横坐标分别为1, 2,则?( A , B )> :;; 存在

这样的函数，图象上任意两点之间的

弯曲度”为常数；

设点A 、B 是抛物线，y=x 2+1上不同的两点，贝U ?(A , B )< 2;

设曲线 y=e x 上不同两点 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),且 x 1 - x 2=1，若 t? ( A , B )

1)；

(4)

V 1恒成立，则实数t 的取值范围是(-x,

以上正确命题的序号为

(写出所有正确的)

29 .已知数列｛a n ｝是各项均不为零的等差数列,S n 为其前n 项和，且 对任意n € N *恒

成立，则实数入的最大值

2^-1

30. 已知点A (0, 1),直线I: y=kx - m 与圆O: x2+y2=1 交于B , C 两点，△ ABC

和厶OBC的面积分别为S i, S2,若/ BAC=60 ,且S i=2S2,则实数k的值为__________ .

31. 定义在区间［a, b］上的连续函数y=f (x),如果？& ［a, b］，使得f (b)- f

(a) =f'(E) (b- a),则称E为区间［a, b］上的中值点”下列函数：

①f (x) =3x+2;

②f (x) =x2- x+1;

③f (x) =ln (x+1);

④f (x ) = (x -丄)3,

2

线在区间［0,1］上中值点”多于一个的函数序号为_______ .(写出所有满足条件的函数的序号)

32. 已知函数f (x) =x3- 3x, x € ［- 2, 2］和函数g (x) =ax- 1, x € ［- 2, 2］,

若对于？ X1€ ［- 2, 2］，总？ X0€ ［- 2, 2］，使得g (x。)=f (x1)成立，则实

数 a 的取值范围___ .

、

订

1.解：由已知得到可行域如图：由图象得到

4弹y_

所以z= / +，:的最小值为4;(当且仅当当：

'：=卜,z最大值为

所以z=丿+ ■-的取值范围是［4 ,

故选：C.

—；

3L

];

?的范围为

［kOB ,

y=2x=2时取得)；

2.解：???三棱锥P-ABC中,

设AC=2AB=2x ,

PA丄平面ABC，且

G AG二

哥

_ 兀

C05

1_

kOC]，即[,2],

,AC=2AB , PA=1 , BC=3 ,

?由余弦定理得32=x2+4x2 - 2X

? AB2+BC2=AC2 , ? AB 丄BC , 构造长方体ABCD - PEFG,

则三棱锥P-ABC的外接球就是长方体ABCD - PEFG的外接球,

{p护+肿+EC? V13

???该三棱锥的外接球的半径

R=

PC

:=

?该三棱锥的外接球的体积：

n x (昱护)3

v= 3 2=6

故选：A.

3.解：根据已知中底面厶ABC是边长为打的正三角形，PA丄底面ABC , 可得此

三棱锥外接球，即为以厶ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球???△

ABC是边长为折E的正三角形，

? △ ABC的外接圆半

径

球心到△ ABC的外接圆圆心的距离d=1 ,

故三棱锥P- ABC外接球的表面积S=4n R2=8?

故选：C.

4.解：???函数f (x+1 )是偶函数，?其图象关于y轴对称，

??? f (x)的图象是由f (x+1 )的图象向右平移1个单位得到的，

? f (x)的图象关于x=1对称，

又??? x > 1时，f'(x)v 0恒成立，所以f (x )在(1, + 8)上递减，在(-8, 又 f (4)

=0 ,? f (- 2) =0,

?当X€(-8,- 2)U( 4, +8)时，f (x)v 0；当x€ (- 2, 1 )U( 1

> 0；

?对于(x- 1) f ( x)V 0，当x€ (- 2, 1 )U( 4, + 8)时成立，

1 )上递增，

4)时，f ( x)

'/( x+3) f (x+4 )v 0 可化为(x+4 - 1) f (x+4 )v 0,

???由-2v x+4v 1或x+4 > 4得所求的解为-6v x V- 3或x > 0. 故选D

5.解：解：由 f ( x ) =0，解得 x2 - 2ax=0，即 x=0 或 x=2a , ?/ a >0，?函数f (x )有两个零点，? A , C 不正确. 设 a=1，则 f (x ) = (x2 - 2x ) ex , ? f (x ) = (x2 - 2) ex ,

由 f (x ) = (x2 - 2) ex > 0,解得 x > 一 匚或 x V-

由 f (x ) = (x2 - 2) ex v 0,解得, 线即x= - .「是函数的一个极大值点, ?D 不成立，排除D . 故选B . 6 .解：设过点 N 的直线方程为 y=k (x+1 )，代入y2=4x 可得k2x2+ (2k2 - 4) x+k2=0 ,

?由厶=(2k2 - 4) 2 - 4k4=0，可得k= ± 1,此时直线的倾斜角为 45°

过M 作准线的垂线，垂足为

A ，贝U |MF|=|MA| , MN m

MF M 、 - 订 ???直线的倾斜角为 45°或135°时, 血| ? TI 的取值范围是［1 , 冷. |HN|| ，T

I 取得最大值 二倾斜角为

|MN|

0°时丨' 丨取得最小值

1,

故选：D . 7 .解：设从第2天开始，每天比前一天多织

d 尺布,

<390,

?

a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d =4a1+58d =4 X 5+58 X 29 =52 .

故选：B .

&解：???定义在 R 上的奇函数f (x )满足：当x > 0时，f (x ) =x3+x2 , ? f (0) =0 ,且 f'( x ) =3x2+2x > 0,即函数 f (x )在［0 , + 上为增函数，

??? f (x )是奇函数，?函数 f (x )在(-R, 0］上也是增函数，

即函数f (x )在(-8,

+8)上为增函数，

则不等式f (- 4t )> f (2m+mt2 )等价为-4t >2m+mt2对任意实数t 恒成立 即mt2+4t+2m V 0对任意实数t 恒成立，

若m=0，则不等式等价为 4t v 0，即t V 0,不满足条件.， 若m ^ 0，则要使 mt2+4t+2m V 0对任意实数t 恒成立， f nrCO 则…

故选：A

9.解：将函数

f Cx) -sin汁石

7T 的图象向左平移个单位得到y=g( x)=sin[2 ?椭圆C的离心率的取值范围为(0, 「］?故选：

A .

(x+ ? +「]=sin (2x+2^+ ')的图象,

T

V 11?解：???球形容器表面积的最小值为30 n

屮0兀姮?球形容器的半径的最小值为r= ?厂厂=:■:

、一订对满足|f ( x1)- g (x2) |=2 的x1、x2 , |x1 - x2|min= I ,

7T

即两个函数的最大值与最小值的差为

7T

不妨设x1 =

JT

2 时，|x1 - x2|min=-

7T

x1= ■,

JT

IT

5

6，此时x2 = & ±4 .

71

x2 = - +

71

7L5兀JT

■

=

贝U g (x2) = —1, sin2 0

=；

,0= ■

?正四棱柱体的对角线长为.'!|,

设正四棱柱体的高为h,

? 12+12+h2=30 ,

解得h=2 ；

故选：B.

=0可得”

'

■

兀:

6 - °= - 12，贝y g (x2) = - 1, sin2 0—1, $ =

若

故选：B.

10.解：??? OP在y轴上，且平行四边形中，MN //

OP,

??? M、N两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M ,

x1

=

x2 =

可设M (x2) , N (x,

V3

代入椭圆方程得：|x|= - b ,

a为直线ON的倾斜角，tan

7T JT

飞'

a€(

，不合题

意,

12 .解：由f ( x)

? x=6k - 2, k € Z

???— 2 v x v 10

N两点关于x轴对称，MN=OP=a ,

环，「

得N ( _b，:'

? x=4 即 A ( 4, 0)

设 B (x1, y1), C (x2, y2)

???过点A的直线I与函数的图象交于B、C两点

? B, C两点关于A对称即x1+x2=8, y1+y2=0

),

则(「!+ i「)？！'.= (x1+x2 , y1+y2 ) ? (4, 0) =4 (x1+x2 ) =32

a

VI，一a==

=「

k/3b

,cot

故选D

13.解：如图，过点P作PA丄I于点A ,作PB丄y轴于点B , PB的延长线交准线x= —1于点C, 连

接PF,根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF ,

?/ P到y轴的距离为d1 , P到直线l的距离为d2,

?d1+d2=PA+PB= ( PA+PC)—1= ( PA+PF)—1,

根据平面几何知识，可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，

2砸

?/ F (1 , 0)到直线l: x—y+2=0的距离为血=2

?P A+PF的最小值是,

高三选填专练

由此可得d1+d2的最小值为二-1 故选：

B.

线

14.解：点P到准线的距离等于点

过焦点F作直线

、

一

订P到焦点F的距离,

x- y+2=0的垂线，此时d1+d2最小，

??? F (2, 0),则故选：C.

15.解；分别以则O w t w 1, O w .卜"=(-cos a,d1+d2=-2=2 丁- 2,

OA, OB为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设匹

1

P (cos a sin a, N (t, 0),

a

W

H 丄=-(t - cos a) (a+ ^). a , P弘(t - cos a, - sin a ?

1

cos a- sin a( 2 - sin a =cos2 a+sin2 —tcos -sin

1

-sin a =-

其中tan $ =2t T 0w aW ■' , 0w t w 1,

K

.当a+ $ = 故选：D.

V5

:,t=i时，「八?取得最小值1 - =1 -:-

16.解：由5+4x - x2 > 0,得-1v x v 5,

又函数t=5+4x - x2的对称轴方程为x=2 ,

???复合函数 f ( x) =log0.2 (5+4x - x2)的减区间为(-1, 2),

???函数 f (x) =log0.2 ( 5+4x - x2)在区间(a- 1, a+1)上递减,

(a-1^-1

U+l<2，贝U 0w a w

1.

而b=lg0.2 v 0, c=20.2 > 1, ?

b v a v c.

故选：D.

2 X y2

17.解：???双曲

线

2 a—b2=1 (a> 0, b> 0)的左、右焦点分别为F1, F2,

渐近线分别为l1 , l2，点P在第一象限内且在l1上，

? F1 (- c, 0) F2 (c, 0) P (x, y),

b_ b

渐近线l1的直线方程为y=^x,渐近线l2的直线方程为y=-直x,

y b

￡c_be

bx=bc - bx 即x= - ,

?

?- P (', ■-),

?/ l2 // PF2 ,????—' ，即ay=bc - bx,

???点P在l1上即ay=bx,

?/ l2 丄

PF1,

、一订

即3a2=b2,

?/ a2+b2=c2 ,

? 4a2=c2，即

c=2a,c_

?离心率e— i=2 .

故选C.

18.解：T y=f (x+1 )为偶函数，

?y=f (x+1)的图象关于x=0对称,

?y=f (x)的图象关于x=1对称，

?f (2) =f (0),

又??? f (2) =1 ,

?f (0) =1 ；

(X € R),

又??? f'(x)< f (x),

?f ( x) - f ( x) < 0,

?g' (x) < 0,

?y=g (x)单调递减,

■/ f (x) < ex,

即g ( X )v 1 ,

又

??

?二g (X) < g

??? x > 0,

(0),

故答案为：(0, + a).

1_

19. 解：设g (x) =f (x)-C' x2 - 1),

则函数的导数g' (x) =f'(x) - x,

??? f'(x) < x,

? g' (x) =f (x) - x<0,

即函数g (x)为减函数，

且g (2) =f (2)-(1 j x 4 - 1) =1 - 1=0,

丄

即不等式f (x)< ? x2 - 1等价为g (x) < 0,

即等价为g ( x)< g (2),

解得x>2,

故不等式的解集为{x|x > 2}.

故选：D.

20. 解：由x2 - 1 - (4+x) =x2 - x - 5> 1 得x2 - x - 6> 0,得x> 3 或x<- 2,此时f (x) =4+x , 由

x2 - 1 -( 4+x) =x2 - x - 5< 1 得x2 - x - 6< 0,得-2

'4+x, id 3或址<-戈

即f(x)-2G<3 ,

若函数y=f (x) - k有三个不同零点，

即y=f (x) - k=0 ,即k=f (x)有三个不同的根，

作出函数f (x)与y=k的图象如图：

当k=2时，两个函数有三个交点，

当k= - 1时，两个函数有两个交点，

故若函数f (x)与y=k有三个不同的交点，

则-1 < k< 2,

即实数k的取值范围是(-1, 2],

故选：A

21. 解：设g (x) =exf (x) - ex, (x€ R),

则g' (x) =exf (x) +exf' (x)- ex=ex[f (x) +f' (x)- 1],

??? f (x) +f'(x)> 1 ,

??? f (x) +f'(x)- 1 >0,

??? g' (x) > 0,

? y=g (x )在定义域上单调递增,

■/ exf (x) > ex+3,

? g (x) > 3,

又??? g (0)—e0f (0)- e0=4-仁3,

? g (x) > g (0), 装? x > 0 故选：A.

22. 解：根据题意，中值点”的几何意义是在区间［a , b］上存在点，

使得函数在该点的切线的斜率等于区间［a, b］的两个端点连线的斜率值.

对于①，根据题意，在区间［a, b］上的任一点都是中值点” f'(x) =3,

满足 f (b)- f (a) =f' (x) (b - a), ?①正确;

装对于②，根据中值点”函数的定义，抛物线在区间［a, b］只存在一个中值点” ?②不正确; 装对于③，f (x) =ln (x+1)在区间［a, b］只存在一个中值点” ?③不正确；

1_ 1

对于④，??? f ( x) =3 ( x - 2 ) 2,且 f (1)- f ( 0) =4 , 1 - 0=1 ;

? 3 (x-2 ) 2X 仁4，解得x=2 ±6 € [0, 1],

???存在两个中值点”，④正确.故选：A

23. 解：根据题意，设g (x) =f (x)->，其导数g'(x) =f'(x) 则函数g (x)在

R上为增函数，

又由 f (1) =1,则g (1) =f (1)-殳=< ,

又由g (x)在R上为增函数，则x2v 1, 解可得：-1v x v 1,

即不等式的解集为(-1, 1); 故选：D.

兀

24. 解：函数f (x) =2sin(3x+? +1 ( w>0, 》),其图象与直线y= - 1相邻两个交点

的距离为n

2兀

故函数的周期为加=n,? 3=2, f (x) =2sin(2x+ ?)+1.

7T

若f (x)> 1对? x € (-12,3)恒成立，即当x €(-id 3 )时，sin ( 2x+ ?) > 0 恒

成立，

A JV n

故有2k nV 2?(-——)+ ?V 2? + ?V 2k n 求得2k n+ ' ?V 2k n+ , k € Z,

结合所给的选项，

故选：D.

25. 解：T x?y=x (1 - y),

?( x - a) ?x w a+2 转化为(x- a) (1 - x) < a+2,

?- x2+x+ax - a w a+2,

a ( x - 2) w x2 - x+2,

???任意x>2，不等式(x- a) ?x w a+2都成立，

1_

->0,

不等式f (x2)v? f (x2)- 2 v￡? g (x2 )v g (1),

、一订

/-工+2

令 f (x)二?- , x>2,

则a w [f (x) ]min , x > 2

/-工+2 )匚+3 (工)+2

而 f (x) = ：■- = [

=(x - 2) + -：i+3

4

^七+3=7,

> 2

当且仅当x=4时，取最小值.

a w 7.

故选：C.

26.解:

???

当x€

???

若x€

??? f (x)

由f (x+4 ) =f (x)，即函数f ( x)的周期为4,

[-2, 0]时,

[0 , 2],则-

是偶函数，

fW=2-(y)s

(x),

0],

=2 -2-x,

? f (- x) =2 - 2x=f

即 f (x) =2 - 2x, x€ [0, 2], 由

f (x) - loga (x+2) =0 得f 作出

函数f (x)的图象如图：当a> 1

时，要使方程f (x)-

(X

)

loga

=loga

(x+2)

(x+2),

=0恰有3个不同的实数根,

则等价为函数f (x)与g (x) =loga (x+2 )有3个不同的交点,

则满足

解得:

Jg⑵注⑵

■ v av

故a的取值范围是(

，即

',:-),

uL

log 8<2-4

3.

二.填空题(共6小题)

27 .解：函数f (x) =xex - ae2x

可得f' (x) =ex (x+1 - 2aex)，要使f (x)恰有2个极值点，则方程x+1 - 2aex=0有2个不相等的

实数根，

令g (x) =x+1 - 2aex, g' (x) =1 - 2aex;

(i)a w 0时，g' (x)> 0, g (x)在R递增，不合题意，舍，

J_

(ii) a> 0时，令g' (x) =0,解得：x=ln--，

当x v ln ■-时，g' (x) > 0, g (x)在(-汽In：：)递增，且x^ -^时，g (x)v 0, Jj 丄

x> In：?时，g ( x)v 0, g (乂)在(In^? , +^)递减，且x宀+ 时，g (x) v 0,

—-L

?g (x) max=g (In二」)=1 n-」+1 - 2a? =ln-- >0,

] 丄

?2竝〉1，即0 v a v 卫；

1_

故答案为：(0 ,?).

28.解：对于(1),由y=x3 - x2+1，得y ' =3x2 2x, 则叫二J 1口二1 g二/ |口二*

y1=1 , y2=5，则嗣)比

血％I |8-11 |AB|

"

0( A , B)=

对于(2),常数函数y=1满足图象上任意两点之间的对于(3),设 A (x1 , y1), B (x2, y2) , y' =2x ,(1)错误；

弯曲度”为常数，(2)正确;

则kA - kB=2x1 - 2x2 ,

|A

B

巧「，2)红1+(巧+七〕匚］I 二勺〔x [ _ 工2)2 + (耳/_

耳 /

1 叫-kJ2|x

1-K21

|X1-H2I^1+(3C1+Z2)2= 1筑?忑2 1 +(起］斗叫严

.??$(A , B)=

|,-/丨丨J-Ji

Jd严2厲(戶-亠1J1+(亠「)2对于(4),由y=ex，得y' =e,())(A , B)

亍"(3)正确;

、一订t? | A, B) < 1恒成立，即

错误.

故答案为：(2) (3).

'■ 1 1 ,： ^ '- 恒成立，t=1时该式成立，.(4)

29.解：???数列｛an｝是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，

且

a n=7S&i-l 5討)

-a r2=S2irl

? ?

，由a1> 0，解得a仁1,

2_

□ n —□<4'3Q_I'3,O

J 1丄」=3a2,由a2> 0，解得a2=3,

.公差d=a2 - a1=2,

an=1+ (n - 1)x 2=2n - 1.

n+8

???不等式对任意n € N*恒成立,

X

/. -'： i- ' -I

^-n+8

n对任意n € N*恒成立,

X<^-X (2n-+l)

n

当且仅当2n =,即n=2时，取等号, .实

数入的最大值为25.

故答案为：25.

Q

2^+17

n.

+

17=25 .

30.解：设圆心0、点A到直线的距离分别为

|rn+l

根据/ BAC=60，可得BC对的圆心角/ BOC=120，且BC=J^ .

1 1

.S A OBC=戈？OB?OC?sinZ BOC=少x 1 x 1X sin120

V3

??? S1「②.

|E+1 1 ―|m|□

7=1

? k= 土-

■

,

m=1

故答案为：±卜八.

V3|

31?解：根据题意，中值点”的几何意义是在区间［0, 1］上存在点，使得函数在该点的切线的斜

率等于区间［0, 1］的两个端点连线的斜率值.如图.

对于①，根据题意，在区间［0, 1］上的任何一点都是中值点”故①正确；

对于②，根据中值点”函数的定义，抛物线在区间［0,1］只存在一个中值点”故②不正确；

对于③，f (x) =ln (x+1 )在区间［0 , 1］只存在一个中值点”，故③不正确；

对于④，根据对称性，函数￡ 在区间［0 , 1］存在两个中值点”故④正确.

故答案为：①④.

32.解：T f (x) =x3 - 3x,

??? f ' (x) =3 (x - 1) (x+1 ),

当x€ [ - 2, - 1], f (x )> 0, x € ( - 1 , 1), f (x )V 0; x€( 1, 2], f ( x )> 0. ? f (x )在[-2, - 1]上是增函数，(-1, 1) 上递减，(1 , 2)递增；且 f (-2) = - 2, f (- 1) =2 , f (1) =- 2, f (2) =2 .

? f (x)的值域A=[ - 2, 2];

又??? g (x) =ax - 1 (a>0)在[-2, 2]上是增函数，

? g (x)的值域B=[ - 2a- 1, 2a- 1];

根据题意，有A? B