吉林大学考试复习试题高等数学
吉大20秋《高等数学(理专)》作业1--4
1.曲线y=x^2+x-2在点（1.5，1.75）处的切线方程为（）A.16x-4y-17=0B.16x+4y-31=0C.2x-8y+11=0D.2x+8y-17=0参考答案：A2.设X0是函数f（x）的可去间断点，则（）A.f（x）在x0的某个去心领域有界B.f（x）在x0的任意去心领域有界C.f（x）在x0的某个去心领域无界D.f（x）在x0的任意去心领域无界参考答案：A3.直线y=2x，y=x/2，x+y=2所围成图形的面积为（）A.2/3B.3/2C.3/4D.4/3参考答案：A4.计算y=3x^2在[0，1]上与x轴所围成平面图形的面积=（）A.0B.1C.2D.3参考答案：B5.f（x）={0（当x=0）} {1（当x≠0）}则（）A.x-0，limf（x）不存在B.x-0，lim[1/f（x）]不存在C.x-0，limf（x）=1D.x-0，limf（x）=0参考答案：C6.x=0是函数f（x）=xarctan（1/x）的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点参考答案：B7.设f（x）是可导函数，则（）A.∫f（x）dx=f'（x）+CB.∫[f'（x）+C]dx=f（x）C.[∫f（x）dx]'=f（x）D.[∫f（x）dx]'=f（x）+C参考答案：C8.已知y=4x^3-5x^2+3x-2，则x=0时的二阶导数y”=（）A.0B.10C.-10D.1参考答案：C9.集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示（）A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合参考答案：B10.集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示（）A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合参考答案：B11.设函数f（x）=x（x-1）（x-3），则f'（0）=（）A.0B.1C.3D.2参考答案：C12.已知z=3sin（sin（xy）），则x=0，y=0时的全微分dz（）A.dxB.dyC.dx+dyD.0参考答案：D13.下列结论正确的是（）A.若|f（x）|在x=a点处连续，则f（x）在x=a点也必处连续B.若[f（x）]^2在x=a点处连续，则f（x）在x=a点也必处连续C.若[f（x）]^3在x=a点处连续，则f（x）在x=a点也必处连续D.若f（x）在x=a点处连续，则1/f（x）在x=a点也必处连续参考答案：C14.设函数f（x-2）=x^2+1，则f（x+1）=（）A.x^2+2x+2B.x^2-2x+2C.x^2+6x+10D.x^2-6x+10参考答案：C15.设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，且在[a，b]区间积分∫f（x）dx=∫g（x）dx，则（）A.f（x）在[a，b]上恒等于g（x）B.在[a，b]上至少有一个使f（x）≡g（x）的子区间C.在[a，b]上至少有一点x，使f（x）=g（x）D.在[a，b]上不一定存在x，使f（x）=g（x）参考答案：C16.无穷小量是一种很小的量。
吉林大学考试复习试题高中起点数学复习题
高中起点数学复习题 一．多选题1. 已知},)14(|{},,)12(|{Z k k y y Y Z n n x x X ∈±==∈+==ππ，那么下列各式中不正确的是(ACD )． A ．Y X ⊂B ．Y X =C ．Y X ⊃D ．∅=Y X2．若函数1)1()1()(22+-+-=x m x m x f 是偶函数，则在区间]0,(-∞上)(x f 是(BC )A ．不可能是增函数，也不可能是常函数B ．增函数C ．常函数D ．减函数3．已知}3|),{(},311|),{(+===+-=kx y y x B x yy x A ，并且∅≠B A ，则k 的值是( BD )A ．K ≠2B .K =2C .K ≠3 D.K =34．设集合},,{},,,,,{e a c Y e d c b a X ==，则这两个集合不满足的关系是（ ABD ）。
Ａ．X Y X =⋂； Ｂ．Y Y X =⋃； Ｃ．X Y X =⋃； Ｄ．Y Y X X =⋂⋃)( 6．原点到直线2+=kx y 的距离2是，则k 等于 ( BD ) A.K ≠1 B.K =1 C.K ≠-1 D.K =-17．函数3519222+-=x x y 的定义域是 ( AD )A ．25≠x B.25=x C.7=x D.7≠x 8.原点到直线2+=kx y 的距离2是，则k 等于( AB ) A. K = -1 B.K = 1 C.K ≠-1 D.K ≠1 9．已知13log <a ，则a 的取值范围是( BC )．A.-1<a<0B.0<a<1C.a>3D.a<310.已知}3{},4{2<=>=x x N x x M ，下列结论中不正确的是（ BCD ）Ａ．R N M =⋃； Ｂ．}4{2>=⋃x x N M ；Ｃ．}32{<<=⋂x x N M ； Ｄ．}2{-<=⋂x x N M11. 函数)(x f y =在(0, 2)上是增函数，函数)2(+=x f y 是偶函数，则下列结论中不正确的是( B )．A ．)27()25()1(f f f <<B ．)25()1()27(f f f <<C ．)1()25()27(f f f <<D ．)27()1()25(f f f <<12．两直线542,0322=+=++y x y x k 没有公共交点，则K 值是（ AB ） A ．K=1 B .K=–1 C.K=2 D.K=–213．两平行线分别过)0,1(A ，)5,0(B 且距离为5，则它们的方程是( AD ) A.y=0 B.y=1 C.y=2 D.y=514．已知0},,{},2,,{2≠=++=a aq aq a N d a d a a M ，且N M =，则q 的值( A ) A ．1=q B 。
吉林大学2020级高数下考A答案(0001)
《高等数学》（下）试卷A适用专业：考试日期：试卷类型：闭卷 考试时刻：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共6小题，每空2分，共14分)1.设z=22x xy y ++，那么x z∂∂=2x+y ; yz∂∂= 2y+x . 2.改变积分顺序24(,)dy f x y dx ⎰⎰=42(,)dx f x y dy ⎰⎰ .3.函数 z=2x 2+y 2在点P(1,1)处的梯度为__(4,2)________4.级数∑∞=11n n的敛散性为 发散 .5.设平面曲线L 为下半圆周y=-21x -,那么曲线积分⎰+Lds y x )(22=__________6.曲线x=41t 4,y=31t 3,z=21t 2在相应点t=1处的切线方程为__111432xyz_____________ 二.单项选择. (共8小题，每题3分，共24分)D 为圆域:x2+y2≤1,Ddxdy ⎰⎰=A.那么A =( A ) .(A) π (B) 4π (C)2π (D) 3π. 2.lim 0n n u →∞≠是级数1nn u∞=∑发散的（A ）(A)．充分条件 (B). 必要条件 (C).充要条件 (D).无关条件3.积分()(),,LP x y dx Q x y dy +⎰与途径无关的充要条件是(A )(A) .P Q y x ∂∂=∂∂ (B). P Q y x∂∂=-∂∂ (C). P Q x y ∂∂=∂∂ (D). P Qy y∂∂=∂∂ 4.设3z x y =，那么dz =( B ).(A)dx dy + (B)233x ydx x dy + (C)3x dx ydy + (D) 23x ydx ydy +⎰++-c y x xdyydx 22的值为( C ),其中C 取圆周221x y +=的正向.（A ）、π (B)、-2π (C)、 2π (D)、－π2)()(y x ydydx ay x +++为某一函数的全微分,那么a=( C )(A) -1 (B) 0 (C) 2 (D) 17.设∑为锥面z=22y x +介于z=0与z=1之间的部份,1∑是∑在第一卦限的部份,那么⎰⎰∑++ds xz yz xy )(=(A )(A)0 (B)4⎰⎰∑1xyds (C) 4⎰⎰∑1zyds(D) 4⎰⎰∑1xzdsx (x 0,y 0)与f y (x 0,y 0)均存在是函数f(x,y)在点(x 0,y 0)处持续的(D )条件(A) 充分 (B)必要 (C)充要 (D)无关 三.(8分)设z=x 3y 2-3xy 3-xy+1，求22x z ∂∂ ,22yz∂∂。
吉林大学 2008-2009高数BII试题答案
吉林大学2008~2009学年第二学期《高等数学B Ⅱ》试卷参考答案（注：可根据实际情况对评分标准进行调整）一、单项选择题：1． 2．d x y . 3．1a <． 4．32． 5．8π． 6．12． 三、按要求解答下列各题1．求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程．解：设222239F x y z =++-，则4,6,2x y z F x F y F z '''=== ………2分于是椭球面222239x y z ++=上过点(,,)x y z 的切平面的法线向量{}2,3,n k x y z =平面23210x y z -++=的法向量{}12,3,2n =- ，且1//n n所以112,,x y z k k k==-= …………….4分 又点(,,)x y z 在椭球面上，代入得切点为(1,1,2),(1,1,2)---……………6分 从而所求切平面方程为2329x y z -+=± …………………………………8分2．设函数2(,)x z y f x y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求zx ∂∂和2z x y∂∂∂.解：121z f f x y∂''=+∂ ………………………………………………………4分 2212222231z x xf f f x y y y y∂'''''=---∂∂ ………………………………………8分 3．计算二重积分2222I [sin()e ]d d ,yDx x y x x y -=++⎰⎰其中D 是以(0,0)，(1,1)，(1,1)-为顶点的三角形闭区域．解：222222I sin()d d e d d 0e d d y yDDDx x y x y x x y x x y --=++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ …4分 22122012I e d d d e d 13e y y y y Dx x y y x x ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ……………………….8分4．将d e 1,0d ()1,02x x x x f x x ⎧⎛⎫-≠⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=⎪⎩展开成x 的幂级数，并求数项级数1(1)!n nn ∞=+∑的和．解：22111e 1112!12!3!xx x x x xx +++--==+++ ……………..4分所以d e 1d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2123,(,)2!3!4!x x x +++∈-∞+∞ ………………..6分 1121d e 1e e 11(1)!d x x x x x n n x n x x x ∞===⎛-⎫-+=== ⎪+⎝⎭∑ ……………..……….8分5．计算曲面积分()333I c o s c o s c o s d xy z S αβγ∑=++⎰⎰ ，其中∑是球面2221x y z ++=，,,αβγ是∑在点(,,)x y z 处的外向法线的方向角.解法1：直接利用高斯公式222I 3()d x y z v Ω=++⎰⎰⎰ ………………………………………4分2403d d sin d ar r ππθϕϕ=⎰⎰⎰ ………………………….………6分512.5a π=…………………………………………8分 解法2：利用对面积的曲面积分的计算球面上任一点(,,)x y z 的外法线通过原点，故有{},,n x y z =….2分{}cos ,cos ,cos ,,n x y z a a a n αβγ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭………………………..4分4441I ()d x y z S a ∑=++⎰⎰ 512.5a π= ……………………………8分 6. 求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域，并求其和函数.解：1lim1nn n a R a →∞+==，当1x =±时，发散，收敛域为(1,1)- ………..4分 和函数()0(21)2nnn n n n S x n xnx x ∞∞∞====+=+∑∑∑21,(1,1)(1)xx x +=∈-- …………………………………….8分 7. 求微分方程2e xy y y x '''++=的通解.解：特征方程为2210r r ++=，121r r ==- …………………………..2分对应的齐次方程的通解为12()e xy C C x -=+ ……………………………4分 因为1不是特征根，设特解的形式为*()e xy ax b =+ 代入原方程得*111,,(1)e 444x a b y x ==-=- ………………….6分 所求通解为121()e (1)e 4xx y C C x x -=++- ……………………8分 8. （1）确定函数()f x ，使曲线积分()(),0,0e (1)()d ()d 1x y x nn x f x y x f x y x ⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦⎰与路径无关；（2）如果(0)0f =，计算此曲线积分.解：（1）(1)()()1x n P Q ne xf x f x y x n ∂∂'=⇒++=∂∂+ ………………………..2分 解此一阶线性非齐次方程得()(1)(e )nxf x x C =++ ………………………4分 （2）(0)0f =⇒()(1)(e 1)nxf x x =+- ………………………………………6分 所求曲线积分(1)(e 1)nxx y =+- ………………………………….8分。
吉大高等数学试题及答案
吉大高等数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B2. 计算不定积分 \(\int \frac{1}{x} dx\) 的结果是？A. \( x \)B. \( \ln|x| + C \)C. \( e^x \)D. \( \ln(x) \)答案：B3. 以下哪个极限不存在？A. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\)B. \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\)C. \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}\)D. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\)答案：D4. 微分方程 \( y' + 2y = 0 \) 的通解是？A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = C\sin(2x) \)D. \( y = C\cos(2x) \)答案：A5. 以下哪个级数是发散的？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值是 _______。
答案：02. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是 _______。
答案：\( \frac{1}{x} \)3. 函数 \( y = e^x \) 的二阶导数是 _______。
吉林大学2020年9月高等数学(理、专)练习题B附标准答案
七、解答题
1.求极限 .
2.求函数 的微分.
3.求不定积分 .
A.1；B.0；C.2；D.3. 更多加微boge30619
(5)下列所给微分方程 的解中，是通解的是（ ）.
A. ；B. ；
C. ；D. .
(6).下面反常积分发散的是（ ）.
(7). 方程 的特解形式为（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
(8).函数 的单调增加区间为（ ）.
（A） ; （B） ;
吉林大学2020年9月高等数学（理、专）练习题B附标准答案
一、选择题
(1)下列等式成立的是（ ）.
A. ；B. ；C. ；D. .
(2) 正弦曲线 在点 处的切线方程的为（ ）.
A. ；B. ；C. ；D. .
(3)下列不定积分不正确的是（ ）.
A. ；B. ；
C. ；D. .
(4)定积分 等于（ ）.
（C） ; （D） .
二、填空题
1. .
2.曲线 在点 处的切线方程为.
3.设 则 .
4.设 则 .
5..
6. .
7.曲线 在点 处的法线方程为.
8.设 则 .
9.设 则 .
10..
三、计算题
1.
2.
3. 设 为何值时， 在 内连续？
4. 设 求
5.设 求
6求 .
7求函数 的导数.
四、计算由 与 所围成的图形面积.
吉大《高等数学(理专)》作业考核试题满分答案
答案：C
1
函数y=sinx没有拐点存在。（）
A错误
B正确
答案：A
2
一元函数可导的充要条件是左右导数都存在且相等。
A错误
B正确
答案：B
3
函数y=sinx没有拐点存在。（）
A错误
B正确
答案：A
4
复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对
3
下列函数中（）是奇函数
A xsinx
B x+cosx
C x+sinx
D |x|+cosx
答案：C
设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则f’(0)=( )
A -6
B -2
C 3
D -3
答案：A
5
已知函数y= 2cos3x-5e2x,则x=0时的微分dy=（）
A 10
B 10dx
C -10
答案：A
13
已知f(x)的一个原函数是e^(-x),则∫xf'(x)dx等于（）
A xe^(-x)+e^(-x)+C
B xe^(-x)-e^(-x)+C
C -xe^(-x)-e^(-x)+C
D -xe^(-x)+e^(-x)+C
答案：C
14
集合B是由能被3除尽的全部整数组成的，则B可表示成
A {3，6，…，3n}
D -10dx
答案：D
6
集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示
A A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合
B A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合
吉林大学2018~2019学年第二学期《高等数学BⅡ》试卷答案
吉林大学2018~2019学年第二学期《高等数学B Ⅱ》试卷答案2018年6月28日一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ B ）． （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界；（B ）0(,)f x y 在点0x 处连续，0(,)f x y 在点0y 处连续； （C ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续； （D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处可微．2．级数(常数0>a )1(1)(1cos )∞=--∑nn a n （ A ）． （A ）绝对收敛； （B ）条件收敛； （C ）发散； （D ） 敛散性与a 有关． 3．已知()()2yx ydydx ay x +++为某函数的全微分，则a 等于（ D ）． （A ）1-； （B ）0； （C ）1； （D ）2. 4. 设∑为锥面z 被圆柱面22=2x y x +截下的部分, 则d ∑⎰⎰z S 等于 ( C )．（A ）329；（B ）163； （C ）9； （D ）3．5．设函数()f x 连续，且满足()0()e d xf t f x t -=⎰，则(1)f = ( B ) ．（A ）0； （B ）ln 2； （C ）1； （D ）e ．6．方程22(cos 2sin )xy y y e x x x '''-+=+特解的形式为( D )（A ）1[()cos sin ]xy e Ax B x C x =++；（B ）y e Ax x C x x1=+[cos sin ]；（C ）y e Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ] ； （D ）y xe Ax B x Cx D x x 1=+++[()cos ()sin ].二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1．函数 32yz xy u += 在)1,1,2(0-P 处沿方向)1,2,2(-=l 的方向导数为 8/3 ．2．已知(1,2)4,d (1,2)8d 4d ,d (1,4)16d 8d ==+=+f f x y f x y ，则(,(,))z f x f x y =在点（1, 2）处对x 的偏导数为 80 ．3．222:D x y a +=, 则22(2sin 44)d =+-++⎰⎰Dx y I x y p q σ=4211()44++a a p qππ． 4．已知曲线Γ是平面0x y z ++=与球面2222x y z R ++=的交线，则()22d Γ=++⎰I x y z s = 343R π ．5．已知幂级数()2nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数()03nn n a x ∞=-∑的收敛域为 15<≤x ．6．将函数()1, 0212, 12x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩展开成周期为2的正弦级数，记正弦级数的和函数为()S x ,则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭= 12- ．三、计算题（共8道小题，每小题8分，满分64分）1．设(), , z f x y x y xy =+-,函数f 存在二阶连续的偏导数，求d z 和2.∂∂∂zx y解()()()()()()()()123123123132333111322233333+++ 8∂∂''''''=+=+++-+∂∂∂∂∂∂'''''''''=++=∂∂∂∂'''''''''''=++-+-++xy z zdz dx dy f f yf dx f f xf dy x y z f f yf f f y f f y y y yf x y f f x y f f xyf ……分……分2．求曲线23=⎧⎪=-⎨⎪=⎩x ty t z t 与平面24++=x y z 平行的切线方程．解 曲线的切向量为2(1,2,3)=-s t t . 平面的法向量为(1,2,1)=n .……….2分由题意⊥s n ,得到21430-+=t t解得11,3==t t ……….4分 当13=t 时，切点为111(,,)3927-，切向量为21(1,,)33-，切线方程为11192721133+--==-y z x …….6分 当1=t 时，切点为(1,1,1)-，切向量为(1,2,3)-，切线方程为111123-+-==-x y z …….8分3．设函数()f x 在[)0, +∞上连续，且单调增加有上界，证明级数()()11d ∞-=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑⎰n n n f n f x x 收敛． 证明()()()()()()()()()()()()()()()()1111, 11101 1..2..04..6---==-≤≤⇒-≤≤⇒-≤≤⇒≤-≤--=--=-⎡⋯⋯⋯⋯⋯⎤⎦⋯⎣⎰⎰⎰∑nn n n n n nn k f x dx f n n f n f f n f n f x dx f n f n f x dx f n f n S f k f k f n f ξξξ根据积分中值定理：又：分分部分和分又已知()f x 在[)0, +∞上单调增加有界，故()lim n f n →∞存在，则()()11n f n f n ∞=--⎡⎤⎣⎦∑收敛，由正项级数的比较法知()()11n n n f n f x dx ∞-=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑⎰收敛. ..8⋯⋯分4．求二元函数22(,)(2)ln =++f x y x y y y 的极值.解 由222(2y )02ln 10'⎧=+=⎪⎨'=++=⎪⎩x yf x f x y y 的驻点为1(,)x e ……..2分 2212(2),4,2''''''=+==+xxxy yy f y f xy f x y……………..4分 211(0,)2(2)0,e e 1(0,)0,e 1C (0,)e e''==+>''==''==xxxyyyA fB f f ………….6分 20,0.->>AC B A 且 故函数在1(,)x e取极小值，极小值为11(0,).e e=-f ………8分5．求幂级数1112n n n x n ∞-=∑的收敛域及和函数. 解 级数的收敛域为[2,2)-.当(2,2)0∈-≠x x 且时，011111()22n x n n n n n x S x x dx x n x n ∞∞=='⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰10000111111222121[ln 2ln(2)]((2,2),0)+∞=⎛⎫==⋅= ⎪-⎝⎭-=--∈-≠∑⎰⎰⎰n x x x n x dx dx dx x x x x x xx x x x()S x 在收敛域内是连续的00ln 2ln(2)11(0)limlim 22x x x S x x →→--===-2ln 2ln(2)ln 2(2)lim 2+→----==x x S x 6. 设(,)Q x y 在平面xoy 上具有一阶连续的偏导数, 曲线积分2d (,)d +⎰Lxy x Q x y y 与路径无关, 并且对任意实数t , 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2d (,)d 2d (,)d t t xy x Q x y y xy x Q x y y +=+⎰⎰,求函数(,)Q x y .解 由曲线积分与路径无关有(2)2∂∂==∂∂Q xy x x x………………2分 于是2(,)()=+Q x y x y ϕ……………3分(,1)1122(0,0)0(1,)2(0,0)2(,)(())()2(,)(1())()+=+=++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t ttxydx Q x y dy t y dy t y dyxydx Q x y dy y dy t y dyϕϕϕϕ. …………6分由已知条件有12()()+=+⎰⎰tt y dy t y dy ϕϕ两端对t 求导得21()=+t t ϕ2()21,(,)2 1.=-=+-y y Q x y x y ϕ…………8分7. 计算曲面积分333d d d d +d d ∑+++⎰⎰x y z y z x z x y ，其中∑为锥面=z 与两球面2221x y z ++=及2224x y z ++=所围成的立体（锥面内部的）表面的外侧．解333+∑+++⎰⎰x dydz y dzdx z dxdy222(333)x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰…………3分2222413sin d d r r dr ππθϕϕ=⎰⎰⎰…………6分222240193(23sin 5d d r r dr ππθϕϕπ==⎰⎰⎰…………8分 8. 求微分方程24e ''=++xy y x 的通解．解 方程所对应的齐次方程的特征方程为240-=r ，特征根为122==r r ………2分齐次方程的通解为212()e =+xY C C x ………3分 设方程4''-=y y x 的特解为1,*=y Ax ………4分代入方程得14=-A ，故11.4*=-y x ………5分 设方程24e ''-=xy y 的特解为22e ,*=x y Bx ………6分代入方程得14=A ，故221e .4*=x y x ………7分方程的通解为22121,211()e ,44=+-+xx y C C x x xe C C 为任意常数………8分。
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高等数学（一）机考复习题一．单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题干后的括号内.)1.函数y=x 1-+arccos21x +的定义域是(B) A.x<1B.-3≤x ≤1 C.(-3，1)D.{x|x<1}∩{x|-3≤x ≤1} 2.下列函数中为奇函数的是（D ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4)D.y=1e 1e x x+-3.设f(x+2)=x 2-2x+3,则f[f(2)]=(D) A.3B.0 C.1D.24.y=的反函数是xx 323+(C)A.y=233xx +-- B.y=xx 332+ C.y=log 3x 1x 2- D.y=log 3x2x1-5.设n n u ∞→lim =a,则当n →∞时，u n 与a 的差是（A ）A ．无穷小量B.任意小的正数C ．常量D.给定的正数6.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>0x ,x 1sin x 0x ,x1sin ,则)x (f lim 0x +→=（D ）A ．-1B.0 C.1D.不存在 7.当0x →时,x cos x sin 21是x 的(A)A.同阶无穷小量B.高阶无穷小量C.低阶无穷小量D.较低阶的无穷小量8.x21sinx 3lim x •∞→=(D) A.∞B.0 C.23D.329.设函数⎩⎨⎧≤<-≤<-=3x 1,x 21x 0,1x )x (f 在x=1处间断是因为(D)A.f(x)在x=1处无定义B.)x (f lim 1x -→不存在C.)x (f lim 1x +→不存在D.)x (f lim 1x →不存在10.设f(x)=⎩⎨⎧≥+<0x )x 1ln(0x ,x ,则f(x)在x=0处(B)A.可导B.连续,但不可导C.不连续D.无定义 11.设y=2cosx ,则y '=(C)A.2cosx ln2B.-2cosx sinxC.2cosx (ln2)sinxD.-2cosx-1sinx12.设f(x 2)=)x (f ),0x (x11'≥+则=(C) A.-2)x 1(1+ B.2x 11+ C.-2)x 1(x 21+ D.2)x 1(x 21+13.曲线y=1x x132=在处切线方程是(D)A.3y-2x=5B.-3y+2x=5C.3y+2x=5D.3y+2x=-514.设y=f(x),x=e t,则22dt y d =(D)A.)x (f x 2''B.)x (f x 2''+)x (f x 'C.)x (f x ''D.)x (f x ''+xf(x)15.设y=lntg x ，则dy=(D)A.xtg dx B.xtg x d C.dx xtg x sec 2 D.xtg )x tg (d16.下列函数中，微分等于xln x dx的是(B) A.xlnx+cB.21ln 2x+cC.ln(lnx)+cD.xxln +c 17.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是(B)A.y=|x|,[-1,1]B.y=x1,[1,2]C.y=32x ,[-1,1]D.y=2x 1x -,[-2,2]18.函数y=sinx-x 在区间［０,π］上的最大值是(A)A.22B.0C.-πD.π 19.下列曲线有水平渐近线的是（B ） A.y=e x B.y=x 3 C.y=x 2D.y=lnx20.⎰-2x x dee =(A)A.-c e 21x 2+ B.-c e 2x+C-c e 212x +- D.c e 412x+-21.⎰=dx 2x3(A)A.c 2ln 231x 3+ B.31(ln2)23x+cC.3123x +cD.c 2ln 2x3+ 22.⎰+πdx )14(sin=(D) A.-cos4π+x+cB.-c x 4cos 4++ππ C.c 14sin x ++πD.c x 4sin x ++π 23.⎰-)x cos 1(d =(C)A.1-cosxB.x-sinx+cC.-cosx+cD.sinx+c24.⎰-aax 〔f(x)+f(-x)〕dx=(C)A.4⎰axf(x)dxB.2⎰ax 〔f(x)+f(-x)〕dxC.0D.以上都不正确25.设F(x)=⎰-x adt )t (f a x x，其中f(t)是连续函数，则)x (F lim a x +→=(C)A.0B.aC.af(a)D.不存在26.下列积分中不能直接使用牛顿—莱布尼兹公式的是(D)A.⎰+10xe 1dx B.⎰π40tgxdx C.dx x 1x 12⎰+ D.⎰π40ctgxdx27.设f(x)=⎩⎨⎧≤≤<≤-1x 0,20x 1,1，则⎰-11dx )x (f 21=(B)A.3B.23C.1D.228.当x>2π时，⎰π'x2dt )ttsin (=(C) A.x x sin B.x x sin +cC x x sin -π2D.xx sin -π2+c29.下列积分中不是广义积分的是(A)A.⎰-2122)x 1(dx B.⎰e1xln x dxC.⎰-113xdx D.⎰+∞-0x dx e30.下列广义积分中收敛的是(D)A.⎰+∞xdx sin B.⎰-11xdx C.⎰--012x 1dx D.⎰∞--0x dx e31.下列级数中发散的是(D)A.∑∞=--1n 1n n 1)1( B.∑∞=-++-1n 1n )n 11n 1()1( C.∑∞=-1n nn1)1( D.∑∞=-1n )n1(32.下列级数中绝对收敛的是(A)A.∑∞=--1n 1n nn )1( B.∑∞=--1n 1n n1)1(C.∑∞=-3n n n ln )1( D.∑∞=--1n 321n n )1(33.设+∞=∞→n n u lim ，则级数)u 1u 1(1n 1n n ∑∞=+-(A) A.必收敛于1u 1B.敛散性不能判定C.必收敛于0D.一定发散 34.设幂级数∑∞=-0n n n )2x (a 在x=-2处绝对收敛，则此幂级数在x=5处(C)A.一定发散B.一定条件收敛C.一定绝对收敛D.敛散性不能判定35.设函数z=f(x,y)的定义域为D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1}，则函数f(x 2,y 3)的定义域为(B)A.{(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1}B.{(x,y)|-1≤x ≤1,0≤y ≤1}C.{(x,y)|0≤x ≤1,-1≤y ≤1}D.{(x,y)|-1≤x ≤1,-1≤y ≤1}36.设z=(2x+y)y，则=∂∂)1,0(xz (B)A.1B.2C.3D.037.设z=xy+yx,则dz=(A)A.(y+dy )yx x (dx )y12-+ B.dy )y 1y (dx )yxx (2++- C.(y+dy )yx x (dx )y12++ D.dy )y 1y (dx )y xx (2+++38.过点(1，-3，2)且与xoz 平面平行的平面方程为(C)A.x-3y+2z=0B.x=1C.y=-3D.z=239.⎰⎰≤≤-≤≤1y 11x 0dxdy=(C)A.1B.-1C.2D.-240.微分方程y x 10y +='的通解是(D)A.c 10ln 1010ln 10y x =--B.c 10ln 1010ln 10y x =- C.10x +10y =cD.10x +10-y =c 41．设函数f )x1x (+=x 2+2x 1，则f(x)=（B ）A ．x 2B ．x 2-2C ．x 2+2D ．24x 1x +42．在实数范围内，下列函数中为有界函数的是（B ） A ．e x B ．1+sinxC ．lnx D ．tanx43．=++++∞→2x 1x x limx （C ）A ．1B ．2C ．21D ．∞44．函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1sin x ，在点x=0处（D ） A ．极限不存在 B ．极限存在但不连续C ．可导D ．连续但不可导45．设f(x)为可导函数，且1x2)x (f )x x (f lim000x =∆-∆+→∆，则=')x (f 0（C ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．2146．设F(x)=f(x)+f(-x)，且)x (f '存在，则)x (F '是（A ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶的函数D ．不能判定其奇偶性的函数47．设y=xxln ，则dy=（C ） A ．2x x ln 1- B ．dx x x ln 12-C ．2x 1x ln - D ．dx x 1x ln 2-48.函数y=2｜x ｜－1在x=0处(D)A.无定义B.不连续C.可导D.连续但不可导49．下列四个函数中，在[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（B ）A ．y=|x|+1B ．y=4x 2+1 C ．y=2x 1D ．y=|sinx|50．函数y=3x3x ln2-+的水平渐近线方程是（C ） A ．y=2 B ．y=1 C ．y=-3 D ．y=051．若)x (F '=f(x)，则⎰'dx )x (F =（C ） A ．F(x)B ．f(x)C ．F(x)+CD ．f(x)+C52．设f(x)的一个原函数是x ，则⎰xdx cos )x (f =（A ）A ．sinx+CB ．-sinx+CC ．xsinx+cosx+CD ．xsinx -cosx+C53．设F(x)=dt te 1xt 2⎰-，则)x (F '=（D ）A ．2x xeB ．2x xe -C ．2x xe -D ．2x xe --54．设广义积分⎰+∞α1x1发散，则α满足条件（A ）A ．α≤1B ．α<2C ．α>1D ．α≥155.设z=cos(3y -x)，则xz∂∂=（A ） A ．sin(3y -x) B ．-sin(3y -x)C ．3sin(3y -x)D ．-3sin(3y -x)56．函数z=x 2-y 2+2y+7在驻点（0，1）处（C ）A ．取极大值B ．取极小值C ．无极值D ．无法判断是否取极值57．设D={(x,y)|x ≥0，y ≥0,x+y ≤1}，⎰⎰⎰⎰βα+=+=D2D1dxdy )y x (I ,dxdy )y x (I ，0<α<β，则（A ）A ．I 1>I 2B ．I 1<I 2C ．I 1=I 2D ．I 1，I 2之间不能比较大小58．级数5n 7n)1(1n 1n --∑∞=-的收敛性结论是（A ）A ．发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．无法判定59．幂级数n1n n x 3n 3∑∞=+的收敛半径R=（C ）A ．41B ．4C ．31D ．360．微分方程y ln y y x ='的通解是（C ）A ．e x +CB ．e -x +CC ．e CxD ．e -x+C61.下列集合中为空集的是（ D ）A.{x|e x =1}B.{0}C.{(x,y)|x 2+y 2=0}D.{x|x 2+1=0,x ∈R}62.函数f(x)=2x 与g(x)=x 表示同一函数，则它们的定义域是（ B ）A.(]0,∞-B.[)+∞,0C.()+∞∞-,D.()+∞,063.函数f(x)==π-⎩⎨⎧≥<)4(f ,1|x |,01|x ||,x sin |则（ C ）A.0B.1C.22D.-22 64.设函数f(x)在[-a,a](a>0)上是偶函数，则f(-x)在[-a,a]上是（ B ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.可能是奇函数，也可能是偶函数65.=+→)2x (x x2sin lim0x （ A ） A.1 B.0 C.∞ D.266.设2x10x e )mx 1(lim =-→，则m=（ B ）A.21 B.2 C.-2D.21-67.设f(x)=⎩⎨⎧=≠2x ,12x ,x 2,则=→)x (f lim 2x （ D ）A.2B.∞C.1D.468.设x1e y -=是无穷大量，则x 的变化过程是（ B ）A.x →0+B.x →0-C.x →+∞D.x →-∞69.函数在一点附近有界是函数在该点有极限的（ A ）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件70.定义域为[-1，1]，值域为（-∞，+∞）的连续函数（ B ）A.存在B.不存在C.存在但不唯一D.在一定条件下存在71.下列函数中在x=0处不连续的是（ B ）A.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,10x ,|x |xsinB.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1sin x C.f(x)=⎩⎨⎧=≠0x ,10x ,e xD.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1cos x 72.设f(x)=e 2+x,则当△x →0时，f(x+△x)-f(x)→（ D ）A.△xB.e 2+△xC.e 2D.0 73.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0x ,1x 0x ,e 2x ，则=---→0x )0(f )x (f lim 0x （ C ） A.-1 B.-∞C.+∞ D.174.设总收益函数R(Q)=40Q-Q 2，则当Q=15时的边际收益是（ B ）A.0B.10C.25D.37575.设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f ＇(0)=（ C ）A.0B.1C.3D.3！76.设y=sin 33x，则y ＇=（ D ）A.3x sin 32B.3x sin 2C.3xcos 3x sin 32D.3xcos 3x sin 277.设y=lnx,则y (n)=（ C ）A.(-1)n n!x -nB.(-1)n (n-1)!x -2nC.(-1)n-1(n-1)!x -nD.(-1)n-1n!x -n+178.=)x (d )x (sin d 2（ D ） A.cosx B.-sinxC.2xcos D.x2xcos 79.f ＇(x)<0,x ∈(a,b)，是函数f(x)在(a,b)内单调减少的（ C ）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无关条件80.函数y=|x-1|+2的极小值点是（ B ）A.0B.1C.2D.381.函数y=2ln3x3x -+的水平渐近线方程为（ C ） A.y=2 B.y=1 C.y=-3 D.y=082.设f(x)在[a,b](a<b)上连续且单调减少，则f(x)在[a,b]上的最大值是（ A ）A.f(a)B.f(b)C.)2ba (f + D.)3a2b (f + 83.=-⎰2)3y 2(dy（ D ） A.C )3y 2(613+--B.C )3y 2(613+- C.C 3y 21+- D.C )3y 2(21+--84.设f(x)在（-∞，+∞）上有连续的导数，则下面等式成立的是（ B ）A.⎰+='C )x (f dx )x (f x 22B.⎰+='C )x (f 21dx )x (f x 22 C.⎰=')x (f 21)dx )x (xf (22D.⎰=)x (f dx )x (xf 2285.⎰=)tgx (xd sin ln （ A ） A.tgxlnsinx-x+CB.tgxlnsinx+x+CC.tgxlnsinx-⎰xcos dxD.tgxlnsinx+⎰xcos dx86.=+⎰--21dx 3x x（ B ）A.-1-3ln2B.-1+3ln2C.1-3ln2D.1+3ln2 87.⎰=π210dx )x 2(tg （ C ） A.2ln 21- B.2ln 21 C.2ln 1πD.2ln 1π-88.经过变换x t =，⎰=-94dx 1x x ( D )A.⎰-94dt 1t tB.⎰-942dt 1t t2 C.⎰-32dt 1t tD.⎰-322dt 1t t 2 89.⎰∞+-=1x dx e x1( A )A.e2B.-e2C.2eD.-2e90.⎰=-211x dx ( A )A.2B.1C.∞D.3291.级数∑∞=-1n nn25)1(的和等于( B )A.35B.－35C.5 D.－592.下列级数中，条件收敛的是( C )A.∑∞=--1n n 1n )32()1(B.∑∞=-+-1n 21n 2n n )1(C.∑∞=--1n 31n n1)1(D.∑∞=--1n 31n n51)1(93.幂级数∑∞=---1n n1n n)1x ()1(的收敛区间是（ A ） A.(]2,0 B.(]1,1- C.[]0,2-D.()+∞-∞,94.点（－1，－1，1）在下面哪一张曲面上( D )A.z y x 22=+B.z y x 22=-C.1y x 22=+D.z xy = 95.设f(u,v)=(u+v)2，则)yx ,xy (f =( B )A.22)x1x (y + B.22)y1y (x + C.2)y1y (x + D.2)x1x (y +96.设)x2y x ln()y ,x (f +=，则=')0,1(f y ( A ) A.21 B.1 C.2 D.097.设22y xy 3x 2z -+=，则=∂∂∂yx z2( B )A.6B.3C.－2D.298.下列函数中为微分方程0y y =+'的解的是( C )A.x eB.-x eC.x e -D.x e +x e -99.下列微分方程中可分离变量的是( B )A.2x x ydx dy += B.y xydx dy += C.)0k (1)b y )(a x (k dxdy≠+++=， D.x y sin dxdy=- 100.设D ：0≤x ≤1，0≤y ≤2，则⎰⎰+Ddxdy x1y=( D )A.ln2B.2+ln2C.2D.2ln2101.设函数f(x)=x x x kx +-≠=⎧⎨⎪⎩⎪4200,,在点x=0处连续，则k 等于(B) A.0B.14C.12D.2102.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e －x f(e －x )dx 等于(B)A.F(e －x)+cB.－F(e －x)+cC.F(e x )+cD.－F(e x )+c103.下列函数中在区间［－1，1］上满足罗尔中值定理条件的是(C)A.y=1xB.y=|x|C.y=1－x 2D.y=x －1104.设f t dt x()0⎰=a 2x －a 2,f(x)为连续函数，则f(x)等于(D)A.2a2xB.a 2x lnaC.2xa2x －1D.2a 2xlna105.下列式子中正确的是(B)A.e dx e dx x x 0112⎰⎰≤B.e dx e dx x x 01012⎰⎰≥C.e dx e dx x x 01012⎰⎰=D.以上都不对106.下列广义积分收敛的是(D)A.cos 1+∞⎰xdx B.sin 1+∞⎰xdx C.ln xdx 1+∞⎰ D.121xdx +∞⎰107.设f(x)=e x --21，g(x)=x 2，当x →0时(C)A.f(x)是g(x)的高阶无穷小B.f(x)是g(x)的低阶无穷小C.f(x)是g(x)的同阶但非等价无穷小D.f(x)与g(x)是等价无穷小108.交换二次积分dy f x y dx yy(,)⎰⎰01的积分次序，它等于(B)A.dx f x y dy xx(,)⎰⎰01B.dx f x y dy xx(,)201⎰⎰C.dx f x y dy xx(,)⎰⎰01D.dx f x y dy xx (,)21⎰⎰109.若级数n n u =∞∑1收敛，记S n =i ni u ∑∞=，则(B)A.lim n n S →∞=0B.lim n n S S →∞=存在C.lim n n S →∞可能不存在D.｛S n ｝为单调数列110.对于微分方程y ″+3y ′+2y=e －x ，利用待定系数法求其特解y *时，下面特解设法正确的是(D)A.y *=ae－xB.y *=(ax+b)e －xC.y *=axe －xD.y *=ax 2e －x二．判断题（正确的在括弧里用R 表示，错误的在括弧里用F 表示。