行程问题 教师版

第二讲相遇与追及

【专题知识点概述】

在今天这节课中，我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题的好习惯！

在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题.

一、相遇

甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是

甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么

相遇路程=甲走的路程+乙走的路程

=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间

=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间

=速度和×相遇时间.

一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即

二、追及

有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：

追及路程=甲走的路程-乙走的路程

=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间

=（甲的速度-乙的速度）×追及时间

=速度差×追及时间.

一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即t v S 差差

【重点难点解析】

1．直线上的相遇与追及

2．环线上的相遇与追及

【竞赛考点挖掘】

1. 多人多次相遇与追及

【习题精讲】

【例1】（难度等级 ※）

一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？

【分析与解】

（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．

【例2】（难度等级※）

两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？

【分析与解】

255÷（45+40）=255÷85=3（小时）。

45×3=135（千米）。

40×3=120（千米）。．

【例3】（难度等级※※）

两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？

【分析与解】

[3300-（82+83）×15]÷（82+83）

=[3300-165×15]÷165

=[3300-2475]÷165

=825÷165

=5（分钟）

【例4】（难度等级※）

甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？

【分析与解】

出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），即

两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.

10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时）．

【例5】（难度等级※※）

]南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?．

【分析与解】

两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）．

【例6】（难度等级※※）

军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰?

【分析与解】

“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.即（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），所以，经过20分钟可开炮射击“敌”舰．

【例7】（难度等级※※※）

小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少？

【分析与解】

小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为20÷5=4（米/秒）；若小红让小蓝先跑4

秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4×6=24（米），也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度.综合列式计算如下：小蓝的速度为：20÷5×6÷4=6（米/秒），小红的速度为：6+4=10（米/秒）

【例8】（难度等级※※※）

小明步行上学，每分钟行70米.离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明？【分析与解】

爸爸要追及的路程：70×12=840（米）,爸爸与小明的速度差：280-70=210（米/分）,爸爸追及的时间：840÷210=4（分钟）．

【例9】（难度等级※※※）

上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

【分析与解】

画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.

这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4