2014届高考数学(文)专题提分训练：圆的方程(含答案解析)]

圆的方程

高考试题

考点一求圆的方程

1.(2011年安徽卷,文4)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,

则a的值为( )

(A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3

解析:圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1,2),

由题意,3×(-1)+2+a=0,

∴a=1.

答案:B

2.(2009年辽宁卷,文7)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程

为( )

(A)(x+1)2+(y-1)2=2

(B)(x-1)2+(y+1)2=2

(C)(x-1)2+(y-1)2=2

(D)(x+1)2+(y+1)2=2

解析:由题意可设圆心坐标为(a,-a),

解得a=1,故圆心坐标为(1,-1),

半径

所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

答案:B

O位于y轴

3.(2010年广东卷,文6)若圆心在x

左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是( )

2+y2=5 2+y2=5

(C)(x-5)2+y2=5 (D)(x+5)2+y2=5

解析:设圆心为(a,0)(a<0).

因为直线x+2y=0与圆相切,

解得a=-5.

所以圆O 的方程为(x+5)2+y 2=5. 答案:D

4.(2013年江西卷,文14)若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程是 .

解析:因圆C 经过坐标原点O 和点A(4,0), 则圆心必在线段OA 的垂直平分线上, 即圆心的横坐标为2, 又因圆与直线y=1相切, 若设圆心坐标为(2,y), 则圆半径为1-y,

=1-y, 整理得y=-3

2

,

所以圆的方程是(x-2)2

+2

32y ??+ ??

?=25

4. 答案:(x-2)2

+2

32y ??+ ???

=25

4 5.(2011年辽宁卷,文13)已知圆C 经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x 轴上,则圆C 的方程为 . 解析:

设圆心坐标为(x,0),由题意得

解得x=2, ∴圆心为(2,0),

半径

∴圆的方程为(x-2)2+y2=10.

答案:(x-2)2+y2=10

6.(2010年新课标全国卷,文13)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为.

解析:半径

∴圆的方程为x2+y2=2.

答案:x2+y2=2

考点二直线与圆的位置关系的判定与应用

1.(2013年重庆卷,文4)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则PQ的最小值

为( )

(A)6 (B)4 (C)3 (D)2

解析:因(x-3)2+(y+1)2=4的圆心(3,-1)到直线x=-3的距离为6,圆的半径为2,故|PQ|min=4.故选B.

答案:B

2.(2013年陕西卷,文8)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线

ax+by=1与圆O的位置关系是( )

(A)相切(B)相交(C)相离(D)不确定

解析:由点M在圆外,得a2+b2>1,

<1,

所以圆心O到直线ax+by=1的距离

则直线与圆O相交,故选B.

答案:B

被圆x2+y2-2x-4y=0截得

3.(2013年安徽卷,文6)直线

的弦长为( )

(A)1 (B)2 (C)4

解析:直线与圆相交问题必考虑圆心到直线的距离,圆半径及半弦长组成的直角三角形.由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,所以圆心为

(1,2),

所以半弦长

为2,弦长为4.故选C.

答案:C

4.(2013年天津卷,文5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )

(A)-1

2(B)1 (C)2 (D)1

2

解析:由题知过P(2,2)与(x-1)2+y2=5相切的直线斜率存在.设过

P(2,2)与(x-1)2+y2=5相切的直线为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,

得k=-1

2

.

由切线与直线ax-y+1=0垂直得a=2.故选C.

答案:C

5.(2012年重庆卷,文3)设A、B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|等于( )

(D)2

解析:由于直线y=x经过圆心,所以|AB|=2r=2.

答案:D

6.(2012年广东卷,文8)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于( )

(D)1

解析:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,圆心到直线3x+4y-5=0的

距离

=1.

∴

答案:B

7.(2012年安徽卷,文9)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( )

(A)[-3,-1] (B)[-1,3]

(C)[-3,1] (D)(-∞,-3]∪[1,+∞)

解析:圆心坐标为(a,0),半径

圆心到直线的距离

,

∵直线与圆有公共点,

∴d≤r,

解得-3≤a≤1.

答案:C

8.(2012年湖北卷,文5)过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )

(A)x+y-2=0 (B)y-1=0

(C)x-y=0 (D)x+3y-4=0

解析:当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时,符合条件.

圆心O与P点连线的斜率k=1,

∴直线OP垂直于x+y-2=0.故选A.

答案:A

9.(2013年浙江卷,文13)直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.

解析:圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25,圆心(3,4)到直线2x-y+3=0

的距离

所以弦长为

答案

10.(2013年山东卷,文13)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为 .

解析:如图,设☉M,A(3,1),当所作弦与AM 垂直时弦最短

由

∴

答案11.(2013年湖北卷,文14)已知圆O:x 2+y 2=5,直线l:xcos θ+ysin θ

=10π02θ??

<< ??

?

.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k,则

k= .

解析:圆O:x 2+y 2=5的圆心到直线l 的距离为1,故过原点O 与l 平行的直线l 1与圆O 的2个交点到直线l 的距离为1,l 1关于l 对称的直线l 2与圆O 的2个交点到l 的距离也是1,故k=4. 答案:4

12.(2012年天津卷,文12)设m,n ∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x 轴相交于点A,与y 轴相交于点B,且l 与圆x 2+y 2=4相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小值为 .

解析:由题意知A 1,0m ?? ??

?

,B 1

0,n

??

??

?

,圆的半径为2,且l 与圆的相交弦长为2,

m 2+n 2=1

3

,且S △

AOB

=

1211m n =1

2mn ≥221m n

+=3,即三角形面积的最小值为3. 答案:3

13.(2012年江西卷,文14)过直线

上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P 的坐标是 . 解析:设P(x,y),由两条切线的夹角为60°,得切线与PO 的夹角为30°(O 为圆x 2+y 2=1的圆心),又圆的半径为1,所以|PO|=2,即x 2+y 2=4.与

x+y-2联立解得

即

答案

14.(2011年湖北卷,文14)过点(-1,-2)的直线l 被圆x 2+y 2-2x-2y+1=0

则直线l 的斜率为 .

解析:由题意知直线要与圆相交,必存在斜率,设为k,则直线方程为y+2=k(x+1),又圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为(1,1),半径为1,

∴圆心到直线的距离

解得k=1或

17

7. 答案:1或17

7

15.(2011年湖南卷,文15)已知圆C:x 2+y 2=12,直线l:4x+3y=25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为 ;

(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 .

解析:(1)圆心坐标为(0,0),圆心到直线4x+3y=25的距离

=5.

(2)设与直线4x+3y=25距离为2且与该直线平行的直线与圆交于P 、Q 两点.由(1)知,点O 到直线PQ 的距离为3,因为圆的半径为

故可得∠OPQ=60°.若点A 到直线l 的距离小于2,则点A 只能在弧PQ 上,故所求概率P=

60

360=16

. 答案:(1)5 (2)16

16.(2013年江苏卷,17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上

.

(1)若圆心C 也在直线y=x-1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M,使MA=2MO,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 解:(1)由题设,圆心C 是直线y=2x-4和y=x-1的交点, 解得点C(3,2),

于是切线的斜率必存在.

设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y=kx+3. 由题意,

=1,

解得k=0或k=-34

,

故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线y=2x-4上,

所以圆C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点M(x,y),

因为MA=2MO,

,

化简得x 2+y 2+2y-3=0,即x 2+(y+1)2=4,

所以点M 在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上. 由题意,点M(x,y)在圆C 上, 所以圆C 与圆D 有公共点, 则|2-1|≤CD ≤2+1,

即1 3. 整理,得-8≤5a 2-12a ≤0. 由5a 2-12a+8≥0, 得a ∈R; 由5a 2-12a ≤0, 得0≤a ≤

125

. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,

5??

????

. 17.(2013年四川卷,文20)已知圆C 的方程为x 2+(y-4)2=4,点O 是坐标原点.直线l:y=kx 与圆C 交于M,N 两点. (1)求k 的取值范围;

(2)设Q(m,n)是线段MN 上的点,且2

2OQ

=

2

1OM

+2

1ON

.请将n 表示为m

的函数.

解:(1)将y=kx 代入x 2+(y-4)2=4中,得 (1+k 2)x 2-8kx+12=0.(*)

由Δ=(-8k)2-4(1+k 2)×12>0, 得k 2>3.

所以,k 的取值范围是(-∞∪∞).

(2)因为M,N 在直线l 上,可设点M,N 的坐标分别为(x 1,kx 1),(x 2,kx 2),

则|OM|2=(1+k 2)21x ,|ON|2=(1+k 2)2

2x .

又|OQ|2=m 2+n 2=(1+k 2)m 2. 由

2

2OQ

=

2

1OM

+2

1ON

,得

()2221k m +=()22111k x ++()22

2

1

1k x +, 即22m =211x +22

1x =()2

121222122x x x x x x +-.

由(*)式可知,x 1+x 2=281k k +,x 1x 2

=2

12

1k +, 所以m 2=

2

36

53

k -. 因为点Q 在直线y=kx 上, 所以k=n m

,代入m 2=236

53

k -中并化简, 得5n 2-3m 2=36. 由m 2=

2

3653k -及k 2>3,可知0

<3, 即m ∈

∪

根据题意,点Q 在圆C 内,则n>0,

所以

.

于是,n 与m 的函数关系为

(m ∈

∪

18.(2011年新课标全国卷,文20)在平面直角坐标系xOy 中,曲线y=x 2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C 上. (1)求圆C 的方程;

(2)若圆C 与直线x-y+a=0交于A,B 两点,且OA ⊥OB,求a 的值.

解:(1)曲线y=x 2-6x+1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为

故可设C 的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2

2+t 2, 解得t=1.

则圆C

所以圆C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),其坐标满足方程组

()()22

0,

319,

x y a x y -+=???-+-=?? 消去y,得方程2x 2+(2a-8)x+a 2-2a+1=0. 由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a 2>0.

从而x 1+x 2=4-a,x 1x 2=2212

a a -+.①

由于OA ⊥OB,可得x 1x 2+y 1y 2=0. 又y 1=x 1+a,y 2=x 2+a,

所以2x 1x 2+a(x 1+x 2)+a 2=0.② 由①②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1. 考点三 圆与圆的位置关系的判定与应用

1.(2012年山东卷,文9)圆(x+2)2+y 2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系是( )

(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离

解析:两圆圆心、半径分别为(-2,0),2和(2,1),3,

∵两圆圆心之间的距离

,且3-2

2.(2011年广东卷,文8)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( )

(A)抛物线(B)双曲线(C)椭圆(D)圆

解析:法一设圆C的半径为r,则圆心C到直线y=0的距离为r.由两圆外切可得,圆心C到点(0,3)的距离为r+1,也就是说,圆心C到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,故点C到点(0,3)的距离和它到直线y=-1的距离相等,符合抛物线的特征,故点C的轨迹为抛物线. 法二由题意可知,圆C的圆心C在x轴上方,设其坐标为

(x,y)(y>0),

由圆C与y=0相切得圆C的半径r1=y,

圆x2+(y-3)2=1的圆心为(0,3),半径r2=1.

化简得8y=x2+8,

x2+1,

即y=1

8

∴圆心的轨迹是抛物线.

答案:A

3.(2011年大纲全国卷,文11)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等

于( )

(A)4

解析:∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),

∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.

设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),

则有(4-a)2+(1-a)2=a2,

(4-b)2+(1-b)2=b2,

即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,

整理得x2-10x+17=0,

∴a+b=10,ab=17.

∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,

∴|C1C2=8.

答案:C

4.(2012年江苏卷,12)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为

x 2+y 2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 . 解析:圆C 的标准方程为(x-4)2+y 2=1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,

≤2.

整理,得3k 2-4k ≤0, 解得0≤k ≤43

. 故k 的最大值为43

. 答案:43

5.(2009年天津卷,文14)若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为

则a= . 解析:x 2+y 2+2ay=6,x 2+y 2=4, 两式相减得y=1a

.

联立221,4,y a x y ?

=???+=?

消去y 得x 2

=2241

a a

-(a>0),

∴

解得a=1.

答案:1

6.(2009年江苏卷,18)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C 2:(x-4)2+(y-5)2=4.

(1)若直线l 过点A(4,0),且被圆C 1截得的弦长为

求直线l 的方程;

(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标. 解:(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l 的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,

因为直线l被圆C1截得的弦长为

所以

由点到直线的距离公式得

从而k(24k+7)=0.

即k=0或k=-7

24

,

所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.

(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0,

则直线l2的方程为y-b=-1

k

(x-a).

因为圆C1和圆C2的半径相等,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即

,

整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,

从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,

即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5, 因为k 的取值有无穷多个, 所以20,30a b b a +-=??

-+=?或80,

50,

a b a b -+=??+-=?

解得5,212a b ?=????=-??或3,2

13.2

a b ?=-????=??

这样点P 只可能是点P 151,2

2??- ???

或点P 2313,22??- ???

.

经检验点P 1和P 2满足题目条件.

模拟试题

考点一 求圆的方程

1.(2012北京顺义三模)已知圆C 关于y 轴对称,经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C 的方程为( )

(A)

2

3x ?± ??+y 2=43 (B)

2

3x ?± ??+y 2=1

3 (C)x 2

+2

y ?± ??=43 (D)x 2

+2

y ?

± ??

=13

解析:∵圆C 关于y 轴对称, ∴圆心在y 轴上,

因为圆被x 轴分成两段弧长之比为1∶2, 故被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π

3

, 设圆心(0,a),半径为r,

则rsinπ

3=1,rcosπ

3

=|a|,

解得

即a=所以圆的方程为x2+

2

y

?

??

=4

3

.

答案:C

2.(2013山东临沂高三期末)与直线x=3相切,且与圆(x+1)2+(y+1)2=1相内切的半径最小的圆的方程

是( )

(A)

2

1

2

x

??

-

?

??

+(y+1)2=25

4

(B)

2

1

2

x

??

-

?

??

+(y-1)2=25

4

(C)

2

1

2

x

??

-

?

??

+(y-1)2=5

2

(D)

2

1

2

x

??

-

?

??

+(y+1)2=5

2

解析:设圆心(a,b),由题意可知a<3, ∵圆与直线x=3相切,

∴圆的半径为3-a,

又圆与(x+1)2+(y+1)2=1相内切,

即(a+1)2+(b+1)2=(2-a)2,

整理得a=1

3-1

6

b2-1

3

b.

半径r=3-a=3-1

3+1

6

b2+1

3

b=1

6

b2+1

3

b+8

3

.

∴当b=-

1

3

1

2

6

?

=-1时,半径r取到最小值5

2

,此时a=1

2

.即圆心坐标为

（1

2,-1）,半径是5

2

,

圆的方程为（x-1

2）2+(y+1)2=25

4

.

答案:A

考点二直线与圆的位置关系的判定及应用

1.(2013山东临沂高三期中)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线

2ax+by+6=0对称,过点(a,b)作圆的切线,则切线长的最小值是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)6

解析:圆C的圆心C坐标为(-1,2),半径

由题意,点C在直线2ax+by+6=0上,

即有-2a+2b+6=0.∴a=b+3.

切线长

∴当b=-4

22

?

=-1时,切线长最小为4.

答案:C

2.(2013江苏南通高三第一次调研)已知直线y=ax+3与圆

C:x2+y2+2x-8=0相交于A、B两点,点P(x0,y0)在直线y=2x上,且PA=PB,则x0的取值范围是.

解析:圆C:x2+y2+2x-8=0的圆心C的坐标为(-1,0),

半径r=3.∵直线与圆相交

,<3,

整理得4a2+3a>0,解得a>0或a<-3

4

.

∵PA=PB,∴PC 与直线y=ax+3垂直, ∴

021

x x +=-1a ,整理得x 0=-121a +,

由a>0或a<-34

得-1

考点三 圆与圆的位置关系的判定与应用

1.(2012银川一模)若圆C 1:x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R)与圆C 2:x 2+y 2-2by-1+b 2=0(b ∈R)外切,则a+b 的最大值 为( )

(B)-3 (C)3

解析:圆C 1的圆心坐标(-a,0),半径是2; 圆C 2的圆心坐标是(0,b),半径是1.

即a 2+b 2=9. ∴(a+b)2=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2

)=18, 当且仅当a=b=

. ∴a+b 的最大值为答案:D

2.(2011苏州调研)已知圆x 2+y 2=m 与圆x 2+y 2+6x-8y-11=0相交,则实数m 的取值范围是 .

解析:圆x 2

+y 2=m 的圆心(0,0),, 圆x 2+y 2+6x-8y-11=0

的圆心(-3,4),半径r=6, 由题意得

+6.

解得1

答案:(1,121)

综合检测

1.(2013合肥三模)若函数y=x2-m

n x+1

n

的图象在点M(0,1

n

)处的切线

l与圆C:x2+y2=1相交,则点P(m,n)与圆C的位置关系是( ) (A)P在圆内(B)P在圆内或圆外

(C)P在圆上(D)P在圆外

解析:y′=2x-m

n

,

∴k切线=y′|x=0=-m

n

.

切线方程为y-1

n =-m

n

(x-0),

即mx+ny-1=0.

∵l与圆相交,

<1,即m2+n2>1.

∴点P(m,n)在圆外.

答案:D

2.(2013广东广州高中毕业班综合测试)直线截圆(x-2)2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是( )

(A)π

6(B)π

3

(C)π

2

(D)2π

3

解析:圆心(2,0)到直线的距离d=2

2

=1,

∴弦长l=2

∴劣弧所对圆心角为120°.

答案:D

3.(2012广东广州二模)已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).若过点M有且只有一条直线与圆O相切,则切线方程为.

解析:∵过点M有且只有一条直线与圆O相切,

∴M(1,a)在圆x2+y2=4上,

即1+a2=4,解得a=

当∴k OM∴k切线.

切线方程为

(x-1),即

3

当OM

.

∴k切线=

3

切线方程为

(x-1),

3

即

答案或