2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修44
知识点一向量的有关概念
知识点二向量的线性运算
知识点三共线向量定理及平面向量基本定理
1．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
2．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
知识点四平面向量的坐标运算
1．向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 2
1＋y 21.
2．向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0.
题型一 向量有关概念辨析
例1 下面关于向量的叙述，正确的是________．(填序号) ①任一向量与它的相反向量不相等；
②四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB →＝DC →
； ③一个向量方向不确定当且仅当模为0； ④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同． 答案 ②③
解析 ①不正确．零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．②③正确． ④不正确．如图AC →与BC →
共线，虽然起点不同，但其终点却相同．
感悟与点拨 向量是既有大小又有方向的量，且平移不变，所以在判断有关向量的命题时，一定要紧扣三点：
(1)大小，(2)方向，(3)可平移．
跟踪训练1 (1)如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2 D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1
(2)给出下列命题：
①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；
②若AB →＝DC →
，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ③若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .
其中正确的命题是________．(填序号) 答案 (1)D (2)③④
解析 (1)选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，
则?
????
1＝λ，1＝0，无解；
选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则?
????
λ＝1，－2＝2λ，
无解；
选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则?
????
λ＝1，
1＝－λ，无解；
选项D 中，e 1＋3e 2＝1
2(6e 2＋2e 1)，
所以两向量是共线向量．
(2)①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b 有共线的可能，故①不正确；
②AB →＝DC →
，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故②不正确；③零向量的方向是任意的，与任一向量平行，③正确；④a ＝b ，则|a |＝|b |且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |且b 与c 方向相同，则a 与c 方向相同且模相等，故a ＝c ，④正确；⑤若b ＝0，由于a 的方向与c 的方向都是任意的，a ∥c 可能不成立，故⑤不正确．
题型二 平面向量线性运算
例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13
c D.13b ＋23
c (2)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝1
3BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设
BA →＝a ，BC →＝b ，则EF →＝________，DF →＝________，CD →
＝________.(用向量a ，b 表示)
答案 (1)A (2)13b －a 16b －a a －2
3b
解析 (1)∵BD →＝2DC →
，
∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13
c .
(2)EF →＝EA →＋AB →＋BF →
＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，
DF →＝DE →＋EF →
＝－16b ＋????13b －a ＝16b －a ， CD →＝CF →＋FD →
＝－12b －????16b －a ＝a －23
b . 感悟与点拨 (1)解此类题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
跟踪训练2 (1)如图所示，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →
等于( )
A.12AB →－13AD →
B.14AB →＋12AD →
C.13AB →＋12DA →
D.12AB →－23
AD → (2)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →
(λ∈R )，则λ等于( )
A ．2
B ．3
C ．－2
D ．－3
答案 (1)D (2)D
解析 (1)在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →
. ∵点E 为DC 的中点，∴EC →＝12DC →
.
∵点F 为BC 的一个三等分点，∴CF →＝23CB →
.
∴EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →
＝12AB →－23
AD →
. (2)∵D 为△ABC 所在平面内一点， AD →
＝－13AB →＋43
AC →，
∴AD →－AC →＝－13(AB →－AC →)，即CD →
＝－13
CB →，
∴BC →＝－3DC →
，则λ＝－3. 题型三 共线向量定理的应用
例3 设a ，b 是两个不共线的非零向量．
(1)若AB →＝－a ＋b ，BC →＝2a ＋t b ，CD →
＝2 018a －2b ，且A ，B ，D 三点共线，则t ＝________； (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝________. 答案 (1)－2 018 (2)±4
解析 (1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →
＝(－a ＋b )＋(2a ＋t b )＋(2 018a －2b )＝2 019a ＋(t －1)b ， 因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →与AD →
共线． 所以AD →＝μAB →
(μ为实数)， 即2 019a ＋(t －1)b ＝μ(－a ＋b )， 解得μ＝－2 019，t ＝－2 018. (2)因为8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，
所以存在实数λ使得8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )， 即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.
因为a 与b 是两个不共线的非零向量，
所以?
????
8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得λ＝±2，所以k ＝2λ＝±4.
感悟与点拨 (1)三点共线问题，可用向量共线来解决，应注意向量共线与三点共线的区别和联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． (2)当两向量共线时，要注意待定系数法和方程思想的运用．
跟踪训练3 (1)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(y ,1)，若a ∥b ，则实数x ，y 一定满足( ) A ．xy －1＝0 B ．xy ＋1＝0 C ．x －y ＝0
D ．x ＋y ＝0
(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →
＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________． 答案 (1)A (2)k ≠1
解析 (1)平面向量a ＝(1，x )，b ＝(y,1)．
若a ∥b ，则xy ＝1，即xy －1＝0. (2)若点A ，B ，C 能构成三角形， 则向量AB →，AC →
不共线．
因为AB →＝OB →－OA →
＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →
＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， 所以1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.
一、选择题 1．给出下列说法：
①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 的方向一定不相同；②若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →
|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →
；③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行，其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A
解析 ②两向量不能比较大小，故不正确；③a 与b 长度相等，但方向不定，故不正确；④规定0与任意向量平行，故不正确．
2．已知D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →
等于( ) A ．－BC →＋12BA →
B ．－B
C →＋12
AB →
C.BC →－12BA →
D.BC →＋12BA →
答案 A
解析 因为CD →＝CB →＋BD →，CB →＝－BC →，BD →＝12BA →
，
所以CD →＝－BC →＋12
BA →.
3．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是( ) A ．向量a 的终点坐标为(－2,3) B ．向量a 的起点坐标为(－2,3) C ．向量a 与b 互为相反向量 D ．向量a 与b 关于原点对称 答案 C
4．(2018年6月学考)已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2，－3)，若a ∥b ，则实数x 的值是( ) A ．－23 B.23 C ．－32 D.32
答案 A
5.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF →＋BD →
等于( )
A.FD →
B.FC →
C.FE →
D.BE →
答案 D
6．下列式子中，不能化简为AD →
的是( )
A ．(A
B →＋CD →)＋B
C → B ．(A
D →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C.OC →－OA →＋CD → D.MB →＋AD →－BM → 答案 D
解析 A 中，(AB →＋CD →)＋BC →＝AC →＋CD →＝AD →
； B 中，(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →
) ＝AD →＋(MB →＋BC →＋CM →) ＝AD →＋(MC →＋CM →)＝AD →；
C 中，OC →－OA →＋C
D →＝AC →＋CD →＝AD →
； D 中，MB →＋AD →－BM →＝AD →＋2MB →
，故选D.
7．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →
等于( ) A ．－1
2a －b
B ．－1
2a ＋b
C.1
2a －b D.1
2
a ＋
b 答案 B
解析 由题意可得BE →＝BA →＋AD →＋DE →
＝－a ＋b ＋12a
＝b －12
a .
8．已知点A ????2，－12，B ????12，32，则与向量AB →
同方向的单位向量是( ) A.????35
，－4
5 B.????－35，45 C.????45，－35 D.????－45，35 答案 B
解析 ∵AB →
＝????－32，2， ∴|AB →
|＝
????－322＋22＝52
.
∴与向量AB →
同方向的单位向量为AB →
|AB →|
＝25????－32，2＝????－35，45.
9．若向量a ＝(3,4)，且存在实数x ，y ，使得a ＝x e 1＋y e 2，则e 1，e 2可以是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(－1,2) B ．e 1＝(－1,3)，e 2＝(2，－6) C ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－1) D ．e 1＝????－1
2，1，e 2＝(1，－2) 答案 C
解析 根据平面向量基本定理知e 1，e 2不共线． 对于A ，e 1为零向量，e 1，e 2共线； 对于B ，e 2＝－2e 1，e 1，e 2共线； 对于C ，e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－1)， ∴－1×(－1)－2×3＝－5≠0， ∴e 1与e 2不共线，即该选项正确； 对于D ，e 2＝－2e 1，∴e 1，e 2共线．
10．已知a ＝(1,2＋sin x )，b ＝(2，cos x )，c ＝(－1,2)，(a －b )∥c ，则锐角x 等于( ) A ．45° B ．30° C ．15° D ．60° 答案 A
解析 由题意得a －b ＝(－1,2＋sin x －cos x )， 再由(a －b )∥c 可得－2－(－1)×(2＋sin x －cos x )＝0， 化简可得sin x ＝cos x ，∴tan x ＝1， ∴锐角x 为45°. 二、填空题
11．已知e 1＝(2,1)，e 2＝(1,3)，a ＝(－1,2)，若a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则实数对(λ1，λ2)为________． 答案 (－1,1)
解析 ∵a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)， 又a ＝(－1,2)，
∴????? －1＝2λ1＋λ2，2＝λ1＋3λ2，解得?????
λ1＝－1，λ2
＝1，
∴实数对(λ1，λ2)＝(－1,1)．
12．已知四边形ABCD 是边长为1的菱形，∠BAD ＝60°，则|DC →＋BC →
|＝________. 答案
3
解析 ∵四边形ABCD 是边长为1的菱形，
∠BAD ＝60°，∴∠ADC ＝120°，在△ACD 中，由余弦定理得 AC ＝
AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ＝ 3.
∴|DC →＋BC →|＝|DC →＋AD →|＝|AC →
|＝ 3.
13．在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →
＝c ，则|b －a －c |＝________. 答案 2
解析 ∵在边长为1的正方形ABCD 中， 设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →
＝c ， ∴|a |＝1，a ＋b ＝c ， ∴|b －a －c |＝|b －a －a －b | ＝|－2a |＝2|a |＝2.
14．已知向量OA →＝(k ,12)，OB →＝(4,5)，OC →
＝(10,8)，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝______. 答案 18
解析 BC →＝OC →－OB →
＝(6,3)， AC →＝OC →－OA →
＝(10－k ，－4)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴BC →∥AC →
， ∴－24－3(10－k )＝0，解得k ＝18.
15.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →
，则实数m 的值为
________．
答案 1
9
解析 ∵B ，P ，N 三点共线， ∴存在实数λ使得AP →＝λAB →＋(1－λ)AN →
＝λAB →＋1－λ4
AC →.
又AP →＝mAB →＋29
AC →，AB →，AC →
不共线，
∴???
λ＝m ，1－λ
4＝29，
解得m ＝1
9
.
三、解答题
16．已知平面内三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值；
(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值；
(3)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝1，求向量d . 解 (1)∵a ＝m b ＋n c ， ∴(3,2)＝(－m ＋4n ,2m ＋n )．
∴?????
－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，
解得???
m ＝5
9，
n ＝8
9.
(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，
又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2(3＋4k )＋5(2＋k )＝0， 即k ＝－16
13
.
(3)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)， 又(d －c )∥(a ＋b )，|d －c |＝1，
∴?
????
4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2
＝1，
解得??
?
x ＝4＋55，y ＝1＋255
或??
?
x ＝4－55，
y ＝1－255
，
∴d ＝?
???4＋
55，1＋
255或d ＝?
???4－55，1－255.