高一数学复数的四则运算知识点分析

高一数学复数的四则运算知识点分析

复数的概念：

形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复

数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

复数的表示：

复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫

做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

复数的几何意义：

(1)复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点

Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原

点外，虚轴上的点都表示纯虚数

(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合

是一一对应关系，即

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数的模：

复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距

离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=

虚数单位i：

(1)它的平方等于-1，即i2=-1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。

(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。

复数模的性质：

复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，

z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。

复数集与其它数集之间的关系：

复数的运算：

1、复数z1与z2的和的定义：

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-

d)i;

3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中

把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。

4、复数的除法运算规则：

。

复数加法的几何意义：

设

为邻边画平行四边形

就是复数

对应的向量。

复数减法的几何意义：

复数减法是加法的逆运算，设

，则这两个复数的差

对应，这就是复数减法的几何意义。

共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

复数z=a+bi和

=a-bi(a、b∈R)互为共轭复数。

复数的运算律：

1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1;

结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);

2、减法同加法一样满足交换律、结合律。

3、乘法运算律：

(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3;(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;(3)z1(z2+z3)=z1 z2+z1z3