高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)
高等数学（下册）考试试卷（一）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、 z =)0()(log 2
2
>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分
??
≤++1
||||2
2)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()
()(βαψ?≤≤??
?==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++??
∑
ds y x )12
2
（ 。 6、微分方程
x
y x
y dx
dy tan
+=
的通解为 。
7、方程04)4(=-y y 的通解为 。
8、级数∑
∞
=+1
)
1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；
（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；
（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2
2→?+?y x 时，是无穷小；
（D ）0)
()(),(),(lim
2
2
00000
=?+??'-?'-?→?→?y x y
y x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x
y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2
2
22
y u
y x u
x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,12
22≥≤++z z y x 则三重积分???
Ω
=
zdV I 等于（ ）
（A ）4?
?
?20201
3
cos sin ππ
???θdr r d d ；
（B ）???20
1
2
sin π
π??θdr r d d ；
（C ）?
?
?ππ
???θ20
20
10
3
cos sin dr r d d ；
（D ）??
?ππ
???θ
20
1
3
cos sin dr r d d 。
4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（ ）
（A ）?
?-20cos 20
2
244π
θθa dr r a d ； （B ）?
?
-20cos 20
2
244π
θθa dr r a r d ；
（C ）?
?
-20cos 20
2
248π
θθa dr r a r d ； （D ）?
?
-
-22
cos 20
2
24π
π
θθ
a dr r a r d 。
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则?=+L
Qdy Pdx )(
（A ）????-
??D
dxdy x Q y P )(
； （B ）????-??D
dxdy x
P y
Q )(
；
（C ）????-
??D
dxdy y
Q x
P )(
； （D ）????-
??D
dxdy y
P x
Q )(
。
6、下列说法中错误的是（ ） （A ） 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dx
dy x
dx
dy y
sin =+是一阶微分方程；
（C ） 方程0)3()2(2
2
2
3
2
=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ）
方程
x
y x dx
dy 221=
+是伯努利方程。
7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程
052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）
（A ）x e x 2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x
-； （C ）)2sin 2(cos x x e x
-； （D ）x e x
2sin 。
8、设0lim =∞
→n n nu , 则∑∞
=1
n n u （ ）
（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。)(),,(xy x g v xy x f u +==，
求
y
u
x u ????,
。 2、（8分）设?
+-=
t x t
x dz z f t x u )(),(，求
t
u
x u ????,
。 四、求解下列问题（共计15分）。 1、计算=I ?
?-20
2
2
x
y
dy e
dx 。
（7分） 2、计算???
Ω
+=
dV y x I )(2
2
，其中Ω是由x
21,22
2
===+z z z y
及所围成的空间闭区域（8分）
五、（13分）计算?
+
+-=
L
y
x ydx
xdy I 2
2，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封
闭曲线的逆时针方向。
六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)
()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=
+，且)0(f '存在，求)(x f 。
七、（8分）求级数∑∞
=++--1
1
21
2)
2()
1(n n n
n x 的收敛区间。
高等数学（下册）考试试卷（二）
1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则
=??+??y
z x z 。
2、=+-→→xy
xy y x 93lim
0 。
3、设?
?
=
20
2),(x x
dy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则??
≤+→=++
2
2
2
)(1
lim
2
23
t
y x t d y x f t
σπ 。
5、设L 为取正向的圆周42
2=+y x ，则曲线积分
?
=-++L
x
x
dy x ye
dx ye
y )2()1( 。
6、设→
→
→
+++++=k xy z j xz y i yz x A )()()(2
2
2
，则=A div 。 7、通解为x
x
e c e c y 221-+=的微分方程是 。
8、设??
?<<<≤--=π
πx x x f 0,
10,1)(，则它的Fourier 展开式中的=n a 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）。
1、设函数???
??=+≠++=0
,
00,),(2
22
2
4
22
y
x y x y x xy y x f ,则在点（0，0）处（ ）
（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。 2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足 02
≠???y
x u 及
+??2
2
x
u
02
2
=??y
u ，
则（ ）
（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；
（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上。 3、设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若??+
=D
d y x I σ2
1)(，??+
=
D
d y x I σ3
2)(
则有（ ）
（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较。
4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则???Ω
dxdydz z xy 3
2 =（ ）
（A ）
361
1； （B ）
362
1； （C ）
363
1 ； （D ）
364
1。
5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为?
??==)()
(t y t x ψ? )(βα≤≤t ，其中)(),(t t ψ?在
],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(2
2≠'+'t t ψ?， 则曲线积分?
=L
ds y x f ),(（ ）
(A) ?β
α
ψ?dt t t f ))(),((； (B)
?'+'α
β
ψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((2
2 ；
(C)
?'+'β
α
ψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((2
2； (D)?
αβ
ψ?dt t t f ))(),((。
6、设∑是取外侧的单位球面12
22=++z y x ， 则曲面积分
??∑
++zdxdy ydzdx xdydz
=（ ）
(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4。
7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ） (A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ；
(C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y 。
8、设级数∑∞
=1
n n a 为一交错级数，则（ ）
(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；
(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0→→n a n ，则必收敛。 三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数)ln(2
2
z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）
的方向的方向导数。
2、（7分）求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。
四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算???
Ω
+++=3
)
1(z y x dv
I ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体
域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义???
Ω
++=dv y x f z t F )]([)(2
22，
其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dt
dF 。
五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求?
-+-=L
x
x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2
x
ax y -=
到O
（0，0）的弧。 2、（7分）计算??∑
++=
dxdy z dzdx y dydz x
I 222
，其中∑是)0(2
2
2a z z y
x ≤≤=+ 的外侧。
六、（15分）设函数)(x ?具有连续的二阶导数，并使曲线积分
?
'++-'L
x
dy x ydx xe
x x )(])(2)(3[2???与路径无关，求函数)(x ?。
高等数学（下册）考试试卷（三）
一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、设?
=
yz xz
t
dt e u 2
， 则
=??z
u 。
2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=l 的方向导数
)
0,0(l
f ??= 。
3、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分???
Ω
=
dv z y x f I ),,(化为先对z 再对
y 最后对x 三次积分，则I= 。
4、设),(y x f 为连续函数，则=I ??
=+
→D
t d y x f t
σπ),(1
lim
2
，其中2
22:t y x D ≤+。
5、?=+L
ds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω?是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数),,(z y x P ，
),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系
式： ， 该关系式称为 公式。 7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*y 。
8、若级数∑
∞
=--1
1
)1(n p
n n
发散，则p 。
二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、设),(b a f x '存在，则x
b x a f b a x f x )
,(),(lim
--+→=（ ）
（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）2
1),(b a f x '。
2、设2
y
x z =，结论正确的是（ ）
（A ）
02
2
>???-
???x y z y x z ； （B ）
02
2
=???-
???x y z y x z ；
（C ）02
2
y z y
x z ； （D ）
02
2
≠???-
???x
y z
y
x z
。
3、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连续，则
??
=D
d y x f σ),(（ ）
（A ）0；（B ）2??1
),(D d y x f σ；（C ）4??1
),(D d y x f σ； (D)2??2
),(D d y x f σ。
4、设Ω：2
222R z y x ≤++，则???Ω
+dxdydz y x )(2
2=（ ）
（A ）5
3
8
R π； （B ）
5
3
4R π； （C ）
5
15
8R π； （D ）
5
15
16R π。
5、设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ，在点),(y x 处的线密度为),(y x ρ，则曲线弧Ｌ的重心的x 坐标x
为（ ） （Ａ）x =
?
L
ds y x x M
),(1ρ； （B ）x =
?
L
dx y x x M
),(1ρ；
（C ）x =?L ds y x x ),(ρ； （D ）x =
?
L
xds M
1, 其中M 为曲线弧Ｌ的质量。
６、设∑为柱面122=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分
??
∑
++ydxdz x xzdydz zdxdy y 2
2＝（ ）
（A ）0； （B ）4
π
-
； （C ）
24
5π； （D ）
4
π
。
７、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为（ ）
（A ）A ，若1)(=x f ； （B ）x Ae ，若x e x f =)(； （C ）E Dx Cx
Bx Ax ++++2
34，若x x x f 2)(2
-=；
（D ）)5cos 5sin (x B x A x +，若x x f 5sin )(=。
８、设??
?≤<<≤--=π
πx x x f 01
0,
1)(，则它的Fourier 展开式中的n a 等于（ ）
（A ）
])1(1[2
n
n --π； （B ）0； （C ）π
n 1； （D ）πn 4。 三、（１２分）设t t x f y ),,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数，其中F f ,具有一阶连续偏导
数，求
dx
dy 。
四、（８分）在椭圆442
2
=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短。 五、（８分）求圆柱面y y x 22
2
=+被锥面2
2y
x z +=和平面0=z 割下部分的面积Ａ。
六、（１２分）计算??∑
=xyzdxdy
I ，其中∑为球面 12
2
2
=++z y x 的0,0≥≥y x 部分
的外侧。 七、（10分）设
x x d x df 2
sin
1)
(cos )(cos +=，求)(x f 。
八、（10分）将函数)1ln()(3
2x x x x f +++=展开成x 的幂级数。
高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案
一、1、当10<a 时，122≥+y x ； 2、负号； 3、2
3
;
110
???
?
-+=
D
y e e
y
dx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψ?'+'；
5、180π；
6、Cx x
y =sin ；
7、x
x
e
C e
C x C x C y 2423212sin 2cos
-+++=； 8、1；
二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、
21f y f x
u '+'=??；
)(xy x g x y
u +'=??；
2、)()(t x f t x f x
u --+=??；
)()(t x f t x f t
u -++=??；
四、1、)1(2
14
20
20
2
2
2
2
2
-----=
=
=
?
?
???e
dy ye
dx e
dy dy e
dx y
y y
x
y
；
2、?
???
??
=+
=
πππθ
θ
20
20
2
1
20
22
1
3
22
3
3
142
r
dz r dr d dz r dr d I 柱面坐标
；
五、令2
2
2
2
,y
x x Q y
x y P +=
+-
=则
x
Q y x x
y y
P ??=
+-=
??2
2
2
22)
(，)0,0(),(≠y x ；
于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，
x
Q
y P ????,
在D 内连续。所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，
x
Q
y P ????,
在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(2
2
2<<=+εεy
x ，逆时针方向，并假设*
D 为+
L 及-
l
所围成区域，则 πε
2)(
2
2
2
*
=+
??-
??+
=
+
-
=
?
??
?
?
?
?
?
=+++
-
++
+
+
y x D
l
l
L l
l
L
dxdy y
P x
Q Green I 公式
六、由所给条件易得： 0)0()
0(1)0(2)0(2
=?-=
f f f f
又x
x f x x f x f x ?-?+='→?)
()(lim
)(0
=x
x f x f x f x f x f x ?-?-?+→?)
()
()(1)
()(lim
x
f x f x f x f x f x ?-??
?-+=→?)
0()()
()(1)(1lim
2
)](1)[0(2x f f +'=
即
)0()
(1)
(2
f x f x f '=+'
c x f x f +?'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴
七、令t x =-2，考虑级数∑∞
=++-1
1
21
2)
1(n n n
n t
21
23
21
232lim t
n t n t
n n n =++++∞→ ∴当12
当1 当1-=t 即1=x 时，级数∑∞ =++-11 121)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞ =+-1 1 21 )1(n n n 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。 高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案 一、1、1； 2、-1/6； 3、?? ? ? + 2 02 /42 22 /),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ； 4、 )0(3 2f '； 5、π8-； 6、)(2z y x ++； 7、02=-'+''y y y ； 8、0； 二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、C ； 三、1、函数)ln(2 2 z y x u ++ =在点A （1，0，1）处可微，且 ) 1,0,1(2 2 1z y x x u A ++ =??2/1=； 01) 1,0,1(2 2 2 2 =+? ++ =??z y y z y x y u A ； 2/11) 1,0,1(2 22 2 =+? ++ =??z y z z y x z u A 而),1,2,2(-==AB l 所以)31 ,32,3 2 (- = l ,故在A 点沿AB l =方向导数为： = ??A l u A x u ??αcos ?+ A y u ??βcos ?+A z u ??γcos ? .2/13 1 21)3 2(03 2 21=?+ -?+?= 2、由?????=--==-+--='0 )24(0)1()4(22 y x x f xy y x xy f y x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f ， 又0)0,(,0),0(==x f y f 而当0,0,6≥≥=+y x y x 时，)60(122),(23≤≤-=x x x y x f 令0)122(23='-x x 得4,021==x x 于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f ),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ，最小值为.64)2,4(-=f 四、1、Ω的联立不等式组为?? ? ??--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 10101 0: 所以? ? ? ---++++= 10 10 10 3 )1(x y x z y x dz dy dx I ??--++= x dy y x dx 10 2 10 ]4 1)1(1 [ 21 ? -=--+= 10 16 52ln 2 1)4 31 1 (2 1dx x x 2、在柱面坐标系中 ? ?? += π θ20 2 2)]([)(t h rdz r f z dr d t F ? + =t dr r h r r hf 0 3 2 ]3 1)([2π 所以 ]3 1)([232 t h t t hf dt dF + =π]3 1)([22 2 h t f h t + =π 五、1、连接→ OA ，由Green 公式得： ? ? ? - + = OA OA L I ? ? - = +OA OA L ?? = ≥≤+++-0 ,2 20)cos cos (y ax y x x x Green dxdy m y e y e 公式 2 8 1a m π= 2、作辅助曲面???≤+=∑2 221:a y x a z ，上侧，则由Gauss 公式得： ?? ∑ = I +?? ∑1 ?? ∑- 1 = ?? ?? ∑∑+∑- 1 1 = ??? ?? ≤≤≤+≤+- ++a z z y x a y x dxdy a dxdydz z y x 0,2 2 2 2 2 2 2 )(2 =??? ≤+-a z y x a zdxdy dz 04 2 2 2 2π 4 4 32 12a a d z z a πππ- =-=? 六、由题意得：)()(2)(32x xe x x x ???''=+-' 即x xe x x x 2)(2)(3)(=+'-''??? 特征方程0232 =+-r r ，特征根2,121==r r 对应齐次方程的通解为：x x e c e c y 221+= 又因为2=λ是特征根。故其特解可设为：x e B Ax x y 2*)(+= 代入方程并整理得：1, 2 1-==B A 即 x e x x y 2* )2(2 1-= 故所求函数为：x x x e x x e c e c x 2221)2(2 1)(-+ +=? 高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案 一、1、2 22 2z x z y xe ye -； 2、5； 3、?? ? ------11 1110 2 2 2 2),,(x x y x dz z y x f dy dx ； 4、3 25); 0,0(a f π、； 6、?????+ Ω ?Ω ++= ??+ ??+ ??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P )( ， Gauss 公式； 7、C Bx Ax ++2 8、0≤P 。 二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于dt t x f dx t x f dy t x ),(),('+'=，0='+'+'dt F dy F dx F t y x 由上两式消去dt ，即得： y t t x t t x F f F F f F f dx dy ' '+'''-'?'= 四、设),(y x 为椭圆4422=+y x 上任一点，则该点到直线0632=-+y x 的距离为 13 326y x d --= ；令)44()326(222-++--=y x y x L λ，于是由： ??? ??=-+==+---==+---=0 4408)326(60 2)326(42 2y x L y y x L x y x L y x λλλ 得条件驻点：)5 3,58(),53,58(),53,58(),5 3 ,38(4321---- M M M M 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中13 1313 3261 min = --= M y x d 即为所求。 五、曲线?????=++=y y x y x z 22222在yoz 面上的 投影为?? ?=≤≤=0 ) 0(22x z y y z 于是所割下部分在yoz 面上的投影域为： ???? ?≤≤≤≤y z y D yz 202 0:， y 由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 σd z x y x A yz D ????+??+=2 2 )( )( 12 x ?? ?? =-=-=yz D y y y dz dy y y dydz 2 1 20 2 2 82222 六、将∑分为上半部分2211:y x z --=∑和下半部分2 221:y x z ---=∑， 21,∑∑在面xoy 上的投影域都为：,0,0,1:2 2≥≥≤+y x y x D xy 于是： ?? ?? ∑--= 1 2 21dxdy y x xyzdxdy xy D 15 11cos sin 2 10 2 2= ?-?= ? ? ρρρ θθρθ π d d 极坐标； ?? ?? ∑= ----= 2 15 1))(1(2 2dxdy y x xy xyzdxdy xy D ， ?? ?? ∑∑+ = ∴2 1 I = 15 2 七、因为 x x d x df 2 sin 1) (cos )(cos ==，即x x f 2 sin 1)(cos +=' 所以22)(x x f -=' c x x x f +- =∴3 3 12)( 八、)1ln()1ln()]1)(1ln[()(22x x x x x f +++=++= 又]1,1(,)1()1ln(1 1 -∈-= +∑ ∞ =-u u n u n n n ∴∑ ∑ ∞ =∞ =---∈-+ -= 1 121 1]1,1(,)1()1()(n n n n n n x x n x n x f ∑ ∞ =--∈+-=1 1 ]1,1(),1()1(n n n n x x x n