复变函数与积分变换课后习题答案详解
…
复变函数与积分变换
（修订版）主编：马柏林
（复旦大学出版社）
/
——课后习题答案
习题一
1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数
π/43513
;
;(2)(43);711i i e i i i i i
-++++
++.
①解i 4
πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-=
+-=- ? ? ? ???
??
?? ②解： ()()()()
35i 17i 35i 1613i
7i 1
1+7i 17i 2525
+-+==-++-
③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：
()31i 13
35=i i i 1i 222
-+-+=-+
2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )
(z a a z a -∈+); 3
3
31313;;;.n i i z i ????
-+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy
则
()()()()()()()22
i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y
-++-????+--+-????===+++++++ ∴
()222
2
2
Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++,
()22
2Im z a xy z a x a y
-??
= ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵
()()()()()
()()()3
2
3
2
2
222222
3223i i i 2i i 22i
33i
z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴
()332
Re 3z x xy =-,
()323Im 3z x y y =-．
③解： ∵
()
()()()(){
}3
3
2
3
2
1i 31i 311313313388-+??-+?
???==
--?-?+?-?-
? ??????
?
??
??
()1
80i 18
=
+=
∴1i 3Re 1??
-+= ? ???
, 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解：
∵
()
()()
()()2
3
3
23
1313
3133i 1i 38
??--?-?-+?-?-
??
??-+?
?
= ? ???
()1
80i 18
=
+=
∴1i 3Re 1??-+= ? ??
?
, 1i 3Im 0??-+= ? ???
． ⑤解： ∵()()1,
2i 211i,
k
n
k
n k k n k ?-=?=∈?=+-???．
∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当
21n k =+时，
()Re i 0
n =，
()()Im i 1k
n =-．
3.求下列复数的模和共轭复数
12;3;(2)(32);
.2
i
i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=．
2i 2i -+=--
②解：33-=
33-=-
③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=．
()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=-
④解：
1i 1i 2
22++== ()1i 11i
222i ++-??=
= ???
4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．
证明：若z z =，设i z x y =+，
则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．
若z =x ，x ∈，则z x x ==．
∴z z =．
命题成立．
5、设z ,w ∈，证明： z w z w ++≤
证明∵()()()()
2
z w z w z w z w z w +=+?+=++
(
)()
2
2
2
2
2Re z z z w w z w w
z zw z w w z w
z w =?+?+?+?=++?+=++?
()
22
2
2
2
22z w z w
z w z w z w ++?=++?=+≤
∴z w
z w ++≤
．
6、设z ,w ∈，证明下列不等式． ()
2
2
2
2Re z w z z w w +=+?+ ()
2
2
2
2Re z w z z w w -=-?+
(
)22
22
2z w z w z w
++-=+
并给出最后一个等式的几何解释．
证明：()
2
2
2
2Re z w z z w w +=+?+在上面第五题的证明已经证明了．
下面证()
2
2
2
2Re z w z z w w -=-?+．
∵()()()()
22
2
z w z w z w z w z w z z w w z w
-=-?-=--=-?-?+
()
2
2
2Re z z w w =-?+．从而得证．
∴(
)
2
2
22
2z w z w z w
++-=+
几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边
的平方的和．
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 3
352π2π;;1;8π(13);.cos sin 7199i i i i i +?
?--+ ?+?
? ①解：
()()()()
35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-
3816i 198i 17e 5025i θ?--=
=其中8
πarctan 19
θ=-． ②解：e i i θ?=其中π2
θ=．
π2
e i i =
③解：ππi i 1e e -==
④解：()
2
8π13i 16ππ3
θ-==-.
∴()
2πi 3
8π13i 16πe
--+=?
⑤解：3
2π2πcos isin 99?
?+ ??
? 解：∵3
2π2πcos isin 199?
?+= ??
?．
∴3
2
2π
i π.3i 93
2π2πcos isin 1e e 99???+=?= ???
8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3) 33i
的平方根.
⑴i 的三次根． 解：
()1
3
3
ππ
2π2πππ22i cos sin cos
isin 0,1,22233
+
+
?
?+=+= ??
?k k i k
∴1ππ31
cos
isin i 662
=+=+z ．
25531
cos πisin πi 662
=+=z
39931cos πisin πi 662
=+=-z
⑵-1的三次根 解：
()()1
3
32π+π2ππ
1cos πisin πcos
isin 0,1,233
k k k +-+=+=
∴1ππ13cos isin 3
3
2
=+=z
2cos πisin π1=+=-z
35513
cos πisin π332=+=-z
33i 的平方根．
解： πi 42233i=6i 6e 22??+?+=? ? ???
∴
(
)
()1π
1
2
i
4
4ππ2π2π4433i 6e 6cos isin 0,122k k k ?
?++ ?+=
?=?+= ???
∴π
11
i 84
41ππ6cos isin 6e 88?
?=?+=? ??
?z
9
1
1πi 84
42996cos πisin π6e 88?
?=?+=? ??
?z ．
9.设2πe
,2i
n
z n =≥. 证明：110n z z -++
+=
证明：∵2πi e n
z ?= ∴1n z =，即10n z -=．
∴()()1110n z z z --+++=
又∵n ≥2． ∴z ≠1
从而211+
0n z z z -+++=
11.设Γ是圆周{:},0,e .
i z r r a c r z c α=>=+-令
:Im 0z a L z b β?-???==?? ?????
,
其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.
解：如图所示．
因为L β={z : Im z a b -??
???
=0}表示通过点a 且方向
与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°
所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件
是α-β=90°．
12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出
草图.
(1)arg π;(2);
1(3)1|2;
(4)Re Im ;(5)Im 1 2.
z z z z i z z z z ==-<+<>><且
解：
(1)、argz =π．表示负实轴．
(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =1
2
．
(3)、1<|z +i|<2
解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
（4）、Re(z )>Im z ．
解：表示直线y =x 的右下半平面
5、Im z >1，且|z |<2．
解：表示圆盘内的一弓形域。
习题二
1. 求映射
1
w z z =+
下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则
2222
221i i i i i()i x y x y
u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++
=++=++-++++
因为2
2
4x y +=,所以53i 44u iv x y +=
+
所以 54u x =,34v y
=+
53
4
4
,u v x y == 所以()
()22534
4
2
u
v
+
=即()
()2
2
22532
2
1
u v +
=，表示椭圆.
2. 在映射2
w z =下，下列z 平面上的图形映射为w
平面上的什么图形，设e i w ?
ρ=或i w u v =+.
（1）
π
02,4r θ<<=
； （2）
π02,04r θ<<<<
;
(3) x=a, y=b.(a, b 为实数)
解：设222
i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+ 所以
22
,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ?
ρ=，则
π
02,4r θ<<=
映射成w 平面内虚
轴上从O 到4i 的一段，即 π
04,.
2ρ?<<=
(2) 记e i w ?
ρ=，则π
0,024r θ<<<<映成了w 平面
上扇形域，即
π
04,0.
2ρ?<<<<
(3) 记w u iv =+，则将直线x=a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦
点，张口向左的抛物线将y=b 映成了
22,2.u x b v xb =-=
即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物
线如图所示.
3. 求下列极限.
(1) 2
1lim 1z z →∞+;
解：令
1z t =
,则,0z t →∞→. 于是2
22
01lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim
z z z →;
解：设z=x+yi ，则Re()i z x
z x y =
+有 000
Re()1
lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++
显然当取不同的值时f(z)的极限不同
所以极限不存在. （3） 2lim
(1)
z i z i z z →-+；
解：
2lim
(1)z i
z i z z →-+=11
lim lim ()()()2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-
+-+. （4）
21
22
lim
1z zz z z z →+---.
解：因为2
22(2)(1)2
,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+
所以
2112223
lim lim 112z z zz z z z z z →→+--+==-+.
4. 讨论下列函数的连续性： (1)
22
,0,()0,0;
xy
z x y f z z ?≠?
+=??=?
解：因为
22
(,)(0,0)lim ()lim
z x y xy
f z x y →→=
+, 若令y=kx,则
222(,)(0,0)lim 1x y xy k
x y k →=++, 因为当k 取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在
z=0处极限不存在.
从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续. (2)
342
,0,()0,0.
x y
z f z x y z ?≠?
=+??=?
解：因为
3342202
2x y x x y
x y x y ≤≤=
+,
所以342
(,)(0,0)lim 0(0)x y x y
f x y →==+
所以f(z)在整个z 平面连续.
5. 下列函数在何处求导并求其导数.
(1) 1
()(1)n f z z -=- (n 为正整数)；
解：因为n 为正整数，所以f(z)在整个z 平面上可导. 1()(1)n f z n z -'=-.
(2)
22
()(1)(1)z f z z z +=
++.
解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在
2
(1)(1)0z z ++=处不可导.
从而f(z)除1,i z z =-=±外可导.
22222
32222
(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''
+++-+++'=
++-+++=
++
(3)
38()57z f z z +=
-.
解：f(z)除7=5
z 外处处可导，且
223(57)(38)561
()(57)(57)z z f z z z --+'=
=-
--.
(4) 2222()i
x y x y
f z x y x y +-=
+++.
解：因为
2
222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i
()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z
++--+--+++=
====+++.
所以f(z)除z=0外处处可导，且
2(1i)
()f z z +'=-
.
6. 试判断下列函数的可导性与解析性.
(1)
22
()i f z xy x y =+; 解：
22
(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微. 22,2,2,y
u
v
v y xy xy x x y x
y ????====????
所以要使得
u v x y ??=??， u v y x ??=-??,
只有当z=0时,
从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(2) 22
()i f z x y =+.
解：22
(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微.
2,0,0,2u
u v v
x y x y x
y ????====????
只有当z=0时,即(0,0)处有u v x y ??=??,u v
y
y ??=-
??. 所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(3) 33
()23i f z x y =+;
解：33
(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微.
226,0,9,0u
u v
v x y x y x
y ????====????
=时，才满足C-R 方程.
从而f(z)
0±=处可导，在全平面不解析.
(4) 2
()f z z z =?.
解：设i z x y =+，则
23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-?+=+++ 3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y =+=+
22223,2,2,3u
u
v
v
x y xy xy y x x
y
x
y ????=+===+????
所以只有当z=0时才满足C-R 方程.
从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.
7. 证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数. (1) ()0f z '
=;
证明：因为()0f z '=，所以0u u x y ??==??,0
v v x y ??==??.
所以u,v 为常数，于是f(z)为常数. (2) ()f z 解析.
证明：设()i f z u v =-在D 内解析,则 ()u v u v
x y x y ??-??=?=-???? ()u v v y x y ?-?-?==+??? ,u v u v
x y
y x ????=-=????
而f(z)为解析函数，所以
,u u
u v
x y y x ????==-????
所以,
,
v v
v v x
x y y ????=-=-????即0u u v v
x y x y ????====????
从而v 为常数，u 为常数，即f(z)为常数.
(3) Ref(z)=常数.
证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, 0u u x y ??==?? 因为f(z)解析，C-R 条件成立。故0u u x y ??==??即u=C2
从而f(z)为常数.
(4) Imf(z)=常数.
证明：与（3）类似，由v=C1得0v v x y ??==??
因为f(z)解析，由C-R 方程得0u u x y ??==??,即u=C2
所以f(z)为常数.
5. |f(z)|=常数.
证明：因为|f(z)|=C ，对C 进行讨论. 若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.
若C ≠0，则f(z) ≠0,但2()()f z f z C ?=，即u2+v2=C2
则两边对x,y 分别求偏导数，有
220,220
u v u v u v u v x x y y ?????+?=?+?=???? 利用C-R 条件，由于f(z)在D 内解析，有 u v u v x y y x ????==-???? 所以00u
v u v x x u v v u x x ????+?=?????
????-?=???? 所以
0,
0u v
x x ??==??
即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.
(6) argf(z)=常数.
证明：argf(z)=常数，即arctan v C
u ??= ???,
于是
222
222222
()
()(/)01(/)()()v u v u
u u v u u v v u y y x x v u u u v u u v ????-??
-?'
????===+++
得
00v
u u v x x v
u u v y y ????-?=?????????-?=???? C-R 条件→ 00v u u v x x v u u v x x ????-?=?????
????+?=????
解得0u v u v x x y y ????====????，即u,v 为常数，于是f(z)
为常数.
8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z 平面上解析，求m,n,l 的值.
解：因为f(z)解析，从而满足C-R 条件. 222,3u u nxy my nx x y ??==+?? 223,2v
v
x ly lxy x
y ??=+=??
u v n l x y ??=?=??
3,3u v
n l m y x ??=-?=-=-??
所以3,3,1n l m =-=-=.
9. 试证下列函数在z 平面上解析，并求其导数.
(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i
证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且
222233,6,6,33u
u
v
v
x y xy xy x y x
y
x
y ????=-=-==-????
所以f(z)在全平面上满足C-R 方程，处处可导，处处
解析.
22222()i 336i 3(2i)3u v
f z x y xy x y xy z x x ??'=
+=-+=-+=??.
(2)
()e (cos sin )ie (cos sin )x x f z x y y y y y x y =-++. 证明：
(,)e (cos sin ),
(,)=e (cos sin )
x x u x y x y y y v x y y y x y =-+处处可微，且
e (cos sin )e (cos )e (cos sin cos )x x x u
x y y y y x y y y y x ?=-+=-+?
e (sin sin cos )e (sin sin cos )x x u
x y y y y x y y y y y
?=---=---?e (cos sin )e (sin )e (cos sin sin )x x x v
y y x y y y y x y y x
?=++=++?e (cos (sin )cos )e (cos sin cos )x x v
y y y x y y y y x y y
?=+-+=-+?所以u v x y ??=??, u v y
x ??=-
?? 所以f(z)处处可导，处处解析.
()i e (cos sin cos )i(e (cos sin sin ))e cos ie sin (e cos ie sin )i (e cos ie sin )e e i e e (1)
x x x
x x x x x z z z z u v
f z x y y y y y y x y y x x y y x y y y y y x y z ??'=
+=-++++??=+++++=++=+10. 设
()()
333322
i ,0.0.0.x y x y z f z x y z ?-++≠?
=+??=?
求证：(1) f(z)在z=0处连续．
(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程． (3)f′(0)不存在． 证明.(1)∵
()()
()()
,0,0lim ()lim ,i ,z x y f z u x y v x y →→=
+
而()()()()()33
22,0,0,0,0lim ,lim x y x y x y u x y x y →→-=+
∵
()3322221x y xy x y x y x y -?
?=-?+ ?++??
∴
33
22
3
02
x y x y x y --+≤
≤
∴()()33
22,0,0lim 0x y x y x y →-=+ 同理()()33
22
,0,0lim 0x y x y x y →+=+
∴()()
()()
,0,0lim
00x y f z f →==
∴f(z)在z=0处连续．
(2)考察极限()
()0lim
z f z f z →-
当z 沿虚轴趋向于零时，z=iy ，有
()()()3
2
00111i lim i 0lim 1i i i y y y f y f y y y →→--??-=?=+??．
当z 沿实轴趋向于零时，z=x ，有
()()[]01
lim
01i x f x f x →-=+
它们分别为
i ,i u v v u
x x y y ????+?-???? ∴,u v u v x y y
x ????==-
???? ∴满足C-R 条件．
(3)当z 沿y=x 趋向于零时，有
()()()()()33300i 0,01i 1i i lim lim i 21i 1i x y x y f x x f x x x x x =→=→+-+--==+++
∴0lim
z f z →??不存在．即f(z)在z=0处不可导． 11. 设区域D 位于上半平面，D1是D 关于x 轴的对
称区域，若f(z)在区域D 内解析，求证()
()F z f z =在
区域D1内解析． 证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D 内解析． 所以u(x,y),v(x,y)在D 内可微且满足C-R 方程，即,u v u v x y y x ????==-????．
()()()()()
,iv ,,i ,f z u x y x y x y x y ?ψ=---=+，得
(),u x y x x ??-?=
?? ()(),,u x y u x y y y y ??-?-?==-??? (),v x y x x ψ-?-?=
?? ()(),,v x y v x y y y y ψ?-?-?=+=???
故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R 条件,x y y x ?ψ?ψ????==-????
从而()
f z 在D1内解析
13. 计算下列各值
(1) e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)
(2)
22π2
2
i 3
33
3
3
ππ1e
e e
e cos isin e 332i π--????????=?=?-+-=? ?
? ???????
???? (3)
()()
22
22
22
22
22
i i
22222
2Re e
Re e e
Re e cos isin e
cos x y x y x y x y x y x
x y
x
x y y y x y x y y x y -+-
++++=?????????= ?-+-?
?? ? ? ?++???????
?
??
=? ?
+??
(4)
()()i 2i 2i i 22i 2e e e e e e x y x y x y x
-+-+---=?=?=
14. 设z 沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论
f(z)=z+ez 的极限． 解：令z=reiθ， 对于?θ，z →∞时，r →∞． 故()()()i i e
i isi c n os lim e e lim e e r r r r r r θ
θθθθ→∞
→+∞
+=+=∞
．
所以()lim z f z →∞
=∞
．
15. 计算下列各值． (1)
(
)(
)3ln 23i i arg 23i i πarctan 2?
?-+-+=- ?
??
(2)
(
)(
ππln 3ln iarg 3ln i ln i
66??
==-= ???
(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i
(4)
()()π
ln ie ln e iarg ie 1i
2=+=+
16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz 的连续性与可导性．
解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz 除负实轴及原点外处处连续． 设z=x+iy
，
()()
()||,i ,g z z u x y v x y ==+
(
)(),,0
u x y v x y =在复平面内可微．
(
)1
222
122
u u x y x x y
-??=+?==??
00v v x y ??==??
故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．
从而f(x)=|z|+lnz 在复平面上处处不可导． f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续． 17. 计算下列各值． (1)
()()
()()
(
)1i
π1i i 2πi 1i
ln 1i
1i ln 1i 4ππ
i 2π
44π
2π
4
π
2π4
1i e e e
ππ
e i 2π44e e
ππe
cos isin 4
4ππe
cos isin 4
4k k k k k -??-?+ ?
-+-?+??
?-+ ?++
+====+
-++=?????=?-+- ??
??????
??=?-+- ??
???? (2)
(
(
)
(
)
)(
)(
)(
(
)(
)(5
ln 3ln 3i π2πi 3π23
3e cos 21isin 21cos 21πisin 21k k k k k k --+?++-=====++=?++ (3)
(
)
()
i
i ln1iln1i ln1i 02πi
i 2πi 2π
1e e e e e k k k ----?+?+-?=====
(
)()(
)1i
1i
ln 1i ln ππ1i ln1i 2πi 1i 2πi i 44πππ
π
i 2π2πi i 2π2π4444
π
2π4
π
2π4
e e
e e
e e
e
ππe cos isin 44()4e
k k k k k k k k +++??????+?+-++- ? ?
?
??????
?
?---+
- ???
--======?????=?+- ? ?
???
??=???
18. 计算下列各值 (1)
()(
)
(
)
()i π5i i π5i i π5i π5
555555e e e e cos π5i 22
e e 1e e e e ch 5
222+-+--+---+++==
-+---+===-=-
(2)
()()()
()()i 15i i 15i i 5i 5
555555e e e e sin 15i 2i 2i
e cos1isin1e cos1isin12i
e e e e sin1i cos1
22---+--------==
+-?-=
++=?-? (3)
()()()(
)
(
)
()()()
i 3i i 3i
i 3i i 3i 22e e sin 3i sin 6isin 2
2i tan 3i cos 3i e e 2ch 1sin 32i
----------===
-+-(4)
()()()2
2
2
i i 2222222222221sin e e sin ch i cos sh 2i
sin ch cos sh sin ch sh cos sin sh sin sh y x y x z x y x y
x y x y
x y y x x y x y
-+-=?-=?+?=?+?=?-++?=+(5)
(
(
))()arcsin i i ln i i ln 1i ln 1i2π0,1,i ln 1i π2πk k k =-+=-??
?-+???==±??
??-++??
?
(6)
()()()i 1i 12i i 21arctan 12i ln ln i 21i 12i 2551i
πarctan 2ln 5
24k ++??
+=-=-?-+ ?
-+??=++?
19. 求解下列方程 (1) sinz=2． 解：
(
)(
(
(1
arcsin 2ln 2i ln 2i i
1i ln 22πi 212πi ln 2,0,1,2z k k k ??==±=-±??
???
?=-±++ ???
???
??
?=+±+=± ??
?
(2)e 10z
-=
解：e 1z
=+ 即
()π
ln 1ln 2i
2πi 3
1ln 22πi
3z k k ==++?
?=++ ??
?
(3) π
ln i
2z =
解：πln i 2z = 即
π
i 2
e i z == (4)()ln 1i 0z -+= 解
：
(
)π1ln 1i i 2πi 2πi
44z k k ?
?-+=?+=+ ???．
20. 若z=x+iy ，求证
(1) sinz=sinxchy+icosx?shy 证明：
()()()i i i i i i i e e e e sin 2i 2i 1
.e e 2i
sin ch i cos .sh x y x y i
z z y x y x z x y x y +-+?--+---==
=-=?+ (2)cosz=cosx?chy -isinx?shy
证明：
()
()()
()()()()i i i i i i i i e e 1cos e e 221
e e 21
e cos isin e .cos isin 2
e e e e .cos isin .22cos .ch isin .sh z z x y x y y x y x y y y y y y z x x x x x x x y x y -+-+-+----+==?+=+=?++-??
+-+=-????=-
(3)|sinz|2=sin2x+sh2y 证明：
()i i 1
sin e e sin ch icos sh 2i y x y x z x y x y
-+-=-=?+?
()()2
222222222222sin sin ch cos .sh sin ch sh cos sin sh sin sh z x y x y
x y y x x y x y
=+=-++=+
(4)|cosz|2=cos2x+sh2y
证明：cos cos ch isin sh z x y x y =-
()()2
22222
2
2
2
2
2
22cos cos .ch sin .sh cos ch sh cos sin .sh cos sh z x y x y
x y y x x y
x y
=+=-++=+
21. 证明当y →∞时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大． 证明： ()()i i i
i 11sin e e e e 2i 2i z z y x y x z --+-=
-=?-
∴i i
i
i 1
sin e 2e
e e e y x y x y x y y x y z e -+--+--=?-== 而()()
i i 11
sin e e e e 22y x y x y y z -+---=-≥
当y →+∞时，e-y →0，ey →+∞有|sinz|→∞．
当y →-∞时，e-y →+∞，ey →0有|sinz|→∞．
同理得
()()i i 11cos i e e e e 2
2y x y x y
y x y -+--+=
+-≥
所以当y →∞时有|cosz|→∞．
习题三
1. 计算积分2
()d C x y ix z
-+?,其中C 为从原点到点1+i
的直线段.
解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+.
01x ≤≤
故
()()1
2
2
1
23
1
0()
1
1
(1)(1)(1)3
33C
x y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+?=+=???
2. 计算积分(1)d C
z z
-?，其中积分路径C 为
(1) 从点0到点1+i 的直线段;
(2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i 的弧段. 解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤
()()1
011()C
z dz x ix d x ix i
-=-++=??
(2)设2
z x ix =+. 01x ≤≤
()()1
22
0211()3
C
i z dz x ix d x ix -=-++=
??
3. 计算积分d C
z
z ?，其中积分路径C 为
(1) 从点-i 到点i 的直线段;
(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i 到点i; (3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i 到点i. 解 (1)设z iy =. 11y -≤≤
1
1
1
1
C
z dz ydiy i ydy i
--===??
?
(2)设i z e θ
=. θ从32π到2π
22332
2
12i i C
z dz de i de i
π
π
θ
θ
ππ===??
?
(3) 设i z e θ
=. θ从32π到2π
2
32
12i C
z dz de i
π
θ
π==??
6. 计算积分()sin z
C
z e z dz -??,其中C
为
z a =>.
解 ()sin sin z z
C C C
z e z dz z dz e zdz -?=-??
?? ∵sin z e z ?在z a
=所围的区域内解析
∴sin 0
z C
e zdz ?=?
从而
()20
22
sin 0
z
i C C
i z e z dz z dz adae a i e d π
θ
π
θθ-?====????
故()sin 0z
C
z e z dz -?=?
7. 计算积分2
1
(1)
C
dz
z z +?
,其中积分路径C 为
（1）11
:2
C z =
（2）
23:2
C z =
（3）
31:2
C z i +=
（4）
43:2
C z i -=
解：（1）在1
2
z =
所围的区域内，
21
(1)z z +只有一个奇点0z =.
12
1
11111()2002(1)
22C
C dz dz i i z z z z i z i
ππ=
-?-?=--=+-+?
?
（2）在2C 所围的区域内包含三个奇点0,z z i ==±.故
22
1
11111()20
(1)
22C
C dz dz i i i z z z z i z i πππ=
-?-?=--=+-+?
?（3）在2
C 所围的区域内包含一个奇点z i =-,故
32
1
11111()00(1)
22C
C dz dz i i z z z z i z i
ππ=
-?-?=--=-+-+?
?
（4）在4C 所围的区域内包含两个奇点0,z z i ==,故
42
1
11111()2(1)
22C
C dz dz i i i z z z z i z i πππ=
-?-?=-=+-+?
?
10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1) 20
cos 2i z dz
π+?
(2)
z i
e dz
π
--? (3)
2
1
(2)i
iz dz +?
(4) 1ln(1)
1i
z dz z ++? (5)
1
0sin z zdz ?? (6) 211tan cos i
z
dz
z +?
解 (1)
220
1cos sin
21
222
i
i
z z dz ch ππ++==?
(2)
2
z z
i
i
e dz e ππ
----=-=-?
(3) 22311
111111(2)(2)(2)(2)333i
i i
i iz dz iz d iz iz i i +=
++=?+=-+?
?
(4)
222111
ln(1)11ln(1)ln(1)ln (1)(3ln 2)1284i
i i
z dz z d z z z π+=++=+=-++?? (5)
1
1
1
10
sin cos cos cos sin1cos1
z zdz zd z z z
zdz ?=-=-+=-?
??
(6)
222
11
21112
21tan 1sec sec tan tan cos 2111tan1tan 1t 122i
i i i i
z dz zdz z zdz tanz z z ith h +=+=+??=-+++ ??????11. 计算积分2
1z
C
e dz z +?
,其中C 为
(1)
1
z i -= (2) 1
z i += (3)
2
z =
解 (1)
2
21()()z
z z
i
z i
C
C e e e dz dz i e z z i z i z i
ππ===?=++-+?
?
(2)
221()()z
z z
i
z i
C
C e e e dz dz i e z z i z i z i
ππ-=-==?=-++--?
?
(3)
122222sin1111z
z z i i
C C C e e e dz dz dz e e i z z z πππ-=
+=-=+++???
16. 求下列积分的值,其中积分路径C 均为|z|=1.
(1) 5z
C e dz z ?
(2)
3cos C z dz z ?
(3) 020tan
1
2,()
2C z
dz z z z <-? 解 (1)
(4)
5
2()4!
12z z z C e i i
dz e z ππ===
?
(2)
(2)
3
cos 2(cos )2!
z C z i dz z i
z ππ===-?
(3)
'
2
02
0tan
22(tan )sec ()2z z C z
z dz i z i z z ππ===-?
17. 计算积分331
(1)(1)C dz
z z -+?,其中积分路径C 为
(1)中心位于点1z =,半径为2R <的正向圆周 (2) 中心位于点1z =-,半径为2R <的正向圆周
解：(1)
C
内包含了奇点1z =
∴
(2)
133
3121
3()(1)(1)2!(1)8z C i i
dz z z z ππ===
-++?
(2)
C
内包含了奇点1z =-,
∴(2)
1333
1213()(1)(1)
2!(1)8z C
i i dz z z z ππ=-==-
-+-?
19. 验证下列函数为调和函数.
3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x x x x y xy y y i y ωω=--+=+++
解(1) 设w u i υ=
+,3
223
632u x
x y xy y
=--+
0υ=
∴
223123u x xy y
x ?=--? 22666u x xy y y ?=--+?
22
612u x y x ?=-? 22612u x y y ?=-+?
从而有
2222
0u u
x y ??+=??,w 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
(2)
设
w u i υ
=+,
cos 1x u e y =?+
sin 1x e y υ=?+
∴cos x u e y
x ?=?? sin x u e y y ?=-??
22
cos x
u e y x ?=?? 2
2cos x u e y y ?=-??
从而有
2222
0u u
x y ??+=??,u 满足拉普拉斯方程,从而是调和函
数.
sin x e y
x υ?=?? cos x e y y υ?=??
22sin x
e y x υ?=?? 22
sin x y e y υ?=-??
2222
0x y υυ
??+=??,υ满足拉普拉斯方程,从而是调和函
数.
20.证明:函数22
u x y =-,
22x
x y υ=
+都是调和函
数,但()f z u i υ=+不是解析函数 证明:
2u x x ?=? 2u y y ?=-? 22
2u x ?=? 222u y ?=-?
∴22220u u
x y ??+=??,从而u 是调和函数.
22
222()y x x x y υ?-=
?+ 2222()xy y x y υ?-=?+ 223222362()xy x x x y υ?-+=?+ 223
222362()xy x y x y υ?-=?+
∴222
20x y υυ
??+=??,从而υ是调和函数.
但∵u x y υ??≠?? u y
x υ??≠-
?? ∴不满足C-R 方程,从而()f z u i υ=+不是解析函数. 22.由下列各已知调和函数,求解析函数
()f z u i υ=+
(1)2
2
u x y xy =-+ (2)
22
,(1)0y
u f x y =
=+
解 (1)因为 2u x y x
y υ
??=+=
?? 2u y x y x υ??=-+=-?? 所以
22
(,)
(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222
u u x y x y y x dx dy C y x dx x y dy C xdx x y dy C y x
x y xy C υ??=-++=-+++=-+++??????=-
+++22
22()i(2)22x y
f z x y xy xy C =-++-
+++
令y=0,上式变为
2
2()i(
)2x
f x x C =-+
从而
22
()i i 2z f z z C
=-?+
(2)2222()u xy x x y ?=-?+
22
2
22
()u x y y x y ?-=?+ 用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有
2
(,)
4222(1,0)12222
2()0()1110x y x u u x y y
dx dy C dx x dy C
y x x x y x x y C x x y x y υ??=-
++=-+???+=-+=-+++?
?2222
()i(1)y x
f z C x y x y =
+-+++
由(1)0.f =，得C=0
()11f i z z ??
∴=- ?
??
23.设
12()()()
()
n p z z a z a z a =---,其中
(1,2,,)
i a i n =各不相同，闭路C 不通过
12,,
,n
a a a ,证明积分
1
()
d 2π()
C
p z z i
p z '?
等于位于C 内的p(z)的零点的个数.
证明: 不妨设闭路C 内()P z 的零点的个数为k, 其零点分别为
12,,...k
a a a
1112
3
12121()()()...()...()
1
()1
2πi
()2πi
()()...()
111
111
...2πi
2πi
2πi
1
11
1
11...1...2πi
2πi
n
n
k k n k k C
C
n C
C
C
n
C
C
k n
k z a z a z a z a z a P z dz dz
P z z a z a z a dz dz dz z a z a z a dz d z a z a -==+-+--+--'=---=
+++---=++++
++--∏∏?
?
?
?
?
?
?
个
z k
=24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设
f(z)在闭路C 及其外部区域D 内解析，且
lim ()z f z A →∞
=≠∞
，则
(),,1()
d ,.2πC f z A z D f A z G i z ξξξ-+∈?=?∈-??
其中G 为C 所围内部区域.
证明：在D 内任取一点Z ，并取充分大的R ，作圆CR:
R z =，将C 与Z 包含在内
则f(z)在以C 及R
C 为边界的区域内解析，依柯西积
分公式，有
R 1()()
()[-]
2πi C C f f f z d d z z ζζζζζζ=--?? 因为()
f z z ζζ-- 在R
ζ>上解析，且
()1
lim lim ()lim ()1
1f f f z z ζζζζζ
ζζζζ
→∞
→∞
→∞=?==--
所以，当Z 在C 外部时，有
1()()2πi
C f f z A d z ζζ
ζ=--?
即1()
()2πi
C f d f z A
z ζζζ=-+-?
设Z 在C 内，则f(z)=0，即
R 1()()0[]
2πi C C f f d d z z ζζζζζζ=
---??
故有：1
()
2πi
C f d A
z ζζζ=-?
习题四
1. 复级数1
n n a ∞
=∑与1
n n b ∞
=∑都发散,则级数1
()
n n n a b ∞
=±∑和
1
n n n a b ∞
=∑发散.这个命题是否成立为什么
答.不一定．反例:
2211111111
i ,i n n n n n n a b n n n n ∞
∞
∞∞
=====+=-+∑∑∑∑发散 但21
1
2
()i n n n n a b n
∞∞
==+=?
∑∑收敛 112
()n
n n n a
b n
∞
∞
==-=∑∑发散
2
4
1
1
1
1[()]n n
n n a b n
n ∞∞
===-+
∑∑收敛. 2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛
(1)2111i n n n +∞
=+∑ (2)1
15i (
)2n
n ∞
=+∑ (3) π1
e
i n
n n
∞
=∑
(4) 1i ln n
n n
∞
=∑ (5)
cosi 2n n n
∞
=∑ 解 (1) 21111
1i 1(1)i 1(1)i n n n
n n n n n n n +∞
∞∞===++-?-==+?∑∑∑
因为11n n
∞
=∑发散,所以21
11i n n n +∞
=+∑发散
(2)11
15i 2n
n
n n ∞
∞
==+=∑∑发散 又因为15i 15lim()lim(i)0222n n n n →∞
→∞+=+≠ 所以1
15i
()2n
n ∞
=+∑发散 (3)
πi 1
1e 1
n
n n n n
∞
∞
===∑
∑发散,又因为
π111ππcos isin e 1ππ(cos isin )i n
n n n n n n n n
n n ∞
∞
∞
===+==+∑∑∑收
敛,所以不绝对收敛. (4)
1
1i 1
ln ln n n n n n
∞
∞
===∑
∑ 因为11ln 1
n n >- 所以级数不绝对收敛. 又因为当n=2k 时, 级数化为
1
(1)ln 2k
k k
∞
=-∑
收敛
当n=2k+1时, 级数化为1
(1)
ln(21)
k k k ∞
=-+∑也收敛
所以原级数条件收敛 (5)
00
00cosi 1e e 1e 11()()2222222n n n n
n
n n n n n n e -∞
∞∞∞====+=?=+∑∑∑∑ 其中0e
()2
n n ∞
=∑ 发散,01()2n n e ∞
=∑收敛
所以原级数发散.
3.证明:若Re()0n a ≥,且1n n a ∞
=∑和21
n n a ∞
=∑收敛,则级数
21
n
n a
∞
=∑绝对收敛.
证明:设
2222
i ,(i )2i n n n n n n n n n n a x y a x y x y x y =+=+=-+
因为1
n
n a ∞=∑和21
n n a ∞
=∑收敛
所以2
1
1
1
1
,,(),n n n n n n n n n n x y x y x y ∞∞∞
∞====-∑∑∑∑收敛
又因为Re()0n a ≥,
所以0n x ≥且2
lim lim 0n n n n x x →∞→∞
== 当n 充分大时,
2
n n x x < 所以
2
1
n
n x
∞
=∑收敛
2
22222
2()n n n n n n a x y x x y =+=-- 而
2
1
2n
n x
∞
=∑收敛，
221
()n n n x
y ∞
=-∑收敛
所以
21
n
n a
∞
=∑收敛，从而级数
21
n
n a
∞
=∑绝对收敛.
4.讨论级数1
()n n
n z
z ∞
+=-∑的敛散性
解 因为部分和1
1
()1n
k k
n n k s z
z z
++==-=-∑，所以，
1,1n z s <→-当时
1,0n z s =→当时，1,n z s =-当时不存在.
当i e z θ
=而0θ≠时（即1,1z z =≠），cosn θ和sinn θ都没有极限,所以也不收敛．
,n z s →∞当>1时.
故当1z =和1z <时,
1
()n n n z
z ∞
+=-∑收敛.
5.幂级数0
(2)
n
n
n C z ∞
=-∑能否在z=0处收敛而在z=3
处发散.
解： 设1lim n n n
C C ρ+→∞=，则当1
2z ρ-<时，级数收
敛，1
2z ρ->
时发散.
若在z=0处收敛,则
1
2ρ
>
若在z=3处发散, 则
1
1ρ
<
显然矛盾,所以幂级数0
(2)
n
n
n C z ∞
=-∑不能在z=0处收
敛而在z=3处发散
6.下列说法是否正确为什么
(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.
(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.
答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.
(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.
7.若0n
n n C z ∞
=∑的收敛半径为R,求0
n
n n n C z b ∞
=∑
的收敛半径。
解： 因为1
11111lim lim n n n n n n n
n
C C b C C b R b b +++→∞→∞=?= 所以 R R b '=? 8.证明：若幂级数
n
n n a z
∞
=∑的 系数满
足
n ρ=，则
(1)当0ρ<<+∞时, 1
R ρ
=
(2) 当0ρ=时, R =+∞ (3) 当ρ=+∞时, 0R = 证明：考虑正项级数
2120
......n
n n
n n a z
a z a z a z ∞
==++++∑
由
于n n z ρ=?，若
0ρ<<+∞，由正项级数的根值判别法知，当
1z ρ?<时，即1
z ρ
<时，
n
n
n a z
∞
=∑收敛。当
1z ρ?>时，即1
z ρ
>
时，2
n
n a z 不能趋于
零
,1n >级数发散.故收敛半径1R ρ=.
当0ρ=时, 1z ρ?<,
级数收敛且R =+∞.
若ρ=+∞,对0,z ?≠当充分大时,必有2
n
n a z 不能
趋于零,级数发散.且0R =
9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。 (1)
(i)n
p n z n ∞
=-∑ (2) 0p n
n n z ∞
=?∑ (3) 121021(i)2n n n n z n ∞
--=--?
?∑ (4) (1)
0i ()(1)
n n n n z n ∞
+=?-∑
解: (１)
11
1
lim
lim()lim(1)1
(1)11
1
p p p p n n n n n n n n R →∞→∞→∞==-=+++∴=收敛圆周
i 1z -<
(2)
(1)lim 11
p p n n n R →∞+==
所以收敛圆周
1z <
(3) 记 1
2121
()(i)2
n n n n n f z z ---=-?? 由比值法,有
21
2
12121(21)2()1lim lim ()2(21)2n n n n n n n n n z f z z f z n z ++-+→∞→∞+??==-??
要级数收敛,则
z <级数绝对收敛,收敛半径为
R =
所以收敛圆周
z <(4) 记 (1)
i ()()(1)n n n n
f z z n +=?-
1
1
,
1
1lim n n n n z n
+0, Z-1≤∞Z-1>→∞-={若若
所以
11z -≤时绝对收敛,收敛半径1R =
收敛圆周
11z -<
10.求下列级数的和函数. (1)
1
1
(1)
n n
n nz ∞
-=-?∑ (2) 20
(1)(2)!n
n
n z n ∞
=-?
∑ 解: (1)
11
lim
lim 1n n n n
C n C n +→∞
→∞+==
故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：
-1
1
1
(1)(1)1z n
n n n n n z
nz dz z z ∞
∞
==-=-=
+∑∑?
所以
-1
2
11(1)(),11(1)n n n z nz z z z ∞
='-?==<++∑
于是有：
1
12
1
1
(1)
(1)1
(1)n n
n n n n z
nz z n z z z ∞
∞
--==-?=--?=-
<+∑∑
(2) 令：
20
()(1)(2)!n
n
n z s z n ∞
==-?
∑ 11
lim
lim 0.(21)(22)n n n n C C n n +→∞
→∞==++
故R=∞, 由逐项求导性质
21
1
()(1)(21)!n n
n z s z n -∞
='=-?
-∑ 2222+11
00
()(1)(1)(1)(1)(22)!(2)!(2)!n m n n m n n m n z z z s z m n n m n -∞
∞∞
===''=-?
=-?=-=--?-∑∑∑由此得到()()
s z s z ''=-
即有微分方程()()0s z s z ''+=
故有：()cos sin s z A z B z =+， A, B 待定。
200
(0)[(1)]11(2)!n
n
z n z A A n ∞
====-?=?=∑由S
21
01
(0)sin cos [(1)]00(21)!n n z n z
s z B z B n -∞=='=-+=-?=?=-∑
所以
20(1)cos .(2)!n
n
n z z R n ∞
=-?==+∞∑
11.设级数0
n n C ∞
=∑收敛，而0
n n C ∞=∑发散，证明0
n n n C z ∞
=∑的
收敛半径为1 证明：因为级数0
n
n C
∞
=∑收敛
设
1
1lim .n n n n n C Z z C Z λ++→∞=
若
n n n C z ∞
=∑的收敛半径为1
则1
z λ=
现用反证法证明1λ=
若01λ<<则1z >，有1lim 1n n n C
C λ+→∞=<，即0
n n C ∞
=∑收
敛，与条件矛盾。
若1λ>则1z <，从而0
n n n C z ∞
=∑在单位圆上等于0
n
n C
∞
=∑，是收敛的，这与收敛半径的概念矛盾。
综上述可知，必有1λ=，所以
1
1R λ
=
=
12.若0
n
n
n C z
∞
=∑在0z 点处发散，证明级数对于所有满
足0z z >点z 都发散.
证明：不妨设当10z z >时，0n
n n C z ∞
=∑在1z 处收敛
则对1z z ?>，0
n
n
n C z
∞
=∑绝对收敛，则0
n
n
n C z
∞
=∑在
点0z 处收敛
所以矛盾,从而0
n
n
n C z
∞
=∑在0z z >处发散.
13.用直接法将函数
ln(1e )z
-+在0z =点处展开为泰勒级数,(到4
z 项),并指出其收敛半径.
解:因为1e ln(1e )ln()
e z
z
z -++=
奇点为(21)πi(0,1,...)
k z k k =+=±
所以πR =
又
ln(1e )
ln 2
z z -=+=
e 1[ln(1e )]1e 2z
z
z z
--=-'+=-
=-+
2
2
e 1[ln(1e )](1e )2z
z
z z --=-''+=-
=-
+ 20
3
e e [ln(1e )]0(1e )z z
z
z z ---=--+'''+=
=+
2(4)0
4
3e (14e e
)
1[ln(1e )](1e )2z z z
z z z ----=--++=
=-
+
于是，有展开式
24
23111ln(1e )ln 2...,π
22!24!2z z z z R -+=-+-+=
14.用直接法将函数21
1z +
在1z -<点处展开为
泰勒级数,(到4
(1)z -项)
解：i z =±为21
1z +的奇点，
所以收敛半径
R =又
211(),(1)12f z f z =
=+ 2221
(),(1)(1)2z f z f z -''=
=-
+
223261
(),(1)(1)2z f z f z -+''''==
+ 3
24
2424(),(1)0(1)
z z f z f z -''''''==+ 24(4)
(4)25
24240120(),(1)0(1)z z f z f z -+==+
于是，()f z 在1z =处的泰勒级数为
242
11113
(1)(1)(1)...,12244!z z z R z =--+---++15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其
收敛性.
(1) 1
23z -分别在0z =和1z =处
(2)
3sin z 在0z =处 (3) arctan z 在0z =处
(4) (1)(2)z
z z ++在2z =处
(5) ln(1)z +在0z =处 解 （1）
01111123
(),223323332
13
n n z z z z z ∞==-=-?=-?<---∑ 0
11111
2(1),1232212(1)112(1)2n n n z z z z z z ∞
====-=---<-------∑ (2) 35
210
(1)sin ...(21)!3!5!n n n z z z z z n ∞
+=-==-+++∑ 23
210331sin (1),4(21)!
n n
n n z z z n ∞+=-=-?<∞+∑
(3) 2
01
arctan 1i 1
z
z dz z z R =+∴=±∴=?
为奇点，
2212000011arctan (1)(1),1121z
z n n
n n n n z dz z dz z z z n ∞∞+====-=-??<++∑∑?
? (4)
00110
11111111122
(1)(2)1223243411341212(1)()(1)()334411
(1)()(2),23
34n n n n n n n n n n n z z z z z z z z z z z z ∞∞==∞
++==-=-=?-?
--++++-+-+++--=-?--?=-?---<∑∑∑
(5)因为从1z =-沿负实轴ln(1)z +不解析 所以,收敛半径为R=1
1
[ln(1)](1)1n n n z z z ∞
='+==-?+∑
10001ln(1)(1)(1),1z n
n
n n n n z z dz z z n ∞
∞
+==+=-?=-??<∑∑?
16.为什么区域z R <内解析且在区间(,)R R -取实
数值的函数()f z 展开成z 的幂级数时，展开式的系
数都是实数 答：因为当
z 取实数值时，()f z 与()f x 的泰勒级
数展开式是完全一致的，而在x R <内，()f x 的展开式系数都是实数。所以在z R <内，()f z 的幂级数展开式的系数是实数.
17.求221
()2z f z z z +=+-的以
0z =为中心的各个圆
环域内的罗朗级数.
解:函数()f z 有奇点11z =与22z =-,有三个以
0z =为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为：
2
010
21111z 1()=(1)()212221
((1)1)2
n
n n n n n n n n z z f z z z z z z z ∞
∞==∞
+=+<=
+=-+-+--+=-?
-∑∑∑在内，
19.在1z <<+∞内将11()e z
f z -=展开成罗朗级数.
解:令1
,1t z =
-则
23
11()e 1...2!3!
t f z t t t ==++
?+?+ 而1
1t z =
-在
1z <<+∞内展开式为
2111111(1...)111z z z z z
z
-=?=-?+++-- 所以,代入可得
2222345
1111111
()1(1...)(1...)...
2!1111191...
2624120f z z z z z z z
z z z z z =-?++++?++++=---+++
20.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果
23...1z
z z z z
=+++- 211
1...1z z z z
=+++- 因为011z z
z z +=--,所以有结果 2332111
...11...0z z z z z z
+
++++++++= 你认为正确吗为什么
答:不正确,因为23
...1z z z z z
=+++-要求z 1< 而2
11
1...1z z z z =+++-要求z 1> 所以,在不同区域内
2362111...11...011z z z z z z z z z z
+≠+++++++++≠-- 21.证明: 1
()cos()f z z z
=+用z 的幂表示的罗朗级数展开式中的系数为
2π
1cos(2cos )cos .0,1,...2πn C n d n θθθ==±?
证明:因为0z =和z =∞是1
cos()z z +的奇点，所以在0z <<∞内，1cos()z z +的罗朗级数为
1
cos()n n
n n z C z z =∞
=-∞+=∑
其中1
1
cos()
1
,0,1,2,...2πi n n C c d n ζζ
ζζ++=
=±±?
其中C 为0z <<∞内任一条绕原点的简单曲线. i 11i i i i 2π2πi i(1)i 002π
i i 02π0
1
cos()1,(e ,02π)2πi 1cos(e e )1cos(e e )i e 2πi e 2πe 1cos(e e )(cos isin )2π
1cos(2cos )cos .0,1,...2πn n z n n z z C dz z z
d d n n d n d n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+=--+-+==≤≤++===+?-==±????? 22. 0z =是函数11
()cos()z f z =的孤立奇点吗为什
么
解: 因为11
()cos()z f z =的奇点有
0z = 1π1
π(0,1,2,...)π2π2
k z k z k =+?==±±+
所以在0z =的任意去心邻域，总包括奇点