2019年南京市中考数学试题、答案(解析版)

2019年南京市中考数学试题、答案（解析版）

(本试卷满分120分,考试时间120分钟)

第Ⅰ卷(选择题 共12分)

一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的)

1.2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13 000亿美元.用科学记数法表示13 000是

( ) A .50.1310?

B .41.310?

C .31310?

D .213010? 2.计算()

3

2a b 的结果是

( )

A .23a b

B .53a b

C .6a b

D .63a b 3.面积为4的正方形的边长是

( )

A .4的平方根

B .4的算术平方根

C .4开平方的结果

D .4的立方根

4.实数a 、b 、c 满足a ＞b 且ac ＜bc ，它们在数轴上的对应点的位置可以是

( )

A

B

C D

5.下列整数中，与10

( )

A .4

B .5

C .6

D .7

6.如图，'''A B C △是由ABC △经过平移得到的，'''A B C △还可以看作是ABC △经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是

( )

A .①④

B .②③

C .②④

D .③④

第Ⅱ卷(非选择题 共108分)

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填在题中的横线上) 7.2-的相反数是 ；1

2

的倒数是 .

8.

的结果是 .

9.分解因式()2

4a b ab -+的结果是 .

10.已知2是关于x 的方程2

40x x m +﹣＝的一个根，则m ＝ .

11.结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵ ，∴a b ∥.

12.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20 cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm .

13.为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查.整理样本数据，得到下表：

根据抽样调查结果，估计该区12 000名初中学生视力不低于4.8的人数是 . 14.如图，P A 、PB 是O e 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在O e 上.若102P ∠?＝，则

A C ∠+∠＝ .

15.如图，在ABC △中，BC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，CD 平分ACB ∠.若=2AD ，3BD =，则AC 的长 .

16.在ABC △中，4AB =，60C ∠=，A B ∠＞∠，则BC 的长的取值范围是 . 三、解答题(本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分7分) 计算()

22()x y x xy y +-+

18.(本小题满分7分) 解方程：2

3

111

x x x -=--.

19.(本小题满分7分)

如图，D 是ABC △的边AB 的中点，DE BC ∥，CE AB ∥，AC 与DE 相交于点F .求证：

ADF CEF V V ≌.

20.(本小题满分8分)

如图是某市连续5天的天气情况.

(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大； (2)根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论.

21.(本小题满分8分)

某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加

活动.

(1)甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？

(2)乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 .

22.(本小题满分8分)

如图，O e 的弦AB 、CD 的延长线相交于点P ，且AB CD =.求证：PA PC =.

23.(本小题满分8分)

已知一次函数12y kx =+(k 为常数，0k ≠)和23y x =-. (1)当2k =-时，若12y y ＞，求x 的取值范围.

(2)当1x ＜时，12y y ＞.结合图象，直接写出k 的取值范围.

24.(本小题满分8分)

如图，山顶有一塔AB ，塔高33 m .计划在塔的正下方沿直线CD 开通穿山隧道EF .从与E 点相距80m 的C 处测得A 、B 的仰角分别为27°、22°，从与F 点相距50m 的D 处测得A 的仰角为45°.求隧道EF 的长度. (参考数据：tan220.40?≈，tan270.51?≈.)

25.(本小题满分8分)

某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50m ，宽40m ，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为32：.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642 000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

26.(本小题满分9分)

如图①，在Rt ABC △中，90C ∠=?，3AC =，4BC =.求作菱形DEFG ，使点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上.

图1

(1)证明小明所作的四边形DEFG 是菱形.

(2)小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D 的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD 的长的取值范围.

27.(本小题满分11分) 【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点

()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间距离：()1212,d A B x x y y +--=. 【数学理解】

(1)①已知点()2,1A -，则(),d O A = .

②函数()2402y x x =-+≤≤的图象如图①所示，B 是图象上一点，(),3d O B =，则点B 的坐标是 .

图1 图2 图3 (2)函数4

(0)y x x

=＞的图象如图②所示.求证：该函数的图象上不存在点C ，使(),3d O C =.

(3)函数()2570y x x x +-=≥的图象如图③所示，D 是图象上一点，求(),d O D

的最小值及

小明的作法

1.如②，在边AC 上取一点D ，

过点D 作DG AB ∥交BC 于点G .

图2

2.以点D 为圆心，DG 长为半径

画弧，交AB 于点E . 3.在EB 上截取EF ED =，连接

FG ，则四边形DEFG 为所求作的菱形

.

对应的点D的坐标.

【问题解决】

(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？(要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由)

图2

2019年南京市中考数学答案解析

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题 1.【答案】B

【解析】413000 1.310=?，故选B. 【考点】用科学记数法表示较大的数 2.【答案】D 【解析】原式()

3

2

363=a b a b ?=，故选D.

【考点】积的乘方，幂的乘方 3.【答案】B

【解析】面积为4，2是4的算术平方根，故选B. 【考点】算术平方根的意义 4.【答案】A

【解析】由a b ＞，ac bc ＜知0c ＜，根据此条件可以判断A 图正确，故选A. 【考点】由数的大小及符号确定点在数轴上的位置 5.【答案】C

【解析】因为16，所以3.534，所以 3.534--＞，所以

10 3.5113104--＞，即

6.5106＞，所以最接近6，故选C. 用有理数估计无理数的大小，要借助完全平方数实现。 【考点】实数大小的估算 6.【答案】D

【解析】如图，由ABC △得到'''A B C △可以通过两次旋转或两次轴对称，故选D.

一个图形经过两次轴对称或两次旋转都能与原来的图形重合. 【考点】平移的性质，旋转的性质，轴对称的性质

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题 7.【答案】2 2

【解析】2-的相反数是2，

1

2

的倒数是2. 【考点】相反数的概念，倒数的概念 8.【答案】0

【解析】原式0=-=. 【考点】二次根式的化简 9.【答案】()2

a b +

【解析】原式22222242()a ab b ab a ab b a b =-++=++=+. 【考点】因式分解 10.【答案】1

【解析】原方程可变形为2(2)40x m -+-=，将x 的值代入得340m +-=，解得1m =. 【考点】一元二次方程根的概念 11.【答案】13180+=?∠∠

【解析】由图知，1∠和3∠互为同旁内角，故填13180+=?∠∠. 【考点】平行线的判定 12.【答案】5

【解析】根据题意，当木筷斜放在该杯子中时，木筷一边与杯子底壁接触，另一边与杯子上边

缘接触，此时构成直角三角形，直角三角形的两直角边长分别为9cm 和12cm ，根据勾股定理木筷在杯子中的部分最长为15cm ，所以漏在外面的部分至少有()20155cm -=. 将展开图还原成几何体，先计算木筷能置于杯内部分的长度，再计算露在杯子外面部分的长度。 【考点】几何体的展开图 13.【答案】7 200

【解析】抽取调查的500人中，视力不低于4.8的有8093127300++=（人），所以该区12 000

名初中学生视力不低于4.8的人数是300

120007200500

?=（人）. 【考点】统计表的识别，用样本估计总体 14.【答案】219

【解析】连接AB ，则180DAB C +=?∠∠，因为P A ，PB 是O e 的切线，所以PA PB =，所以

PAB PBA =∠∠，因为102P =?∠，所以39PAB =?∠，所以18039219A C +=?+?=?∠∠. 【考点】圆的切线的性质

15.

【解析】因为MN 垂直平分BC ，所以B DCB ∠=∠，因为CD 平分ACB ∠，所以DCA DCB =∠∠，

所以D C A B =∠∠

，所以ACD ABC V V ∽，所以::AC AB AD AC =，所以

2(23)210AC AB AD =?=+?=，所以AC =【考点】线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质

16.【答案】4BC ＜ 【解析】由于60C =?∠，如图构造等边三角形ABC ，作ABC △的外接圆，4AB =，当点C ，

在劣弧AC 上运动时，11C AB C BA ∠∠＞，当点1C 运动到与点B 构成直径时，BC 的值最大，

此时130ABC =?∠，4AB =，1AC =

，1BC ，所以BC 的取值范围是

4BC ＜.

【考点】三角形边长取值范围的确定 三、解答题

17.【答案】解：()

22()x y x xy y +-+

322223x x y xy x y xy y =-++-+ 33=x y +.

【解析】根据乘法法则进行计算. 【考点】整式的乘法运算.

18.【答案】解：方程两边乘(1)(1)x x -+， 得(1)(1)(1)3x x x x +--+=， 解得2x =.

检验：当2x =时，(1)(1)0x x -+≠. 所以，原分式方程的解为2x =.

【解析】先将分式方程化为整式方程求解，再将整式方程的解代入分式方程的分母进行检验，

即可得分式方程的解. 【考点】分式方程的解法

19.【答案】证明：∵DE BC ∥，C AB ∥， ∴四边形DBCE 是平行四边形。 ∴BD CE =.

∵D 是AB 的中点， ∴AD DB =. ∴AD CE =. ∵CE AB ∥，

∴A ECF =∠∠，ADF E =∠∠. ∴ADF CEF △≌△.

【解析】先证明四边形DBCE 是平行四边形，再利用平行四边形的性质、平行线的性质证明

ADF CEF △≌△.

【考点】平行四边形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定 20.【答案】（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是

2325232524

245

x ++++=

=高，

2122151517185x ++++==低.

方差分别是

222222

1(2324)(2524)(2324)(2524)(2424)]0.85s ?=-+-+-+-+-=?高，

222222

1(2118)(2218)(1518)(1518)(1718)]8.85s ?=-+-+-+-+-=?

低.

由22s s 低

高＜可知，这5天的日最低气温的波动较大. （2）本题答案不唯一，下列解法供参考：

例如，①25日、26日、27日、28日、29日的天气现象依次是大雨、中雨、晴、晴、多云，日

温差依次是2℃，3℃，8℃，10℃，7℃，可以看出雨天的日温差较小.②25日、26日、27日的天气现象依次是大雨、中雨、晴，空气质量依次是良、优、优，说明下雨后空气质量改善了.

【解析】（1）先计算平均数，再计算方差，最后比较方差判断波动大小；

（2）答案不唯一，可以从天气现象，最高气温，最低气温，空气质量几个角度进行说明. 【考点】由统计图中数据计算方差与确定相关结论

21.【答案】（1）甲同学随机选择两天，所有可能出现的结果共有6种，即（星期一，星期二）、

（星期一，星期三）、（星期一，星期四）、（星期二，星期三）、（星期二，星期四）、（星期三，星期四），这些结果出现的可能性相等。所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件A ）的结果有3种，即（星期一，星期二）、（星期二，星期三）、（星期二，星期四），所以31

()62

P A ==. （2）

23

.

【解析】（1）采用列举法确定所有可能情况及满足题意的情况，即可计算概率；

（2）通过列举法确定随机选择连续两天的所有可能情况及有一天是星期二的情况，即可求概

率.

【考点】概率的计算

22.【答案】证法一：如图1，连接AC.

∵AB CD =，∴?

?AB CD =. ∴?

???AB BD CD DB +=+，即??AD CB =. ∴C A =∠∠，∴PA PC =.

证法二：如图2，过点O 分别作OM AB ⊥，ON CD ⊥，垂足分别为M ，N .连接OA ，OC ，OP .

∵,OM AB ON CD ⊥⊥. ∴11

,22

AM AB CN CD =

= ∵AB CD =， ∴AM CN =.

在Rt OAM △和Rt OCN △中，

90OMA ONC ?==∠∠，

根据勾股定理，得OM =

ON =又,OA OC AM CN ==，∴OM ON =. 又OP OP =，∴Rt Rt OPM OPN △≌△. ∴PM PN =.

∴PM AM PN CN +=+，

即PA PC =.

【解析】连接AC ，根据圆周角的性质证明A C =∠∠，即可得到PA PC =；作OM AB ⊥于点

M ，ON CD ⊥于点N ，根据垂径定理及勾股定理证明OPM OPN △≌△，进而证明

PA PC =.

【考点】圆的性质

23.【答案】（1）当2k =-时，122y x =-+. 根据题意，223x x -+-＞.解得5

3

x ＜. （2）4k -≤≤1且0k ≠.

【解析】（1）将k 值代人一次函数解析式，解不等式求得x 的取值范围；

（2）把1x =代人函数2y 的解析式得点(1,2)-，把点(1,2)-代人函数y ，的解析式得k 的值为4-，

根据函数性质确定41k -≤≤且0k ≠.

【考点】一次函数的图象和性质，一元一次不等式的解法 24.【答案】解：如图，延长AB 交CD 于点H ，则AH CD ⊥.

在Rt ACH △中，47ACH =?∠， ∵tan 27AH

CH

?=

，∴tan27AH CH =??. 在Rt BCH △中，22BCH =?∠， ∵tan 22BH

CH

?=

，∴tan22BH CH =??，∵AB AH BH =-，∴tan27tan2233CH CH ??-??=. ∴300CH ≈.

∴tan 27153AH CH ?=?≈. 在在Rt ADH △中，45D =?∠， ∵tan 45AH

HD

?=

，∴153HD AH == ∴EF CD CE FD =--

CH HD CE FD =+-- 3001538050=+-- 323=.

因此，隧道EF 的长度约为323m .

【解析】延长AB 交CD 于点H ，构造Rt BCH △，Rt ACH △与Rt ADH △，在Rt ACH △与

Rt BCH △中，已知ACH ∠ 与BCH ∠的度数及其正切值，结合AB 的长利用三角函数构

造关系式求出CH 的长，进而求出AH 的长.在Rt ADH △中，由AH 的长和已知45ADH =?∠求出HD 的长，进而通过各线段之间的关系求出EF 的长度. 【考点】解直角三角形的实际应用

25.【答案】解：设扩充后广场的长为3m x ，宽为2m x . 根据题意，得3210030(325040)64200x x x x ??+?-?=. 解得130x =，230x =-（不合题意，舍去）. 所以390x =，260x =.

答：扩充后广场的长和宽应分别为90m 和60m .

【解析】根据计划总费用=扩充区域的扩建费用+铺设地砖费用建立一元二次方程求解. 【考点】一元二次方程的实际应用

26.【答案】（1）证明：∵DG DE =，DE EF =，∴DG EF =. 又DG EF ∥，∴四边形DEFG 是平行四边形。 又DE EF =，∴平行四边形DEFG 是菱形. （2）当36037CD ≤＜

或433CD ＜≤时，菱形的个数为0；当3637CD =或9

483CD ＜≤号时，菱形的个数为1；当369

378

CD ＜≤时，菱形的个数为2.

【解析】（1）先根据DC AB ∥及DG DE =，DE EF =证明四边形DEFG 是平行四边形，再证

明平行四边形DEFG 是菱形；

（2）根据以点D 为圆心，DG 长为半径的圆是否与AB 有交点及交点个数进行分类讨论求解。 【考点】菱形的判定

27.【答案】（1）①3；②（1，2）.

（2）假设函数40y x x

=（＞）的图象上存在点(),C x y ，使(),3d O C =. 根据题意，得4

003x x

-+

-=. 因为0x ＞，所以40x

＞，

4400x x x x

-+

-=+. 方程两边乘x ，得243x x +=. 整理，得2340x x -+=. 因为1a =，3b =-，4c =，

224(3)41470b ac -=--??=-＜，

所以方程2340x x -+=无实数根.

所以函数4

0y x x

=（＞）的图象上不存在点C ，使(),3d O C =. （3）设(),D x y .

根据题意，得22(0,)057057d D x x x x x x =-+-+-=+-+.

因为2

2

5357024x x x ?

?-+=-+ ??

?＞，又0x ≥，

所以2(0,)57d D x x x =+-+

257x x x =+-+ 247x x =-+

2(2)3x =-+

所以当2x =时，(),d O C 有最小值3，此时点D 的坐标是()21，

. （4）如图，以M 为原点，MN 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .

将函数y x =-的图象沿y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止. 设交点为E ，过点E 作EH MN ⊥，垂足为H .

修建方案是：先沿MN 方向修建到H 处，再沿HE 方向修建到E 处. 理由：设过点E 且平行于y x =-的直线1l 与x 轴相交于点F .

在景观湖边界所在曲线上任取一点P ，过点P 作直线21l l ∥，2l 与x 轴相交于点G . 因为45EFH =?∠，所以EH HF =，(,)d O E OH EH OF =+=. 同理(,)d O P OG =.

因为OG OF ≥，所以(,)(,)d O P d O E ≥ 因此，上述方案修建的道路最短.

【解析】（1）①根据题目所给的两点间距离的定义计算()d O A ,；②根据题目所给的两点间距

离的定义及函数解析式确定点B 的坐标；

（2）利用反证法证明，假设反比例函数图象上存在点C ，根据题目所给的两点间距离的定义

得到关于点C 坐标的分式方程，根据方程的解是否存在确定是否存在这样的点C ； （3）根据题目所给的两点间距离的定义建立二次函数，根据二次函数的顶点坐标确定d 的最

小值及点D 的坐标；

=-的图象沿y轴（4）以M为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.将函数y x 正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止.设交点为E，过点E作EH MN

⊥，垂足为H.修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处.在景观湖边界所在曲线上任取一点P，然后根据两点间距离证明(,)(,)

≥.

d O P d O E

【考点】一次函数，反比例函数，二次函数的图象