圆锥曲线与立体几何
第十三讲 圆锥曲线
一：学习目标
通过具体问题的综合解法与解析解法的比较，让学生体验解析几何处理几何问题，形成用代数方法解决几何问题的能力，提高学生的数学素养，培养学生良好的思维品质。 二：知识梳理 1． 椭圆的定义
第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即
|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).
第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 中定点不在定直线上），即 e d PF =| |(0 如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程， 若焦点在x 轴上，列标准方程为122 22=+b y a x (a>b>0)，参数方程为???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为 122 22=+b x a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念：对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 122 22=+b y a x ，a 称半长轴长，b 称半 短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与 左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2 -=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且a c e = ，由c 2+b 2=a 2 知0 22b y a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是 椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为 12020=+b y y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=； 3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为θ 2 222 cos 2c a ab l -=。 6．双曲线的定义，第一定义：满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程： 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为122 22=-b y a x ， 参数方程为???==? ?tan sec b y a x （?为参数）。 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 122 22=-b x a y 。 8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线 122 22=-b y a x (a, b>0),a 称半实轴长，b 称 为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F 1(-c,0), F 2(c, 0)，对应 的左、右准线方程分别为.,22c a x c a x =-=离心率a c e =，由a 2+b 2=c 2 知e>1。两条渐近线方程为x a k y ±=，双曲线122 22=-b y a x 与12222-=-b y a x 有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b ，则称为等 轴双曲线。 9．双曲线的常用结论： 1）焦半径公式，对于双曲线122 22=-b y a x ，F 1（-c,0）, F 2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上 的任一点，若P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF 2|=ex-a ；若P （x,y ）在左支上，则|PF 1|=-ex-a ，|PF 2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是θ 2222 cos 2c a ab -。 10．抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p ，则焦点F 坐标为)0,2 ( p ，准线方程为2p x -=，标准方程为 y 2 =2px(p>0)，离心率e=1. 11．抛物线常用结论：若P(x 0, y 0)为抛物线y 2 =2px(p>0)上任一点， 1）焦半径|PF|=2 p x + ； 2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x 0)； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为 θ 2cos 12-p 。 12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O ，从O 出发的射线为极轴记为Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P ，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P 的位置，（ρ，θ）称为极坐标。 13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点P ，若0 ρcos 1e ep -=。 三．方法与例题 1．与定义有关的问题。 例1.已知定点A （2，1），F 是椭圆 116 252 2=+y x 的左焦点，点P 为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P 的坐标。 2．求轨迹问题。 例2.已知一椭圆及焦点F ，点A 为椭圆上一动点，求线段FA 中点P 的轨迹方程。 例3 .长为a, b 的线段AB ，CD 分别在x 轴，y 轴上滑动，且A ，B ，C ，D 四点共圆，求此动圆圆心P 的轨迹。 3．定值问题。 例4 .过双曲线122 22=-b y a x (a>0, b>0)的右焦点F 作B 1B 2x ⊥轴，交双曲线于B 1，B 2两点，B 2与左焦点F 1 连线交双曲线于B 点，连结B 1B 交x 轴于H 点。求证：H 的横坐标为定值。 例5.椭圆12222=+b y a x 上有两点A ，B ，满足OA ⊥OB ，O 为原点，求证：2 2||1 ||1OB OA +为定值。 4．最值问题。 例6 .设A ，B 是椭圆x 2 +3y 2 =1上的两个动点，且OA ⊥OB （O 为原点），求|AB|的最大值与最小值。 例7.设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为 23，若圆C ：=-+22 )2 3(y x 1上点与这椭圆上点的最大距离为71+，试求这个椭圆的方程。 5．直线与二次曲线。 例8.若抛物线y=ax 2 -1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a 的取值范围。 例9.若直线y=2x+b 与椭圆14 22 =+y x 相交， （1）求b 的范围；（2）当截得弦长最大时，求b 的值。 四．课后练习 1．双曲线与椭圆x 2+4y 2=64共焦点，它的一条渐近线方程是y x 3+=0，则此双曲线的标准方程是_________. 2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则∠A 1FB 1=_________. 3．双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任一点，以|PF 1|为直径的圆与以|A 1A 2| 为直径的圆的位置关系为_________. 4．椭圆的中心在原点，离心率3 1 =e ，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M 横坐标为-1，M 到此准线异侧的焦点F 1的距离为_________. 5．4a 2 +b 2 =1是直线y=2x+1与椭圆122 22=+b y a x 恰有一个公共点的_________条件. 6．若参数方程?????+=+=t m y t m x 22222 （t 为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是 _________. 7．如果直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆152 2=+m y x 总有公共点，则m 的范围是_________. 8．过双曲线16 92 2=-y x 的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条. 9．过坐标原点的直线l 与椭圆 12 6)3(2 2=+-y x 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F ，则直线l 的倾斜角为_________. 10．以椭圆x 2+a 2y 2=a 2 (a>1)的一个顶点C （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的三角形最多可作_________个. 11．求椭圆122 22=+b y a x 上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。 12．设F ，O 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左焦点和中心，对于过点F 的椭圆的任意弦AB ，点O 都在以AB 为 直径的圆内，求椭圆离心率e 的取值范围。 13．已知双曲线C 1：122 2 22=-a y a x (a>0)，抛物线C 2的顶点在原点O ，C 2的焦点是C 1的左焦点F 1。 （1）求证：C 1，C 2总有两个不同的交点。 （2）问：是否存在过C 2的焦点F 1的弦AB ，使ΔAOB 的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB 的方程与S ΔAOB 的最值，若不存在，说明理由。 A B 竞赛讲座六 立体图形、空间向量 第十四讲 多面体 一、 知识梳理 多面体与旋转体 1.柱体(棱柱和圆柱) (1)侧面积S c l =?侧(c 为直截面周长,l 为侧棱或母线长)(2)体积V Sh =(S 为底面积,h 为高) 2.锥体(棱锥与圆锥) (1)正棱锥的侧面积'1 2 S c h = ?侧(c 为底面周长,'h 为斜高)(2)圆锥的侧面积:S rl π=侧 (r 为底面周长,l 为母线长)(3)锥体的体积:1 3 V Sh =(S 为底面面积,h 为高). 3.锥体的平行于底面的截面性质: 23 111123,S h V h S h V h ==. 4.球的表面积:2 4S R π=; 球的体积:34 3 V R π= . 二、 例题赏析 1．正四面体的内切球和外接球的半径之比为( ) A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:9 2．由曲线2 4x y =,2 4x y =-,4x =,4x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积为1V ;满足 2216x y +≤,22(2)4x y +-≥,22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的 体积为2V ,则( ) A,1212V V = B,122 3 V V = C,12V V = D,122V V = 3．在四面体ABCD 中,设1AB = ,CD =,直线AB 与CD 的距离为2,夹角为 3 π ,则四面体ABCD 的体积为多少？ 4.三个1212?的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B 两片,如图,把这 六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个多面体的体积为 . A B C D M K N S 5．空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这 四个球都相切,则这个小球的半径为多少？ 三、 课后练习 1. 甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为( ) A, 3827a 3 C,313a D,38 9 a 2. 夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为( ) A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3 3． 有一个m n p ??的长方体盒子,另有一个(2)(2)(2)m n p +?+?+的长方体盒子,其中,,m n p 均为正 整数(m n p ≤≤),并且前者的体积是后者一半,求p 的最大值. 4． 如图,设S ABCD -是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥,K 是棱SC 的中 点,过AK 作平面与线段SB,SD 分别交于M,N (M,N 可以是线段的端点).试求四 棱锥S AMKN -的体积V 的最大值与最小值. 第十五讲 空间直线与平面 一、 知识梳理 直线,平面之间的平行与垂直的证明方法 1．运用定义证明(有时要用反证法); 2．运用平行关系证明; 3．运用垂直关系证明; 4．建立空间直角坐标系,运用空间向量证明. 例如,在证明:直线a ⊥直线b 时.可以这样考虑 (1)运用定义证明直线a 与b 所成的角为0 90; (2)运用三垂线定理或其逆定理; (3)运用“若a ⊥平面α,b α?,则a b ⊥”; (4)运用“若//b c 且a c ⊥,则a b ⊥”; (5)建立空间直角坐标系,证明→a ·→ b ＝0. 二、 例题赏析 1. 若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α的位置关系是 . 2如图(1),在直四棱柱1111A B C D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有 1A C ⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 3如图正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是B 1B 、AB 、BC 的中点． （1）证明：D 1F ⊥EG ； （2）证明：D 1F ⊥平面AEG ； 三、 课后练习 1．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ①AB 与EF 所连直线平行; ②AB 与CD 所在直线异面; ③MN 与BF 所在直线成0 60; ④MN 与CD 所在直线垂直. A B C D A B C D 图(1) A B E N M 图(2) C D F A B C D E P F A B C A 1 B 1 C 1 其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出) 2．如图,直三棱柱111ABC A B C -中,AC BC =,连接1AB ,1BC , 1CA ,若11AB BC ⊥,求证:11AB CA ⊥ 3．如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ?=∠60ABC ，,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE:ED= 2: 1.在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论. 第十六讲 空间中的角和距离的计算 一、 知识梳理 空间中的角和距离的计算 1．求异面直线所成的角 (1)(平移法)过P 作' //a a ,' //b b ,则' a 与' b 的夹角就是a 与b 的夹角; (2)证明a b ⊥(或//a b ),则a 与b 的夹角为0 90(或0 0); (3)求→a 与→b 所成的角([0,]θπ∈),再化为异面直线a 与b 所成的角((0,]2 πα∈). 2,求直线与平面所成的角 (1) (定义法)若直线a 在平面α内的射影是直线b ,则a 与b 的夹角就是a 与α的夹角; (2) 证明a α⊥(或//a α),则a 与α的夹角为0 90(或0 0); (3) 求→a 与α的法向量→ n 所成的角θ,则a 与α所成的角为090θ-或0 90θ-. 3．求二面角 (1) (直接计算)在二面角AB αβ--的半平面α内任取一点P AB ?,过P 作AB 的垂线,交AB 于C,再过P 作β的垂线,垂足为D,连结CD,则CD AB ⊥,故PCD ∠为所求的二面角. (2) (面积射影定理)设二面角AB αβ--的大小为θ(0 90θ≠),平面α内一个平面图形F 的面积为1S ,F 在β内的射影图形的面积为2S ,则2 1 cos S S θ=± .(当θ为钝角时取“-”). (3) (异面直线上两点的距离公式):2 2 2 2 2cos EF d m n mn θ=++-,其中θ是二面角AB αβ--的平面角,EA 在半平面α内且EA AB ⊥于点A,BF 在半平面β内且FB ⊥AB 于B,而AB d =,EA m =,FB n =. (4) (三面角的余弦定理),三面角S ABC -中,BSC α∠=,CSA β∠=,ASB γ∠=,又二面角 B SA C θ--=,则cos cos cos cos sin sin αβγ θβγ -= . (5)(法向量法)平面α的法向量→n 1与平面β的法向量→ n 2所成的角为θ,则所求的二面角为θ或πθ- 4.求两点A,B 间距离 (1)构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求|→ AB |. 5.求点到直线的距离 (1)构造三角形进行计算; (2)转化为求两平行线之间的距离. 6.求点到平面的距离 (1)直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3) (体积法)转化为求一个棱锥的高3V h S = ,其中V 为棱锥体积,S 为底面面积,h 为底面上的高(4)在平面上取一点A,求→AP 与平面的法向量→n 的夹角的余弦cos θ,则点P 到平面的距离为d ＝|→ AP ||cos θ| 7.求异面直线的距离 (1)(定义法)求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高; (3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值; (5)(射影法)如果两异面直线,a b 在同一平面内的射影分别是一个点P 和一条直线l , 则a 与b 的距离等于P 到l 的距离; (6)(公式法)2 2 2 2 2cos d EF m n mn θ=--±. 8.求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离. 二、 例题赏析 1.正四棱锥S ABCD -中,0 45ASB ∠=,二面角A SB C --为θ且cos m θ=+m , n 为整数),则m n += . A B O C D E O A A B C D P Q 2．直三棱柱111A B C ABC -中,平面1A BC ⊥平面11ABB A ,且AC 1,则AC 与平面1 A BC 所成的角θ的取值范围是 . 3．在正三棱锥P ABC -中,AB a =,2PA a =,过A 作平面分别交平面PBC 于DE.当截面 ADE ?的周长最小时,△ADE 面积为多少？ P 到截面ADE 的距离为多少？ 三、 课后练习 1．设二面角a αβ--的大小是0 60,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm,2cm,则点P 到棱a 的距离是 ( )A,3cm B,3 C,2 3 cm D,3 2．若异面直线,a b 所原角为0 60,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 . 3．如图,在ABC ?中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC 分别交AB,AC 于D,E.将ADE ?沿DE 折起来使得A 到1A ,且 1A DE B --为060的二面角,求1A 到直线BC 的最小距离. 4．如图,已知矩形ABCD 中,AB=1,BC=a (0)a >,PA ⊥平面ABCD,且PA=1. (1)问BC 边上是否存在点Q 使得PQ ⊥QD?并说明理由; (2)若边上有且只有一个点Q,使得PQ ⊥QD,求这时二面角Q PD A --的正切.