专题8.7 双曲线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

第八篇平面解析几何

专题8.07双曲线及其几何性质

【考试要求】

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).

【知识梳理】

1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：

(1)若a

(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；

(3)若a>c时，则集合P为空集.

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)

y2

a2－

x2

b2＝1(a>0，b>0)

图形

性质

范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线y＝±

b

a x y＝±

a

b x

离心率e＝

c

a，e∈(1，＋∞)

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做

双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b

叫做双曲线的虚半轴长

a ，

b ，

c 的关系

c 2＝a 2＋b 2

【微点提醒】

1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2

a .

2.离心率e ＝c

a ＝a 2＋

b 2a

＝

1＋b 2

a

2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2

n

＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )

(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±y

n

＝0.( )

(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1

e 22＝1(此条件中两条

双曲线称为共轭双曲线).( )

【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√

【解析】 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.

(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线. 【教材衍化】

2.(选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________. 【答案】 x 28－y 2

8＝1

【解析】 设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点

A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 2

8

＝

1.

3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－

y 2

16

＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________. 【答案】 6

【解析】 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦

点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 【真题体验】

4.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2

＝1的焦点坐标是( )

A.(－2，0)，(2，0)

B.(－2，0)，(2，0)

C.(0，－2)，(0，2)

D.(0，－2)，(0，2)

【答案】 B

【解析】 由题可知双曲线的焦点在x 轴上，又c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).

5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.

【答案】 5

【解析】 由题意可得3a ＝3

5

，所以a ＝5.

6.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为5

2，则a ＝________.

【答案】 4

【解析】 由题意可得，a 2＋4a 2＝????

522

，即a 2＝16，又a >0，所以a ＝4.

【考点聚焦】

考点一 双曲线的定义及应用

【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.1

4

B.35

C.34

D.45

(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________. 【答案】 (1)C

(2)x 2－

y 2

8

＝1(x ≤－1) 【解析】 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，

在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34

.

(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .

根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，

所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，

所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.

又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为

x 2－

y 2

8

＝1(x ≤－1). 【规律方法】 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.

【训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲

线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2

D.15a 2

(2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±23

3x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双

曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A.8

B.10

C.4＋37

D.3＋317

【答案】 (1)B (2)B

【解析】 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝c

a ＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为

|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝

2a ，

∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|2

2|AF 1|·|AF 2|

＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝1

4.

又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝

15

4

， ∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×15

4

＝15a 2.

(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 2

3＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△PAF 的周长为|PF |

＋|PA |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|PA |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|PA |有最小值，为|AF ′|＝3，故△PAF 的周长的最小值为10. 考点二 双曲线的标准方程

【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆

x 2

12＋y 2

3＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 2

10＝1 B.x 24－y 2

5＝1 C.x 25－y 2

4

＝1

D.x 24－y 2

3

＝1 (2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交

于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2

12＝1 B.x 212－y 2

4＝1 C.x 23－y 2

9＝1

D.x 29－y 2

3

＝1 【答案】 (1)B (2)C

【解析】 (1)由题设知b a ＝5

2，①

又由椭圆x 212＋y 2

3＝1与双曲线有公共焦点，

易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②

由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 2

5

＝1.

(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心

率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2

＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 2

9

＝1.

【规律方法】 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.

2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝λ(λ≠0).

【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚

轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2

＝1

B.x 29－y 2

3＝1 C.x 2－

y 2

3

＝1

D.x 223－y 2

32

＝1 (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为 ________________.

【答案】 (1)C (2)y 243

－x 2

3＝1

【解析】 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成

一个等边三角形，可得?

??2a 2－3

b 2＝1，b a

＝3，解得???a ＝1，

b ＝3，

∴双曲线C 的标准方程是x 2－

y 2

3

＝1. (2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±2

3x ，

可设双曲线方程为x 29－y 2

4

＝λ(λ≠0).

因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－1

3，

故所求双曲线方程为y 243－x 2

3＝1.

考点三 双曲线的性质

角度1 求双曲线的渐近线

【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为

( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±2

2x

D.y ＝±3

2

x

【答案】 A

【解析】 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b

a ＝2，所以该双曲线

的渐近线方程为y ＝±b

a x ＝±2x .

法二 由e ＝c

a

＝

1＋????b a 2

＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a

x ＝±2x . 角度2 求双曲线的离心率

【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.

过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5

B.2

C. 3

D. 2

(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋3

4a 2＝0，若双曲线C 1的一条

渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.????

1，233

B.??

?

?233，＋∞

C.(1，2)

D.(2，＋∞)

【答案】 (1)C (2)A

【解析】 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |

a 2＋

b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，

|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c

a ＝ 3.

(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋3

4a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2

＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝1

2a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12

a ，即c >2

b ，即

c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知

e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为????

1，233.

角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题

【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→

<0，则

y 0的取值范围是( ) A.?

??

?

－

33，

33 B.?

??

?

－

36，

36 C.????

－223，223

D.???

?－233，233 【答案】 A

【解析】 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202

－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 2

0－1<0，解得－

33

3

. 【规律方法】 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2

a

2直接求e .

(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.

2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路

(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.

(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.

【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐

近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43

B.54

C.169

D.2516

(2)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 2

4－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.

【答案】 (1)B (2)(0，2)

【解析】 (1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)，则

|b －2a |

a 2＋

b 2

＝1，得3a ＝4b ，

所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2＝25

16

，

又e >1，故e ＝5

4

.

(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为

|bc |b 2＋a 2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2

m －4＝1，其焦点在x 轴上，则?

????8－m >0，m －4>0，解得 4

1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2

b

2＝t (t ≠0).

2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程.

【易错防范】

1.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.

2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1， ＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.

3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a

b x .

【分层训练】

【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题

1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为

( ) A.y ＝±12x

B.y ＝±2

2x

C.y ＝±2x

D.y ＝±2x

【答案】 B

【解析】 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐

近线方程为y ＝±b a x ＝±2

2

x .

2.双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且

交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.

62

【答案】 A

【解析】 由题易知双曲线C 的一条渐近线与x 轴的夹角为π

4，故双曲线C 的离心率e ＝????cos π4－1

＝ 2. 3.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为

( ) A. 2 B.2

C.322

D.2 2

【答案】 D

【解析】 法一 由离心率e ＝c

a ＝2，得c ＝2a ，又

b 2＝

c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程

为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为

4

1＋1

＝2 2. 法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为4

1＋1

＝2 2. 4.(2019·天津和平区一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3

2，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足

为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A.x 2－

4y 2

5

＝1 B.x 22－2y 2

5＝1 C.x 24－y 2

5＝1

D.x 216－y 2

20

＝1 【答案】 C

【解析】 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝5

2，

取一条渐近线为y ＝b

a

x ，

可得F 到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝bc

a 2＋b

2＝b ，

在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得1

2

ab ＝5，

联立???b a ＝52，12ab ＝5，解得???a ＝2，

b ＝5，

所以双曲线的方程为x 24－y 2

5

＝1.

5.已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于

点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±2

2x

C.y ＝±6x

D.y ＝±6

6

x

【答案】 D

【解析】 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，

∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×????－1

2＝28a 2，亦即c 2＝7a 2，则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±6

6x .

二、填空题

6.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为

_________________________________. 【答案】 x 25－y 2

20

＝1

【解析】 由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，b

a ＝2，

又a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝5，b 2＝20， 所以双曲线方程为x 25－y 2

20

＝1.

7.设双曲线x 29－y 2

16＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于

点B ，则△AFB 的面积为________. 【答案】

3215

【解析】 a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝4

3

(x －5)，代入双曲线

方程解得B ????175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215

. 8.(2019·梅州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲

线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________. 【答案】

3

【解析】 由题意，|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1O |＝|F 2O |，|PO |＝|MO |，得四边形PF 1MF 2为平行四边形，又∠MF 2N ＝60°，可得∠F 1PF 2＝60°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos 60°，即4c 2＝20a 2－8a 2，c 2＝3a 2，可得c ＝3a ，所以e ＝c

a ＝ 3.

三、解答题

9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；

(2)(一题多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. 【答案】见解析

【解析】(1)解 ∵e ＝2，

∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).

∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为

x 2－y 2＝6，即

x 26－y 2

6

＝1. (2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝

m 3＋23，k MF 2＝m

3－23

，

k MF 1·k MF 2＝m 29－12

＝－m 2

3.

∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→

＝0. 法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，

∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，

MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→

＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.

10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距

离为 3.

(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝

33

x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →

，求t 的值及点D 的坐标. 【答案】见解析

【解析】(1)由题意知a ＝23， ∵一条渐近线为y ＝b

a x ，即bx －ay ＝0.

∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |

b 2＋a 2

＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 2

3

＝1.

(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3. 又OM →＋ON →＝tOD →

，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝t (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.

将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 2

3＝1得x 2－163x ＋84＝0，其中Δ＝(163)2－4×84>0，

则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝

3

3(x 1＋x 2

)－4＝12. ∴???x 0y 0

＝433，x 20

12－y 20

3

＝1.解得???x 0

＝43，y 0

＝3.

∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).

【能力提升题组】(建议用时：20分钟)

11.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，

若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π

6，则双曲线的渐近线方程为( )

A.y ＝±2x

B.y ＝±1

2x

C.y ＝±22x

D.y ＝±2x

【答案】 D

【解析】 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋

|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为?????2c >2a ，4a >2a ，

所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π

6.

由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝3

2，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双

曲线的渐近线方程为y ＝±2x .

12.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两

点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈????

π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[2，2＋6] B.[2，3＋1] C.[2，2＋6]

D.[2，3＋1]

【答案】 D

【解析】 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，

由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21

＋r 22＝4c 2②，

由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ， ∴12r 1r 2＝2·12

c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β， ∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈????π12，π6，∴sin 2β∈????12，3

2， ∴e 2＝1

1－sin 2β

∈[2，(3＋1)2].

又e >1，∴e ∈[2，3＋1].

13.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2

n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M

的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________. 【答案】

3－1 2

【解析】 设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，

由题意可知A ???

?c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2

－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2

椭＝4±

23，∴e 椭

＝3＋1(舍去)

或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ????c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，

∴n

m

＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2

m 2

＝2. 14.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2

＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点

分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →

＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围. 【答案】见解析

【解析】(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，

则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2

＝1.

(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2

＝1，

得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.

由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得

??

?1－3k 2≠0，

Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，

∴k 2≠1

3且k 2＜1.①

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2

，x 1x 2＝－9

1－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋

2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋7

3k 2－1

.

又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，

∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.②

由①②得1

3＜k 2＜1，

故k 的取值范围为?

???－1，－

33∪???

?33，1. 【新高考创新预测】

15.(多填题)已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2

－y 2

n

＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21

－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.

【答案】 0 3

【解析】 由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 2

2＝1＋n ，

又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ， 即m ＋n ＝3，

则4e 21－e 22＝4×4－m 4

－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0. 不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，

则?????|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2.解得?????|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，

则|PF 1|·|PF 2|＝3.