圆有关定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理
如图1对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3.弦切角（如图2）：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个）?APC,?APD,?BPD,?BPC
4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中?APC=?CDP等
证明：如图2，连接CD、OC、OP，因为?CPO=?PCO,所以?COP=180?-2?CPO而?CPO=90?-?APC,
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
定理图形已知结论证法
相交
弦定
理
⊙O中，
AB、CD
为弦，
交于P.
PA·PB＝
PC·PD
连结AC、BD，?C=?B,?A=?D,
所以△APC∽△DPB
相交
弦定
理的
推论
⊙O中，
AB为直
径，
CD⊥AB
于P.
PC2＝PA·PB
用相交弦定理.
切割
线定
理
⊙O中，
PT切
⊙O于
T，割线
PB交
⊙O于
A
PT2＝PA·PB
连结TA、TB，则∠PTA=∠B
（弦切角等于同弧圆周
角）所以△PTA∽△PBT，
所以
PT2＝PA·PB
图1图2
切割
线定理推论
PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 圆幂定理
⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D＝r 2
－OP'2
PA·PB＝OP 2
－r 2
r 为⊙O 的半径
延长P'O 交⊙O 于M ，延长OP'交⊙O 于N ，用相交弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
例1.如图1，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。
图1
例2.⊙O 中的两条弦AB 与CD 相交于E ，若AE ＝6cm ，BE ＝2cm ，CD ＝7cm ，求CE 。
图2
例3.已知PA 是圆的切线，PCB 是圆的割线，则::22PB AC AB ________。
例4.如图3，P 是⊙O 外一点，PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，如果PA ：PB ＝1：4，PC ＝12cm ，⊙O 的半径为10cm ，则圆心O 到AB 的距离是___________cm 。
图
3
例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于2；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
点D，求证：（1）CB
=
CD
CE?
图4
2
例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。求证：DE
=
AB
BC?
图5
例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB
图6
例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D 点作⊙O的切线交AC于E。求证：BC＝2OE。
图7
例9.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，?AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E 是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作?AC所在圆的切线，交边DC于点F，G
为切点。
当∠DEF＝45°时，求证:点G为线段EF的中点；
图8
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1.已知：PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，连结AB ，若AB ＝8，弦AB 的弦心距3，则PA ＝（ ） 3 3 C. 5 D. 8
2.下列图形一定有内切圆的是（ ）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
3.已知：如图1直线MN 与⊙O 相切于C ，AB 为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA 的度数（ ）
图1
A. 50°
B. 40°
C. 60°
D. 55° 4.圆内两弦相交，一弦长8cm 且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 5.在△ABC 中，D 是BC 边上的点，AD=22cm ，BD ＝3cm ，DC ＝4cm ，如果E 是AD 的延长线与△ABC 的外接圆的交点，那么DE 长等于（ ）
A. 32cm
B. 23cm
C. 22cm
D. 33cm
6. PT 切⊙O 于T ，CT 为直径，D 为OC 上一点，直线PD 交⊙O 于B 和A ，B 在线段PD 上，若CD ＝2，AD ＝3，BD ＝4，则PB 等于（ ）
A. 20
B. 10
C. 5
D.
二、填空题
7. AB 、CD 是⊙O 切线，AB∥CD，EF 是⊙O 的切线，它和AB 、CD 分别交于E 、F ，则∠EOF＝_____________度。
8.已知：⊙O 和不在⊙O 上的一点P ，过P 的直线交⊙O 于A 、B 两点，若PA·PB＝24，OP ＝5，则⊙O 的半径长为_____________。
9.若PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 割线交⊙O 于B 、C ，若BC ＝20，PA=310，则PC 的长为_____________。
10.正△ABC 内接于⊙O，M 、N 分别为AB 、AC 中点，延长MN 交⊙O 于点D ，连结BD 交AC 于P ，则
PA
PC
=_____________。 三、解答题
11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
图2
12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。
图3
13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB=2
2cm，求⊙O的半径。
图4