2014深圳二模及答案

深圳市2013届高三第二次调研考试

数学（文科）

本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：

① 体积公式：1

V S h V S h =?=?柱体锥体，，其中,,V S h 分别是体积、底面积和高；

② 独立性检验中的随机变量：22

n ad bc K a b c d a c b d -=++++()()()()()

，其中n a b c d

=+++为样本容量．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．i 为虚数单位，则1

i i +等于

A ．0

B ．2i

C ．1i +

D ．1i -+

2．函数

f x =()

()

A ．12(，)

B ．12[，)

C ．12-∞+∞()()，

，

D ．12(，]

3．设x y ∈R ，，则“1x ≥且2y ≥”是“3x y +≥”的

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

侧（左）视图

俯视图

正（主）视图

（第9题图）

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是

A ．2x y =

B ．sin y x =

C ．2log y x =

D ．||y x x =

5．如果函数sin π02πf x x θθ=+<<()()()的最小正周期为T ，且当2x =时取得最大值，那么

A ．π

T θ==

， B ．1πT θ==，

C ．2πT θ==，

D ．π

T θ==

， 6．若抛物线2

y ax =的焦点与双曲线22

1124

x y -=的右焦点重合，则a 的值为

A ．4

B ．8

C ．16

D ．

7．设01a b <<<，则下列不等式成立的是

A ．33a b >

B ．11

a b

C ．1b a >

D ．lg 0b a -<()

8．若平面向量b 与34=-()a ，

的夹角是180?，且||10=b ，则=b A ．34-()， B ．68-()， C ．68-()，

D ．86-()，

9．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是

A ．20π

3 B ．6π C ．10π3

D ．

16π3

10．非空数集{}*123n A a a a a n =∈N ，，，，()中，所有元素的算术平均数记为E A ()，即

123n

a a a a E A n

++++=()．若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ?；

②E B E A =()()，则称B 为A 的一个“保均值子集”．据此，集合{}12345，，，，的“保均值子集”有 A ．5个

B ．6个

C ．7个

D ．8个

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部

分．

（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答

11．P x y (，)是以41A

()，，16B --()，，32C -()，为顶点的三角形及其内部上的任一点，

则43x y -的最大值为．

12．下图是用二分法求方程220x -=近似解的程序框图，若输入12120.3x x ε===，，

，则输出的m 是．（注：框图中的“＝”，即为“←”或为“：＝”）

13．已知公比为2的等比数列{}n a 中，2581114172013a a a a a a a ++++++=，则该数列前21

项的和21S = ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的

得分．

14．（几何证明选讲）

如图，P 是O 外一点，PA 与O 相切于点A ，割线PC

与O 相交于点B ，C ，且3PA =

，PC =32

AB =，则AC = ．

15．（坐标系与参数方程）

在极坐标系中，已知两圆1:2cos C ρθ=和2:2sin C ρθ=，则过两圆圆心的直线的极坐标方程是．

（第14题图）

三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3a =，5b =，7c =．（1）求角C 的大小；

（2）求π

sin 3B +()的值．

（1）根据表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的

前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？

（2）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任

取

2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：

18．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC AA ==，且AC =，

点D 是AB 的中点．

（1）证明：1//AC 平面1B CD ；（2）证明：平面1ABC ⊥平面1B CD ．

C 1

B 1

A A

（第18题图）

19．（本小题满分14分）

各项为正数的数列{}n a 满足2421n n n a S a =--（*n ∈N ），其中n S 为{}n a 前n 项和．（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）是否存在正整数m 、n ，使得向量22n a m +=(，

)a 与向量53n n a a +=-+(，)b 垂直？说明理由．

20．（本小题满分14分）

如图，椭圆22

22:1 0x y E a b a b

+=>>()

的离心率e =

，经过椭圆E 的下顶点A 和右焦点F 的直线l 与圆C :22

2724

x y b +-=()相切．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）若动点P 、Q 分别在圆C 与椭圆E 上运

动，求PQ 取得最大值时点Q 的坐标．

21．（本小题满分14分）

已知函数2ln 120f x x ax a x a =--->()()()．（1）求函数f x ()的最大值；（2）求函数f x ()在区间1

2e a

(

)，上的零点的个数（e 为自然对数的底数）

；（3）设函数y f x =()图象上任意不同的两点为11A

x y (，)、22B x y (，)，线段AB 的中点为00C x y (，)，记直线AB 的斜率为k ，证明：0k f x '>()．

（第20题图）

参考答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的

主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容

和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．

二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14 题的得分为最后得分），满分20分． 11.14 12.1.25 13.

14.233 15.1)sin (cos =+θθρ

三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分12分）解：(1)由余弦定理可得

5327532cos 222222-=??-+=-+=ab c b a C ， ……3分

π<

2π=∴C . ………5分

(2)由正弦定理可得C

B b sin sin =， 14357

32sin

5sin sin ==

=∴πC C b B ， …………8分 ∴=,3

2πC B 为锐角，

)1435(

1sin 1cos 22=-=-=∴B B ， ………10分 3

sin

cos 3

cos

sin )3

sin(π

B B B +=+

∴73

31411211435=?+?=

……12分【说明】本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，同角三角函数的基本关系，两角和与差的正弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力．

17.（本小题满分12分）

解：(1)提出假设0H ：使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关 …………1分

根据表中数据，求得2

K 的观测值635.65.720

4030)5151525(6022

>=???-??=k …………3分查表得010.0)635.6(2=≥K P ……………4分 ∴能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关

…………5分 (2)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为

5630

=?，“混凝土耐久性不达标”的为6-5=1， ……6分 “混凝土耐久性达标”记为54321,,,,A A A A A ，“混凝土耐久性不达标”的记为B ， ……7分在这6个样本中任取2个，有以下几种可能：),(),,(3121A A A A ，),(),,(),,(15141B A A A A A ， ),(),,(4232A A A A ，),(),,(252B A A A ，),(),,(5343A A A A ，),(),,(543A A B A ，),(4B A ，),(5B A ，共15种 ……………………9分设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A ，它的对立事件A 为“取出的2个样本至少有1个混凝土耐性不达标”，包含),(),,(21B A B A ，),(),,(),,(543B A B A B A ，共5种可能， ……10分

1551)(1)(=-

=-=∴A P A P ……11分即取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是3

…………12分

【说明】本题主要考查了列联表，独立性检验的方法，分层抽样的方法，对立事件，古典概型等知识，考查了考生处理数据和运算能力．

18.（本小题满分14分）

证明：(1)设1BC 与C B 1相交于点连结E ，连结DE ，

依题意得D 、E 分别是AB 、1BC 的中点， ………1分 ∴DE 是1ABC ?的中位线， …………2分

1//AC DE ∴， …………3分

而?FG 平面?/C A CD B 11,平面CD B 1， ……5分

//1AC ∴平面CD B 1 ………6分

(2)

111C B A ABC - 是棱柱，且11BB AA BC AB === ∴四边形11B BCC 是菱形， ……7分

11BC C B ⊥∴， ………8分

由⊥1AA 平面ABC ，11//BB AA 得⊥1BB 平面ABC ，

?AB 平面ABC ，

AB BB ⊥∴1， .........9分

又BC AB = ，且BC AC 2=

，

BC AB ⊥∴， ……………10分

而B BC BB = 1

，?BC BB ,1

平面1

1B BCC ，

⊥∴AB 平面11B BCC ， ……11分

而?C B 1平面11B BCC ，

C B AB 1⊥∴， ………12分

而B BC AB =1

，?1,BC AB 平面1ABC ，

⊥∴C B 1平面1ABC ， ……13分

而?C B 1平面CD B 1，

∴平面⊥1ABC 平面CD B 1 ………14分

【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力． 19．（本小题满分14分）解：(1)当n=1时，124112

1--=a S a ，

即0)1(2

1=-a ，解得11=a ， …1分当n=2时，221222223124124a a a a S a +=-+=--=，

解得32=a 或12-=a （舍去）． ……………3分

(2)由1242--=n n n a S a ①

1241121--=+++n n n a S a ② ………………4分 ②-①得：)(22241112

21n n n n n n n a a a a a a a +=+-=-++++，

即)(2))((111n n n n n n a a a a a a +=+-+++， ………6分 ∵数列}{n a 各项均为正数，

2,011=->+∴++n n n n a a a a ， ………7分

∴数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，

所以12-=n a n …………8分 (3)12-=n a n ，

0)),32(2(),2(2=/+==∴+m n m a a n ，0))1(2),92(()3,(5=/++-=+-=+n n a a b n n .

…………10分

0=?⊥∴b a b a 口

)92)(32()1(++=+?n n n m ]7)1(2][1)1(2[++++=n n =+?)1(n m 7)1(16)1(42++++n n 1

16)1(4++

++=?n n m . …………12分 *,N n m ∈ ，

11674,71++?==+∴m n ，即45,6==m n . …13分

当且仅当45,6==m n 时，b a ⊥. …………14分

【说明】本题主要考查等差数的定义、通项与求和，会根据数列的递推关系求数列的前几项以及通项公式，平面向量垂直运算，考查考生运算求解、推理论证、变形处理能力．

20.（本小题满分14分）解：(1)依题意得222,23b a c a

c e -===

，解得b c b a 3,2==，

)0,3(),,0(b F b A -∴， …………12分

∴直线l 的方程为：

13=-+

x ，即033=--b y x ， ……3分 ∵直线l 与圆427)2(:2

-+b y x C 相切，2332

|3320|=

--∴b b ，解得b=1，a=2， …………5分

∴椭圆E 的方程为：14

=+y x …………6分 (2)连结PQ ，CP ，CQ ，则有||2

3||CQ CQ CP PQ +=

+≤， ……7分

（当且仅当P ，C ，Q 三点共线且P ，Q 在C 异端时等号成立） ∴当||CQ 取得最大值时，||PQ 取得最大值， ………8分

设),(00y x Q ，得14

020=+y x ，又C(0，2)， ……9分则20202020)2(44)2(||-+-=-+=

y y y x CQ ，

)32(320+

+-=y ， ………10分 ]1,1[0-∈y ，13

1<-

<-， ∴当3

=y 时||CQ 取得最大值， ……………12分把3

0-=y 代入1422=+y x 中，解得3520±=x ， …13分 ||PQ ∴取得最大值时，Q 点坐标为)3

,352(-±

………14分【说明】本题主要考查圆与椭圆的方程，直线与圆的位置关系，两点距离公式，二次函数

的最值等基础知识，考查学生数形结合、运算求解、转化与化归以及分析与解决问题的能力． 21．（本小题满分14分）解：(1)∵函数x a ax x x f )21(ln )(2

---=，其定义域是),0(+∞，

)21(21)('a ax x x f ---=∴x

ax x x x a ax )12)(1(1)21(22+-=--+-=，………2分

012,0,0>+∴>>ax a x ，

∴当10<x f ；当x>1时，0)('

∴函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间),1(+∞上单调递减．

∴当x=1时，)(x f 取得最大值1211ln )1(-=+--=--=a a a b a f . ……………4分 (2)由(1)知，当1=x 时，函数)(x f 取得最大值1211ln )1(-=+--=--=a a a b a f . ①当a=1时，0)1(=f ，若1=/x ，则)1()(f x f <，即0)(

此时，函数)(x f 与x 轴只有一个交点，故函数)(x f 只有一个零点； …5分 ②当a>1时，0)1(>f ，又

2)1(1ln )1(

a a a e a e e f ?-=01)11(1)21(2

<---=?--a

a a e e e a ， 022ln )21(242ln )2(<-=---=a a f ，

函数)(x f 与x 轴有两个交点，故函数)(x f 有两个零点；…………7分

③当10<a 时，