数学模型之分期购物付款问题介绍
论文题目：数学模型之购物分期付款问题--小额分期及房贷
姓名学号学院年级缺勤记录张浩威2013221104120043 数统学院13级信科
赵唐波2013221104120056 数统学院13级信科
朱雨薇2013221104120053 数统学院13级信科
课程论文自检报告
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摘要基本写出论文大意且语言简练、文字组织合理20 基本写出论文大意且语言简练15 基本写出论文大意10 套话、虚话较多或字数不够或文不对题0-5
正文论证严谨、思路清晰、逻辑性强、有较强说服力，引文准确25 论证较严谨、思路较清晰、符合逻辑、有一定说服力，引文准确20 思路较清晰、引文较恰当15 有一定的说服力但论文紊乱、自相矛盾、大段抄袭他人文章0-10
结构结构严谨、逻辑严密、层次清晰20 结构合理、符合逻辑、层次分明18 结构基本合理、层次比较清楚、文理通顺15 有不合理部分，逻辑性不强0-10
深度和广度见解独特，对问题分析透彻，且非常全面25 有自主的见解，对问题的分析比较深入全面20 能提出自己的见解，分析的深度、广度一般15 分析比较深入全面10 对问题的分析既无深度，又无广度0-5
规范化格式完全符合规范，字数完全符合要求10 格式比较规范，字数偏少8
格式基本符合规范，但有个别地方不合规，字数较少 5
格式规范性尚可，但不足之处较多，字数太少0-3 备注：以上评分标准仅供参考。总分
数学模型之购物分期付款问题
--小额分期及房贷
摘要
大学生分期购物在校园里逐渐兴起，各种平台层出不穷，大学生自己凭借学生证，身份证等证件办理相关手续即可使用分期付款，主要分期物品为笔记本电脑，高端智能手机等等，大学生一次性拿不出全款，但是又对这些电子产品毫无抵抗力，他们每个月又可以向家里要固定的生活费，于是分期购物就孕育而生了。但是对于大学生分期购物，大家意见不同，主要因为大学生自己本身没有固定的收入来源，一旦家里没有及时给他，会造成还款不及时或者无力还款等问题。而且大学生自己没有多少财务管理能力，有了分期会助长他们不理性用钱的习惯，对以后的生活会造成影响，也会加重家庭经济负担。
当然分期购物并不仅仅只限于大学生小金额的购物，比如住房，房子涉及金额太大，一般人不可能一次性付齐，所以分期付款是孔明智的选择，那么对于房贷我们就更要精打细算，提前准备，因为这涉及到十年乃至之后的生活，为自己的将来负责。
且不说分期是否好坏，但是对于分期付款的计算和预算，我们学了数学建模。就可以对分期进行建模分析，以便做好规划，比如自己可以支付的最大还款能力，每月还款量多少，可以分多少期进行还款，还款利息多少，如此购物是否划算等等，本文正是针对这种情况进行建模分析，利用数学软件MATLAB进行计算，求出各种还款方式的还款量和利息，还做出了最优化还款设计。
关键词
还款期数还款额利息最优化递推数列等比数列等差数列
笔记本电脑分期购物问题重述
1.现有某大学生欲买一台售价为1万元的笔记本电脑.如果采取分期付款,那么在1年内将款全部还清的前提下, 商家还提供下表所示的几种付款方案(月利率为1%):
方案分几
次付
清
付款方法每期付款额X
1 6 购买后2个月第1次付款,再过2个月第
2次付款…购买后12个月第6次付款1785.86
（共 10721.16）
2 12 购买后1个月第1次付款, 过1个月第2
次付款…购买后12个月第12次付款888.49
（共计10661.85）
3 3 购买后4个月第1次付款,再过4个月第
2次付款,再过4个月第3次付款3607.62
（共计10822.85）
说明：1.分期付款中规定每期所付款额相同;
2.每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.例如, 月利率为1%,款额 a 元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a (元）再过一个月又增为1.01a(1+1%)=1.012a (元)
问题分析
1.当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？
12 3,2,1
%)
1
1(
10000+
=
=P
y
2.2.各期所付款额的增值状况如何？ 方案1 2个月付1次款
方案2 1个月付1次款
方案3 4个月付1次款
3.当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？
模型建立及求解
分期付款使用模型：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过m 个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款：
1
)1(1)1()1(-+?
??
???-++=m
n m
m
p p p a x 方案一每月所付款表达式：
1
01.1)
101.1(01.11000012
212--?
方案二每月所付款表达式：
1
01.1)
101.1(01.1100001212
--?
方案三每月所付款表达式： 1
01.1)
101.1(01.11000012
412--? 反思及难点分析
1.解决数列的应用问题必须准确探索问题所涉及的数列类型(如等差数列、等比数列，或与等差、等比数列有关的数列)，或准确定义问题中的数列．
2.求出数列的通项公式或建立递推公式：
①如果问题所涉及的数列是特殊数列(如等差数列、等比数列，或与等差、等比有关的数列，等等)应用首先建立数列的通项公式．
②如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般应考虑先建立数列的递推判断(即an 与an
101
%)11(+=x y 8%)
11(++x 6%)11(++x 4
%)11(++x 2%)11(++x x
+11
2
%)11(+=x y 10%)11(++x 9%)11(++x 1%)11(+++x x
+8
3
%)11(+=x y 4%)11(++x x
+12
3,2,1%)11(10000+==P y
x y 2
12101.1101.11--=12%)11(10000+==?x x y 01
.1101.11122--=12%)11(10000+==
?x x y 4
12301
.1101.11--=12%)11(10000+==?x
–1的关系．
3.解决数列的应用问题必须准确计算项数(年数)，例如与“年数”有关的问题，必须确定起
算的年份，而且应准确定义an是表示“第n年”还是“n年后”．
分期购房问题重述（房贷问题）
根据相关网站查出：
目前中国对住房贷款的有关规定
目前，中国的个人住房贷款主要有自营性住房贷款（也称个人住房贷款）、委托住房贷款（也称住房公积金贷款）和组合贷款（即个人住房贷款和公积金贷款的组合方式）三种。虽
然公积金贷款年利率比较低，但是由于其申请条件较为苛刻，所以主要的贷款方式还是个人
商业住房贷款。
个人住房贷款是指以银行信贷基金为来源向购房者发放的用于购房的贷款，贷款期限不超
过30年，贷款利率执行银行规定的贷款利率。还款方式分为等额本金还款法和等额本息还
款法两种。
下表为近年来商业银行住房贷款年利率：
借款种类
与年利率
/‰
2010年10月20日起2011年7月7日起2012年7月6日起
个人住房贷款1-3
年
4-5
年
6-30
年
＜6
个月
6个
月-1
年
1-3
年
4-5
年
6-3
0年
1年2-3
年
4-5年6-3
0年
5.40 5.76 5.96
6.1 6.56 6.65 6.9
7.0
5
6.0 6.15 6.4 6.55
公积金贷
款
1-5年6-30年1-5年6-30年1-5年6-30年
3.33 3.87 3.5
4.05 3.33 3.75
现有两种常用的还款方法：等额本金还款法和等额本息还款法（是指将应该归还银行的本金
与利息总额平摊到每个还款月，在利率不变的情况下，每个月的还款数额不变。等额本金还
款法是将贷款本金平摊到每个还款月，每个月归还的本金不变，利息越来越少）
等额本金还款法的计算公式
设贷款本金为L，年利率为r0，贷款期限为n年，则月利率为r=r0/12，还款期数（即月数）
为m=12n
M=L/m+（L-S）*r （1）
其中，M--每月还款额S--累计已还本金
由于等额本金还款法每个月的剩余还款本金都不同，所以每个月产生的利息存在差值。每个
月还款差值是一个常数，为k=Lr/n。（2）
利息总额可用等差数列求和公式很容易的算出来A=12y-12*11/2*k (3)
等额本息还款法的计算公式
设还款利息总和为Y，每月还款额为b，月利率为i，贷款额为a，贷款总期数为n
第一月还款利息为：a*i
第二月还款利息为：[a-(b-a*i)]*i=(a*i-b)*(1+I)^1+b
第三月还款利息为：[a-(b-a*i)-[b-(a*i-b)*(1+i)^1-b]=(a*i-b)*(1+i)^2+b
第四月还款利息为：(a*i-b)*(1+i)^3+b
以此类推
第n月还款利息为：（a*i-b）*(1+i)^(n-1)+b
求以上和为：Y＝（a*i-b）*(1+i)^(n-1)/i+n*b
以上两项Y值相等求得
月均还款:b=a*i*(1+i)^n/[1+i]^n-1] （4）
支付利息:Y＝n*b-a （5）
还款总额:n*b （6）
利用matlab计算月还款额与还款总额
利用公式1输入月还款额的计算公式：
function y=f1(l,n,r,s)
y=l/12/n+(l-s)*r;
假设在还款期内利率不变，输入l=100000; n=1; r=0.0050; s=0; 即得出第一年
首还款额，再根据公式2即可算出每月还款额，利用公式3算出利息总额。以此类推得
到下表
表二
等额本金还款表
贷款年限月利率/‰月还款金额/每月还款差值还款总额/元利息总额/元
1 5.000 8833/41.6 103250 3250
2 5.125 4679/21.4 106406 6406
3 5.125 3290/14.2 109481 9481
4 5.333 2617/11.1 113073 10373
5 5.333 2200/8.9 116275 16275
6 5.458 1935/7.6 119922 19922
7 5.458 1736/6.5 123197 23197
8 5.458 1588/5.7 126471 26471
9 5.458 1472/5.1 129746 29746
10 5.458 1379/4.5 133021 33021
11 5.458 1303/4.1 136296 36296
12 5.458 1240/3.8 139571 39571
13 5.458 1187/3.5 142845 42845
14 5.458 1141/3.2 146120 46120
15 5.458 1101/3.0 149395 49394
等额本息还款法：
利用公式4输入月还款额的计算公式：
function y=f2(n,i,a)
y=(a*i*(1+i)^n)/((1+i)^n-1);
输入a=100000; i=0.0050; n=12;
输出第一年每月还款额，以此类推
带入每个月的函数列，经运算可以得到每月还款额。再分别带入公式5和6得到利息总额和还款总额，整理数据得到表3
表三
等额本息还款表
贷款年限月利率/‰月还本息/元还款总额/元利息总额/
元
1 5.000 8607 103280 3280
2 5.125 4439 106532 6532
3 5.125 3049 11976
4 9764
4 5.333 2367 113610 13610
5 5.333 1952 117115 17115
6 5.458 1683 121202 21202
7 5.458 1487 124937 24937
8 5.458 1341 128742 28742
9 5.458 1228 32617 32617
10 5.458 1138 136561 36561
11 5.458 1065 140573 40573
12 5.458 1005 144650 44652
13 5.458 954 148799 48799
14 5.458 911 153012 53012
15 5.458 874 157291 57291
两种还款模型的比较和分析
等额本金还款法: 每月的还款本金额固定，而利息越来越少，贷款人起初还款压力
较大，但是随时间的推移每月还款数也越来越少。也便于根据自己的收入情况，确定还贷能
力。此种还款模式支出的总和相对于等额本息利息可能有所减少，但刚开始时还款压力较大。
如果用于房贷，此种方法比较适合工作正处于高峰阶段的人，或者是即将退休的人。
等额本金还款法的优势在于会随着还款次数的增多，还债压力会日趋减弱，在相同贷款
金额利率和贷款年限的条件下，等额本金还款法的利息总额要少于等额本息还款法法。
等额本息还款法: 每月的还款额相等，因此在贷款初期每月的还款中，剔除按月结清
的利息后，所还的贷款本金就较少；而在贷款后期因贷款本金不断减少、每月的还款额中贷
款利息也不断减少，每月所还的贷款本金就较多。这种还款方式，实际占用银行贷款的数量更多、占用的时间更长，同时它还便于借款人合理安排每月的生活和进行理财，对于精通投资、擅长于“以钱生钱”的人来说，无疑是最好的选择。
matlab的制图说明
根据matlab的制图功能，可以得出月还款额和还款总额随贷款年限的变化图（即表4），其中虚线表示等额本息还款法，实线表示等额本金还款法。从表中可以看出等额本息还款法的月还款额始终比等额本金还款法的月还款额少，但是从表2和表3的对比中可以看出，等额本息还款法的还款总额始终要多于等额本金还款法的还款总额。`
图一
参考文献
《数学模型》姜启源谢金星叶俊编，高等教育出版社（第四版）
《数学建模简明教程》戴朝寿孙世良编著高等教育出版社
《数学实验》高等院校选用教材系列谢云荪、张志让主编，科学出版社
组员介绍
张浩威2013221104120043 数统学院13级信息与计算科学赵唐波2013221104120056 数统学院13级信息与计算科学朱雨薇2013221104120053 数统学院13级信息与计算科学