2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章 第六节 双曲线 含解析

课时规范练 A 组 基础对点练

1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )

A.3 B ．3 C.3m

D ．3m

解析：双曲线方程为x 23m －y 2

3＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A.

答案：A

2．已知双曲线x 2a 2－y 2

3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )

A ．2 B.62

C.52

D ．1

解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3

a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.

答案：D

3．(2018·邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0

D ．y ±4x ＝0

解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2

＝0，即x ±2y ＝0，选

A. 答案：A

4．设F 1，F 2是双曲线x 2

－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝4

3

|PF 2|，则△

PF 1F 2的面积等于( ) A ．42 B ．8 3 C ．24

D ．48

解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝4

3|PF 2|，

∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， 又|F 1F 2|＝2c ＝10， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， △PF 1F 2为直角三角形． △PF 1F 2的面积S ＝1

2

×6×8＝24.

答案：C

5．双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )

A ．2 B. 3 C. 2

D.32

解析：由渐近线互相垂直可知????－b a ·b

a ＝－1， 即a 2＝

b 2，即

c 2＝2a 2，即c ＝2a ， 所以e ＝ 2. 答案：C

6．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2

－y 2

4

＝1

B.x 24－y 2

＝1 C.y 24

－x 2

＝1 D ．y 2

－x 2

4

＝1

解析：A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 2

4－

x 2

＝0，得y ＝±2x ，令y 2

－x 24＝0，得y ＝±1

2

x ，故选C.

答案：C

7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5

4，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )

A.x 24－y 2

3＝1 B.x 29－y 2

16＝1 C.x 216－y 2

9

＝1 D.x 23－y 2

4

＝1 解析：由题意得e ＝

1＋b 2a 2＝5

4

，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 2

9＝1.

答案：C

8．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0

垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2

＝1 B ．x 2

－y 2

4

＝1

C.3x 220－3y 2

5

＝1 D.3x 25－3y 2

20

＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2

＝1.

答案：A

9．双曲线C ：x 2a 2－y

2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线C 的离心率是( )

A. 5

B. 2 C ．2

D.52

解析：由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，可得b a ＝2，∴e ＝c

a ＝

1＋????b a 2

＝ 5.故选A. 答案：A

10．(2017·合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且

双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6

D ．8

解析：C 1的渐近线为y ＝±2x ，即b

a ＝2.

又∵2c ＝45，c ＝2 5. 由c 2＝a 2＋b 2得， ∴20＝1

4b 2＋b 2，b ＝4.

答案：B

11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C

的方程为( ) A.x 220－y 2

5＝1 B.x 25－y 2

20＝1 C.x 280－y 2

20

＝1 D.x 220－y 2

80

＝1 解析：依题意?????

a 2

＋b 2

＝251＝b a

×2，解得?????

a 2＝20

b 2＝5，

∴双曲线C 的方程为x 220－y 2

5＝1.

答案：A

12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1

2x ，则该双曲线的标准方程为________．

解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝1

2

x 的

下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，所以

?

??

42a 2－(3)2

b

2＝1，b a ＝1

2

，，解得

?

????

a ＝2，

b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.

法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2

＝λ(λ≠0)，又双曲线过点

(4，3)，所以424－(3)2

＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.

答案：x 24

－y 2

＝1

13．(2017·武汉武昌区调研)双曲线Γ：y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距

离为3，则Γ的实轴长等于________．

解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝a b x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5b

c ＝b ＝3，所以

a ＝4,2a ＝8. 答案：8

14．已知双曲线C ；x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 2

4＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐

近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________． 解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)， ∴????

?

a 2

＋b 2

＝5，b a ＝2，

∴a 2＝1，b 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x 2

－y 2

4

＝1.

答案：x 2

－y 2

4

＝1

15．(2018·西安质检)已知抛物线y 2

＝8x 与双曲线x 2a

2－y 2

＝1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物

线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为________．

解析：抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，故n 2

＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2

a

2－

y 2＝1，可得9a 2－24＝1，解得a ＝35.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±5

3x .

答案：y ＝±5

3

x

B 组 能力提升练

1．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，

|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A.2 B ．2 2 C ．4

D ．8

解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4. 答案：C

2．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )

A ．(1，5)

B ．(1，5]

C ．(5，＋∞)

D ．[5，＋∞)

解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b

a x ，

则由题意得b

a >2，

∴e ＝c a ＝

1＋????b a 2

>1＋4＝ 5.

答案：C

3．若实数k 满足0

9＝1的( )

A ．离心率相等

B ．虚半轴长相等

C ．实半轴长相等

D ．焦距相等

解析：由0

4．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°

且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.102

C.152

D. 5

解析：因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2

＝4c 2

，即c 2a 2＝52，故e ＝c a ＝102

(负值舍去)．

答案：B

5．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 2

4＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，

F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→

＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233

B. 2

C ．2

D.263

解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→

＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C. 答案：C

6．已知双曲线x 24－y 2

b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的

两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 2

4＝1 B.x 24－4y 2

3＝1 C.x 24－y 2

4

＝1 D.x 24－y 2

12

＝1 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±

b

2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝4

4＋b 2，

y A ＝

2b 4＋b

2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b

4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 2

12＝1，选D.

答案：D

7．(2018·甘肃两市六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，

以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 2

9＝1 B.x 23－y 2

4＝1 C.x 29－y 2

16

＝1 D.x 24－y 2

3

＝1 解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝4

3，又c 2

＝a 2

＋b 2

，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 2

16

＝1.

答案：C

8．过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一

条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →

，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2

D. 5

解析：不妨设B (x ，－b

a

x )，|OB |＝

x 2＋(－b

a

x )2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为