第九章第1讲 玻尔兹曼统计
第1课时 统计与概率(1)(教案)
3.统计与概率 第1课时统计与概率（1） 【教学内容】 统计表。 【教学目标】 使学生进一步认识统计的意义，进一步认识统计表，掌握整理数据、编制统计表的方法，学会进行简单统计。 【重点难点】 让学生系统掌握统计的基础知识和基本技能。 【教学准备】 多媒体课件。 【情景导入】 1.揭示课题 提问：在小学阶段，我们学过哪些统计知识？为什么要做统计工作？ 2.引入课题 在日常生活和生产实践中，经常需要对一些数据进行分析、比较，这样就需要进行统计。在进行统计时，又经常要用统计表、统计图，并且常常进行平均数的计算。今天我们开始复习简单的统计，这节课先复习如何设计调查表，并进行调查统计。 【整理归纳】 收集数据，制作统计表。 教师：我们班要和希望小学六（2）班建立“手拉手”班级，你想向“手拉手”的同学介绍哪些情况？ 学生可能回答： （1）身高、体重 （2）姓名、性别
（3）兴趣爱好 为了清楚记录你的情况，同学们设计了一个个人情况调查表。 课件展示： 为了帮助和分析全班的数据，同学们又设计了一种统计表。 六（2）班学生最喜欢的学科统计表 组织学生完善调查表，怎样调查？怎样记录数据?调查中要注意什么问题？ 组织学生议一议，相互交流。 指名学生汇报，再集体评议。 组织学生在全班范围内以小组形式展开调查，先由每个小组整理数据，再由每个小组向全班汇报。 填好统计表。 【课堂作业】 教材第96页例3。 【课堂小结】 通过本节课的学习，你有什么收获？ 【课后作业】 完成练习册中本课时的练习。
第1课时统计与概率（1） （1）统计表 （2）统计图：折线统计图条形统计图扇形统计图 利用身边熟悉的例子复习回顾，目的是调动学生的好奇心和积极性，让学生感悟到数学源于生活用于生活，体现了数学的应用价值，从而激发了学生的探究欲望。
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布 中文名称：麦克斯韦-玻尔兹曼分布 外文名称：Maxwell Boltzmann distribution 麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一个概率分布，在物理学和化学中有应用。最常见的应用是统计力学的领域。任何(宏观)物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡。麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例，对于任何速度范围，作为系统的温度的函数。它以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼命名。 物理应用： 麦克斯韦-玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。麦克斯韦-玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。 麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导，它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。
在许多情况下(例如非弹性碰撞)，这些条件不适用。例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发(也就是辐射过程)是重要的。如果在这个情况下应用麦克斯韦-玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。另外一个不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布。另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。 推导: 麦克斯韦的推导假设了三个方向上的表现都相同，但在玻尔兹曼的一个推导中利用分子运动论去掉了这个假设。麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以轻易地从能量的玻尔兹曼分布推出:其中Ni是平衡温度T时，处于状态i的粒子数目，具有能量EI和简并度GI，N是系统中的总粒子数目，k是玻尔兹曼常数。(注意有时在上面的方程中不写出简并度HI。在这个情况下，指标i将指定了一个单态，而不是具有相同能量EI的GI的多重态。)由于速度和速率与能量有关，因此方程1可以用来推出气体的温度和分子的速度之间的关系。这个方程中的分母称为正则配分函数。
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；
(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．
李贤平 《概率论与数理统计 第一章》答案
第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
概率论与数理统计第一章测试题
第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题1
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解 （1）}, 100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级 人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。
（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y) 0 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 6．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 7．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A =（ ） .A .B .C .D 8．设A ，B 是两个随机事件，且0 习题一 1. 用三个事件 ,,A B C 的运算表示下列事件： （1） ,,A B C 中至少有一个发生；（2）,,A B C 中只有A 发生； （3） ,,A B C 中恰好有两个发生；4）,,A B C 中至少有两个发生； （5）,,A B C 中至少有一个不发生；（6） ,,A B C 中不多于一个发生. 解：（1）A B C （2）ABC (3) ABC ABC CAB (4) AB BC CA (5) A B C (6) AB BC C A 2. 在区间[0,2]上任取一数x ， 记 1{|1},2A x x =<≤ 13{|}42B x x =≤≤，求下列事件的表达式： （1）AB ； （2）AB ； (3) A B . 解：（1） {|1412132}x x x ≤≤<≤或 （2）? （3）{|014121x x x ≤<<≤或 3. 已知 ()0.4,()0.2,()0.1P A P BA P CAB ===，求()P A B C . 解：0.2()()P A P AB =-, 0.1()(())()()()()()()P C AB P C A B P C P CA CB P C P CA P CB P ABC -=-=-=--+ ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P CA P ABC =++---+ = 0.40.20.10.7++= 4. 已知()0.4,()0.25,()0.25P A P B P A B ==-=，求()P B A -与 ()P AB . 解： ()()()0.25P A B P A P AB -=-=, ()0.15P AB =, ()()()0.250.150.1P B A P B P AB -=-=-=, ()()1()()()P AB P A B P A P B P AB ==--+ 10.40.250.150.5=--+= 5.将13个分别写有,,,,,,,,,,,,A A A C E H I I M M N T T 的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN ”的概率. 解：232224813!13!p ????= = 6. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰好有1件次品的概率. 解： 1254535099392C C p C == 7. 某学生研究小组共有12名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率. 解： 12 12312p =: 8. 在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率. 解：设i A 表示第i 次取到次品，1,2,3i =， 12395945()0.0461009998P A A A == 9. 两人相约7点到8点在校门口见面，试求一人要等另一人半小时以上的概率. 解： 1112122214p ???== 10. 两艘轮船在码头的同一泊位停船卸货，且每艘船卸货都需要6小时.假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，求两轮船中至少有一轮船在停靠时必须等待的概率. 解：22246371( )1()24416p -=-=-= 第一节统计 【知识梳理】 【方法技巧】 一、解题关键： ①耐心解题、反复读题 ②读懂统计图表：经常需要两种图表结合起来作答。 二、计算中位数：①先排序，可以从大小到，也可从小到大；②定奇偶，下结论 三、条形（柱状）统计图 1、能清楚的表示出每个项目的具体数据 2、易于比较数据之间的差别 3、易直观找出数据的最大值和最小值 四、扇形统计图 1、圆心角的度数=百分比×360° 2、能清楚表示出各个部分在总体中的百分比 3、易于显示各组数据相对于总体的大小 4、各扇形部分所占整体的百分比之和等于1 五、折线统计图 1、用折线的上升或者下降表示数量的多少及增减变化情况的统计图 2、反映同一事物不同时间的变化发展情况，也可以表示出数量的多少 六、统计图中常见的计算方法： 1、条形统计图：一般涉及补图，也就是求未知组的频数： 方法如下：①未知组的频数=样本容量-已知组频数之和 ②未知组的频数=样本容量×该组所占样本的百分比 2、扇形统计图：一般涉及求未知组的百分比或其对应扇形圆心角的度数，方法如下： ①未知组百分比=1—已知组百分比之和、 ②未知组百分比=未知组的频数÷样本容量 ③若求未知组在扇形统计图中圆心角的度数，利用360°×其所占样本百分比。【考点突破】 考点1、数据的收集 例1、下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（） A．对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查 B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查 C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查 D．对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查 变式1、以下问题不适合全面调查的是（） A．调查某班学生每周课前预习的时间 B．调查某中学在职教师的身体健康状况 C．调查全国中小学生课外阅读情况 玻尔兹曼分布 在物理学（特别是统计力学）中，麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布是以詹姆斯·克拉克斯·马克斯韦尔和路德维希·波兹曼命名的特定概率分布。 这是第一次定义，并且用于描述颗粒速度在理想化的气体，其中所述颗粒的固定容器内自由移动，而不会彼此互动，除了非常简短的碰撞，其中它们与彼此或与它们的热环境交换能量和动量。在该上下文中，术语“颗粒”仅指气态颗粒（原子或分子），并且假设颗粒系统已达到热力学平衡。[1]这种粒子的能量遵循所谓的麦克斯韦 - 玻尔兹曼统计通过将粒子能量与动能等同来推导出速度的统计分布。 在一个封闭的空间中，温度为T，里面只有两种能级，粒子的总数为N，且两种能级对应的个数分别 为：,所以能级的粒子总和为。那么N个粒子的不同状态组合数记为,且为： 通过组合数计算一下熵，熵是来源热力学的概念，熵是衡量物质的混乱程度的量，通常和物质的状态有关，我们知道当物质的能量越高时混乱程度也越高，能量越低时混乱程度也越低，下面给出熵的定义： 其中是玻尔兹曼常数，取log就是熵的来源。 把带进上式的： 现在我给空间增加少了的能量，此时封闭的空间的低 能级的粒子就会越变到高能级，也就是说会有少量的变为即： ，其中是变化的粒子数，由此我们从新计算熵为： 得到： 我们知道上式的分子和分母项是一样多的，同时在封闭的空间中是足够大的，是很小的，因此可以 把化简为： 然而从热力学角度，熵的变化量和温度以及加入的能量有关（参考维基百科），因此有如下的公式; 联立和两式的到： 化简得到为： 从上式我们看到，不同能级的比值和能量、温度T、玻尔兹曼常数都有关系，上式就称为玻尔兹曼分布。 专题六 概率与统计 第1讲 概率训练 文 一、选择题 1.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925 解析 从甲，乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为410＝2 5. 答案 B 2.在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12 ? ????x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.14 解析 由－1≤log 12? ?? ??x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝32－02－0＝3 4. 答案 A 3.(2016·全国Ⅲ卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ， N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成 功开机的概率是( ) A.8 15 B.18 C.115 D.130 解析 第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为1 15，故选C. 答案 C 4.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.78 解析 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24 ＝16(种)，其 中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝7 8.故选D. 答案 D 5.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤1 2 ”的概率， p 2为事件“xy ≤12 ”的概率，则( ) A.p 1 12，则p 1<1 2 玻尔兹曼分布 玻尔兹曼分布律是一种覆盖系统各种状态的概率分布、概率测量或者频率分布。当有保守外力（如重力场、电场等）作用时，气体分子的空间位置就不再均匀分布了，不同位置处分子数密度不同。玻尔兹曼分布律是描述理想气体在受保守外力作用、或保守外力场的作用不可忽略时，处于热平衡态下的气体分子按能量的分布规律 玻尔兹曼(L.E.Boltzmann)将麦克斯韦分布律推广到有外力场作用的情况。在等宽的区间内，若E1>E2，则能量大的粒子数dN1小于能量小的粒子数dN2，状态即粒子优先占据能量小的，这是玻尔兹曼分布律的一个重要结果。经过将近一个世纪的传播，物理学界、化学界渐渐接受了道尔顿的“原子—分子模型”，但原子、分子的确凿证据迟迟没有找到。恰恰此时，一股更强大的科学成就——热力学第一、第二定律出现了。热力学原则上解决了一切化学平衡的问题。1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德试图在此基础上证明，将物理学和化学问题还原为原子或分子之间的力学关系是多余的。他试图将“能量”赋以实物一样的地位，甚至要把物质还原为能量。他提出“世界上的一切现象仅仅是由于处于空间和时间中的能量变化构成的”。在统计学中，麦克斯韦- 玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。它一开始在物理中定义并使用是为了描述（特别是统计力学中描述理想气体）在理想气体中粒子自由移动的在一个固定容器内与其它粒子无相互作用的粒子速度，除了它们相互或与它们的热环境交换能量与动量所产生的非常短暂的碰撞。在这种情况下粒子指的是气态粒子（原子或分子），并且粒子 系统被假定达到热力学平衡。在这种分布最初从麦斯威尔1960年的启发性的基础上衍生出来时，玻尔兹曼之后对这种分布的物理起源进行了大量重要调查粒子速度概率分布指出哪一种速度更具有可能性：粒子将具有从分布中随机选择的速度，并且比其它选择方法更可能在速度范围内。分布取决于系统的温度和粒子的质量。麦克斯韦- 波尔兹曼分布适用于经典理想气体，这是一种理想化的实际气体。在实际气体中，存在可以使其速度分布与麦克斯韦- 波尔兹曼形式不同的各种效应（例如，范德华相互作用，涡流，相对论速度限制和量子交换相互作用）。然而，常温下的稀释气体表现得非常接近于理想的气体，麦克斯韦速度分布对于这种气体是非常好的近似值。因此，它形成了动力学气体理论的基础，其提供了许多基本气体性质（包括压力和扩散）的简化解释。 第1章抽样调查 §1.1 引言 数理统计学是数学的一个重要分支.它研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考查的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议.若在以上句子中去掉“带有随机性的”这几个字，那就是统计学的研究范围.统计学就是数据科学（《数理统计学讲义》，高教出版）。 数理统计学是这样一门学科：它使用概率论和数学的方法，研究怎样收集（通过试验和观察）带有随机误差的数据，并在设定的模型下（称为统计模型）之下，对数据进行分析（称为统计分析），以对所研究的问题作出推断（称为统计推断）（《概率论与数理统计》，中科大出版，陈希孺）. 由以上关于数理统计学的概念的阐述可以看出数理统计面对的对象就是数据，而数据的“质量”对最终的得出的结论的可靠性有着重大影响.对于普查的数据，数据的有效性、准确性很重要（这类数据的研究不属于数理统计学的范畴）.对于抽查数据，数据的概率性质很重要.本章简要地介绍抽样调查的一些概念和技术以及相关理论.在数理统计学中还有另一种获取数据的方法--试验设计(将在后面介绍). 抽样调查是从总体中抽取一小部分个体以获取总体的有关信息.根据研究对象即总体的不同特点需要设计不同的抽样方法以获取高“质量”的数据.抽样技术在很多领域都有应用. 抽样技术本质上具有概率性—总体中每个个体都以特定的概率出现在样本中(简称为入样),并且样本的实际构成是随机的. 随机抽样至少有以下的益处: ? 抽取个体的随机性排除了调查者的偏见，即使是无意识的。 ? 与完全枚举 （即普查）相比，小样本减少很多成本，调查更省时。 ?随机抽样的结论实际上可能比完全枚举更精确。小样本的数据质 量更容易监控，完全枚举需要大量的调查人员去实施，由此可能带来更多业务不精的职员。 ? 随机抽样技术使得抽样误差估计变得可能。 ? 在抽样设计时，通常可以确定出满足预设误差水平的样本容量。 以上的讨论中涉及“总体”和“个体”和“样本”三个名词.总体指研究对象的全体.而组成总体的各个成员称为个体.依总体中个体数有限和无限，总体分为有限总体和无限总体.本章讨论的总体都是有限总体. 在具体的统计问题中，我们总是关注总体中成员的某项（或多项）数量指标.总体中的N 个成员的数量指标值记为N x ,,x ,x 21.如果将总体中的成员依据某一属性分成r 类，我们可以用数值r ,, 1（或 11,0-r ,, ）分别代表各个类别（称为分类数据或属性数据），最常见 的是分为二类（比如正品与次品，男性与女性），我们称之为二分变量. 例1.1 作为本章的第一个例子，我们利用Herkson(1976)的研究来解释一些思想.总体由393=N 个短期居留医院组成.我们关注于医 玻尔兹曼分布定律是覆盖系统各种状态的概率分布，概率测量或频率分布。 当存在保守的外力（例如重力场，电场等）时，气体分子的空间位置不再均匀分布，并且在不同位置分子数密度也不同。玻尔兹曼分布定律描述了在保守外力或保守外力场的作用下处于热平衡状态的理想气体分子的能量分布。 L. E. Boltzmann将麦克斯韦分布定律扩展到外力场的情况。在相同的宽度范围内，如果E1> E2，则能量DN1大的粒子的数量少于能量DN2小的粒子的数量，并且状态是粒子优先占据较小的能量，这是玻尔兹曼的重要结果分配法。 经过近一个世纪的传播，物理和化学界逐渐接受道尔顿的“原子分子模型”，但是原子和分子的确凿证据尚未得到发现。这时，出现了更强大的科学成就，即热力学的第一定律和第二定律。热力学原则上解决了化学平衡的所有问题。1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德（Ostwald）试图证明没有必要将物理和化学问题减少到原子或分子之间的机械关系。他试图赋予“能量”与物质对象相同的状态，甚至使物质恢复能量。他提出“世界上所有现象都仅由时空的能量变化构成”。 在统计中，麦克斯韦·玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。它首先被定义并在物理学中用于描述（特别是在统计力学中）粒子在理想气体中自由移动而不与固定容器中的其他粒子相互作用的速度，除了粒子与 其热环境之间的非常短时间的碰撞之外通过交换能量和动力。在这种情况下，粒子是指气态粒子（原子或分子），并且假定粒子系统达到了热力学平衡。当这种分布最初是从1960年的麦克斯韦启蒙运动中获得的时，玻尔兹曼对这种分布的物理起源进行了许多重要的研究。 粒子速度的概率分布表明哪个速度更有可能：粒子具有从分布中随机选择的速度，并且比其他选择方法更有可能处于速度范围内。分布取决于系统温度和颗粒质量。Maxwell Boltzmann分布适用于经典理想气体，这是理想的真实气体。在实际气体中，存在多种影响（例如范德华相互作用，涡流，相对论速度极限和量子交换相互作用），这些影响可能使速度分布不同于麦克斯韦·玻耳兹曼形式。但是，室温下的稀气体的性能非常接近理想气体，麦克斯韦速度分布非常近似于该气体。因此，它构成了动气理论的基础，它为许多基本的气体特性（包括压力和扩散）提供了简化的解释。 《概率论与数量统计》第一章习题解答 1、写出下列随机试验的样本空间： （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解： （1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。 （2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。 （3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。 （4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。 2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C中至少有一个发生。 （4）A，B，C都发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中不多于一个发生。 （7）A，B，C中不多于两个发生。 （8）A，B，C中至少有两个发生。 解： （1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC （5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C （7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC 3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P （AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。 （3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求 P（A B），（ii）若P（AB）=1/8，求P（A B）。 解： （1）因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0。故P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。 （2）P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15, P（A B）=1-P（A∪B）= 4/15, P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/2 0+1/30=51/60， P(A B C)=1- P（A∪B∪C）=3/20, P(A B C)=P（A B）- P(A B C)=7/60， P(A B∪C)=P（A B）+ P(C)- P(A B C)=4/15+1/5-7/60=7/20。（3）（i）因为A，B互不相容，所以AB=Φ，P（AB）=0。故 P（A B）=P（A）-P（AB）=1/2。（ii）P（A B）= P（A）-P（AB）=1/2-1/8=3/8。 1(10.0 分) ? ? B) ? ? C) 参考答案： D 10.0 第一章测试题 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 6．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 7．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A =（ ） .A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.21 8．设A ，B 是两个随机事件，且0 概率论与数理统计补充习题 第一章 随机事件与概率 一、思考题 1、概率研究的对象是什么？ 2、随机现象是否就是没有规律的现象？随机现象的特点是什么？ 3、概率是刻画什么的指标？ 4、概率的公理化定义的意义是什么？ 5、第一章的主要内容是什么？ 二、填空题 1、填出下列事件的关系 （1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 . （2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 . （3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 . 2、某人用步枪射击目标5次，i A =（第i 次击中目标 ），i B =（5次射击中击中目标i 次）（i =0，1，2，3，4，5），用文字叙述下列事件，并指出各对事件之间的关系. （1）、 51 =i i A 为 . 51 =i i B 为 . 5 1 =i i A 与 51=i i B 的关系为 . （2）、 52 =i i A 为 . 52 =i i B 为 . 5 2 =i i A 与 52=i i B 的关系为 . （3）、 21 =i i A 与 53=i i A 的关系为 . （4）、 21=i i B 与 5 3=i i B 的关系为 . 三、选择题 1、下列各式中正确的有（ ）. （A ）、A ∪B =（A-AB ）∪B （B ）、若A ∪C=B ∪C 则A=B （C ）、若P （A ）≥P （B ）则A ?B 2、若事件A 和B 互斥，且P （A ）≠0，P （B ）≠0，则（ ）. （A ）、A 和B 互斥 （B ）、A 和B 不互斥 （C ）、P （A-B ）=P （A ） （D ）、P （A-B ）=P （A ）-P （B ） 3、若当事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）. （A ）、P （C ）≤P （A ）+P （B ）-1 （B ）、P （C ）≥P （A ）+P （B ）-1 （C ）、P （C ）=P （AB ） （D ）、P （C ）=P （A +B ） 4、设0概率论与数理统计第一章
概率论与数理统计第一章答案
统计与概率-第1讲：统计
玻尔兹曼分布
高考数学二轮复习 专题六 概率与统计 第1讲 概率训练 文
玻尔兹曼分布
数理统计第一章
玻尔兹曼分布
概率论与数理统计第一章复习题解答
《概率论与数理统计》第1阶段在线作业
0.0
? A)
3/4
? ? B)
1/3
? ? C)
1/4
? ? D)
1/2
?
参考答案： C
收起解析 解析：
无
2(10.0 分)
0.0
? A)
? ? C)
? ? D)
?
参考答案： D
收起解析 解析：
无
3(10.0 分)
0.0
? A)
0.4
? ? B)
0.6
0.28
? ? D)
0.72
?
参考答案： B
收起解析 解析：
无
4(10.0 分)
10.0
? A)
1/3
? ? B)
1/4
? ? C)
1
? ? D)
1/2
?
收起解析 解析：
无
5(10.0 分)
0.0
? A)
1/2
? ? B)
1/4
? ? C)
3/4
? ? D)
3/16
?
参考答案： B
收起解析 解析：
无
6(10.0 分)
? A)
3
? ? B)
1/3
? ? C)
2
? ? D)
1/2
?
参考答案： D
收起解析 解析：
无
7(10.0 分)
10.0
? A)概率论与数理统计第一章
概率论与数理统计第一章补充题与答案汇编