数学建模论文-传染病模型)

传染病模型

摘要

“传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害。由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义，利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。问题一：描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。

一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。

一．问题的提出

描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。

二．问题的分析

2.1 问题分析

描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。

2.2模型分工

三．建模过程

3.1问题一

3.11.模型假设：

(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k ；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。

3.12.定义符号说明：

i(t)表示t 时刻的病人数，0k 表示每个病人单位时间内传染的人数，i(0)= 0i 表示最初时有0i 个传染病人。

3.13模型建立与求解：

在t ?时间内增加的病人数为()()()0i

t t i t k i t t +?-=?； 两边除以t ?，并令t ?→0得微分方程

()()()000di t k i t dt i i ?=???=?

………… （3.1） 其解为 ()00k t

i t i e =。

这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t →∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特

别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。

3.2问题二

3.21.基本假设：

问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。

3.22.定义符号说明：

将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t 时刻这两类人的人数。i (0)= 0i 。

3.23模型建立与求解：

假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比。即()0k ks t =；

(2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。

由以上假设可得微分方程

()()()()()()0di t ks t i t dt s t i t n i i

?=???+=??=???

………… (3.2)

这是变量分离方程，用分离变量法可求得其解为

()011knt

n i

t n e i =??+- ???

………… (3.3) 其图形如下图3-1所示

图3.1

模型 (3.2) 可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时询。医

学上称di t dt

-为传染病曲线，它表示传染病人的增加率与时间的关系，如图3-2所示。

由 (3.3)式可得

2

020111knt knt n kn e i di dt n e i --??- ???=????+-?? ????? ………… （3.4)

再求二阶导数()2

2d i t dt ，并令()220d i t dt =，可解得极大点为 01ln 1n i t kn

??- ???= ………… (3.5) 从 (3.5) 式可以看出，当传染病强度k 或人口总数n 增加时，1t 都将变小，即传染病高峰来得快。这与实际情况吻合。同时，如果知道了传染率k(k 由统计数据得到)，即可预报传染病高峰1t 到来的时间，这对于预防传染病是有益处的。

模型 (3.2) 的缺点是：当t →∞时，由(3.3)式可知i(t)→n ，即最后人人都要得病。这显然与实袜情况不符。造成这个结果的原因是假设 (2) 中假设一人得病后经久不愈，也不会死亡。

为了得到与实际情况更吻合的模型，必须修改假设 (2) 。实际上不是每个人得病后都会传染别人，因为其中一部份会被隔离，还有由于医治和人的身抵抗力会痊愈，有的人会死亡从而也就不再会传染给别人了。因此必须对模型作进一步的修改，建立新的模型。

3.3问题三

3.31.基本假设：

传染病无免疫性（SIS 模型）——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。

3.32.定义符号说明：

已感染人数 (病人) i (t )

3.33 模型建立与求解：

（1）模型建立的建立如下：

t t Ni t t i t Ns t i t t i N ?-?=-?+)()()()]()([μλ

μλσ/=

（2）模型的求解过程如下： i i i dt

di μλ--=)1( ……（3.6）； …………（3.7）； 试子3.6和3.7变量分离方程，用分离变量法可求得其解为：

)]11([σλ---=i i dt di

其中di/dt 可看成一元二次方程中的y ，i 相当于一元二次方程中的x 。这

?????=--=0

)0()1(i i i i i dt di μλμ

λ σ / =

样的解法便利了运算。

（3）下面的分析di/dt与的关系：

其中~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。在上图中我们讨论的是大于一的情况。关系模式成抛物线有最高点；抛物线与i轴的交点1-1/为方程的驻点。

(4)分析i与时间t的关系（>1的情况）：

第一种情况：随着时间t的增加，i的值一直增加但不会超过1-1/ 的值，而是无限接近。这说明随着时间的增加，感染传染病的人数如果没有条件控制的话会一直增加。

第二种情况是：感染传染病的人数一定时，有医疗措施但没有控制条件的话，虽然人数会减少但也是无限接近一个固定的值为1-1/ 。

（5）分析i与时间t的关系（<=1的情况）：

当<=1时，di/dt<0；可推出随着时间t 的增加，患传染病的人数会越来越少直到全部痊愈。说明控制病人的有效接触人数有很重要的作用。

3.34结论 接触数 =1 ~ 阈值

?????≤>-=∞1,

01,11)(σσσi 形曲线增长按S t i )(?小01i >σ

1≤σ↓

?)(t i

由以上可得出结论： 感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数。

四．模型的评价与改进

随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染病已经得到有效的控制，但是在世界的某些地区，特别是贫穷的发展中国家，还不时出现传染病流行的情况，与次同时，一些鲜为人知的险恶传染病则跨国越界在既包括发达国家也包括发展中国家的更大范围内蔓延。一直以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感数的变化规律，预报传染病高潮的到来等等，有着重要的作用。

以最近突发性的险恶传染病——SARS为例。从2002年11月16日在中国广东佛山市首例发生家族聚集性发病至2003年5月，疾病呈迅速蔓延趋势。目前全世界30多个国家和地区有病例报告。中国大陆、香港和台湾发病人数占全球的90%以上。世界卫生组织（WHO）总干事Brundtlard博士指出，SARS已威胁到全球人类的健康。由于目前对SARS尚无可靠的病理学诊断，所以只能根据医疗卫生部门提供的可靠数据统计资料，建立模型来描述SARS病毒的宏观传播过程，有助于从量的方面来分析受感染人数的变化趋势，掌握SARS的流行规律，从而及时对疫情进行控制，提供科学的数据，认清传染的基本要素，为防病提供必要的依据。

例如，5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目。于5月19日初步完成了第一批成果，这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真。结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要。分析报告说，就全国而论，若非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加2100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府未采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。

同时美国《科学》杂志网站5月23日发表的两份最新研究报告显示，如果对非典采取严密的公共卫生防治措施，这种新型疾病是能够得到控制的。而采取这种措施需要有一个预见性，这就需要人们通过模型的建立对SARS的发病周期、

发病人数的变化趋势、疑似人数的变化趋势等来分析和预测。并为政府和医疗卫生部门进行决策和资料调配提供直接的服务，为相关的研究部门提供科学的数据。

SARS作为新发传染病之一，虽有着其特殊性，但也符合一般传染病的传播规律。从SARS对人民身体健康造成严重危害可以看出及时对传染病建立模型并进行分析和预测对人类的生命健康有着至关重要的作用。

五．参考文献

[1] 姜启源〈数学模型〉高等教育出版社 1993.8

[2] 云舟工作室〈数学建模基础教程〉人民邮电出版社 2001.7

[3] 老师PPT

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）