广东六校2020届高三第二次联考试题理科数学(含答案)
2020届广东六校高三第二次联考试题理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2{|230}, {|21}x P x x x Q x =--<=>，则P Q =I ( ) A. {|1}x x >-
B. {|1}x x <-
C. {|03}x x <<
D.
{|10}x x -<<
【答案】C 【解析】 【
分析】
化简集合,P Q ，即可得结果.
【详解】2{|230}{|13}, {|21}{|0}x P x x x x x Q x x x =--<=-<<=>=>,
P Q ∴=I {|03}x x <<。
故选:C
【点睛】本题考查集合间的运算，准确化简是解题的关键，属于基础题. 2.“00m n >>且”是“0mn >”成立的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 不充分不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分、必要条件的判断方法，即可得正确答案. 【详解】若00m n >>且，则0mn >成立；
若0mn >，则,m n 同号，所以00m n >>且不成立， “00m n >>且”是“0mn >”成立的的充分不必要条件.
故选:A
【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题.
3.已知0.230.3log 0.3, log 0.2, 0.3a b c ===，则( ) A. a b c <<
B. a c b <<
C. b c a <<
D.
c a b <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据对数函数的函数值的正负、单调性，以及指数函数的单调性，即可得出正确答案. 【详解】30.30.3log 0.30,log 0.2log 0.31a b =<=>=，
0.200<0.30.31c =<=，a c b ∴<<.
故选:B
【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性，比较数的大小，属于基础题.
4.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】
【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形
故俯视图为
故选A.
点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题． 5.函数3
3()cos ||
x x f x x x -=+在[]
,ππ-的图像大致为( )
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
先证明()f x 的奇偶性，判断图像的对称性，对[]0,x π∈时()f x 的函数值正负，以及和1的大小，即可得到正确答案.
【详解】3
3()(),()cos ||
x x
f x f x f x x x -+-=
=-∴+是奇函数， 图像关于原点对称；故D 不正确； 33(3)(3)
()cos x x x x x f x x x --+=+， 3),()0x f x ∈>，故B 不正确，
而312
(1)1cos11cos11
f -==>++，故C 不正确.
故选:A
【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.
6.已知非零向量,a b r r 满足1,2a b ==r r (2()a b a b -⊥+)r r r r ，则a r 与b r
的夹角为( )
A.
6
π B.
4
π C.
3
π D.
2
π 【答案】D
【解析】 【分析】
(2()a b a b -⊥+)r r r r 求出0a b ?=r r
，即可求出结论.
【详解】22
(2(),(2()=20a b a b a b a b a a b b -⊥+∴-?++?-=))r r r r r r r r r r r r Q
0a b ∴?=r r
， a ∴r 与b r 的夹角为2
π.
故选:D
【点睛】本题考查向量的数量积运算，以及向量垂直的判定，属于基础题.
7.已知函数()sin()cos()0,||2f x x x ω?ω?ω?π?
?=+++>< ??
?的最小正周期为π， 且
()()f x f x -=-，则( )
A. ()f x 在0,
2π?
?
???
单调递增
B. ()f x 在3,44ππ??
???
单调递增 C. ()f x 在0,2π??
??
?
单调递减
D. ()f x 在3,44ππ??
??
?
单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】
化简()f x ，再根据已知条件求出,ω?，逐项验证各选项. 【详解】()2)4
f x x π
ω?=
++，所以2ω=，
又()()f x f x -=-知()f x 为奇函数， ,||,()224
24
k f x x π
π
π
?π??∴+
=<
∴=-∴=， 0,,2(0,)2x x ππ??
∈∈ ???
，()f x 没有单调性，
选项A ，C 不正确，
33,,2(,)2244x x ππππ??∈∈ ?
??
，()f x 单调递减，
选项B 不正确. 故选:D
【点睛】本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，涉及三角函数的单调性、奇偶性、周期性，属于中档题.
8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若已知391, 9a S =-=，则( ) A. 310n a n =-
B. 2n a n =-
C. 217
22
n S n n =-
D.
28n S n n =-
【答案】C 【解析】 【分析】
由99=S ，求出5a ，然后求出公差，最后求得, n n a S . 【详解】设{}n a 的公差为d ，199559()
99,12
a a S a a +=
==∴=， 5322,1,4n a a d d a n ∴-==∴==-，∴13a =-，
(7)2n n n S -=
=217
22
n n -. 故选:C
【点睛】本题考查等差数列量之间的运算，涉及等差数列的通项、前n 项和、性质，属于中档题.
9.关于函数f (x )＝tan|x |+|tan x |有下述四个结论： ① f (x )是偶函数; ② f (x )在区间,02π??
- ???
上单调递减;
③ f (x )是周期函数; ④ f (x )图象关于,02π??
???
对称 其中所有正确结论的编号是( ) A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ③④
【答案】C 【解析】 【分析】
①用奇偶性定义证明为正确；
②化简去绝对值，可证为正确；
③ ④作出图像，可判断为不正确.
【详解】()tan|||tan()|tan|||tan|()
f x x x x x f x
-=-+-=+=
()
f x
∴为偶函数，①为正确;
,0,()2tan
2
x f x x
π
??
∈-=-
?
??
单调递减，②为正确；
作出函数()tan|||tan|
f x x x
=+在,
22
x
ππ
??
∈-
?
??
的图像如下图：
可判断③ ④不正确.
故选:C
【点睛】本题考查有关三角函数的性质，考查了正切函数的图象及应用，属于中档题.
10.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天
事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行．2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，2L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
121
223
()
()
M M M
R r
R r r R
+=+
+
.
设
r
R
α=，由于α的值很小，因此在近似计算中
345
3
2
33
3
(1)
ααα
α
α
++
≈
+
，则r的近似值为
2
1
M
R
M
2
1
2
M
R
M
2
3
1
3M R M 2
3
1
3M R M 【答案】D 【解析】 【分析】
本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由r
R
α=
，得r R α= 因为121
223
()()M M M R r R r r R +=++，
所以
121
22222
(1)(1)M M M R R R ααα+=++，
即54323222
1133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++， 解得3
2
1
3M M α=
所以3
2
1
.3M r R R M α==
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
11.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，点,D E 分别是,PB BC 的中点，
3,2,22,13,17PA PD DE PE AD AE ======O 的表面积为（ ）
A. 24π
B. 25π
C. 41π
D. 50π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知条件可得,,PA PB PC ，两两互相垂直，三棱锥P ABC -的四个顶点所在球O 为以
,,PA PB PC 为棱的长方体外接球，球O 的直径径为长方体对角线长，即可求出球O 的表面积.
【详解】3,2,22,13,17PA PD DE PE AD AE ======
222222222,,PA PD AD PD DE PE PA PE AE +=+=+= ,,PA PD PD DE PA PE ∴⊥⊥⊥，
PA ⊥平面,PBC PC ì平面,PBC PA PC ∴⊥，
点,D E 分别是,PB BC 的中点，//,DE PC PB PC ∴⊥，
,,,PA PB PB PC PC PA ∴⊥⊥⊥
设球O 半径为R
22223,4,(2)34441PA PB PC R ====++=， 2441S R ππ∴==球面
故选:C
【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，等价转化是解题的关键，属于中档题. 12.己知函数()x
f x e ex a =-+与()1
ln g x x x
=+
的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）
A. [),e -+∞
B. [)1,-+∞
C. (],1-∞-
D.
(],e -∞-
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知，得到方程1(ln )x
e ex a x x
-+=-+在(0,)+∞上有解，构造函数，求出它的值域，得到a 的取值范围.
【详解】若函数
()e ex x f x a =-+与()1
ln g x x x
=+
的图象上存在关于x 轴对称的点， 则方程1(ln )x
e ex a x x
-+=-+在(0,)+∞上有解，
即1
ln x
a ex e x x =---
在(0,)+∞上有解， 令1()ln x
h x ex e x x =---，
则22111'()x x
x h x e e e e x x x
-=--+=-+，
所以当01x <<时，'()0h x >，当1x >时，'()0h x <， 所以函数()
h x (0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
所以()h x 在1x =处取得最大值011e e ---=-， 所以()h x 的值域为(,1]-∞-， 所以a 的取值范围是(,1]-∞-， 故选C.
【点睛】该题考查的是有关根据两个函数图象上存在过于x 轴对称的点求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意关于x 轴对称的两点的坐标的关系式横坐标相等，纵坐标互为相反数，之后构造新函数，求函数的值域的问题，属于中档题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ?u u u r u u u r
的值为 ． 【答案】1 【解析】 试题分析：
．
考点：1、向量的数量积运算；2、向量加法．
14.已知ABC △的内角A B C ，
，的对边分别为a ，b ，c ，若()()a b c a b c ac ++-+=，则tan B =________. 【答案】3-【解析】 【分析】
由已知等式结合余弦定理，求出B 角，进而求出tan B 的值. 【详解】()()a b c a b c ac ++-+=，
22222(),a c b ac a c b ac ∴+-=+-=-
2221
cos ,
2220120a c b ac B ac ac B B π+--∴===-<<∴=?
Q ，
则tan 3B =-故答案为: 3-【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题. 15.数列{}n a 满足*111()(,1)2
n n n n a a a a n N n +--=-∈>，1811,128a a ==，则2a =______.
【答案】
1
2
【解析】 【分析】
由已知得21,a ≠设1n n n b a a +=-，则{}n b 是公比为1
2
的等比数列，求出其通项，再用累加法求出1b ，即可得结果.
【详解】设1n n n b a a +=-，若21a =则1n a =与81
128
a =
矛盾， 211,0,{}n a b b ∴≠∴≠是公比为
12
的等比数列，11,2n n b
b -∴= 178187762111121112812b a a a a a a a a ?
?- ?
??
∴-=-+-++-==--L ，
121211
22
b a a a ∴=-=-∴=.
故答案为:
1
2
【点睛】本题考查等比数列的通项，以及累加法求通项，合理引进辅助数列是解题的关键，属于中档题.
16.已知不等式222x xe kx e ≥-恒成立，则k 的取值范围是______.
【答案】20,3e ????
【解析】 【分析】
设22y kx e =-，2()x
f x xe =，不等式222x xe kx e ≥-恒成立，转化为函数2()x
f x xe =的图像
不在直线22y kx e =-的下方，求出2()x
f x xe =的单调区间以及极值、最值，作出函数
2()x f x xe =的图像，用数形结合方法，即可求出k 的取值范围；或分离出参数k ，构造新函
数，转化为k 与新函数的最值的大小关系.
【详解】直线l :22y kx e =-是斜率为k 且过点2(0,2)e -的直线，
22(),'()(12)x x f x xe f x e x ==+
21
x <-时,'()0,()f x f x <单调递减；
1
2
x >-时，'()0,()f x f x >单调递增.
12min 11
()()222f x f e e -=-=->-，
当11(,0],(),02x f x e -??
∈-∞∈-????
所以k 0<时，20000, 20()x kx e f x ?<->>不符合条件 所以0k =时，22 22()kx e e f x -=-<符合条件
0k >时，若0,x ≤，则22()22f x e kx e >->-
所以只需再考虑0x >的情况：
法一：
如图示设00k k =>时直线l 与()y f x =相切，
则当且仅当00k k ≤≤时符合条件.
设直线l 与()y f x =相切于点()
02000,,0x
x x e x >，
则00222000000(12), 2x x k e x x e y k x e =+==-,
0002222220000 (12)2x x x x e e x x e e x e ∴=+-?=,
所以22
001,30,3x k e k e ??∴==∴∈??
注2222()(0), '()(22)0, x x g x x e x g x e x x =>=+> ()g x ∴∞在(0,+)递增，且2(1)g e =.
法二：0x >时：
222222
2322(),'()2(),
4'()40 (0),
x
x
x e e f x e f x e g x x x
e
g x e x x
=+=-==+>> '()f x 在()0,∞+上单调递增，又'(1)0f =
01,'()0;1,'()0;x f x x f x ∴<<<>>
2min ()(1)3.f x f e ∴==
0x ∴>时， 2
2223x
e e k k e x
+≥?≤ 203k e ∴≤≤
【点睛】本题考查导数的应用，考查函数的单调区间、极值最值，考查等价转换、数形结合、分类讨论等数学思想，是一道综合题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知向量(2cos ,3), (cos , 2sin ), x x x x x ==∈a b R ,
设函数()f x =?a b . (1) 求()f x 的最小正周期. (2) 求()f x 在0,
2π??
????
上的最大值和最小值. 【答案】（1）π；（2）最大值和最小值分别为3, 0. 【解析】 【分析】
（1）求出()f x 化简，即可得出结论；
（2）根据整体思想，结合sin y x =图像特征，即可求出答案. 【详解】(1) (2cos ,3), (cos , 2sin ), a x x b x x x ==∈R r r
Q , ()f x a b =r r ·2cos cos 3cos 2sin x x x x =??
32cos 21x x =++
3122cos 212x x ?=++????
. 2sin(2)16
x π
=++.
所以22
T π
π=
=, 所以()f x 最小正周期为π. (2) 当[0,]2
x π∈ 时，7(2)[,]666x πππ
α+∈=，
1
sin(2)sin [,1]62
x πα∴+=∈-.
()2sin(2)12sin 1[0,3]6
f x x π
α=++=+∈
所以()f x 在0,
2π??
????
上的最大值和最小值分别为3, 0. 【点睛】本题考查向量的数量积，三角函数的化简以及三角函数的性质，整体思想是解题的关键，属于中档题.
18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2 2 (*)n n S a n N =-∈ . (1) 求数列{}n a 的通项公式；
(2) 记()21log n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：
12111
1n
T T T +++ n a =；（2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）由n S 与n a 的关系，可求出{}n a 的通项公式； （2）求出()21log n n n b a a +=的通项，接着求出{}n b 的前n 项和n T ，用裂项相消法求出 12111 n T T T +++L ，不等式即可得证. 【详解】(1) 由2 2 (*)n n S a n N = -∈得 112 2 (2), n n S a n --=-≥ 当1n =时，11112 2 2a S a a ==-∴= 当2n ≥时，11 22 n n n n n a S S a a --=-=-. 11 2 2 (2)n n n n a a a n a --∴=∴ =≥ ∴数列{}n a 是首项12a =且公比2q =的等比数列. 112n n n a a q -∴==. (2)()() 1 212log log 22 21n n n n n b a a n ++==?=+,12n n b b -∴-=. ∴数列{}n b 是等差数列，11 ()(2)2 n n T n b b n n ∴=+=+ 11111(2)22n T n n n n ?? ∴ ==- ?++?? 12111111111111111111232242352112211111 1 (*)2212n T T T n n n n n N n n ∴+++??????????=-+-+-++-+- ? ? ? ? ?-++????????????=+--<∈ ?++?? L L 【点睛】本题考查已知前n 项和n S 求通项，考查等比数列的通项、等差数列的通项以及前n 项和，考查用裂项相消法求数列的和，是一道综合题. 19.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5, 8AB AC ==，点, E F 分别在, AD CD 上，5 3 AE CF ==，EF 交BD 于点H . 将DEF ?沿EF 折到△D EF '的位置，5D O '= . （1）证明：D H '⊥平面ABCD ； （2）求二面角A BD O '--的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）389 89 . 【解析】 【分析】 （1）根据折叠前后关系可证'EF D H ⊥，再用勾股定理证'D H OH ⊥，即可证得结论； （2）建立空间坐标系，求出平面'ABD 的法向量，找出平面'BOD 的法向量，即可求出结果. 【详解】（I ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =， 又由AE CF =得 AE CF AD CD =，故//AC EF . 因此EF HD ⊥，从而'EF D H ⊥ 由5AB =,8, 4AC AO ==， 得223DO BO AB AO ==-=. 由//EF AC 得 1 3 OH AE DO AD ==. 所以1OH =，'2D H DH ==. 于是22222'215'D H OH D O +=+==，故'D H OH ⊥. 又'D H EF ⊥，而OH EF H =I ， 所以'D H ⊥平面ABCD . （II ）如图，以H 为坐标原点，HF u u u r 的方向为x 轴的正方向， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()4,1,0A --， ()0,4,0B -，()4,1,0C -，()'0,0,2D ， (4,3,0)BA =-u u u r ，()'0,4,2BD =u u u u r . 设()111,,m x y z =u r 是平面'ABD 的法向量， 则0'0m BA m BD ??=??=? u u u v v u u u u v v ，即1111430420x y y z -+=??+=?， 所以可以取()3,4,8m =-u r 因菱形ABCD 中有BO OC ⊥， 又由（1）知',D H OC ⊥'OC BD O ∴⊥平面 所以()4,0,0n OC ==r u u u r 是平面'BOD 的法向量， 设二面角'A BD O --为θ，由于θ为锐角， 于是cos θ=389 cos ,||||894 m n m n m n ?<>===?u r r u r r u r r . 因此二面角'A BD O --389. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查用空间向量法求空间角，考查推理、计算能力，是中档题. 20.ABC ?的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .已知sin sin()2 A C a b B C +=+. (1) 求B ； (2) 若ABC ?为锐角三角形，且2c =，求ABC ?面积的取值范围。 【答案】（1）B =60°；（2）323?. 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理，已知条件等式化为角的关系，结合诱导公式和二倍角公式，即可求出结果； （2）根据面积公式和已知条件面积用a 表示，再用正弦定理,结合不等式性质，即可求出a 的 范围. 【详解】解：（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin()2 A C A B B C +=+． 又因为ABC ?中180A B C ?++=可得sin cos 22 A C B +=， sin()sin B C A +=,所以sin cos sin sin 2 B A B A =， 因为ABC ?中sin A ≠0，故cos 2sin cos 222 B B B =． 因为cos 02B ≠，故1 sin 22 B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△AB C 的面积13 sin 2ABC S ac B ==△． 由正弦定理得sin sin c A a C = ． ()2sin 1203 1.sin tan C C C ?-= =