经典力学与量子力学中的一维谐振子

经典力学与量子力学中的一维谐振子

物理与电子信息工程学院物理学

[摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。

[关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布

1 前言

所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。

一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。

本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。

2 经典力学中的一维谐振子

在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规律，反映质点特征的是运动方程和能量。因此我们可以从运动方程和能量这两方面出发讨论一维谐振子的运动特征。

一个劲度系数为k 的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m 的物体，就构成一个弹簧振子[1]，如图2.1。当弹簧处于自然长度时，物体处于平衡位置，取作坐标原点，以O 表示。沿弹簧长度方向（取作x 轴方向）拉动物体然后释放，则物体将在O 点两侧作往复运动。

图2.1 弹簧振子

2.1 一维谐振子的运动方程

图2.1中的物体可视为一个质点。设x 代表质点相对于平衡位置的位移，则质点所受的力kx F -=，其中k 为劲度系数。负号表示F 与位移方向相反，因而总是指向平衡位置。由牛顿第二定律，谐振子的运动微分方程为：

kx x

m -= 即 02=+x x ω （2.1.1）

这是一个二阶的常系数线性微分方程。令

m

k =ω （2.1.2） ω即简谐运动的角频率，由振动系统本身的性质嗦决定。将（2.1.2）式代入（2.1.1）式，则可求出（2.1.1）式的通解：

iwt iwt Ne Me t x -+=)( （2.1.3）

)sin(?ω+=t A

这就是谐振子的运动方程[2]。其中M 和N 是任意常数，由质点的初位置和初速度确定。A 是振幅，?是初相位。（2.1.3）式表明质点应作简谐振动[2]。

2.2 一维谐振子的能量

在谐振子问题中，振子的总能量可以反映出振子的运动特征。因此我们可以从谐振子的动能和势能出发，求解谐振子的总能量，进而帮助我们分析振子的运动特征。

由（2.1.3）式可知，振子的速度为：

)cos(?ωω+==t A dt

dx v 振子的动能为：

)(cos 2

1)(212122222?ωω+===t C m dt dx m mv E k 由（2.1.2）式，有： )(cos 2122?ω+=

t kA E k （2.2.1） 由（2.2.1）式可知，振子的动能变化频率为ω2。

振子的势能（以平衡位置的势能为零）为：

202

1kx Fdx E x

p =

-=? 即为：

)(sin 2

121222?ω+==t kA kx E p （2.2.2） 由（2.2.2）式可知，振子的势能变化频率也为ω2。

因此，由（2.2.1）式和（2.2.3）式可得，振子的总能量为：

22

1kA E E E p k =+= （2.2.3） 由（2.2.3）式可知：谐振子的总能量不随时间改变，即其机械能守恒[3]。（2.2.3）式还说明：对于一定的振子（m 和k 给定，因而ω给定），总能量与振幅的平方成正比[3]。振幅不仅给出了简谐运动的运动范围，而且还反映了振动系统总能量的大小，或者说反映了振动的强度。

3 量子力学中的一维谐振子

在量子力学中，粒子状态用波函数表示，为了描述微观粒子状态随时间变化的规律，就需要找出波函数所满足的运动方程，即薛定谔方程。因此下面将从谐

振子的哈密顿算符出发，求解振子的定态薛定谔方程，进而分析量子力学中一维谐振子的运动特征。

3.1 用运动方程求解的一维谐振子

我们可以从谐振子的势能函数出发，写出谐振子的哈密顿算符及薛定谔方程，并求谐振子的能量和定态波函数的解，进而讨论能量分布特点。

取谐振子的平衡位置0r 为坐标原点，并选原点为势能的零点，则有

0)(0=r E p 。仅考虑一维情况。由于k

z j y i x r ???+-= 在x 轴方向分振动的谐振子在x 处的势能可以表示为：

221)(kx x E p = （3.1.1） 势能曲线是一条定点在原点的抛物线，如图3.1所示：

图3.1 一维谐振子的势能

一维谐振子的经典哈密顿函数为：

222

12kx m p H += 设振子的原子质量为μ，则振子的频率为：

m

k =

ω 振子的哈密顿算符可以写为： 22222?2

12x m dx d m H ω+-= 相应的定态薛定谔方程)(ψψE H = 为：

)()()2

12(22222x E x x m dx d m ψψω=+- （3.1.1） 这是一个二阶线性微分方程。

如果振子的运动不受限制，x 的变化范围为+∞<<∞-x 。当∞→x 时，（3.1.1）式的解一般为无穷大，表示振子在无穷远处的几率为无穷大。这不符合物理要求。但若振子的能量E 取下列特殊值[4]：

ω )2

1(+=n E )2,1,0( =n （3.1.2） 其中 为普朗克常数，ω为经典力学中谐振子的频率。则对每一个n 值，方程（3.1.1）都有一个在全区间+∞<<∞-x 中有界的解。而且当∞→x 时，这个解趋于零。这显然符合对谐振子问题的物理要求。

与（3.1.2）式的能量值相应的关于定态波函数的解为： )()

(2x H Ae x n x αψα-= （3.1.3） 其中0>=

h

km α，)(ξn H 是E 的一个n 次多项式，称为厄米多项式[4]。其前四项为：

1)(0=ξH ξξ2)(1=H

24)(22-=ξξH

ξξξ128)(33-=H 由于)(x H n α是x 的n 次多项式，且0>α。因此，当∞→x 时，（3.1.3）式趋于零。由（3.1.2）式知，在量子力学中谐振子的能量是分立的，与振幅无关，只依赖于振子的固有特性---振子的本征频率ω。（3.1.2）式还表明[5]，频率为ω的振子其能量的改变只能是能量单元ω 的整数倍。这一点同普朗克的能量子假设是一致的。但量子力学中振子的最低能级（基态能量）不再是零而是ω 2

1，称为零点能[5]。它充分体现了粒子具有波粒二象性。 3.2 坐标表象中的一维谐振子

粒子系统的状态用以空间坐标为自变量，以时间为参量的波函数),(t r 来描述，这种表示形式称为坐标表象[6]。下面从谐振子的哈密顿算符出发，求解谐振子的能量本征值和定态波函数，并对谐振子在量子力学与经典力学中的几率密度进行比较，给出量子谐振子向经典谐振子过渡的条件。

一维谐振子的哈密顿算符为：

222222

12x m dx d m H ω+-= 坐标表象中，振子的定态薛定谔方程为：

)()()2

12(22222x E x x m dx d m ψψω=+- 引入没有量纲的变量ξ代替x ，它们的关系是

x x m αωξ≡≡ ω

αm =

ωλ E 2=

（3.2.1） 以ω

2乘以式（3.1.1），利用式（3.1.2）和式（3.1.3），薛定谔方程可改写为 0)(222

=-+ψξλψξ

d d （3.2.2） 这是一个变系数的二阶常微分方程。当ξ很大时，λ与2ξ相比可以略去，因而在±∞→ξ时，（3.2.2）式可以写为：

ψξξ

ψ222=d d 它的解是ψ～22

ξ±e 。因为波函数的标准条件要求当±∞→ξ时，ψ应为有限，所

以对波函数只取指数上的负号：ψ～22

ξ-e 。

根据上面的讨论，我们把ψ写成如下形式来求（3.2.2）式的解：

)()(22

ξξψξH e -= （3.2.3）

（3.2.3）式代入（3.2.2）式可得)(ψH 满足方程：

0)1(222=-+-H d dH d H d λξξξ

（3.2.3） 用级数解法，把H 展开成ξ的幂级数，来求着方程的解。这个级数必须只含有限项，才能在±∞→ξ时使)(ξψ为有限；而级数只含有限项的条件是λ为奇数：

12+=n λ， 2,1,0=n

代入（3.2.1）式即可得谐振子的能级为：

)2

1(+=n E n ω ， 2,1,0=n （3.2.4） 可见,谐振子的能量只能取分立值，两相邻能级间隔均为ω ，即：

ω =-+n n E E 1

在坐标表象中可以明显看出：是描述粒子波动性的波函数)(x ψ受到势能场的约束使能谱分立。

与（3.2.4）式定态能量对应的定态波函数：

)()(222x H e

N x n x n n αψα-= 式中2

121

)!2(n N n n πα=是归一化常数，它由归一化条件1)()(*=?∞

∞-dx x x n n ψψ确定。 图3.2中画出了3,2,1,0=n 的几率密度2

n ψ（图中实线），图中虚线是经典谐振子的平均位置密度。从图3.2可见，经典谐振子不能进入A x >的区域。而量子谐振子能进入这种区域，但进入以后指数衰减。可见，量子振子和经典振子完全不同，但当n 增大时，n E E ?减小，量子振子向经典振子过渡。

图3.2 一维谐振子的位置几率密度分布 3.3 粒子数表象中的谐振子

以粒子数算符的本征矢|n 〉为基矢的表象称为占有数表象[7]，又叫粒子数表象。我们可以通过引入升降算符求解谐振子，求出谐振子的能量本征值以及坐标

算符x

?和动量算符p ?的矩阵元。 一维谐振子的经典哈密顿函数为：

222

12kx p H +=μ （3.3.1） 在量子力学里，谐振子的哈密顿算符具有同一形式：

222?2

1?21x p H μωμ+-= （3.3.2） 将经典泊松括号换成量子泊松括号：

[]1?,?-=PB p x → []1?,?-=p x i

由x

?与p ?的对易关系： [] i x p p x p x =-=?????,? （3.3.3）

定义两个非厄米算符a

?和+a ?： )?1?(2?x p

i x

a μωμω

+=

)?1

?(2?x p

i x a μωμω

-=+ （3.3.4） 这两个非厄米算符满足如下基本对易关系：

][1?,?=+

a a （3.3.5） 则（3.3.4）式的逆变换关系为： )??(2?a a x +=+μω

（3.3.6） )??(2?a a

p -=+μω 利用（3.3.6）式，代入（3.3.2）式，并考虑对易关系（3.3.5），哈密顿算符又可表示为：

)2

1??(?+=+a a H ω （3.3.7） 由于H

?与算符a a ??+仅仅相差一个常数矩阵，所以只需求解a a ??+得本征值问题。设它的属于本征值为λ的本征刃为λ，即： λλλ=+a a ?? （3.3.8） 由于2?()?()?(??λλλλλa a a a a ==++是一个右矢的模的平方，是非负数，

因此可得到如下结论：

0≥λ （3.3.9）

即a a

??+得本征值为非负数。利用对易关系（3.3.6）可得: λλλλ++++++=+=a a a a a a a

?)1()1??(??)??( (3.3.10) （3.3.10）式表明：若λ是的一个本征刃，相应的本征值λ，则也使它的

一个本征刃，相应的本征值为1+λ。类似的将算符a a ??+作用于本征刃λa ，有：

λλλa a a a

?)1()??(+=+ 如果λ是a a

??+的一个本征刃，则+a ?和a ?对这个本征刃作用后得到的新的右矢)??(λλa a

+仍然是a a ??+的本征刃，但其本征值增加或减小1。重复的使用这种

作用，可以从某一给定的本征刃出发，得到具有不同本征值的所有本征刃。这种方法即为“阶梯法” [8] 。所得到的本征值谱显然是等间距的，间隔为1。

设本征值谱下限为0λ，相应的本征刃为0λ，即：

000??λλλ=+a a

λ>0λ>0 （3.3.11）

由于0λ是a a

??+的属于最小本征值的本征刃，所以满足如下条件： 0?0=λa

（3.3.12） 根据这个条件，由(3.3.11)式可得00=λ，这是唯一可能小于1的本征值。零本征值的态可记为0，称为基态。

条件（3.3.12）可记为：

00?=a

由于a a

??+得本征值和可记为： n =λ ),2,1,0( =n

0)?(n n a

A n += （3.3.13） 其中n A 是归一化系数。

由（3.3.7）式、（3.3.8）式和（3.3.13）式可知：

n n n H )2

1(?+=ω 即谐振子能量本征值为：

ω )2

1(+=n E )2,1,0( =n （3.3.14） 这就是谐振子的能谱。它表明[4]：

（1） 谐振子的能级是等间距的，相邻能级之间相差ω ；

（2） 谐振子的基态能量，即零点振动能量是ω 2

1。 零点能的存在是波粒二象性的体现。也可以说是测不准关系的后果。由（3.3.14）式可知，如果以基态能量作为计算能量的起点，则谐振子的定态能量是ω 的整数倍。如果谐振子和外界交换能量，它只能由一个定态跃迁到另一个定态。因而所交换的能量只能是ω 的整数倍。由前可知，交换能量时有最小单

元ω 存在。可以理解为是存在一种基元粒子，它的能量是：

ω =E

于是当谐振子处于第n 个激发态时，能量为ω n E E n =-0，可认为存在n 个这样的元粒子，占据在ω =E 的能级上。因此，n 被称为占有数或粒子数[7]。

由（3.3.10）式的结果可知，+a

?与n 描写了同一个态，因此有： 1?+=+n c n a

n （3.3.15） 其中n c 是常数，为了确定n c ，对（3.3.15）式取模的平方，有：

n a a

n n a c n ++==??22 1)1?(+=+=+n n a a

n 于是可得：n i n e n c δ1+=。若取0=n δ，则（3.3.15）式化为：

11?++=+n n n a

（3.3.16） 1?-=n n n a

（3.3.17） 因此一维谐振子哈密顿量的归一化的本征刃可表示为：

0)?(!1

n a

n n += 由（3.3.16）式和（3.3.17）式，可以立即得到算符a

?和+a ?在能量表象中的矩阵元：

1,1??+'++'+='=n n n n n n a

n a δ （3.3.18） 1,1??-'+'+='=n n n n n n a n a

δ （3.3.19） 利用算符a ?，+a ?和x ?，p ?之间的变换关系（3.3.6），以及上述（3.3.18）式和

（3.3.19）式，可以得到坐标算符x

?和动量算符p ?在表象中的矩阵元： )1(2?1,1,-'+''++='=n n n n n n n n n x n x δδμω

)1(2?1,1,-'+''++='=n n n n n n n n i n p n p δδμω

即：

????????????????= 0300

3020020100

0102μωx ??

???

??????????

?---= 030030200201000102μ?i p 可见，算符x

?、p ?在粒子数表象中是对角矩阵，且算符p ?中的对角元素即为能量本征值。

4 经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系

经典谐振子与量子谐振子有着本质上的差别,但它们之间的差别并不是不可逾越的,接下来我们从能级、波函数等方面逐一讨论与比较。

4.1经典谐振子和量子谐振子的区别

4.1.1能量取值特点

由经典谐振子的动能和势能: )(sin 2

1)(212122222?ωω+===t C m dt dx m mv E k （4.1.1） )(cos 2

121222?ω+==t kA kx E p （4.1.2） 可知，经典谐振子的能量取值是连续的。

由量子谐振子的能量：

)2

1(+=n E n ω （4.1.3） 可知:量子谐振子的能量取值是分立的，即量子化的，且能级是等间距的，间距为ω 。能量取分立值是微观粒子具有波粒二象性这一量子特征的重要体现。

由于能级间隔是等间距的，能级间的跃迁只发生在相临能级之间，即跃迁只