微积分公式与运算法则
创作编号：BG7531400019813488897SX
创作者：别如克*
微积分公式与运算法则
1.基本公式
（1）导数公式 (2) 微分公式
(xμ)ˊ= μxμ-1 d(xμ)= μxμ-1 dx
(a x)ˊ= a x lna d(a x)= a x lna dx
(loga x)ˊ= 1/(xlna) d(loga x)= 1/(xlna) dx
(sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx (con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx (tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec2 x dx (cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc2 x dx (sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x·tan x dx
(csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc x)= -csc x·cot x dx
(arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin x)= 1/(1-x2)1/2
dx
(arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2 d(arccos x)= -1/(1-x2)1/2 dx
(arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x2) dx
(arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x2) dx
(sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx
2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）
（1）函数的线性组合积、商的求导法则
（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ
（μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2
（2）函数和差积商的微分法则
d（αμ+βυ）= αdμ+βdυ
d（μυ）=υdμ+μdυ
d（μ/υ）= (υdμ-μdυ)/υ2
3.复合函数的微分法则
设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为
dy/dx = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x)
所以复合函数的微分为
dy = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x) dx
由于fˊ[ψ(x)]= fˊ(μ)，ψˊ(x) dx = dμ，因此上式也可写成
dy = fˊ(μ) dμ
由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式
dy = fˊ(μ) dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
创作编号：BG7531400019813488897SX
创作者：别如克*
微积分公式与运算法则
微积分公式与运算法则 1、基本公式 (1)导数公式 (2) 微分公式 (xμ)ˊ＝μxμ-1d(xμ)= μxμ－1 dｘ (ａx)ˊ= aｘlna d(a x)= a x lnａｄｘ (ｌogaｘ)ˊ＝1/(ｘlnａ) d(ｌｏga x)= 1／(xlna) dx (ｓin ｘ)ˊ= cos x d(sin x)= cos ｘｄx (con x)ˊ＝-ｓｉｎ x d(ｃon x)= －sin ｘｄｘ (tan x)ˊ＝ｓec2 x d(tan x)= sec2 x dx (coｔｘ)ˊ= -csｃ2x d(ｃot x)= -csc2x dx (sｅc ｘ)ˊ= sｅc x·tａn x d(seｃｘ)= sec x·tan x dｘ (ｃsc x)ˊ= -csc x·cot x ｄ(ｃsc x)= -ｃsc x·cot x dx (ａrｃsin x)ˊ= 1／(1－x2)1/2ｄ(arcsin ｘ)＝1
／(1－x２)１／2 dx (arccｏs x)ˊ＝ -1/(1-x2)1/２ d(arccoｓ x)= -１／(1－x2)1／２ dx (arctan ｘ)ˊ＝ 1/(1+x2) d(arcｔan ｘ)= 1／(1+x2) dｘ (ａrccot x)ˊ= -1/(1+x２) ｄ(aｒccot ｘ)＝-1/(1+x２) ｄx (ｓinh x)ˊ＝ cｏｓｈ x d(siｎh x)= ｃｏsh x dx (ｃosh x)ˊ= ｓinh x d(cosh x)= sinh x ｄｘ 2、运算法则(μ=μ(x),υ=υ(x),α、β∈R) （1）函数的线性组合积、商的求导法则 (αμ+βυ)ˊ=αμˊ+βυˊ (μυ)ˊ=μˊυ＋μυˊ (μ/υ)ˊ＝(μˊυ－μυˊ)/υ2 （2）函数与差积商的微分法则 ｄ(αμ＋βυ)= αdμ+βdυ ｄ(μυ)=υdμ+μdυ d(μ/υ)= (υdμ-μｄυ)/υ2
极限四则运算法则
极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。 证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<- 第4章微积分的基本运算 本章学习的主要目的： 1．复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识. 2．通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解. 3．学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算； 4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算. 1 有关函数极限计算的MatLab命令 (1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限 (2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限 (3)limit(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限 52 53 (4)limit(F,x,a,’left’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的左极限 (5)limit(F,x,a,’right’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的右极限 注:使用命令limit 前,要用syms 做相应符号变量说明. 例7 求下列极限 (1)42 20 x cos lim x e x x -→- 在MatLab 的命令窗口输入: syms x limit((cos(x)-exp(-x^2/2))/x^4,x,0) 运行结果为 ans =-1/12 理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限: 方法1 =-+-=---=-- - →- →-→2 2 222 20 x 3 22 x 4 2 20 x 12cos lim 4) (sin lim cos lim x x e e x x x e x x e x x x x x 12112112)2(2 lim 1211cos lim 222 220x 2 2 22220 x -=--+=--++-- →- - →x x x e x x x x x e e x 方法2 4 42 224420x 4 2 20 x ))(2) 2()2(1()(!421lim cos lim x x o x x x o x x x e x x +-+---++-=-→- → 微积分公式与运算法则 1.基本公式 （1）导数公式 (2) 微分公式 (xμ)ˊ= μxμ-1 d(xμ)= μxμ-1 dx (a x)ˊ= a x lna d(a x)= a x lna dx (loga x)ˊ= 1/(xlna) d(loga x)= 1/(xlna) dx (sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx (con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx (tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec2 x dx (cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc2 x dx (sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x·tan x dx (csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc x)= -csc x·cot x dx (arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin x)= 1/(1-x2)1/2 dx (arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2 d(arccos x)= -1/(1-x2)1/2 dx (arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x2) dx (arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x2) dx (sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx 2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R） （1）函数的线性组合积、商的求导法则 （αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2 高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '=⑵1x x μμμ-=⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-⑸()2tan sec x x '=⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=?⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '=⑽()ln x x a a a '=⑾()1ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '=⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= +⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±????（2）()() () ()n n cu x cu x =???? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()() n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n n x n =（2）()()n ax b n ax b e a e ++=?(3)()() ln n x x n a a a = (4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ?????(5)()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ? +?? +(7)()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-????+ 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c =⑵()1d x x dx μμμ-=⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2tan sec d x xdx =⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =?⑻()csc csc cot d x x xdx =-? §3-6 常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-= ++? 特别， 2 1 1d x c x x =- +?, 3 223 x x c = +? , x c =? ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷d ln x x a a x c a = +?, 特别， e d e x x x c =+? ⑸sin d cos x x x c =-+? ⑹cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼arcsin (0)x x c a a =+>?,特别，arcsin x x c =+? ⑽2 2 1 1d arctan (0)x x c a a a a x = +>+?,特别， 21 d arctan 1x x c x =++? ⑾2 2 1 1d ln (0)2a x x c a a a x a x += +>--? 或 2 2 1 1d ln (0)2x a x c a a x a x a -= +>+-? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀cot d ln sin x x x c =+? ⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+? = =?+?? ? ? ⒂πln sec tan 1 sec d d ln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =?? ?++ ?????? ? 1．设函数0 cos x y tdt = ?，求'(0)y ，'()4 y π。 【解】由题设得'()cos y x x =， 于是得 '(0)cos01y ==，'()cos 4 4 2 y ππ == 。 2．计算下列各导数： ⑴20x d dx ?； 【解】20x d dx ?2)x =2= ⑵ 1t d dt dx ； 【解】1t d dt dx 1 ()t d dt dx =-=-=。 ⑶ cos 2 sin cos()x x d t dt dx π?； 【解】cos 2sin cos()x x d t dt dx π?0cos 2 2sin 0[cos()cos()]x x d t dt t dt dx ππ=+?? 》 0cos 22 sin 0cos()cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ= +?? sin cos 2200 [cos()]cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ=-+?? 22cos(sin )(sin )cos(cos )(cos )d d x x x x dx dx ππ=-+ 22cos(sin )cos cos[(1sin )](sin )x x x x ππ=-+-- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x πππ=--- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x ππ=-+ 2cos(sin )(sin cos )x x x π=-。 ⑷2ln 1 x x d dt dx t ?。 【解】 2ln 1x x d dt dx t ?21ln 11 1[]x x d dt dt dx t t =+?? 21ln 111x x d d dt dt dx t dx t =+?? … 微积分公式与运算法则文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968） 微积分公式与运算法则 1.基本公式 （1）导数公式(2)微分公式 (xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx (a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx (loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx (sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx (conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx (tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx (cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx (secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx (cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx (arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx (arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx (arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx (arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx (sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx (coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx 2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R） （1）函数的线性组合积、商的求导法则 （αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ （μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2 （2）函数和差积商的微分法则 d（αμ+βυ）=αdμ+βdυ d（μυ）=υdμ+μdυ d（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ2 3.复合函数的微分法则 设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为 dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x) 所以复合函数的微分为 dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx 由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ 由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。 极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理 1：若lim f (x) A,lim g (x) B ，则 lim[ f ( x) g (x)] 存在，且 lim[ f ( x) g ( x)] A B lim f (x) lim g( x) 。 证明：只证 lim[ f ( x) g ( x)] A B ，过程为 x x0，对0, 1 0 ，当 0 x x0 1时，有 f (x) A ，对此， 2 0 ，当0 x x0 2 2 时，有 g ( x) B ，取min{ 1 , 2 } ，当0 x x0 时，有 2 ( f ( x) g( x)) ( A B) ( f (x) A) ( g( x) B) f ( x) A g( x) B 2 2 所以 lim ( f ( x) g( x)) A B 。 x x0 其它情况类似可证。 注：本定理可推广到有限个函数的情形。 定理 2：若lim f (x)A,lim g(x) B ，则 lim f ( x) g( x) 存在，且 lim f (x) g( x) AB lim f ( x) lim g( x) 。 证明：因为 lim f ( x) A, lim g( x) B ， f ( x) A, g (x) B, （,均为无穷小） f ( x) g(x) ( A)( B) AB ( A B) ，记 A B，为无穷小，lim f ( x) g(x) A B 。 推论 1：lim[ cf ( x)]clim f ( x) （ c 为常数）。 推论 2：lim[ f ( x)]n[lim f ( x)] n（ n 为正整数）。 定理 3：设lim f ( x) A, lim g( x) B 0 ，则 lim f ( x) A lim f ( x) 。 g( x) B lim g (x) 证明：设 f ( x) A, g(x) B（,为无穷小），考虑差： 创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 微积分公式与运算法则 1.基本公式 （1）导数公式 (2) 微分公式 (xμ)ˊ= μxμ-1 d(xμ)= μxμ-1 dx (a x)ˊ= a x lna d(a x)= a x lna dx (loga x)ˊ= 1/(xlna) d(loga x)= 1/(xlna) dx (sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx (con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx (tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec2 x dx (cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc2 x dx (sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x·tan x dx (csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc x)= -csc x·cot x dx (arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin x)= 1/(1-x2)1/2 dx (arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2 d(arccos x)= -1/(1-x2)1/2 dx (arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x2) dx (arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x2) dx (sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx 2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R） （1）函数的线性组合积、商的求导法则 （αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ （μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2 （2）函数和差积商的微分法则 d（αμ+βυ）= αdμ+βdυ d（μυ）=υdμ+μdυ d（μ/υ）= (υdμ-μdυ)/υ2 微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式） 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? （2）()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? （4） ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1） ()() ! n n x n = （2） ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 微积分公式 tan -1 x = x-33x +55x -7 7 x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1 求极限运算 命令形式1:Limit(f) 功能:计算()x f lim 0 x → , 其中f 是符号函数。 命令形式2: Limit(f,x,a) 功能:计算()x f lim a x →，其中f 是符号函数。 命令形式3: Limit(f,x,inf) 功能:计算()x f lim x ∞ →，其中f 是符号函数。 命令形式4: Limit(f,x,a,’right ’) 功能:计算()x f lim a x +→，其中f 是符号函数。 命令形式5: Limit(f,x,a,’left ’) 功能:计算()x f lim -a x →，其中f 是符号函数。 注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Matlab 的默认状态为求右极限。 例4：求极限() )11 ln 1( lim 2 21 --+→x x x x 解：Matlab 命令为: syms x ↙ y=(1/(x*(log(x))^2))-1/(x-1)^2; limit(y,x,1,'right')↙ ans = 1/12 此极限的计算较难，用Matlab 很容易得结果。 例6：求极限3 1 0)sin 1tan 1( lim x x x x ++→ 解：Matlab 命令为: syms x ↙ y=(1+tan(x))/(1+sin(x))^(1/x^3);↙ limit(y)↙ ans = 0 导数与微分 6.2.1 一元函数的导数与微分 导数是函数增量与自变量增量之比的极限，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0 ' .在 Matlab 中求函数的导数及其他一些类似运算均由diff 命令来完成. 用差分法求导数的数值解 用差分法求导数比较粗略，误差较大，尽量少采用差份法取计算数值微分，具体指令为： 第七章 微积分的数值计算方法 7.1 微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念 1. 微分计算问题 求函数的导数(微分)，原则上没有问题。当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。 2．定积分计算问题 计算函数f 在],[b a 上的定积分 dx x f I b a ?= )( 当被积函数f 的原函数能用有限形式)(x F 给出时，可用积分基本公式来计算： )()()(a F b F dx x f I b a -==? 然而，问题在于：① f 的原函数或者很难找到，或者根本不存在；②f 可能给出一个函数表；③仅仅知道f 是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。这就迫使人们不得不寻求定积分的近似计算，也称数值积分。 3．数值积分的基本形式 数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式 ∑?=≈n k k k b a x f A dx x f 0 )()( (7.1.1) 或记成 ∑?=+=n k n k k b a f R x f A dx x f 0 ][)()( (7.1.2) ∑==n k k k x f A I 0 * )( 和 ][f R n 分别成为],[b a 上的f 的数值求积公式及其 余项(截断误差)，k x 和k A ),,1,0(n k =分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。 这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点k x 及系数 k A ),,1,0(n k =，估计余项][f R n 以及讨论* I 的算法设计及其数值稳定 性。 4．插值型求积公式 如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数f 的Lagrange 插值多项式 )(x L n 近似代替f ，也即对],[b a 上指定的1+n 个节点 学号 1330101009 毕业论文 对概率积分解法的研究和讨论 院（系）名称：书信学院 专业名称：数学教育 学生姓名：李建鹏 指导教师：杜争光 二○一五年 摘要：文章给出了计算概率积分 2 x e dx ∞- -∞ ?的几种简便的计算方法；对以 后概率积分的研究和应用具有较好的帮助。 关键词：格林公式；奥高公式；重积分；含参变量 概率积分 2 x e dx ∞- -∞ ?是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经 常用到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。 目录 方法一：二重积分法 (1) 方法二：三重积分法 (1) 方法三：线积分法 (2) 方法四:面积分法 (3) 方法五:含参变量的无穷积分法 (4) 方法六：二重积分证明法 (6) 参考文献： (8) 致谢: (9) 对概率积分2 x e dx ∞ --∞ ? 解法的研究和讨论 概率积分 2 x e dx ∞ --∞ ? 是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经常用 到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。 方法一：二重积分法 现有连续函数 22() (,)x y f x y e -+=在正方形区域:(;)D a x a a y a -≤≤-≤≤； 圆域2 2 2 1:()R x y a +≤；圆域：2 222 :(2)R x y a +≤上的二重积分分别为12,,I I I ， 即： 22 22 2 () () 2 ()a a a x y x y x a a a D I e d x d y d x e d y e d x -+-+----===????? 22 22 1 2() 10 .(1) a x y r a R I e d x d y d r e d r e πθπ-+--===-???? 2222 2 22() 220 .(1) a x y r a R I e dxdy d r e dr e πθπ-+--===-???? （用极坐标） 同时又因：1 2I I I ≤≤,故有 12 lim lim lim a a a I I I →∞ →∞ →∞ ≤≤，即有2 2 lim()a t a a e dt π--→∞ =? ，从而 2 x e dx π ∞ --∞ =? [] 4 方法二：三重积分法 首先我们把旋转体的体积概念推广到积分限无穷的情况。再设XOZ 平面上的曲线2 x Z e -=绕Z 轴旋转一周得到的曲面22() x y Z e -+=与平面XOY 围成 的体V 。显然，一方面，该体的体积 22() 2 2 () x y e x v V dxdydz dx dy dz e dx -+∞ ∞ ∞ --∞ -∞ -∞ ===?????? ? 另一方面，根据旋转体的体积公式有： 微积分的基本运算 第4章微积分的基本运算 本章学习的主要目的： 1．复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识. 2．通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解. 3．学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算； 4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算. 1 有关函数极限计算的MatLab命令 (1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限 (2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限 (3)limit(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢87 (4)limit(F,x,a,’left’) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的左极限 (5)limit(F,x,a,’right’) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的右极限 注:使用命令limit前,要用syms做相应符号变量说明. 例7 求下列极限 (1)?Skip Record If...? 在MatLab的命令窗口输入: syms x limit((cos(x)-exp(-x^2/2))/x^4,x,0) 运行结果为 ans =-1/12 理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限: 方法1 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 方法2 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? (2) ?Skip Record If...? %自变量趋于无穷大,带参数t 在MatLab的命令窗口输入: 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢87 A thesis submitted to in partial fulfillment of the requirement for the degree of Master of Engineering 有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? L L （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 定义（定积分） 设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积 f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111 ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间[a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑? =→=n i i i d b a x x f x x f 1 Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ，b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。 上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定： （1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ； （2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。 定理1（可积的必要条件） 如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。 定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。 引理（微分中值定理） 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 练习十 符号计算基础与符号微积分 1.已知x=6，y=5，利用符号表达式求y x x z -++=31 。 提示：定义符号常数)'5(')'6('sym y sym x ==，。 x=sym('6'); y=sym('5'); z=(x+1)/(sqrt(3+x)-sqrt(y)) 2.分解因式。 (1)44y x - (2)5135 （1） syms x y ; factor(x^4-y^4) （2）factor(sym('5135')) 3.化简表达式。 (1)2121sin cos cos sin ββββ- (2)1 23842+++x x x （1） syms beta1 beta2 z=sin(beta1)*cos(beta2)-cos(beta1)*sin(beta2); simplify(z) （2） x=sym('x'); z=(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1); simplify(z) 4.已知 ??????????=??????????=??????????=i h g f e d c b a A P P ，，10101000110000101021 完成下列运算： (1)B=A P P ??21。 (2)B 的逆矩阵并验证结果。 (3)包括B 矩阵主对角线元素的下三角阵 。(4)B 的行列式值。 P1=[0,1,0;1,0,0;0,0,1]; P2=[1,0,0;0,1,0;1,0,1]; A=sym('[a,b,c;d,e,f;g,h,i]'); B=P1*P2*A %(1) inv(B)%(2) tril(B)%(3) det(B)%(4) 常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分. 分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解： （为任意常数） 例5 求不定积分. 分析：基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式： 解：微积分的基本运算
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