18、1勾股定理教案
18．1 勾股定理
教学内容与背景材料
本节课主要内容是学习勾股定理及其应用．（课本P72～P76）
课型：合作展示课.
教学目标（三维目标）
知识与技能
经历探索勾股定理的过程，理解其意义及内涵，掌握其应用方法，发展几何思维．过程与方法：
经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识．
情感态度与价值观：
以我国古代在勾股定理的研究方面所取得辉煌成就，激发学生的爱国热情，培养严谨的数学学习态度，体会勾股定理的应用价值．
重难点、关键
重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握定理的应用．
难点：理解勾股定理的推导过程．
关键：通过网格拼图的办法来探索勾股定理的证明过程，理解其内涵．
教学准备
教师准备：制作投影片，设计好拼图（用纸片制作）：“探究”1、2的教具．
学生准备：预习本节课内容．
学法解析
1．认知起点：直角三角形（含等腰直角三角形）．
2．知识线索：
3．学习方式：采用合作探究、展示交流的方式掌握本节课内容．
教学过程
一、采用组内互查、组长检查、教师抽查或教师提前收上来全部检查的方式检查学生预习生
成的情况，并据此确定本节课的教学目标。
二、明确目标任务（用多面体投影显示或教师口述或采用发纸条的方式）（1分钟）
1、教学目标
①探索勾股定理，理解勾股定理的意义及内涵．
②掌握勾股定理的应用方法，感受应用意识，体会应用价值．
③激发爱国热情，培养严谨的数学学习态度，
2、任务分配：
Ⅰ组：能通过网格拼图的办法探索出命题1.（P72-73）
Ⅱ组：能用我国赵爽的证法证明勾股定理，并分析其内涵．（P73-74）
Ⅲ组：能用毕达哥拉斯的证法证明勾股定理.（P80）
Ⅳ组：能用弦图的证法证明勾股定理.（P80）
Ⅴ组：能用美国第20任总统茄菲尔德的证法证明勾股定理.（P80）
Ⅵ组：能通过探究1掌握勾股定理的应用方法及在生活中的简单应用.（P74-75）
Ⅶ组：能通过探究2掌握勾股定理在多个三角形中的应用方法及用来解决复杂问题.（P75-76）
Ⅷ组：能通过探究3掌握利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.并会解决和等腰三角形、等边三角形的性质综合的问题.（P76-77）
三、分组合作探究（6分钟）
各小组把分配到的任务进行合作探究，把自学生成的重点、难点、疑点，通过说、谈、讲、演、辩达到组内统一，形成共识，人人过关.并把合作探究的结果写到黑板上（可一人或多人完成）.教师巡回指导或参与讨论.
四、按组展示提升（30分钟）
Ⅰ组：能通过网格拼图的办法探索出命题1.（P72-73）
问题1：相传2500年前，古希腊著名的哲学家、数学家、?天文学家毕达哥拉斯，他在一次朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中用了直角三角形三边的某种数量关系，请同学们一起来观察图中的地面，?你能发现什么呢？（图片见课本图P72）．
学生展示内容1：从中发现图片a?中含有许多大大小小的等腰直角三角形．
问题2：请同学们观察图18．1-2，设定每个小方格的
面积均为1，（1）?分别计算图中正方形A、B、C、A′、B′、
C′的面积；（2）观察其中的规律，你能得出什么结论？你
能发现课本图18．1-1中的等腰直角三角形有什么性质吗？
学生展示内容2：从网格图中不难发现下面的现象：图
18．1-1右边的三个正方形SⅠ=SⅡ，SⅢ=SⅠ+SⅡ，?即以等腰
直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于
以斜边为边长的正方形的面积．从图18-1-1，我们发现，
等腰直角三角形的三边之间具有一种特殊的关系：斜边的
平方等于两直角边的平方和．
问题3：上面研究了等腰直角三角形三边的性质，但是等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？
学生展示内容3：因为以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积，所以对于一般的直角三角形也有这样的性质．
学生总结性展示内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（命题1）
【预设问题】
学生有可能不易观察出图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积，教师可追问网格的边长和面积是多少？
【设计意图】通过历史情境引入，使学生感受到古代文明的成就．在大自然中，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的哲理，激发学生的求知欲．
Ⅱ组：能用我国赵爽的证法证明勾股定理.（P73-74）
学生展示内容：充分应用拼图（课本P74 图18．1-3），介绍我国的赵爽证法，解释并证明“命题1”.并讲解：经过证明被确认正确的命题叫做定理.命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理.
1．勾股定理：Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．
2．勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，?已知任意两边的长都可以求出第三边的长．
【预设问题】
1、学生有可能不易观察出图（1）中图形的面积，教师可追问是什么样的图形？边长和
面积是多少？
2、学生有可能不易观察出图（1）到图（2）的变化，教师可提前准备好图片模型演示给学生观察.
3、学生对勾股定理的内涵可能分析不到位，教师可追问勾股定理的条件是什么？结论是什么？有什么应用？
【设计意图】“赵爽证法”让学生形成拼图意识，感受我国科学家的伟大发明，再通过设计“阅读与填空”，拓展学生的知识面，达到加深理解勾股定理的目的．
Ⅲ组：能用毕达哥拉斯的证法证明勾股定理.（P80）问题：
学生展示内容：
左右两边正方形的边长均为（a ＋b ）相等，则两个正方形的面积均为（a ＋b ）2
相等. 左边：S= a 2+b 2 ＋4×12ab 右边：S= c 2＋4×12
ab 左边和右边面积相等，即a 2+b 2 ＋4×12ab = c 2＋4×12
ab 化简可证a 2+b 2=c 2. 【预设问题】
学生有可能想不到（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面积相等，教师可追问左右两边的正方形边长是多少？
Ⅳ组：能用弦图的证法证明勾股定理.（P80）
学生展示内容：c 2＋4×12
ab =（a ＋b ）2 即a 2+b 2=c 2 【预设问题】
学生有可能想不到：以斜边为边长的正方形的面积＋四个三角形的面积= 外正方形的面积.教师可让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明.
Ⅴ组：能用美国第20任总统茄菲尔德的证法证明勾股定理.（P80）
问题：根据如图所示，利用面积法证明勾股定理.
b
b b
a b E
A B
学生展示内容：
1 2ab＋
1
2
ab＋
1
2
c2=
1
2
（a＋b）（a＋b）即c2= a2+b2
【预设问题】
学生有可能想不到：三个三角形的面积=一个梯形的面积.教师可引导学生分析梯形的组
成，利用面积相等进行证明.
【设计意图】以上三个问题均利用面积相等进行证明，可发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行无字证明.
Ⅵ组：能通过探究1掌握勾股定理的应用方法及在生活中的简单应用.（P74-75）问题探究1：一个门框的尺寸如课本图形18．1-4所示，一块长3m，宽2.2m?的薄木板能否从门框内通过？为什么？
学生展示内容1：
从观察实验可知，木板横着进，竖着进，都无法从门框内通过，因此，尝试斜着通过，而对角线AC或BD是斜着能通过的最大长度．只要测出AC或BD，与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过．观察、讨论，得到必须应用勾股定理求出木框的斜边AC2=AB2+BC2=12+22=5，
AC=5≈2.236，然后以此为尺寸，来判断薄木板能通过木框，结论是可以！
【预设问题】
学生有可能想不到：斜着通过.教师可拿出教具：如图18．1-4的木框，几块木板，演示引导学生思考．
问题2：有一正方形ABCD池塘，边长为一丈（3丈=10米），有棵芦苇生在它的中央，高出水面部分有1尺（3尺=1米）长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，?向水深和芦苇长各是多少？
学生展示内容2：
解：设水深EF=x尺，芦苇EG=（x+1）尺，则EC=（x+1）尺，CF=5尺，得（x+1）2=x2+52，解得x=12尺，答：水深12尺，芦苇长为13尺．
【预设问题】
学生有可能想不到：通过构建Rt△EFG，再应用勾股定理解决问题。
Ⅶ组：能通过探究2掌握勾股定理在多个三角形中的应用方法及用来解决复杂问题.（P75-76）
问题探究2：如图18．1-5，一个3cm长的梯子，
AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，
如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也
外移0.5m吗？
学生展示内容1：
从BD=OD-OB可以看出，必需先求OB，OD，因此，
?可以通过勾股定理在Rt△AOB，Rt△COD中求出OB
和OD，最后将BD求出．
OB≈1.618
OD≈2.236
BD≈OD- OB≈2.236-1.618≈0.58
【预设问题】
学生有可能想不到：从中寻找出Rt△AOB，Rt△
COD，在两个直角三角形中分别应用勾股定理求得．教
师可制作投影仪或制作模型进行追问，引导学生观察、应用勾股定理解决问题.．学生展示内容2：
课本P76 “练习”1，2． 1．圆的直径至少71dm. 2．A、B两点的距离为57m.
【预设问题】
学生有可能想不到:怎样在实际问题中挖掘出直角三角形？从而应用勾股定理解决问题.教师可引导学生观察建模.
学生展示内容3：
（贵州省贵阳市中考题）如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．
（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由．
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用数据：?2≈1.4，3≈1.7）
解：（1）B处会影响，（2）3.8小时
【预设问题】
学生有可能想不到:本题要过B点作AC的垂线段，构造出直角三角形，从而应用勾股定理解决问题.教师可引导学生观察建模.
【设计意图】以两个探究为素材，帮助学生应用勾股定理，再通过设置的演练题来灵活学生的思维．
Ⅷ组：能通过探究3掌握利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.并会解决和等腰三角形、等边三角形的性质综合的问题.（P76-77）
问题探究3：大家知道，数轴上的点有些是表示有理数，有些表示无理数，?请你在数轴上画出表示13的点．
学生展示内容1：可以利用勾股定理在数轴上作出13的线段，做法如下：（1）?在数轴上找到一点A，使OA=5，（2）过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB=12，（3）
?连结OB，（4）以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为13的点．【预设问题】
在数轴上表示无理数的点，关键是画出无理数长的线段，要引导学生利用用勾股定理分析出：长为13的线段是直角边为正整数2，3的直角三角形的斜边.并可作以下拓展：见课本P85综合运用题4和拓广探索题6，进而引出勾股数．
学生展示内容2：
1、借助课本图18．1-7的数字，在数轴上画出表示√17的点，完成课本P77“练习”1．2．课本P77 “练习”2．（有关等边三角形的问题）〈1〉AD≈5.196 <2> S△ABC=15.593．3、（1994年天津市中考题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，?且BD=AD=10，∠ADC=60°，求△ABC面积．
解：△ABC面积为75
3
2
．
【设计意图】拓展勾股定理的应用知识，学会在数轴上作无理数的点．
五．穿插巩固帮促（3分钟）
各小组结合组别展示情况，对本组未能展现的学习任务进行巩固练习.对仍未掌握的学生广泛开展“兵教兵”，教师个别指导或同学帮促.
六．当堂达标测评（5分钟）
1．填空题
（1）等腰三角形中，一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的面积是_______．（?填：277）
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=b=2cmm，S△ABC=______（填：2cm）
2．选择题
（1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B，则BC：AC：AB=（A）．
A．1：1：2 B．1：1：2 C．1：1：1 D．以上结论都不对（2）等边三角形面积为8cm，它的边长（D）．
A．22cm B．42cm C．82cm D．以上结论都不对 3．如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC上的点F处，已知AB=8cm，BC=?10cm，求EC的长．（EC的长为3）
【预设问题】教师操作投影仪，组织学生测试，而后讲评，通过讲评，理解勾股定理的应用．【设计意图】通过学生当堂达标测评，加深对勾股定理应用的理解．检查学生掌握的情况，发现问题，解决问题．