一次函数一对一辅导讲义

教学目标1．通过复习进一步掌握如下概念：函数的概念；一次函数的概念；一次函数与正比例函数的关系；确定一次函数表达式。

2、经历函数、一次函数（正比例函数）概念的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。

重点、难点使学生进一步理解一次函数的概念，会熟练地运用待定系数法求一次函数的解析式。

考点及考试要求考点1：确定自变量的取值范围

考点2：函数图象

考点3：图象与坐标轴围成的面积问题

考点4：求一次函数的表达式，确定函数值

考点5：利用一次函数解决实际问题

教学内容

第一课时一次函数知识盘点

一、主要知识点：

一次函数的性质

1的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：（k≠0)（k为任意不为零的实数b取任何实数）

2.当0时，b为函数在y轴上的截距。

3为一次函数的斜率角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)

一次函数的图像及性质

1．作法与图形：通过如下３个步骤

（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点，

并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（，0）

正比例函数的图像总是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：

时

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当0时，直线必通过原点,经过一、三象限

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

时：

当k>0>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限。 当k>0<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限。 当k<0<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。 当k<0>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限。

特别地，当0时，直线通过原点O （0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k ＞0时，直线只通过一、三象限；当k ＜0时，直线只通过二、四象限。 4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K 值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K 值互为负倒数（即两个K 值的乘积为-1）

确定一次函数的表达式

已知点A （x1，y1）；B （x2，y2），请确定过点A 、B 的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为。

（2）因为在一次函数上的任意一点P （x ，y ），都满足等式。所以可以列出2个方程： y11……①和y22……②

（3）解这个二元一次方程，得到k ，b 的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。

一次函数在生活中的应用

1.当时间t 一定，距离s 是速度v 的一次函数。。

2.当水池抽水速度f 一定，水池中水量g 是抽水时间t 的一次函数。设水池中原有水量S 。

二、例题讲解

【类型一】利用一次函数的定义

例1. 当m 为何值时，函数)4m (x )2m (y 3

m

2

-+--=-是一次函数？

练习：①当m ＝时，5x 4x )3m (y 1m 2-++=+是一次函数。

②已知函数1k x x )2k (y -+++=，当时，它是一次函数；当＝时， 它是正比例函数.

【类型二】待定系数法确定一次函数的解析式

例2. 已知y 是关于x 的一次函数，且当x ＝3时，2，当x ＝-2时，5，求这个一次函数的解析式.

例3. 已知与(其中a 、b 是常数)成正比．

(1)试说明：y 是x 的一次函数；

(2)若3时，5；2时，2，求函数的表达式．

练习：①已知y 是关于x 的一次函数，且当x ＝-2时，3，当x ＝1时，3， 求这个一次函数的解析式.并求5时的函数值.

②若y 与(3)成正比例，且4时，1，则y 与x 的函数关系式是什么？

【类型三】应用一次函数解决实际问题

例4.某弹簧的自然长度为9厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x 每增加1千克、弹簧长度y 增加2厘米。

（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：

千0 1 2 3 4 5[厘

[来源]

（2）你能写出x 与y 之间的关系式吗？

第二课时 一次函数重要考点（1）

考点1：一次函数的概念.

相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为

)0(≠=k kx y ，叫正比例函数.

【例题】

1.下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）

A ．21

B ．

3

x C ．2x 2

D ．21 2.已知自变量为x 的函数2是正比例函数，则，?该函数的解析式为． 3.已知一次函数k x k y )1(-=+3,则k =.

4.函数n m x m y n +--=+12)2(，当，时为正比例函数；当，n 时为一次函数．

考点2：一次函数图象与系数

相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0b 直线与y 轴的交点在正半轴上，0

1. 直线－1的图像经过象限是( )

A.第一、二、三象限

B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限

D.第一、三、四象限 2. 一次函数61的图象不经过（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3. 一次函数

3 x + 2的图象不经过第象限.

4. 一次函数2y x =+的图象大致是（ ）

5. 关于x 的一次函数2+1的图像可能是（ ）

6.已知一次函数的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）. 2 1 C.0 D.2

7.若一次函数m x m y 23)12(-+-=的图像经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是． 8. 已知一次函数2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ）

＞0＜2 B. m ＞0＞2 C. m ＜0＜2 D. m ＜0＞2

9．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示，则2||n m m --可化简为.

10. 如果一次函数4的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是__。

考点3：一次函数的增减性

相关知识：一 次函数)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0

规律总结：从图象上看只要图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大，经过二、四象限，y 随x 的增大而减小. 【例题】

1.写出一个具体的y 随x 的增大而减小的一次函数解析式

2.一次函数23中，y 的值随x 值增大而.(填“增大”或“减小”)

3.已知关于x 的一次函数42(k ≠0).若其图象经过原点,则;若y 随x 的增大而减小,则k 的取值范围是.

4.若一次函数()22--=x m y 的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）

A. 0

B. 0>m

C. 2

D. 2>m

5. 已知点A （－5，a ），B (4，b)在直线32上，则ab 。（填“＞”、“＜”或“=”号）

6.当实数x 的取值使得有意义时，函数41中y 的取值范围是（ ）．

A ．y ≥－7

B ．y ≥9

C ．y ＞9

D ．y ≤9

7.已知一次函数的图象经过点（0,1），且满足y 随x 增大而增大，则该一次函数的解析式可以为（写出一个即可）.

考点4：函数图象经过点的含义

相关知识：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。

【例题】

1.已知直线y kx b

=+经过点(,3)

k和(1,)k，则k的值为（）.

A．3 B．3

± C．2 D．2

±

2. 坐标平面上，若点(3, b)在方程式9

2

3-

=x

y的图形上，则b值为何？

A．－1 B． 2 C．3 D． 9

3.一次函数2x－1的图象经过点（a，3），则．

4．在平面直角坐标系xOy中，点P(2，a)在正比例函数

1

2

y x

=的图象上，则点Q( 35

a a-

，)位于第

象限．

5.直线1一定经过点（）．

A．（1，0） B．（1，k） C．（0，k） D．（0，-1）

7. 如图所示的坐标平面上，有一条通过点(－3,－2)的直线L。若四点(－2 , a)、(0 , b)、(c , 0)、

(d ,－1)在L上，则下列数值的判断，何者正确？（）

A．a＝3 ＞－2 ＜－3 D ＝2

考点5：函数图象与方程（组）

相关知识：两个函数图象的交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解。

1.点A，B，C，D的坐标如图，求直线与直线的交点坐标．

2.如表1给出了直线l1上部分点（x，y）的坐标值，表2给出了直线l2上部分（x，y）的坐标值．那么直线l1和直线l2交点坐标为．

表1 表2

3.已知直线3与22的交点为（-5，-8），则方程组30

220x y x y --=??-+=?的解是。

4.如图，已知b ax y +=和kx y =的图象交于点P ，根据图象

可得关于X 、Y 的二元一次方程组???=-=+-00

y kx b y ax

的解是.

第三课时 一次函数重要考点（2）

考点6：图象的平移 【例题】

1. 在平面直角坐标系中，把直线向左平移一个单位长度后，其直线解析

式为（ ） A ．1 1 D. 2

2. 将直线2y x =向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为 （ ） A. 21y x =- B. 22y x =- C. 21y x =+ D. 22y x =+

3. 如图，把△放在直角坐标系内，其中∠90°，5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△沿x 轴向右平移，当点C 落在直线2x －6上时， 线段扫过的面积为（ ） A ．4

B ．8

C ．16

D ．82

A

B C

O

y

x

x

y B

A

O x

y

B A

O 考点7：函数图象与不等式（组）

相关知识：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x 、y 的值组成的（x 、y ），x 的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x 的值相对应的y 的值，因此，观察x 或y 的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x 的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。 【例题】

1. 如图所示，函数x y =1和3

4

312+=x y 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜－1 B ．—1＜x ＜2 C ．x ＞2

D ． x ＜－1或x ＞2

2. 点A （1x ，1y ）和点B （2x ，2y ）在同一直线y kx b =+上，且0k <．若12x x >，则1y ，2y 的关系是： （ ） A 、12y y > B 、12y y < C 、12y y = D 、无法确定．

3.已知一次函数3+=kx y 的图象如图所示，则不等式03<+kx 的解集是。

4.如图，一次函数()0y kx b k =+<的图象经过点Ａ．当3y <时，x 的取值范围是．

5.如图5，直线1l :1+=x y 与直线2l n mx y +=相交于点P )2,(a ，

则关于x 的不等式1+x ≥n mx +的解集为。

（图6）

x y B

A O

图5

6.如图6，直线y＝＋b经过A(－1，1)和B(－，0)两点，则不等式0＜＋b＜－x的解集为_ ．

考点8：一次函数解析式的确定

【例题】

1．已知与成正比例（m，n为常数）。

（1）试说明y是x的一次函数

（2）当3时，5,当2时，2，求y与x之间的函数关系式。

2.已知Y与X成正比例与X成正比例,当3时1;当2/3时4,则Y与X的函数关系式为?

3.如图，直线l过A、B两点，A（0，1-），B（1，0），则直线l的解析式为．

4. 已知一次函数的图像经过两点A(1,1)，B(21)，求这个函数的解析式．

考点9：与一次函数有关的几何探究问题(动点)

【例题】

1.如图6，在平面直角坐标系中，直线

4

:4

3

l y x

=-+分别交x轴、y轴于点A B

、，将AOB

△绕点O顺时针旋转90°后得到A OB

''

△.

（1）求直线A B''的解析式；

（2）若直线A B''与直线l相交于点C，求A BC

'

△的面积.

2.在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与轴分别交于点,则△为此函数的坐标三角形.

图6

C

A

y

x

O

l

A'

B'

（1）求函数y ＝43

-x ＋3的坐标三角形的三条边长；

（2）若函数y ＝43

-x ＋b （b 为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积.

3.如图，直线是一次函数1y x =+的图象，直线是一次函数22y x =-+的图象．

（1）求A 、B 、P 三点的坐标；（6分） （2）求四边形的面积；（6分）

4.如图，在边长为2的正方形的一边上，一点P 从B 点运动到C 点，设，四边形的面积为y . ⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围；

⑵ 说明是否存在点P ，使四边形的面积为1.5？

考点10：一次函数图象信息题（从图像中读取信息。利用信息解题）

思路点拨:：一次函数在实际中的应用是先根据条件求出一次函数的解析式，然后根据一次函数的性质解决相关问题.

规律总结：先求一次函数解析式，再利用一次函数的性质，对于图象不是一条线而是由多条线段组成的，要根据函数的自变量的取值范围分别求. 【例题】

1.一天，亮亮感冒发烧了，早晨他烧得厉害，吃过药后感冒好多了，?中午时亮亮的体温基本正常，

但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．图中能基本反映出亮亮这一天(0～24时)体温的变化情况的是( )

A

y

O

B x

A

B

C D

P