基本初等函数知识点

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指数函数及其性质

一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念

1、如果,,,1n

x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a

的n

次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n

表示，负的n

次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．

2

n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．

3、根式的性质

：n

a =；当n 为奇数时

，

a =；当n 为偶数时，

(0)

|| (0)

a a a a a ≥?==?

-

1、

正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n

a a m n N +>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2

、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m

m n

n a

a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．

注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0

=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质

(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈

5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x

≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

注意：○

1 指数函数的定义是一个形式定义； ○

2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．

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（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x

≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈ （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x

≠>=且，总有a )1(f =

（4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<

四、底数的平移

对于任何一个有意义的指数函数：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

即“上加下减，左加右减”

五、幂的大小比较

常用方法（1）比差（商）法：

（2）函数单调性法；

（3）中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B

与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。

注意：

（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

例如：y 1=34,y 2=35

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。

例如：y 1=（1/2）4,y 2=34

,

（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较

①对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、

1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

② 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与

“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大

异小”。即当底数a 和1与指数x 与0之间的不等号同向时，a x

大于1，异向时a x

小于1.

对数函数及其性质

一、对数与对数的运算 （一）对数

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1．对数的概念：一般地，如果N a x

=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：

N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）

说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；

②x N N a a x

=?=log ；

③注意对数的书写格式．N a

log

两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；

② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．

指数式与对数式的互化

幂值 真数

（二）对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：

① M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○

2 =N M

a log M a log －N a log ； ○3 n a M log n =M a log )(R n ∈． ④ M

a M a

n

n log 1log = ⑤ b b

a a

=log ⑥ b a b a =log ⑦ log a 1

=0 ⑧ log a a=1 ⑨ a log a N=N ⑩ log a a b

=b

注意：换底公式

a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．

推论(利用换底公式) ①b m

n

b a n a m log log =

； ②a b b a log 1log =

． 二、对数函数

1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数

的定义域是（0，+∞）．

注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，

5

log 5

x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

② 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

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反函数

一、反函数定义

设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ?=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数，函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数，记作

1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．

二、反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1

()x f y -=；

③将1

()x f

y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．

三、反函数的性质

①原函数()y f x =与反函数1

()y f

x -=的图象关于直线y x =对称．

②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1

()y f

x -=的值域、定义域．

③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'

(,)P b a 在反函数1

()y f x -=的图象上．

④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．

幂函数及其性质

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一、幂函数的定义

一般地，函数y x α

=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．

二、幂函数的图象

函数 特征 性质 y=x y x =2

y x =3

y x

=

12

y x =-1 定义域 R R

R [0，+∞） {|}x x ≠0

值域 R [0，+∞）

R [0，+∞）

{|}y y ≠0

x ∈+∞[)0，增 x ∈+∞()0，增 单调性 增 x ∈-∞(]，0减 增 增 x ∈-∞()，0减

所过定点

（1，1） （0，0）

（1，1） （0，0）

（1，1） （0，0）

（1，1） （0，0）

（1，1）

三、幂函数的性质

1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．

①幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)； ②幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)； ③幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

2、过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

3、单调性：①如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．

②如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．

4、奇偶性：⑴当α为奇数时，幂函数为奇函数，

⑵当α为偶数时，幂函数为偶函数．

⑶当q p

α=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），

①若p 为奇数q 为奇数时，则q

p

y x =是奇函数，

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②若p 为奇数q 为偶数时，则q p

y x =是偶函数， ③若p 为偶数q 为奇数时，则q p

y x =是非奇非偶函数．

5、图象特征：幂函数,(0,)y x x α

=∈+∞，

⑴当1α>时，①若01x <<，其图象在直线y x =下方，

②若1x >，其图象在直线y x =上方，

⑵当1α<时，①若01x <<，其图象在直线y x =上方，

②若1x >，其图象在直线y x =下方．

练习题