(答案)茂名市第十七中学2015-2016学年度第一学期期末考试

参考答案和评分细则

茂名市第十七中学2015-2016学年度第一学期期末考试

本试卷分选择题与非选择题两部分，共 4页?满分为150分。考试用时120分钟.

注意事项：

1 ?答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的班别姓名和考生号填写在答卷 上.

2 ?选择题每小题选出答案后，把答案对应字母写在答题卡上，不能答在试题卷上.

3 ?非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案； 不准使用铅笔和

涂改液?不按以上要求作答的答案无效.

第一部分 选择题（共60分）

有一项是符合题目要求的. 1 .下列命题中真命题的是（ B ）. A.5>3 且 7<4

B.4>5 或 4<5

C.8>9

2 .若 p : a>b , q:a+c>b+c 则 p 是 q 的 （C ） A.充分条件

B.必要条件

c 充要条件

D 即不充分也不必要条件

3.已知，椭圆的标准方程为

2

x

2

—1 ，则椭圆的离心率为

（B ）

100 36

7

4

5

A.—

B.

C. —

D. 8

10

5

6

4.设命题P ： 一

n

N,n 2 3n ，

则 >为（

A )

A. n N , n 2 _3n

B. —n N,n 2 _3n

C. n N, n 2

■3n

D. —n

N,n 2 =3n

5.下列向量中不平行的是（

C ).

4

A. a =(1,2, -2),b =(-2,-4,4)

B. (1,0,0), d ^-3,0,0)

C. e 十2,3,5), f =(6,9,15)

D. g = (2,3,0), h =(0,0,0)

2 2 6

?双曲线可上的一点P 到它一个焦点的距离为4则点P 到另一焦点的距离是（A ）

、选择题：本大题共

12小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

D. 2是有理数

2

=1

3）, C （6, — 1 , 4）为三角形的三个顶点，则

ABC

EADM 和MDCF 都是边长为a 的正方形，点P 是ED 的 B

B. 2

C.10 或 2

D.14

2

x ——+ 7.椭圆m 4

A. 5 或 3

的焦距等于2,则m 的值为（A ）.

B. 8

C. 5

D. 16 2.2. 8.如果方程x ky 2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数 A. （ 0, ：：

） B. （ 0, 2） C. （1 , ：：） D. k 的取值范围是（D ）

（0,1）

9.已知对称中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线为 些=2x ，则此双曲线的离

心率为（C ） A . .5

C. 5或子

10.下列命题中不正确的命题个数是（ C ） ①若A , B

C D 是空间任意四点，则有 . . . . ■ . . r .I 'I >—t r r rr/r 、ri —■，

A B +

② |a|—ib|=|a+ b|是a b 共线的充要条件 ③ 若a,b 共线，则a,b 所在的直线平行 CD DA 二 0

④ 对空间任意点O 与不共线的三点，A , B , C ,若OP^xOA ? yOB - zOC （其中

x, y,z€ R ),贝 y P , A , B , C 四点共面. A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

是（A ） A.直角三角形 B.钝角三角形

C.锐角三角形

D.等腰三角形

■ ：

■ 6

a A. 3

B.

3 a C. 4

J7 6 a D. 6

二、填空题：本大题共

第二部分 4小题，每小题 非选择题（共90

分）

5 分，共 20分.

11.已知 A ( 1,— 2, 11), B (4, 2,

12.如图1所示，已知四边形 ABCD, 中点，贝U P 点到平面EFB 的距离为（

13?命题至少有一个平行四边形不是菱形”，则非P”为平行四边形一定是菱形?

14 ?准线方程为x=2的抛物线的标准方程为 __________ 屮二-8X ________________

2

X 2

15.过双曲线y =1的右焦点，且倾斜角为45 °勺直线交双曲线于点A、B,则|AB|=

2

—4 2__.

x y

16?已知a = (2, 4,x),b = (2, y,2)，若| a| 6 ，且a _ b，则x y = _________ -3 或1

________________________________________________________________ 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分?解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (12分)已知b,c?R，若x2 bx 7 = 0有实根，则b2-4c_0。分别写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题。

17 ?解：

逆命题：已知b, c R，若b2 - 4c _ 0 ,则x2 bx 0有实根；..... 4分

否命题：已知b, c R，若x2 bx 0没有实根，则b2 - 4c ：：： 0 ; 8分

逆否命题：已知b,c ? R ,若b2 -4c ：：： 0 ,贝y x2? b x， c0没有实根。12分

18. (本题满分12分)

求下列圆锥曲线的标准方程

(1 )长轴长是8，短轴长是2,焦点在x轴上的椭圆；

5

(2)求焦点在x轴上，两顶点间的距离是8, e=—的双曲线的标准方程;

4

(3)焦点在x轴正半轴上，且经过点(2,4)的抛物线?

2 2

x y

18解：(1) (4分)椭圆标准方程设为 2 2 =1(a b 0) (2)

a b

?/ 2a=8,2b=2, /? a=4 b=1 (3)

2 2

???所求椭圆方程为一2 2 = 1(a b 0) (4)

a b

2 2

(2 ) ( 4分)设双曲线标准方程为笃—占=1 , T2a=8,?a =4

a b

c 5 2 2 2 2 2

e , c =5 , - b =c —a 5 -4 9 ................. 3分

a 4

2 2

? ?所求双曲线方程为■— - — 1 ........ 4分

16 9

(3) (4分)据题意，抛物线方程设为y2 =2px(p 0)，因为点(2,4 )在抛物线上

2

二4 =2p 2 , 2 p=8 ............ 2 分

???所求抛物线方程为y2=8x. 4 分

19. (8 分)如图，线段AB,BD在平面〉内，BD _ AB，线段AC _〉，且AB=4 ,BD=3 ,AC=6, 求C,D间的距离。

19.解：.AC _ BD, AC _ AB, BD _ AB.

.AB[BD =0,AC[_AB =0,BD_AB =0. (3)

T T T T

CD = CA AB BD , 4

|CD|2=(CA AB BD)2

『2 『2 ■ 2

=|CA| | AB | ■ | BD |

丄.2丄小2

6 +4 +3 =61,

.I CD |= .'61，即C,D 间距离为「61 (8)

20.(14分)如图2,在四棱锥P—ABCD中，PD丄平面ABCD,底面ABCD是正

方形，PD=DC=2 E, F分别是AB, PB的中点。

(1)求证：EF丄CD;

(2)直线PB与AD所成角的余弦值；

(3)求BD与平面DEF所成角的正弦值.

20. 解：

（1） （4分）如图1,以DA , DC , DP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz,设

AD=2，贝U D （ 0，0，0），A （ 2，0，0），B （ 2，2，0），C （0，2，0），E

（ 2，1，

0）, F （1,1,1）, P （ 0, 0, 2） ........................ 2 分

证明：因为 EF[DC -^1,0,1￡（0,2,0^0

，所以 EF 丄CD ............. 4 分

（2） （4分）解：设二 为直线PB 与AD 所成的角，因PB=（2,2, -2） , = （2,0,0）

cos v -| cos ：： PB, DA | =

|PB||DA|

________ 2^2 ______ -,22 - 22 (-2)2 \22 _ 3

所以直线PB 与AD 所成角的余弦值为

所以BD 与平面DEF 所成角的正弦值为 —

6

21. （ 12分）有一片宽4千米的山林由南伸向北，

B 村在山林的西边6千米处，A 村和

C 村

????1

PB ，DA （3） （6分）解：设平面 DEF 的一个法向量 n =(x, y,z) 由毎

nLDE =0

取 x =1,则 y = -2,z

BD,n =0 即!(x,y,z)LJ(1,1,1)=0 ''.(x,y,z)U(2,1,0) =0

x y z = 0

，即

(2x + y = 0 亍 1，所以 n =(1,-2,1).

(-2,-2,0山1,-2,1)

y

在山林的东边，A 村在C 村正北..3千米处，C 村在B 村正西16千米处，已知弧形公路 PQ 上任一点到C 村的距离和它到山林东边的距离的比是

2.

(1)如图，以BC 中点0为原点，建立坐标系，求弧形公路

PQ 所在曲线的方程;

(2)现要在公路旁建造一个变电站 M 分别向A 村、C 村送电，但A 村有一村办工厂用电需 用专用线路，不得与民用混线用电， 因此向A 村要架两条 线路分别给村民和工厂送电.要使 用电线最短，变电站 M 应建在A 村的什么方位，并求出 M 到A 村的距离.

(1)(5分)以线段BC 所在直线为x 轴，其垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系?点

，设PQ 上任一点M (x, y)到山林东边l:x = 2的距离是d,根据题意，所求轨迹是

集合

{M|42} d

由此得

(x -8)

2

y 2 =2 |x-2| -

将上式两边平方并化简，得

2 2

—1 16 48

由双曲线定义，PQ 所在曲线为双曲线的右支，

B C 为焦点,

2 2

???所求方程为：

—1 (x>0) ??…5 分(没有范围扣1分)

16 48

(2) (7分)依题意，即求 2|MA|+|MC|的最小值? ........... 1分

丄「…心 MC 小

由已知条件

2 (d 为M 到山林东边的距离)

d

???|MC|=2 d ，过A 作AN 垂直于右准线于 N , 设t=2|MA|+|MC|=2(|MA|+

d) >2|AN|则当M 为AN 与双曲线交点时，t 最小 ........... 4分

T A(8, 3 ) ?- y^ - 3，代入双曲线方程，得 x^ - 17 ,

........... 6 分

21.解: C(8,0)

???这样的直线存在，它的方程为y=x+1

7分（没有判断△，扣1分）

此时

M 在A 的正西方向，|MA|= 8 — . 17

???应把电站M 建在A 村正西方向距离 A 村8 一17千米处使得电线最短 .............. 7分 2 2 2 2 22. ( 12 分)已知圆 O i ： x 6x y -1= 0 ,圆 02：

x -6x y -5 二 0 ,点 P 满足 k po 1 k PO 2 PO 2 求动点P 的轨迹方程； 过点Q （ 1,2）能否做直线 AB 与P 的轨迹交于A 、B 两点，并且使 Q 是AB 的中点？如 果

存在，求出直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由。 解：（1） （5 分）设 P （x,y ）, (1) (2) ? k

PO 1 k PO 2 =2 据题意，得, ? y

"x 3 O (-3,0

y

x -3

），Q （3,0）

2 整理得 — 2 y_ 9 18 =1 ( x - 5

分（没有范围扣 1分)

（2）（7 分）设 A (x i , y i )， B ( X 2, y 2）， 若存在, X i +X 2=2，

y i +y 2=4

???点A 、B 在动点P 的轨迹上 ? 2( x ； - x i 2) 2 2 =y 2 - y i 此时k AB =1 ? AB :

y=x+1

2

1 2

、=

2 X i 2 - y 2

厶 2 x 2 - y 2 =18 =18 y 2 - y i 2(x i x 2) ■ - ---------------- I x 2-X i (y i y 2)

y = x 1

2 2 』-J =1

.9 18

整理得x 2 -2x -19 =0 此时△ >0,