圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用(供参考)

圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用

北京一零一中学数学组何效员圆锥曲线的第二定义：平面上到定点与到定直线的距离的比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下具有统一形式的基本保证。利用圆锥曲线的第二定义，在某些情形下，可以更方便的求解一些题目。

但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线。如：考虑坐标平面上，到定点(1,1)与到定直线1x =的距离之比为常数e 的点的轨迹讨论如下：

① 当1e =时，点的轨迹方程为1,(1)y x =≠，

直线去掉一点；

② 当1e >时，点的轨迹方程为211(1),y e x -=±--

(1)x ≠，两条直线去掉一点；

③ 当1e <时，点的轨迹不存在。

下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用。

例1 已知椭圆22

143

x y +=内一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使 ||2||MP MF +的值最小，求点M 的坐标。

分析：若按常规思路，设点(,)M x y ，右焦点(1,0)F ，

则2222

||2||(1)(1)2(1)MP MF x y x y +=-+++-+，

求其最小值无疑是困难，观察2||MF ，设M 点到右准线的距离d ，

||1

MF c e d a ===，2||MF d ∴=，这样 ||2||MP MF +就转化为在椭圆上寻找一点到(1,1)P -的距离与到直线2

4a x c

== M

F M

x = 4

的距离和最小，当且仅当MP ⊥直线4x =时，点M 在点P 和直线4x =之间时取得，此时M 的坐标为26

(

,1)3

-. 例2 已知椭圆方程为22

221(0)y x a b a b

+=>>，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得

它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。分析：本体若通过椭圆与双曲线方程联立求解交点坐标，

继而讨论四边形面积的表达式，求出使面积最大时的双曲线方程，计算会十分麻烦，考虑到椭圆和双曲线有共同的焦点，不妨利用第二定义求解。设所求双曲线方程为

21(,0)y x m n m n

-=>，其中 22222c a b m n =-=+，设两曲线在第一象限内的交点111(,)P x y ，12,l l 分别为椭圆，双曲线的上准线，过1P 作11PQ l ⊥于Q ，1

2PR l ⊥于R ， 22

1211111||||||||||c a c m PF e PQ e PR y y a c m c

===

-=-， 2211()()a m m y a y c c ∴-=-，解得 1am

y c

=，代入椭圆方程22221y x a b +=，得

1bn

x c

，利用双曲线与椭圆的对称性知 22

1122

4422abmn m n S x y ab ab c c +==≤?=，等号当且仅当22m n c ==时取得，故所求双曲线方程为22

a b y x --=，相应的四个顶点坐标为22(,)b a ±±. 例3 已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ，过点